INSIEMI

INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi

detti elementi dell’insieme.

Un insieme è definito quando viene dato un criterio

non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto

appartiene o no all’insieme

Simbologia

Gli insiemi sono indicati con lettere

maiuscole, eventualmente munite di indici:

A, B, X, Y, A1, A2, B1…

gli elementi degli insiemi con lettere

minuscole, eventualmente munite di indici:

a, b, x, a1, a2, y1 …

Rappresentazione di un insieme

Un insieme A si può rappresentare:

• elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme

Esempio: A = {a, b, c, d}

• Indicando la proprietà caratteristicadegli elementi dell'insieme

Esempio: A = {x : x è una lettera dell’alfabeto}

I Diagrammi di Eulero-Venn

Servono per rappresentare graficamente un insieme.

Esempio:

a b c d

A

Il simbolo di appartenenza:

Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive:

a A

si legge “a appartiene ad A".

Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive:

b Asi legge “b non appartiene ad A".

CONFRONTO TRA INSIEMI

Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive:

B A (oppure A B)

e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A"

("A contiene o è uguale a B")

se ogni elemento di B è un elemento di A

b B b A

Insieme vuoto :

Insieme privo di elementi

(qualunque sia A)

Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive:

oppure

se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se

aA : a B

CONFRONTO TRA INSIEMI

CONFRONTO TRA INSIEMI

Due insiemi A e B si dicono uguali se ogni elemento

di A è anche elemento di B e viceversa:

A = B (A B e B A)

Due insiemi A e B si dicono diversi se esiste un

elemento di uno dei due insiemi che non

appartiene all’altro:

AB

Proprietà della relazione di inclusione:

Siano A, B, C insiemi qualsiasi, si ha:

• A A (proprietà riflessiva)

• se A B e B A allora A = B (proprietà antisimmetrica)

• se A B e B C allora A C ( proprietà transitiva)

Insieme delle parti

• L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme A, compresi l'insieme vuoto ed A stesso, si dice insieme delle parti di A (o potenza di A) e si indica con P(A)

• Esempio: Sia A = {1, 2, 3},P(A)= {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

• Se A contiene n elementiallora P contiene 2n elementi

OPERAZIONI TRA INSIEMI

• UNIONE

• INTERSEZIONE

• DIFFERENZA

• COMPLEMENTAZIONE

• PRODOTTO CARTESIANO

UNIONE TRA INSIEMI

• L'unione di due insiemi A e B è l'insiemedi quegli elementi che appartengonoad almeno uno dei due insiemi A e B

• L’unione di A e B si scrive:A B = {x : x A o x B }

Se A = B A B = ASe A B A B = B

UNIONE TRA INSIEMI

• Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

01

23

A B

UNIONE TRA INSIEMI

• Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}A B = {0, 1, 2, 3}

01

23

A B

INTERSEZIONE TRA INSIEMI

• L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B

• L'intersezione di A e B si scrive:A B = {x : x A e xB }

Se A = B A B = ASe A B A B = ASe A B = A e B si dicono disgiunti.

INTERSEZIONE TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

A B

01

23

INTERSEZIONE TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}A B = {1, 2}

A B

01

23

PROPRIETA’ DI UNIONE E INTERSEZIONE

• Proprietà commutativa:A B = B AA B = B A

• Proprietà associativa:(A B) C = A (B C)(A B) C = A (B C)

• Proprietà distributiva:A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)

DIFFERENZA TRA INSIEMI

• La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B:

• La differenza di A e B si scriveA B = A \ B = {x : x A e x B }

Se A = B A \ B =Se A B A \ B =

DIFFERENZA TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

01

23

A B

DIFFERENZA TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}A \ B = {0}

01

23

A B

DIFFERENZA TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}B \ A = {3}

01

23

A B

INSIEME COMPLEMENTARE

• Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universo.

• sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: CUA =A’ =U \ A = {x : x U e x A }

INSIEME COMPLEMENTARE

• EsempioU = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}

0 3 5 1 2

UA

INSIEME COMPLEMENTARE

• EsempioU = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}CUA =U \ A = {0, 3, 5}

0 3 5

UA

1 2

A

PRODOTTO CARTESIANO• Per coppia ordinata si intende una coppia

di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y) (y,x)

• Dati due insiemi A e B, l’insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B

A B = {(x, y) : x A, y B}

PRODOTTO CARTESIANO• Non è commutativo: A B B A

• Se A=B A B = A2

• Dati n insiemi: A1, A2, ….., An :

A1 A2 …. An = {(x1, x2, ….., xn) : x1 A1 , x2 A2, … , xn An }

• Se A1 = A2 =… =An A1 A2 …. An = An

PRODOTTO CARTESIANO

Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4}

A B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

ESERCIZI

• Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}

• Calcolare:A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A B = {2, 4}

A \ B = {1, 3, 5}B \ A = {6}

INSIEMI NUMERICI

• NATURALI

• INTERI O RELATIVI

• RAZIONALI

• IRRAZIONALI

• REALI

I NUMERI NATURALIN={1, 2, 3, 4, 5,…..}

• Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune relazioni

• Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni:1) Addizione 2) Moltiplicazione3) Relazione di “minore o uguale di” (m<n sse p N: m+p=n)

I NUMERI NATURALI m, n, p N Le operazioni di addizione e

moltiplicazione godono delle proprietà:- Associativa:

(m + n) + p = m + (n + p)(m • n) • p= m • (n • p)

- Commutativa:m + n = n + mm • n = n • m

- Distributiva:m • (n + p)= m • n + m • p

- Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione: 1 N: 1 • m = m

I NUMERI RELATIVI• L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto

all’addizione e alla moltiplicazione.

• Non è ad esempio chiuso rispetto alla sottrazione sistema algebrico dei numeri relativi:

Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …}

Z+ = {+1, +2, +3, …} = NZ- = {-1, -2, -3, …} Z = Z+ Z - {0}

I NUMERI RELATIVI

Valgono le proprietà 1), 2) e 3) e inoltre:

4) Esiste l’elemento neutro dell’addizione:

0 Z : x + 0 = x, xZ

5) Esiste l’opposto:

xZ, y Z : x + y = 0,

6) Chiuso rispetto alla sottrazione:

x – y = x + (-y)

I NUMERI RAZIONALI

• PROBLEMA:Dati due numeri x,yZ non è sempre possibile trovare un numero q Z : x • q = y ovveroZ non è chiuso rispetto alla divisione

Q= {q = x/y : xZ, yZ\{0}}

• ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale.

NUMERI RAZIONALI

• Q è denso:

q1, q2 Q, q Q : q = (q1+ q2)/2

0-2 -1 321

• N e Z sono discreti:

NUMERI REALI

• PROBLEMA:

non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 !

• Numeri reali: R = Q + dove è l’insieme dei numeri irrazionali

Ie,,2

DIMOSTRAZIONESupponiamo per assurdo che esista un numero razionale del tipo p/q primi tra loro tale che:

p2/q2=2p2=2 q2

p è pari, p = 2k22 k2 = 2 q2

2 k2 = q2

ma allora anche q è pari contro l’ipotesi che p e q sono primi tra loro.

I NUMERI REALI

Assioma di completezza:

Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R

a A b B si abbia a b c R: a c b

c prende il nome di elemento separatore.

Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta:

GLI INSIEMI NUMERICI

• Sussiste una precisa relazione di inclusione:

N Z Q R