PREMESSE DELLANALISI INFINETISIMALE. Insiemi numerici e insiemi di punti Un insieme i cui elementi...

PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE

Insiemi numerici e insiemi di punti

Un insieme i cui elementi sono numeri reali è chiamato insieme numerico.

LE PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE

Detto R l’insieme dei numeri reali e data una retta orientata r, è noto che, stabilita un’unità di misura e un’origine O su r, a ogni numero reale si può associare un punto di r e viceversa; si puo’ cioè stabilire una corrispondenza biunivoca tra R e r. La retta r viene chiamata, per quanto appena detto, retta reale.

In base a questa corrispondenza è possibile parlare indifferentemente di insieme numerico o di insieme di punti su r, ossia è lecito ‘‘confondere’’ i punti di r con i numeri reali a essi corrispondenti e viceversa; in altre parole èpossibile identificare un insieme numerico con la sua ‘‘immagine geometrica’’ su r.Per tale motivo un insieme numerico verrà anche chiamato insieme lineare di punti e i suoi elementi sono quindi, indistintamente, numeri o punti della retta reale.

La topologia della retta reale


LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

1. LE FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE


ESEMPIO

y = 2x -1

DEFINIZIONE

Funzione iniettiva, funzione suriettiva, funzione biiettiva (o biunivoca)Una funzione da A a B si dice:- iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A;- suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A;- biiettiva (o biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva.

- Suriettiva- Iniettiva

;

4;

x

y

- Suriettiva se

- Non iniettiva se- Biiettiva

ESEMPIO

y = – x2 + 4

2. LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE


ESEMPIO

y = x2 – 4

DEFINIZIONE

)()(

;0

21 xfxf

I

D

R

Funzione crescente Una funzione y = f (x) di dominio si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 < x2, risulta f (x1) < f (x2).

Crescente in la funzione è crescente in senso lato o non decrescente.

Funzione non decrescente

Se, invece di f (x1) < f (x2), vale

DEFINIZIONE



ESEMPIO

Funzione decrescente Una funzione y = f (x) di dominio si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 < x2, risulta f (x1) > f (x2).

la funzione è decrescente in senso lato o non crescente.

Funzione non crescente

Se, invece di f (x1) > f (x2), vale

Decrescente in

Non crescente in R

DEFINIZIONE



Funzione monotonaUna funzione di dominio si dice monotòna in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, in quell’intervallo è sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto.

Funzione monotòna crescente in I Funzione monotòna decrescente in I

DEFINIZIONE

3. LE FUNZIONI PERIODICHE


ESEMPIO

y = sen (x) è periodica di periodo 2perché sen (x) = sen (x + 2k).

Funzione periodicaUna funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero,si ha:

f(x) = f(x + kT).

y = tg (x) è periodica di periodo perché tg (x) = tg (x + k).

DEFINIZIONE

3. LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI


ESEMPIO

f (x) = 2x4 – 1

Funzione pariIndichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se , allora .Una funzione y = f (x) si dice pari in D se f (–x) = f (x) per qualunque x appartenente a D.

f (– x) = 2(– x)4 – 1

= 2x4 – 1 = f (x)

f è pari.

DEFINIZIONE

3. LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI


ESEMPIO

f (x) = x3 + x

Funzione dispariIndichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se , allora .Una funzione y = f (x) si dice dispari in D se f (–x) = – f (x) per qualunque x appartenente a D.

f (– x) = (– x)3 + (– x)

= – x3 – x = – f (x)

f è dispari.

DEFINIZIONE

4. LA FUNZIONE INVERSA


Data una funzione biiettiva reale di variabile reale y = f(x),

Funzione inversaData la funzione biiettiva f da A a B,la funzione inversa di f è la funzione biiettiva f –1 da B ad A che associa a ogni y di B il valore x di A tale che y = f (x).

Il grafici di f e di f –1 sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

disegnare il grafico di f –1 equivale a partire dalle ordinate di f e ricavare le ascisse.Ordinate e ascisse si scambiano i ruoli.



La funzione esponenziale e la funzione logarimica



La funzionearcoseno

La funzione arcocoseno

La funzione arcotangente

La funzione arcocotangente

Le funzioni composteDate le due funzioni e , con o y = g (f (x)) indichiamo la funzione, detta funzione composta, da A a C che si ottiene associando a ogni x di A l’immagine mediante g dell’immagine di x mediante f.

5. LE FUNZIONI COMPOSTE


ESEMPIO

Consideriamo:

f (x) = x2,

g(x) = x + 1.

Otteniamo:

La composizione NON è commutativa.


6. ESERCIZI: LE FUNZIONI COMPOSTE


DOMINIO DI UNA FUNZIONE y=f(x)

LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO

Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a f(x0) o a un altro valore reale l ?

1. LA DEFINIZIONE


Quando x si avvicina a 0 la funzione oscilla indefinitamente.

f(x) non si avvicinaad alcun valoredeterminato.

Quando xsi avvicina a x0,f(x) si avvicina aun valore l che èproprio f(x0).

x0 non appartieneal campo di esistenza.

Quando xsi avvicina a x0,f(x) si avvicina aun valore l che non è f(x0).

ESEMPIO

Cosideriamo la funzione:

.

Che cosa succede ai valori di f(x) quando x si avvicina a 3?

1. LA DEFINIZIONE


x f(x)2,9 5,82,99 5,982,999 5,9982,9999 5,9998

x f(x)3,1 6,23,01 6,023,001 6,0023,0001 6,0002

6

è |x – 3| < .

Cioè, per ogni numero reale positivo ,se

,

allora.

La condizione per avere |f(x) – 6| <

1. LA DEFINIZIONE


DEFINIZIONE

Limite finito per x che tende a x0

Si dice che la funzione f (x) ha per limite il numero reale l per x che tende a x0, e si scrive

,

quando, comunque si scelga un numero reale positivo f, si può determinare un intorno completo I di x0 tale che risulti

per ogni x appartenente a I, diverso (al più) da x0.

In simboli .

Fissiamo > 0. Individuiamo un intorno I di x0 tale che per ogni . Se riduciamo , troviamo un intorno di x0 più piccolo.

Qual è il significato intuitivo della definizione?

2. IL SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONE


L’esistenza del limite assicura che:se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l .

In simboli .

000 ),(,)()(0

)(

)(lim0

xxxIxxfxI

xf

xfxx

l

l

l

Per ogni troviamo l’insieme dei valori di x che soddisfano la condizione

3. LA VERIFICA


ESEMPIO

Verifichiamo che .

e verifichiamo che contenga un intorno di 2.

Quindi ,cioè

da cui si ricava .

In temini di intervalli: ,

che è un intorno di 2.

4. LE FUNZIONI CONTINUE


DEFINIZIONE

Una funzione f è continua in x0

DEFINIZIONE

Una funzione f è continua nel suo dominio D, se è continua in ogni punto di D.

Se una funzione è continua in un punto,

il valore del limite in quel punto è semplicemente il valore della funzione.

se x0 appartiene al dominio di f e il limite in x0 coincide con f(x0),cioè:

.

Funzioni continue in intervalli reali

La funzione costantef(x) = k, continua in tutto R.

La funzione polinomialef(x) = a0xn + a1xn-1+…+an-1x+an, continua in tutto R.

La funzione radice quadrata , continua in R+ U {0}.

Le funzioni goniometriche (esempi)f(x) = sen(x), continua in tutto R.f(x) = cotg(x), continua in R – {k, }.

La funzione esponenzialef(x) = ax, con a > 0, continua in tutto R.

La funzione logartimicaf(x) = logax, con a > 0, , continua in R+.

Il limite esiste e vale 3.Inoltre, in un intorno di 0 (lo 0 escluso) la funzione assume

sempre valori maggiori di 3.

La funzione tende a 3 da valori più grandi.

5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO


DEFINIZIONE

Se la funzione f è tale che

e assume, in un intorno di x0, sempre valori maggiori di l,

Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori maggiori.

si dice che f(x) tende a l per eccessoe si scrive:

.

ESEMPIO

Verifichiamo che .

Fissato > 0, cerchiamo le x per cui0 < (4x2 – 3) – (–3) < ,

ossia 0 < 4x2 <

La seconda, 4x2 < , è soddisfatta per

.

La prima relazione, 0 < 4x2, dà .

5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO


DEFINIZIONE

Se la funzione f è tale che

e assume, in un intorno di x0, sempre valori minori di l,

Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori minori.

si dice che f(x) tende a l per difettoe si scrive:

.

6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO


DEFINIZIONE

Si scrive

e si dice che l è il limite destro di f in x0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni destri di x0.

Se x si avvicina indefinitamente a x0 da valori più grandi, f(x) si avvicina indefinitamente a l.

A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nell’intorno destro di x0, .

Se x si avvicina indefinitamente a x0 da valori più piccoli, f(x) si avvicina indefinitamente a l.

DEFINIZIONE

Si scrive

e si dice che l è il limite sinistro di f in x0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni sinistri di x0.

A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nell’intorno sinistro di x0, .

6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO


ESEMPIO

Consideriamo la funzione

e verifichiamo che, .

1;3

1

21;1

21

21

2)(lim

3)(lim

1 se13

1 se12)(

1

1

x

xf

xf

xx

xxxf

x

x

Limite destroVerifichiamo se |f(x) – 3| < è soddisfatta in un intorno destro di 1.

Soddisfatta in .

Limite sinistroVerifichiamo se |f(x) – 2| < è soddisfatta in un intorno sinistro di 1.

Soddisfatta in .

| (2x + 1) – 3 | < < 2x – 2 <

| (3x – 1) – 2 | < < 3x – 3 <

LE FUNZIONI CONTINUE

1. STESSO LIMITE, VALORI DIVERSI


Le due funzioni hanno lo stesso limite per x che tende a x0 = 1. Il valore del limite è l = 2.Nel primo caso il valore del limite coincide con quello della funzione in x0 : f(x0) = l.Nel secondo caso il valore di f non coincide con quello del limite.La prima funzione è continua in x = 1, la seconda è discontinua.

2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA


DEFINIZIONE

Funzione continua in un punto Siano f(x) una funzione definita in un intervallo [a; b] e x0 un punto interno all’intervallo. La funzione f(x) si dice continua nel punto x0 quando esiste il limite di f(x) per e tale limite è uguale al valore f(x0) della funzione calcolata in x0 :

.

Se una funzione è continua in un punto, allora il valore del limite in quel punto è semplicemente il valore della funzione.

ESEMPIO

y = 1 – x4 è continua in x0 = 2,

non è continua in x0 = 1.

2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA


Una funzione può essere definita continua anche negli estremi dell’intervallo di definizione [a; b].

DEFINIZIONE

f(x) è continua a destra in x0, se f(x0) coincide con il limite destro di f(x)per x che tende a x0 :

.

DEFINIZIONE

f(x) è continua a sinistra in x0, se f(x0) coincide con il limite sinistro di f(x)per x che tende a x0 :

.

DEFINIZIONE

Funzione continua in un intervallo Una funzione definita in [a; b] si dice continua nell’intervallo [a; b] se è continua in ogni punto dell’intervallo.

ESEMPIO

La funzione

non è continua in x0 = 1,non è continua nell’intervallo [0;1],ma è continua nell’intervallo [1;2].

ESEMPIO

y = sen 4x è composta da z = f(x) = 4x, continua in R,

y = g(z) = sen z, continua in R.

Anche g(f(x)) = sen 4x è continua in R.

Data una funzione composta y = g(f(x)) , si può dimostrare che,se f è continua in x0, e g in f(x0), allora anche y = g(f(x)) è continua in x0.


3. LA CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI COMPOSTE

Ad esempio, .

Funzione continua in ]2;5[, intervallo aperto.

Non possiede un massimo assolutoné un minimo assoluto.

Funzione continua in tutto [1;3] tranne x = 2.

Possiede un minimo assoluto, ma non un massimo.

Funzione continua nell’intervallo illimitato [1; [.

Possiede un massimo assoluto, ma non un minimo.

4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE


DEFINIZIONE

Teorema di WeierstrassSe f è una funzione continua in unintervallo limitato e chiuso [a; b],

Controesempi

allora essa assume, in tale intervallo,il massimo assoluto e il minimoassoluto.



DEFINIZIONE

Teorema dei valori intermedi Se f è una funzione continua in unintervallo limitato e chiuso [a; b],allora essa assume, almeno unavolta, tutti i valori compresi tra ilmassimo e il minimo.

Funzione discontinua nell’estremo sinistro x = 1.

Non possiede uno zero.

Funzione continua in tutto [–4;3] tranne x = –1.

Non possiede uno zero.



DEFINIZIONE

Teorema di esistenza degli zeriSe f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto,

Controesempi

allora esiste almeno un punto c, interno all’intervallo, in cui f si annulla.


5. ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE

LA DERIVATADI UNA FUNZIONE

DEFINIZIONE

Retta tangente a una curva

La retta tangente t a una curva in un punto P è la posizione limite, se esiste, della secante PQ al tendere (sia da destra sia da sinistra) di Q a P.

1. IL PROBLEMA DELLA TANGENTE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

Come si determina la retta tangente a una curva in un punto P ?

Per una circonferenza, la tangente è la retta che interseca la curva solo in P.Ma, in generale, questa definizione non basta.

La tangente dipende dalle proprietà locali della curva in un intorno di P.

DEFINIZIONE

Rapporto incrementale

Dati una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a; b] , e due numeri reali c e c + h interni all’intervallo,

2. IL RAPPORTO INCREMENTALE


Il rapporto incrementale di f relativo a c è il coefficiente angolare della retta passante per A e B.

si chiama rapporto incrementaledi f (relativo a c) il numero:

.

ESEMPIO

Data la funzione y = f(x) = 2x2 – 3x ,

2. IL RAPPORTO INCREMENTALE


hh

hh

h

hh

x

y21

2)1(21 22

f (1 + h) = 2(1 + h)2 – 3(1 + h) = = 2(1 + 2h + h2) – 3 – 3h = = 2 + 4h + 2 h2 – 3 – 3h = = – 1 + h + 2 h2 ,

f (1) = – 1 , .

e fissati il punto A di ascissa 1e un incremento h,determiniamo il rapporto incrementale.

DEFINIZIONE

Derivata di una funzioneData una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a; b],

3. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE


La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolaredella retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa c.

si chiama derivata della funzione nel punto c interno all’intervallo, e si indica con f ' (c), il limite, se esiste ed è finito, per h che tende a 0, del rapporto incrementale di f relativo a c:

.

Condizione di esistenza della derivata

La derivata di f esiste in c se:- la funzione è definita in un intorno di c;

3. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE


Rapporto incrementale e derivata

Nel processo di limite il rapporto incrementale diventa il coefficiente angolare della retta tangente.

- esiste il limite del rapporto incrementale per h tendente a 0;- il limite è un numero finito.

ESEMPIO

Calcoliamo il valore della derivata della funzione: y = x2 – x in x = 3.

4. CALCOLO DELLA DERIVATA


xxf

hxh

hhx

h

xhhxx

h

xhx

h

xfhxfxf

f

hh

hh

h

hhh

h

hh

h

fhff

hh

h

h

h

hh

h

h

h

8)(

48lim48

lim

4484lim

4)(4lim

)()(lim)(

5)3(

5lim5

lim

39369lim

33)3()3(lim

)3()3(lim)3(

0

2

0

222

0

22

0

0

0

2

0

2

0

22

0

0

.

.

ESEMPIO

Calcoliamo la funzione derivata della funzione: y = 4x2 .

.

.

5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA


Una funzione è derivabile in c se la derivata destra e la derivata sinistra esistono in c e sono uguali.

DEFINIZIONE

Derivata sinistraLa derivata sinistra di una funzione in un punto c è

.

DEFINIZIONE

Derivata destraLa derivata destra di una funzione in un punto c è

.

ESEMPIO

Calcoliamo le derivate destra e sinistra della funzione: y = |x| nel punto x = 0.

,

.

I valori non coincidono:la derivata completa non è definita in 0.

5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA


DEFINIZIONE

Funzione derivabile in un intervalloUna funzione y = f (x) è derivabile in un intervallo chiuso [a; b] se è derivabile in tutti i punti interni di [a; b]e se esistono e sono finite la derivatadestra in a e la derivata sinistra in b.

ESEMPIO

Riprendiamo la funzione y = |x| e verifichiamo la derivabilità in [0; 2] .

Dal calcolo precedente, sappiamo che esiste la derivata destra in 0;nel resto dell’intervallo la funzione è derivabile perché y = x è derivabile in R.

La funzione y = |x| è derivabile in [0; 2] .


6. ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE


7. ESERCIZI: LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI

Approssimativamente:

1. SOLUZIONI ESATTE E SOLUZIONI APPROSSIMATE


Nessuna soluzione esatta.

Sappiamo che:• è crescente,

• per x = 0, y è positivo (y = 1),

Se non esiste una soluzione esatta,riduciamo l’indeterminazione della x entro un margine dato.

una sola soluzione, x < 0 .

x2 – 2x – 8 = 0

Risolviamo: .

x = –2 v x = 4

ma possiamo migliorare ancora

l’approssimazione.

• il codominio è tutto R,

TEOREMA

Teorema di esistenza degli zeriSe f è una funzione continua nell’intervallo [a; b] limitato e chiuso

2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI


Per trovare le radici approssimate,è necessario anzitutto

Separare le radici

determinare gli intervalli che contengono soltanto uno zero.

ossia: .

allora esiste almeno un punto c internoad [a; b] in cui la funzione si annulla,

e negli estremi assume valori di segnoopposto, cioè se ,

TEOREMA

Primo teorema di unicità dello zeroSe f è una funzione continua nell’intervallo [a; b] limitato e chiuso,



derivabile con derivata prima diversa da 0 nei suoi punti internie, inoltre, ,

ossia:(esiste uno e un solo c in ]a;b[ tale che f(c) = 0).

allora esiste un solo punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla,

TEOREMA

Secondo teorema di unicità dello zeroSe f è una funzione continua nell’intervallo [a; b],



allora esiste un solo punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla,

derivabile due volte nei suoi punti interni, e se

ossia: .

e f ''(x) < 0, oppure f ''(x) > 0, ,

Se f ''(x) cambia di segno, la funzionepuò avere più di uno zero anche se

.

f è continua e doppiamente derivabile in tutto R.



ESEMPIO

Verifichiamo gli zeri di y = x5 – 3x – 1nell’intervallo [0; 2] .

Inoltre

y(0) y(2) = – 25.

Si applica ilsecondo teorema di unicità.

E, in particolare: y' = 5x4 – 3 , y'' = 20x3 ,

cioè y'' > 0 in ]0; 2[.

La funzione si annulla 1 volta in [0; 2].

ESEMPIO

Separiamo le radici dell’equazione lnx – x2 + 2 = 0 .

Confrontiamo i grafici di g(x) = lnx ,h(x) = x2 – 2 .

2

I grafici hanno due intersezioni (e l’equazione ha due soluzioni):

x1 in [0; 1] ,

x2 in [ ; 2] .

Si verifica applicando il teorema di esistenza e il primo teorema di unicità negli intervalli: [0,1; 1] ,

[ ; 2] .

Perché non [0; 1] ?

3. IL METODO DI BISEZIONE


Risolviamo: x3 – x – 1 = 0 ,con approssimazione migliore di

x = 0,3 .

c è compreso tra a0 = –2 e b0 = 0.

25,12

5,12

12

222

111

000

2

bam

bam

bam

Con i teoremi o il metodo grafico, verifichiamo che l’intervallo [a0; m0] contiene la radice c.

Miglioriamo l’approssimazione:

.

Con i teoremi di esistenza e unicità,o confrontando i grafici di

g(x) = x3 , h(x) = x + 1,verifichiamo che l’intervallo [–2; 0] contiene una sola radice c.

Distanza di c dall’estremo b0 (o a0): al più, 0 = b0 – a0 = 2 .

c è compreso tra a1 = –2 e b1 = –1.


.

Con i teoremi o il metodo grafico, verifichiamo che l’intervallo [m1; b1] contiene la radice c.

Distanza di c dall’estremo b1 (o a1): al più, 1 = b1 – a1 = 1 .

c è compreso tra a2 = –1,5 e b2 = –1.

Distanza di c dall’estremo b2 (o a2): al più, 2 = b2 – a2 = 0,5 .


.

Con i teoremi o il metodo grafico, verfichiamo che l’intervallo [a2; m2] contiene la radice c.

c è compreso tra a3 = –1,5 e b3 = –1,25.

Distanza di c dall’estremo b3 (o a3): al più, 3 = b3 – a3 = 0,25 .

L’approssimazione richiesta è raggiunta.b3 e a3 approssimano c con un’indeterminazione di 0,25.

c = –1,25 (o –1,5), x = 0,25 .

Tracciamo AB2 .Tracciamo AB1 .Tracciamo AB .

Determiniamo x3 ...Determiniamo x2 e B2.Determiniamo x1 e B1.

4. IL METODO DELLE SECANTI


Consideriamo: f(x) = 0 ,e supponiamo che ammetta una sola radice c nell’intervallo [a0; b0].

x1, x2, x3, … converge a c .

Se la concavità ha lo stesso verso in tutto l’arco AB, esistono formule di ricorrenza.

Se (come nella figura),x0 = b0 ,

.

Se ,x0 = a0 ,

.

4. IL METODO DELLE SECANTI


Se f ''(x) cambia segno in [a0; b0] ,la successione x1, x2, x3, … non è monotòna.

Le formule di ricorrenza non valgono,ma x1, x2, x3, … converge ancora a c.

Il metodo delle secanti fornisce ancora la soluzione approssimata.

ConfrontoRispetto al metodo di bisezione,il metodo delle secanti converge alla soluzione più rapidamente;cioè raggiunge una data precisione in un numero di iterazioni inferiore.

5. IL METODO DELLE TANGENTI O DI NEWTON-RAPHSON


Consideriamo: f(x) = 0 ,supponiamo che ammetta una sola radice c nell’intervallo [a0; b0]

x1, x2, x3, … converge a c .

Tangente in B. Ricaviamo x1 e B1.Tangente in B1. Ricaviamo x2 e B2.Tangente in B2. Ricaviamo x3 ...

e che in [a0; b0] f ''(x) sia continua e non cambi segno.

Formula di ricorrenza

.

ConfrontoRispetto al metodo delle secanti,il metodo delle tangenti richiede un minor numero di iterazioni,ma ogni iterazione richiede il calcolo di due funzioni ( f ed f ' ).Il metodo delle tangenti conviene quando f ' (xn) è facile da calcolare.

6. IL METODO ITERATIVO O DEL PUNTO UNITO


Consideriamo: f(x) = 0 . Sotto certe condizioni,x1, x2, x3, … converge ad .

Formula di ricorrenza

xn+1 = g(xn) .Può essere verificata direttamente sul grafico.

Sia la soluzione ricercata.Scegliamo un valore iniziale x0 vicino ad e alterniamo spostamenti verticali e orizzontali da una curva all’altra.

, con g(x) = f(x) + x .

Equivale a trovare le soluzioni di:

Punto unitoSi definisce punto unito di h(x), il valore xu del dominio di h tale che h(xu) = xu .

La soluzione a del problema proposto è punto unito di g.Il metodo iterativo è una tecnica per trovare il punto unito di g.

6. IL METODO ITERATIVO O DEL PUNTO UNITO


Casisticax1, x2, x3, … non converge.

TEOREMA

Condizione sufficiente di convergenzaData un’equazione della forma x = g(x), se è possibile determinare un intervallo [a; b] in cui g è derivabile, ed esiste un numero m, con 0 < m < 1, tale che , allora :

x1, x2, x3, … non è monotona.

a) la successione x1 = g(x0), x2 = g(x1), ..., xn = g(xn-1), ... converge qualunque sia il punto iniziale ;

b) il limite è l’unica soluzione dell’equazione data, nell’intervallo [a; b].

MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA

1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO


DEFINIZIONE

Punto stazionarioDati una funzione derivabile y = f (x) e un suo punto x = c, se f ' (c) = 0,allora x = c si dice punto stazionario.

TEOREMA

Data una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a; b] e derivabile in ]a; b[ ,se f (x) ha un massimo o un minimo relativo nel punto x0, interno ad [a; b], la derivata della funzione in quel punto si annulla, cioè: f ' (x0) = 0.

Viceversa, massimi e minimi negli estremi a e bpossono averederivata non nulla.



Massimi e minimi interni ad [a; b] hanno derivata nulla.

Massimi e minimi hanno derivata nulla.

Viceversa, la derivata nulla non assicura la presenza di massimi o minimi.

f ' (0) = 0,

ma in x = 0 non ci sono massimi né minimi.



Massimi e minimi hanno derivata nulla, se f è derivabile in ]a; b[.

Controesempi

Viceversa, se f non è derivabile ovunque, massimi e minimi possono avere derivata non nulla.

TEOREMA

La funzione y = f (x) sia definita e continua in un intorno completo Ix0 del punto x0 e

derivabile nello stesso intorno per ogni .


Se per ogni x dell’intorno si ha: f ' (x) < 0 quando x < x0,

2. LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA

0xx Se per ogni x dell’intorno si ha: f ' (x) > 0 quando x < x0,

allora x0 è un punto di massimo relativo.

f ' (x) < 0 quando x > x0,allora x0 è un punto di minimo relativo.

f ' (x) > 0 quando x > x0,

Se il segno della derivata prima è lo stesso per ogni dell’intorno,allora x0 non è un punto estremante.



ESEMPIO

Determiniamo massimi e minimi della funzione y = f(x) = x3 – 3x .

x2 – 1 > 0 x < –1 v x > 1 .

La derivata è f ' (x) = 3x2 – 3 .Studiamone il segno: 3x2 – 3 > 0

f è continua in R.

La derivata è

e non è definita per x = –1 , x = 1 .



ESEMPIO

Studiamo la funzione y = |x2 –1| ,

Segno di y' :

cioè .

f è continua in R.



ESEMPIO

Studiamo la funzione .

Segno di y' : y' < 0 se x < 0,y' > 0 se x > 0.

f è continua in R.

La derivata è se ,

e non è definita per x = 0.



ESEMPIO

y' < 0 se x < 0, y' > 0 se x > 0.

y' > 0 se x < 1, y' > 0 se x > 1.

ESEMPIO ESEMPIO

y' > 0 se x < 0, y' < 0 se x > 0.

Ma 0 non è un punto estremante. Ma f ha un massimo in x = 1. Ma 1 è un punto di minimo.

TEOREMA

Data la funzione y = f (x) definita e continua in un intorno completo Ix0 del punto x0 e

derivabile nello stesso intorno,

• il segno della derivata prima è lo stesso per ogni dell’intorno Ix0 .

3. I PUNTI STAZIONARI DI FLESSO ORIZZONTALE


x0 è un punto di flesso orizzontale se sono soddisfatte le seguenti condizioni:• f ' (x0) = 0;

Casi possibili

Funzione crescentein

Funzionedecrescentein

4. RIEPILOGO


Massimo relativo

Mimimo relativo

Flesso orizzontalediscendente

Flesso orizzontaleascendente


5. ESERCIZI

L’INTEGRALE INDEFINITO

L'INTEGRALE INDEFINITO

1. LE PRIMITIVE

DEFINIZIONE

Primitiva di una funzione

Una funzione F(x) si dice primitiva della funzione f(x) definita nell’intervallo [a;b] se F(x) è derivabile in tutto [a;b] e la sua derivata è f(x).

Ogni funzione del tipo y = x2 + c ha per derivata 2x

quindi è una primitiva di y = 2x.


1. LE PRIMITIVE

Se F (x) è una primitiva di f (x), allora le funzioni F (x) + c , con c numero reale qualsiasi, sono tutte e sole le primitive di f (x).

Ovvero:

se F(x) è una primitiva di f (x), allora anche F(x) + c lo è;

se F(x) e G(x) sono entrambe primitive di F(x), allora G(x) - F(x) = c .

I grafici di queste funzioni sono traslati di un vettore del tipo (0; c).

Tutte le funzioni hanno la stessa derivata perché nei punti con la stessa ascissa hanno tangente parallela.


2. L’INTEGRALE INDEFINITO

DEFINIZIONE

Integrale indefinito

Si chiama integrale indefinito della funzione f(x), e si indica con , l’insieme di tutte le primitive F(x) + c di f(x), con c numero reale qualunque.

dxxf )(

ESEMPIO

L’integrale indefinito di cos x è l’insieme delle primitive di cos x, cioè sen x + c.



L’integrazione di una funzione agisce come operazione inversa della derivazione.

ESEMPIO

derivazione

integrazione

sen x + c

x2 + c

ex + c

cos x

2x

ex

sen x + c

x2 + c

ex + c



TEOREMA

Condizione sufficiente di integrabilità

Se una funzione è continua in [a; b], allora ammette primitive nello stesso intervallo.


PROPRIETÀ

Prima proprietà di linearità

L’integrale indefinito di una somma di funzioni integrabili è uguale alla somma degli integrali indefiniti delle singole funzioni:

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

3. LE PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE INDEFINITO

ESEMPIO


PROPRIETÀ

Seconda proprietà di linearità

L’integrale del prodotto di una costante per una funzione integrabile è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione:

dxxfkdxxfk )()(

3. LE PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE INDEFINITO

ESEMPIO

PREMESSE DELLANALISI INFINETISIMALE. Insiemi numerici e insiemi di punti Un insieme i cui elementi...

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