Premessa

Le prime lezioni del corso trattano argomenti di geometria. Lo scopo diqueste lezioni e duplice.

Il primo obiettivo e quello di fornire delle nozioni di geometria anali-tica dello spazio. Mi spiego meglio: la maggior parte di voi ha familia-rita con la geometria analitica del piano, ad esempio conosce la descrizionedei punti del piano mediante coordinate cartesiane; conosce la descrizionedelle rette del piano mediante equazioni cartesiane; e in grado di studiarel’intersezione di due rette o l’appartenenza di un punto a una retta se hadelle descrizioni cartesiane (dunque algebriche) di questi oggetti geometrici.Quello che vogliamo fare e generalizzare queste nozioni e queste tecniche allospazio (tridimensionale): ad esempio, vogliamo descrivere punti, rette e pianinello spazio con coordinate ed equazioni e utilizzare queste descrizioni perstudiare problemi sull’intersezione di oggetti geometrici di questo tipo. Perarrivare a questo risultato, le nozioni che forniamo in queste prime lezionisaranno via via approfondite durante tutto lo svolgimento del corso.

Il secondo obiettivo e fornire un modello concreto e visibile delle nozionidi algebra lineare che spiegheremo durante il corso. L’algebra lineare e unateoria astratta. Questa astrazione e motivata dal fatto che e una teoria ap-plicabile a problemi concreti di natura diversa, ad esempio di economia, difisica, di geometria. E da questo punto vista l’astrazione e una ricchezza.Dal punto di vista di chi studia l’algebra lineare per la prima volta, invece,l’astrazione e una difficolta e vedere l’applicazione della teoria astratta al-meno a un modello concreto, dovrebbe facilitarne la comprensione.

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Gli oggetti basilari di quella (piccola) parte della geometria che puo esserestudiata mediante l’algebra lineare sono i vettori. In geometria un vettore eun segmento orientato, cioe per i cui estremi e stabilito un ordine. Grafica-mente, un vettore geometrico e rappresentato da una freccia, con la puntasul secondo estremo del vettore.

il vettore−→AB

A B

il vettore−→BA

A B

Prima di tutto fissiamo le notazioni e la terminologia di base.- Il primo estremo di un vettore si chiama anche punto di applicazione

del vettore. Quindi un vettore applicato nel punto A e un vettore che ha Acome primo estremo.

- Non e escluso che il primo e il secondo estremo di un vettore coincidano:in questo caso il vettore e ridotto a un punto e si dice vettore degenere onullo.

- La lunghezza del vettore v si indica con ‖v‖. Ci e ben noto che ‖v‖ eun numero reale positivo o nullo. Come al solito per un numero reale α, |α|indica il valore assoluto di α.

Le due operazioni sui vettori geometrici che stiamo per definire, somma didue vettori e prodotto di un vettore per uno scalare fanno parte delle nozionidi base della teoria che dovremo sviluppare. La somma di due vettori edefinita solo nel caso in cui i due vettori sono applicati nello stesso punto.Quindi da ora in poi supponiamo che tutti i vettori che consideriamo sianoapplicati nel medesimo punto O (O come origine).

- Dunque un vettore v sara un vettore di tipo−→OP , dove O e fissato una

volta per tutte e P e un punto arbitrario dello spazio. E chiaro che, se ve non degenere, allora esiste un unica retta che contiene v (nella notazioneprecedente la retta per O e P ): indicheremo questa retta con rv.

- Dire che un certo vettore u ha la stessa direzione di v significa che ugiace sulla retta rv.

- Il punto O determina due semirette su rv. Se u ha la stessa direzione div, allora dire che u ha lo stesso verso di v significa che u e v giacciono sullastessa semiretta, rispetto a O; nel caso contrario di dice che

u e v hanno verso opposto. Ora possiamo definire la prima operazione.

Prodotto di un vettore per uno scalare. Qui il sostantivo scalaresignifica numero reale. L’operazione funziona cosı: dati un vettore v e un

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numero reale α, il vettore α v (prodotto di v per lo scalare α) e il vettoreche: giace sulla retta che contiene v; ha lunghezza uguale a |α|‖v‖; ha versouguale a quello di v se α > 0 e verso opposto se α < 0; e il vettore nullo seα = 0.

O v 53v−2

3v

Definiamo la seconda operazione.

Somma di due vettori. La somma di due vettori applicati nello stessopunto O si definisce con la regola del parallelogramma. Nel caso di due vet-tori che non giacciono sulla stessa retta, la costruzione, illustrata nel disegno

seguente, e questa: dati i due vettori−→OA e

−−→OB costruiamo l’unico parallel-

ogramma che ha O, A e B come tre dei suoi vertici; chiamiamo C il quartovertice del parallelogramma; per definizione poniamo

−→OA+

−−→OB =

−→OC.

O A

B C

In dettaglio il punto C e ottenuto cosı: si traccia la parallela a r−→OA

pas-sante per il punto B; si traccia la parallela a r−−→

OBpassante per il punto A;

l’intersezione di queste due rette e il punto C.Questa costruzione non funziona se i due vettori da sommare stanno sulla

stessa retta.Un modo equivalente di costruire la somma dei due vettori, esemplificato

nel disegno seguente, e questo:

trasliamo il vettore−→OA fino a portare il punto O su B; chiamiamo A′

il secondo estremo del vettore ottenuto; allora A′ coincide con il punto Ccostruito sopra, quindi

−→OA+

−−→OB =

−−→OA′.

O A

B A′

//

//

3

Questa costruzione invece ha senso anche se i vettori da sommare stannosulla stessa retta. Vediamo cosa si ottiene, ancora con l’aiuto di un disegno.In entrambi gli esempi illustrati si ha

−→OA+

−−→OB =

−−→OA′

O BA A′

OB AA′

E immediato controllare che la somma di due vettori non dipende dall’ordinedegli addendi:

la somma vettoriale e commutativa, cioe, per ogni coppia di vettori u ev, si ha che u+ v = v + u.

Un vettore che si puo ottenere da due vettori fissati u e v per mezzo delledue operazioni che abbiamo definito si dice una combinazione lineare di u ev. Precisamente,

una combinazione lineare di u e v e un vettore di tipo

αu+ β v,

con α e β numeri reali.Cerchiamo di capire cosa sono esattamente le combinazioni lineari di due

vettori fissati. La prima cosa che osserviamo e che, dati due vettori u e v chenon giacciono sulla stessa retta, esiste, ed e unico, un piano che li contieneentrambi: lo chiameremo il piano generato da u e v e lo indicheremo conπu,v. Chiaramente tutti i vettori ottenuti per combinazione lineare di u e vstanno su πu,v. Ma vale anche il viceversa, cioe:

tutti i vettori che giacciono su πu,v sono combinazioni lineari di u e v.La costruzione geometrica che dimostra questa affermazione e semplice

ed e illustrata nel disegno seguente:

dato un vettore arbitrario sul piano generato da u e v, sia esso−→OP ,

con P complanare a u e v, consideriamo le due rette ru e rv contenentirispettivamente u e v; tracciamo le due rette passanti per P e parallele aqueste; le intersezioni tra le quattro rette considerate danno due nuovi punti,

Pu e Pv; il vettore−−→OPu e di tipo αu, con α numero reale, perche Pu sta sulla

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retta ru e analogamente il vettore−−→OPu e di tipo β v, con β numero reale; per

costruzione il vettore−→OP e al somma

−−→OPu +

−−→OPv, quindi

−→OP = αu + β v,

come volevamo. E chiaro che la decomposizione di−→OP come combinazione

lineare di u e v e unica, cioe gli scalari α e β sono unici. Infatti, in valore

assoluto α deve essere il rapporto tra la lunghezza di−−→OPu e quella di u e,

analogamente, |β| = ‖−−→OPv‖/‖v‖.

rv

ruO

P

Pu

Pv

u

v

Ripetiamo la nostra conclusione:

Teorema. Se u e v sono due vettori non giacenti sulla stessa retta e πu,v eil piano da essi generato, allora le combinazioni lineari di u e v sono tutti (esoli) i vettori giacenti su πu,v. Inoltre, ogni vettore del piano πu,v si scrive inmodo unico come combinazione lineare di u e v.

Se u e v giacciono sulla stessa retta, invece, le combinazioni lineari di ue v danno esattamente tutti i vettori che giacciono ancora sulla medesimaretta di u e v.

Osservazione. Notiamo che nella figura precedente si ha questa situa-

zione:−→OP =

−−→OPu +

−−→OPv, con

−−→OPu = αu,

−−→OPv = β v, α e β numeri

reali, α < 0 e β > 0.

La situazione generale e questa: le due rette ru e rv dividono il piano πu,v

in quattro regioni, o quadranti; ciascun quadrante e caratterizzato dal segnodei coefficienti α e β nella scrittura dei vettori nella forma αu + β v, comeindicato nella figura seguente:

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O

(−,+) (+,+)

(−,−) (+,−)

u

v

rv

ru

I vettori che giacciono, ad esempio nel quadrante contrassegnato con (+,−)sono tutti e soli i e vettori che si possono scrivere nella forma αu + β v conα > 0 e β < 0. I vettori che giacciono sulle rette ru e rv sono quelli per cuialmeno uno tra α e β e uguale a zero.

Cominciamo a estendere le considerazioni precedenti allo spazio tridi-mensionale. Consideriamo tre vettori, u, v e w (tutti applicati in O) noncomplanari. Il fatto che siano non complanari puo essere espresso nel modoseguente: u e v non stanno sulla stessa retta; inoltre w non sta sul pianogenerato da u e v. Quello che succede, in questo caso, e che le combinazionilineari dei tre vettori u, v e w, cioe i vettori di tipo

αu+ β v + γ w

danno tutti i vettori dello spazio (applicati in O).Questa sara la nostra conclusione, ma procediamo con ordine e chiedia-

moci prima di tutto:

- che vuol dire αu+ β v + γ w? noi la somma l’abbiamo definita per duevettori, mentre qui ne stiamo sommando tre

- la risposta e facile: sommiamo tra loro i primi due e al vettore ottenutosommiamo il terzo; in altre parole associamo la nostra somma cosı:

(αu+ β v) + γ w

- e se l’associassi cosı:αu+ (β v + γ w)?

- qui non resta che fermarci, riprendere foglio e matita e cercare di capirecon un disegno cosa stiamo dicendo. Il problema e questo: dati tre vettoriarbitrari, u, v e w, i vettori (u+ v) + w e u+ (v + w) coincidono?

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Ow

v

u

qui il vettore tratteggiato e v + w, mentre quello rosso e u+ (v + w)

O wv

u

qui il vettore tratteggiato e u+ v, mentre quello rosso e (u+ v) + w.

Dunque quello che stiamo chiedendo e se i vettori rossi delle due figureprecedenti sono il medesimo vettore. Per convincersi che e veramente cosıbasta guardare la prossima figura:

O wv

u

Qui abbiamo costruito l’unico parallelepipedo che ha i vettori u, v e wcome tre dei suoi spigoli; il secondo vertice del vettore rosso e, in tutte e trele figure, il vertice opposto a O di questo parallelepipedo.

Abbiamo quindi che:

La somma di vettori e associativa, cioe, per ogni scelta dei vettori u, v, w,si ha che (u+ v) + w = u+ (v + w).

Come conseguenza, se u1, u2, . . . , un sono n vettori, dove n e un qualunquenumero intero maggiore o uguale a tre, allora la somma

u1 + u2 + · · ·+ un

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e ben definita ed e il vettore che si ottiene associando gli addendi in unoqualunque dei modi possibili.

A questo punto possiamo tornare al nostro problema: fissati tre vettorinon complanari, u, v e w, vogliamo mostrare che e possibile esprimere tuttii vettori dello spazio come combinazione lineare di quelli, cioe come sommaαu+ β v + γ w.

Quindi dato un generico vettore−→OP spieghiamo come decomporlo esplici-

tamente in una combinazione lineare dei tre vettori fissati. La costruzionegeometrica dei vettori αu, β v, γ w tali che

−→OP = αu+ β v + γ w,

illustrata nella figura seguente, e questa: i vettori dati individuano natural-mente tre piani: πu,v, piano generato da u e v, πu,w, generato da u e w, eπv,w, generato da v e w; consideriamo il piano parallelo a πv,w e passanteper il punto P ; questo interseca la retta ru in un punto Pu; allora il vettore−−→OPu e di tipo αu; in modo analogo, β v e γ w si costruiscono considerandole intersezioni del piano parallelo a πu,w e passante per P con la retta rv e

l’intersezione del piano parallelo a πu,v e passante per P con la retta rw. E

chiaro che la decomposizione di−→OP come combinazione lineare di u, v e w e

unica, cioe gli scalari α, β e γ sono unici.

Pu

Pv

Pw

O u

v

w

P

E chiaro che nella situazione della figura precedente si ha

−→OP = αu+ β v + γ w

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con α < 0, β > 0, γ > 0. La situazione generale e questa: i tre piani πu,v,πu,w e πv,w ripartiscono lo spazio in otto regioni (ottanti), che corrispondonoalle otto scelte possibili dei segni dei coefficienti α, β, e γ.

Riassumiamo le nostre conclusioni.

Teorema. Se u, v e w sono tre vettori non giacenti sullo stesso piano, allorale combinazioni lineari di u, v e w danno tutti i vettori dello spazio. Inoltre,ogni vettore dello spazio si scrive in modo unico come combinazione linearedi u, v e w.

Questo teorema e il fondamento delle nozioni di sistema di riferimento e disistema di coordinate cartesiane che in parte vi e gia familiare. Le definizionisono queste:

Un sistema di riferimento nello spazio e una quadrupla (O, u, v, w),dove O e un punto fissato e u, v e w sono tre vettori applicati in O e noncomplanari.

Se (O, u, v, w) e un sistema di riferimento e z e un arbitrario vettore appli-cato in O, le coordinate di z rispetto al sistema di riferimento consideratosono, per definizione, gli unici scalari α, β e γ tali che z = αu + β v + γ w.Piu precisamente, il vettore delle coordinate di z rispetto a (O, u, v, w) ela tripla ordinata (α, β, γ). (Qui vettore non significa piu vettore geometrico,ma sequenza ordinata di numeri reali)

Se (O, u, v, w) e un sistema di riferimento e P e un arbitrario punto dellospazio, le coordinate di P rispetto al sistema di riferimento considerato

sono, per definizione, le coordinate del vettore−→OP .

Esercizio - Esempio. Fissato il sistema di riferimento (O, u, v, w), qualisono le coordinate dei vettori u, v e w? Quali sono le coordinate del puntoO?

Risposta. Basta applicare la definizione: si ha che u = 1u + 0 v + 0w,quindi u ha coordinate (1, 0, 0); analogamente v ha coordinate (0, 1, 0) e w

(0, 0, 1). Inoltre, visto che−→OO = 0u + 0 v + 0w, il punto O ha coordinate

(0, 0, 0).

Notazione. Spesso preferiamo scrivere le coordinate come colonne di nu-meri invece che nella notazione “in riga” usata sopra, ad esempio scriveremo1

00

invece di (1, 0, 0).

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Denotiamo con R3 (leggi “erre tre”) l’insieme di tutte le triple ordinatedi numeri reali.

Dunque, fissato un sistema di riferimento (O, u, v, w), abbiamo le cor-rispondenze biunivoche

R3 {vettori applicati in O}

{punti dello spazio}

Se−→OP si decompone come αu+βv+γw, esplicitamente le corrispondenze

sono:

(α, β, γ)−→OP

P

Anche le sequenze ordinate di numeri reali sono chiamate usualmente vet-tori (precisamente vettori “reali” o “di numeri reali”); in questa terminologia,gli elementi di R3 sono i “vettori reali a tre componenti”. Su R3 sono definiteun’operazione di somma e un’operazione di prodotto per scalari:

Somma. Per ogni a, b, c, a′, b′, c′ in Rabc

+

a′b′c′

=def

a+ a′

b+ b′

c+ c′

Prodotto per uno scalare. Per ogni a, b, c e λ in R poniamo

λ

abc

=def

λaλbλc

Dunque la freccia orizzontale nel diagramma di corrispondenze biunivoche

precedente collega due insiemi che hanno entrambi una propria algebra dioperazioni, operazioni ovviamente diverse nel significato, ma formalmentesimili. Il fatto importante, che sta alla base della geometria analitica chestudieremo, e che questa corrispondenza biunivoca rispetta le operazioni inquesto senso:

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se z ↔

abc

e z′ ↔

a′b′c′

, allora (z + z′)↔

a+ a′

b+ b′

c+ c′

cioe le coordinate della somma sono la somma delle coordinate e, analoga-

mente,

se z ↔

abc

e λ ∈ R, allora λz ↔

λaλbλc

E importante capire che le due asserzioni precedenti sono enunciati di

geometria; piu che scriverne una dimostrazione completa cercheremo di ana-lizzarne il significato. Cominciamo con la somma. La nostra ipotesi e che

z = au+ bv + cw e z = a′u+ b′v + c′w,

quindi e immediato che

z + z′ = au+ bv + cw + a′u+ b′v + c′w.

Invece dire che z + z′ ha coordinate (a+ a′, b+ b′, c+ c′) vuol dire che

z + z′ = (a+ a′)u+ (b+ b′)v + (c+ c′)w.

Vediamo come si puo passare dalla prima alla seconda decomposizione diz+ z′. Per prima cosa possiamo commutare e associare gli addendi in questomodo:

au+ bv + cw + a′u+ b′v + c′w = (au+ a′u) + (bv + b′v) + (cw + c′w);

ora servirebbe che (au+ a′u) = (a+ a′)u e l’analoga identita per gli altridue addendi tra parentesi tonde, cioe quello che serve e questa proprietadistributiva: per ogni coppia di scalari α e α′ e per ogni vettore x

(α + α′)x = αx+ α′x

Questo adesso e un enunciato geometrico abbastanza chiaro, che illustriamocon il disegno seguente:

O X AA′ S

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Qui abbiamo disegnato il caso speciale in cui α e α′ sono due numeri interi,precisamente

−→OA = 5

−−→OX;

−−→OA′ = −2

−−→OX e

−→OS =

−→OA+

−−→OA′ = 3

−−→OX

(ma naturalmente l’enunciato vale per α e α′ reali qualunque). Il senso eche la somma di due vettori allineati si ottiene facendo la somma algebricadelle lunghezze, cioe: se prendiamo la lunghezza ‖u‖ come unita di misura, inumeri α e α′ non sono altro che le lunghezze dei vettori αu e α′u prese conil segno + o − a seconda che il verso sia concorde o meno con quello di u; lanostra regola disributiva dice che la lunghezza col segno del vettore αu+α′ue la somma α+α′. Questo fatto segue direttamente dalla regola di addizionedei vettori.

Quindi possiamo concludere che si ha z+z′ = (a+a′)u+(b+b′)v+(c+c′)w.

Abbiamo appena visto che vale una regola distributiva del prodotto rispettoalla somma. In realta, nel nostro contesto di regole distributive possiamoscriverne due:

(α + α′)x = αx+ α′ x con α, α′ ∈ R, x vettore; (1)

α (x+ x′) = αx+ αx′ con α ∈ R, x, x′ vettori (2)

La prima l’abbiamo appena analizzata. Vale anche la seconda. Per spiegarecosa vuol dire facciamo ancora un disegno illustrativo nel caso molto specialein cui α e un intero positivo, per esempio disegniamo il caso α = 2.

O X

X ′ S

Qui intendiamo x =−−→OX, x′ =

−−→OX ′ e quindi x+ x′ =

−→OS. La proprieta (2),

in questo caso speciale dice che raddoppiando la lunghezza dei lati raddoppiaanche la lunghezza della diagonale del parallelogramma: questo si vede im-mediatamente con un argomento di similitudine di triangoli e ovviamentevale per ogni numero reale positivo α, cioe, scalando i lati di un fattore α,anche la diagonale risulta scalata dello stesso fattore. E facile estendere ilrisultato anche al caso α ≤ 0.

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Un’altra proprieta che vale per il prodotto scalari-vettori e questa asso-ciativita: per ogni α e α′ R e ogni vettore x,

(αα′)x = α (α′ x).

Provate a pensare al significato geometrico di questa regola, aiutandovi conqualche esempio.

Riprendiamo “il filo del discorso”. Eravamo partiti dalla compatibilitacon le operazioni della nostra corrispondenza tra vettori geometrici e vet-tori di R3 e per il momento abbiamo chiarito il caso della somma. Adessopossiamo chiarire anche il caso del prodotto per scalari. Ricordiamoci chevogliamo la cosa seguente:

se z ↔

abc

e λ ∈ R, allora λz ↔

λaλbλc

il che vuol dire:

se z = a u+ b v + cw, allora λz = (λa)u+ (λb)v + (λc)w.

Ora, il lavoro “geometrico” che occorre l’abbiamo gia fatto e basta sfruttarele regole algebriche che abbiamo stabilito. Infatti

λz = λ(a u+ b v + cw) =

[per la seconda proprieta distributiva che abbiamo scritto]

= λ(a u) + λ(b v) + λ(cw) =

[per la proprieta associativa che abbiamo scritto]

= (λa)u+ (λb)v + (λc)w

che e quello che vogliamo.

Le operazioni sui vettori di R3 hanno tutte le proprieta analoghe a quelleche abbiamo studiato per i vettori geometrici: • commutativita e associa-tivita della somma; • proprieta distributive del prodotto rispetto alla somma;• proprieta associativa dei prodotti scalare × scalare × vettore. Nel caso deivettori reali queste proprieta sono quasi evidenti: seguono direttamente dalleben note proprieta delle operazioni sui numeri reali, dato che le operazionisui vettori sono definite componente per componente.

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Equazioni di rette e piani nello spazio

Il lavoro fatto finora ci permette di affrontare i problemi di geometriaanalitica del tipo descritto nella prima pagina di questa dispensa, precisa-mente: fornire una descrizione algebrica di punti, rette e piani nello spazioche sia utile per fare dei calcoli su questi oggetti, generalizzando le tecnicheche gia conosciamo per il caso di punti e rette nel piano.

Supponiamo fissato un sistema di riferimento nello spazio (O, i, j,k). Al-lora ogni vettore applicato in O e rappresentato da un vettore di R3. Laperfetta corrispondenza tra vettori geometrici con le loro operazioni e vettorireali con le loro operazioni ci permette di identificare l’insieme dei vettoriapplicati in O con R3, dal punto di vista dei calcoli. Per quanto riguardala notazione, se v e il vettore geometrico di coordinate (a, b, c), scriveremo

direttamente v =

abc

.

Naturalmente una tale identificazione non ha senso per i punti dellospazio, visto che sui punti non abbiamo definito alcuna operazione, quindiper un punto P non useremo mai una scrittura del tipo “P = un certovettore di numeri reali, diciamo (a, b, c)”; scriveremo sempre per esteso “Ppunto di coordinate (a, b, c)”; o al massimo abbrevieremo questa scrittura in

P :

abc

. La notazione ammessa e, invece,−→OP =

abc

. Prima di procedere

aggiungiamo qualche altra notazione.

Notazioni. Se v e un vettore (geometrico o algebrico) “−v” vuol direper definizione “−1 v”. Geometricamente −v si ottiene riflettendo v rispettoall’origine lungo la sua direzione; algebricamente −v si ottiene cambiando ilsegno delle sue coordinate. Inoltre, se w e un altro vettore, “w−v” vuol dire,

per definizione, “w+(−v)”. Il vettore nullo, cioe−→OO, di solito viene indicato

con 0; algebricamente e il vettore con tutte e tre le componenti uguali a 0.Chiaramente per ogni vettore v si ha che v − v = 0 e che 0 v = 0..

Il nostro prossimo obiettivo e spiegare come si descrivono le rette e i pianidello spazio per mezzo di equazioni algebriche. La maggior parte di voi sa cheuna retta nel piano e descritta da un’equazione di tipo ax+ by = c. Questovuol dire che un generico punto X dello piano, di coordinate (x, y), sta suquella retta se e solo se x e y soddisfano quella equazione. Un’equazionedi questo tipo si chiama un’equazione cartesiana della retta. Anticipiamole conclusioni alle quali arriveremo per evitare che nascano idee sbagliate:

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se generalizziamo al caso tridimensionale l’equazione cartesiana precedenteotteniamo un’equazione di tipo:

ax+ by + cz = d.

Un’equazione cartesiana di questo tipo non descrive una retta, bensı un pia-no, nello spazio. La generalizzazione corretta della situazione bidimensionalee questa: una singola equazione lineare descrive un oggetto che ha una di-mensione in meno dell’ambiente in cui lavoriamo. Una retta dello spazio sipuo ottenere intersecando due piani, e quindi algebricamente una retta potraessere descritta da un sistema di due equazioni lineari. Prima di arrivare adescrivere rette e piani mediante equazioni cartesiane, studiamo un altro tipodi descrizione e cioe la descrizione per mezzo di equazioni parametriche.

Primo problema. Dato un vettore non nullo v, descrivere la retta rv

che contiene v.Poiche v e applicato in O, rv passa per O. Chiaramente un punto X

appartiene a rv se e solo se il vettore−−→OX giace su rv.

O vrv X

Abbiamo imparato che i vettori che giacciono su rv sono esattamente tuttiquelli della forma α v per ogni α in R, quindi: X ∈ rv se e solo se esiste unnumero reale α tale che −−→

OX = α v

Complichiamo di poco la situazione.

Secondo problema. Dati un vettore non nullo v e un punto P , descri-vere la retta r parallela a rv e passante per P .

O v

Pr X

E facile vedere che un punto X giace sulla retta r se e solo se il vettore−−→OX si

ottiene come somma vettoriale di−→OP piu un vettore che giace su rv, quindi

se e solo se: −−→OX =

−→OP + αv,

per un certo α ∈ R.

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Le equazioni−−→OX = α v e

−−→OX =

−→OP + αv si chiamano equazioni

parametriche delle rette rv e r; l’indeterminata reale α si chiama parametro(reale). Queste sono equazioni vettoriali; se le scriviamo coordinata per co-ordinata le traduciamo in sistemi di tre equazioni scalari, come vedremo inconcreto nel prossimo esempio.

Esempio. Sia v =

102

e sia P il punto di coordinate

−1−2−3

.

Se poniamo−−→OX =

xyz

e usiamo la lettera “t”, invece di α, l’equazione

parametrica vettoriale della retta passante per P e parallela a v e questa:xyz

=

−1−2−3

+ t

102

Se scriviamo l’equazione precedente componente per componente, otteniamoun sistema di tre equazioni:

x = −1 + ty = −2z = −3 + 2t

Questo e un sistema di equazioni parametriche della retta considerata.

Ora possiamo facilmente risolvere anche questo problema: determinareun sistema di equazioni parametriche della retta passante per due punti dati.Facciamo direttamente un esempio.

Esercizio – Esempio. Siano P e Q i punti di coordinate

112

e

231

,

rispettivamente. Scrivere le equazioni parametriche della retta passante perP e Q.

Nella notazione della figura seguente, la retta da studiare deve passare

per P e essere parallela al vettore−−→OQ′

O

P

Q′

Q

16

dove OQ′ e determinato dalla condizione:

−−→OQ′ +

−→OP =

−→OQ, e quindi

−−→OQ′ =

−→OQ−

−→OP =

231

−1

12

=

12−1

.

Dunque l’equazione parametrica vettoriale e:

−−→OX =

−→OP + t(

−→OQ−

−→OP ),

cioe xyz

=

112

+ t

12−1

,

che da il sistema di equazioni parametrichex = 1 + ty = 1 + 2tz = 2− t

Dalle equazioni parametriche e molto facile stabilire se un certo puntoappartiene o no alla retta. Ad esempio risolviamo questo problema:

Esercizio – Esempio. Stabilire se i due punti di coordinate

0−1

3

e232

appartengono alla retta dell’esempio precedente.

Il problema e molto semplice da risolvere: basta sostituire le coordinatedei punti dati a x, y, z e vedere se esiste un t che soddisfa il sistema diequazioni ottenuto. Per il primo punto si ottiene

0 = 1 + t−1 = 1 + 2t3 = 2− t

ed e chiaro che t = −1 soddisfa simultaneamente le tre equazioni, per cui ilpunto sta sulla retta. Invece per il secondo punto si ottiene

2 = 1 + t3 = 1 + 2t2 = 2− t

17

ed e chiaro che il sistema non e risolubile, perche la prima equazione ha come(unica) soluzione t = 1, che ovviamente non soddisfa la terza equazione,quindi il punto considerato non appartiene alla retta.

Un altro problema facile da risolvere e determinare l’intersezione di duerette descritte mediante equzioni parametriche. Prima di affrontare algebri-camente il problema ragioniamo sulla geometria. Nel piano due rette sonoo parallele o incidenti; nello spazio sappiamo che oltre a queste possibilitace n’e un’altra, cioe: le rette possono essere sghembe. Se non avete un’ideaintuitiva di come sono disposte due rette sghembe, pensate prima di tuttoa due rette incidenti poste, ad esempio, su un piano orizzontale; quindi im-maginate di sollevare dal piano una delle due rette: in questo modo avretedue rette sghembe. E chiaro che la direzione di una retta descritta median-te equazioni parametriche e data dal vettore dei coefficienti del parametro,

ad esempio, la retta dell’esempio precedente e parallela al vettore

12−1

.

Quindi dalle equazioni parametriche si vede subito se due rette sono paral-lele. Consideriamo, ad esempio, le due rette di equazioni parametriche

x = 2 + ty = 3 + 2tz = −t

e

x = 3− 3ty = 5− 6tz = −1 + 3t

Queste sono entrambe parallele a quella dell’esempio precedente, perche la

prima ha la direzione di

12−1

, che e il vettore scritto sopra, l’altra ha la

direzione di

−3−6

3

, che e parallelo al vettore precedente visto che si ottiene

da esso moltiplicandolo per −3.Quello che non si vede con chiarezza e se due rette parallele sono la stessa

retta oppure no, ma questo lo vedremo tra poco. Vediamo prima come siaffronta in generale il problema dell’intersezione, direttamente su un esempio.

Esercizio – Esempio. Calcolare le intersezioni r ∩ r′ e r ∩ r′′ dove r, r′

e r′′ sono le rette di equazioni parametrichex = 2 + ty = 3 + tz = −t

,

x = 2− ty = 1 + tz = 2 + 2t

e

x = 2− ty = 1 + tz = −1 + 2t

, rispettivamente.

18

Per studiare r ∩ r′ ragioniamo cosı: se P e un punto di r, allora P ha

coordinate

2 + t3 + t−t

, per un certo t reale; se P appartiene anche a r′, le sue

coordinate si potranno scrivere anche nella forma

2− s1 + s2 + 2s

, per un certo s

reale; quindi devono esistere un s e un t reali tali che2 + t3 + t−t

=

2− s1 + s2 + 2s

, cioe

t+ s = 0t− s = −2−t− 2s = 2

Vediamo che le prime due equazioni determinano s e t, precisamente da essesi ottiene t = −1 e s = 1; questi valori non soddisfano la terza equazione(sostituendo otteniamo −1 = 2), quindi il sistema non e risolubile. Questovuol dire che r ∩ r′ = ∅. Se osserviamo in piu che le due rette non sonoparallele, possiamo concludere che r e r′ sono sghembe.

Quando consideriamo r ∩ r′′ otteniamo invece2 + t3 + t−t

=

2− s1 + s−1 + 2s

, cioe

t+ s = 0t− s = −2−t− 2s = −1

,

sistema che differisce dal precedente solo nella terza equazione. In questocaso il sistema e risolubile, perche i valori t = −1 e s = 1 ricavati dalleprime due equazioni soddisfano anche la terza equazione, e t = −1, s = 1ne e l’unica soluzione. Questo vuol dire che r e r′′ si intersecano in unicopunto, precisamente il punto che si ottiene dalle equazioni di r per t = −1,o equivalentemente dalle equazioni di r′′ per s = 1. Dunque r ∩ r′′ = {P},dove P e il punto di coordinate:2 + (−1)

3 + (−1)−(−1)

=

2− 11 + 1−1 + 2

=

121

Due rette non parallele o sono sghembe e dunque hanno intersezione

vuota, o si intersecano in un unico punto. Due rette parallele invece, osono disgiunte, cioe hanno intersezione vuota, o coincidono, e in questo casol’intersezione e la retta stessa, dunque consiste di infiniti punti.

Come abbiamo premesso, in generale non e evidente dalle equazioni para-metriche se due rette parallele sono o non sono la stessa retta. Lo vediamonel prossimo esempio.

19

Esercizio – Esempio. Calcolare le intersezioni r ∩ r′ e r ∩ r′′ dove r, r′

e r′′ sono le rette di equazioni parametrichex = 2 + ty = 3 + 2tz = −t

,

x = 3− 3ty = 5− 6tz = −1 + 3t

e

x = 2 + ty = 3 + 2tz = 1− t

, rispettivamente.

Consideriamo prima r ∩ r′.

Da

2 + t3 + 2t−t

=

3− 3s5− 6s−1 + 3s

otteniamo il sistema

t+ 3s = 12t+ 6s = 2−t− 3s = −1

Le tre equazioni di questo sistema sono tra loro equivalenti, visto che sonoognuna multipla delle altre. Quindi abbiamo in effetti un sistema di unasola equazione in s e t, dunque un sistema risolubile e con infinite soluzioni.Questo vuol dire che r = r′.

Per r ∩ r′′,

da

2 + t3 + 2t−t

=

2 + s3 + 2s1− s

otteniamo il sistema

t− s = 02t− 2s = 0−t+ s = 1

Questo e un sistema chiaramente non risolubile, perche la terza equazione eincompatibile con le precedenti, quindi r ∩ r′′ = ∅.

Vediamo ora come si ottengono le equazioni parametriche per un piano.Sappiamo che se P , Q e R sono tre punti non allineati, allora esiste un pianoche contiene P , Q e R e questo piano e unico. Quello che vedremo e comescrivere delle equazioni parametriche del piano passante per tre punti nonallineati di cui conosciamo le coordinate.

Prima di fare questo impariamo come controllare che tre punti siano nonallineati. Aiutiamoci con un disegno:

O

P Q R

Q′ R′ O

P

Q

R

Q′

R′

20

In entrambe le figure abbiamo che

−−→OQ′ =

−→OQ−

−→OP,

−−→OR′ =

−→OR−

−→OP

e quindi−−→OQ′ e parallelo al segmento PQ e

−−→OR′ e parallelo al segmento PR.

Segue che P , Q, e R sono allineati se e solo se i vettori−−→OQ′ e

−−→OR′ stanno

sulla stessa retta.Quindi possiamo concludere che: P , Q, e R sono allineati se e solo se esiste

un numero reale t tale che−−→OQ′ = t

−−→OR′, cioe

−→OQ−

−→OP = t(

−→OR−

−→OP ).

Esercizio – Esempio. Siano P , Q, R, S i punti di coordinate:

P :

110

, Q :

20−1

, R :

−132

, S :

202

.

(1) Stabilire se P , Q e R sono allineati; (2) Stabilire se P , Q e S sonoallineati.

(1) Abbiamo

−→OQ−

−→OP =

20−1

−1

10

=

1−1−1

e−→OR−

−→OP =

−132

−1

10

=

−222

,

quindi −→OR−

−→OP = −2 (

−→OQ−

−→OP )

e percio P , Q e R sono allineati.

(2) In questo caso dobbiamo confrontare

−→OQ−

−→OP =

20−1

−1

10

=

1−1−1

e−→OS−

−→OP =

202

−1

10

=

1−1

2

.

I due vettori scritti sopra non sono proporzionali, perche il rapporto trale coordinate di uguale posizione non e costante (il rapporto tra la terza

coordinata di−→OS −

−→OP e la terza coordinata di

−→OQ −

−→OP e −2, mentre

l’analogo rapporto relativo alle prime e seconde coordinate e 1). Segue cheP , Q, e S non sono allineati.

21

Ora supponiamo di avere tre punti P , Q e R non allineati e cerchiamo didi descrivere il piano passante per essi.

O

P

Q

R

Q′

R′

π

πO

Chiamiamo π il piano che vogliamo descrivere. Cominciamo prima con ildescrivere il piano parallelo a quello che ci interessa e passante per l’origine:chiamiamolo πO. Nella notazione della figura precedente, πO e, per costruzione,

il piano per O, Q′ e R′, quindi e il piano generato dai vettori−−→OQ′ e

−−→OR′, cioe

l’insieme delle combinazioni lineari

s−−→OQ′ + t

−−→OR′ = s (

−→OQ−

−→OP ) + t (

−→OR−

−→OP ).

A questo punto ci basta capire che, se il punto X giace su π, allora−−→OX si

decompone come−→OP piu un vettore che giace su πO, cioe

−−→OX =

−→OP + s (

−→OQ−

−→OP ) + t (

−→OR−

−→OP ), (∗)

e, viceversa, tutti gli X con questa proprieta stanno su π. Quindi l’equazione(∗) scritta sopra e un’equazione parametrica di π, scritta in forma vettoriale.Questa da un sistema di tre equazioni parametriche sulle coordinate (x, y, z)di X.

Esercizio – Esempio. Scrivere un sistema di equazioni parametrichedel piano passante per i punti P , Q, S dell’esempio precedente.

Abbiamo

P :

110

, Q :

20−1

, S :

202

,

quindi

−→OQ−

−→OP =

20−1

−1

10

=

1−1−1

e−→OS−

−→OP =

202

−1

10

=

1−1

2

.

22

L’equazione (∗) si traduce in:xyz

=

110

+ s

1−1−1

+ t

1−1

2

,

che da il sistema di equazioni parametrichex = 1 + s+ ty = 1− s− tz = −s+ 2t

Stabilire l’appartenenza di un punto dato a un piano descritto per mezzodi equazioni parametriche, come nel caso analogo di una retta, consiste nellostudiare la risolubilta di un sistema lineare. Lo vediamo nel prossimo esem-pio.

Esercizio – Esempio. Stabilire se i due punti di coordinate101

e

111

appartengono al piano di equazioni parametriche

x = 1 + s+ ty = 1− s− tz = −s+ 2t

Cominciamo col primo punto: questo sta sul piano se e solo se possiamotrovare un s e un t reali tali che

1 = 1 + s+ t0 = 1− s− t1 = −s+ 2t

cioe

s+ t = 0−s− t = −1−s+ 2t = 1

Quello che abbiamo ottenuto e un sistema non risolubile, perche le primedue equazioni sono chiaramente incompatibili, quindi il punto consideratonon appartiene al piano.

Per il secondo punto il sistema in s e t da studiare e1 = 1 + s+ t1 = 1− s− t1 = −s+ 2t

cioe

s+ t = 0−s− t = 0−s+ 2t = 1

23

Qui la prima e la seconda equazione sono equivalenti; il sistema e risolubile(ha soluzione, unica, t = 1

3, s = −1

3) e quindi il punto considerato sta sul

piano.

Ora possiamo affrontare il problema della descrizione di rette e piani nellospazio mediante equazioni cartesiane. Quello che vorremmo e un’equazionealgebrica, o un sistema di equazioni algebriche, nelle incognite (x, y, z), ilcui insieme delle soluzioni corrisponda esattamente ai punti del piano o dellaretta che vogliamo descrivere. Precisamente questa equazione o sistema diequazioni dovrebbe avere la proprieta che: (x0, y0, z0) e una sua soluzione see solo se il punto di coordinate (x0, y0, z0) appartiene al piano o alla retta chevogliamo descrivere.

Pensiamo prima al caso di una retta: una retta e nota quando sono notialmeno due suoi punti distinti; noti due punti distinti, siamo in grado discrivere un sistema di equazioni parametriche della retta passante per essi.Come abbiamo visto nell’esempio a pagina 17, dato il punto P di coordinate(x0, y0, z0), stabilire l’appartenenza di P alla retta equivale a studiare la riso-lubilita del sistema in t che si ottiene dalle equazioni parametriche sostituendoa x, y, z i numeri reali x0, y0, z0. La situazione generale e questa: una delletre equazioni parametriche in t determina il valore di t; ma questo valore, ingenerale, non soddisfa anche le altre due equazioni, le soddisfa se e solo seil punto considerato sta sulla retta. Ripetiamo il calcolo fatto a pagina 17lasciando indeterminate le coordinate (x0, y0, z0):

da

x0 = 1 + ty0 = 1 + 2tz0 = 2− t

otteniamo

t = x0 − 12t = y0 − 1−t = z0 − 2

(sistema nell’incognita t);

dalla prima equazione si trova il valore t = x0 − 1 che, sostituito nelle altredue equazioni, da:{

2(x0 − 1) = y0 − 1−(x0 − 1) = z0 − 2

equivalente a

{2x0 − y0 = 1x0 + z0 = 3

La conclusione e che P appartiene alla retta se e solo se le sue coordinatesoddisfano l’ultimo sistema trovato. Liberiamoci dell’indice “0” che abbiamousato solo per chiarire il procedimento: possiamo conlcudere che il punto dicoordinate x, y, z sta sulla retta se e solo se{

2x− y = 1x+ z = 3

e quindi il sistema scritto e un sistema di equazioni cartesiane della rettaconsiderata.

24

Dalle equazioni cartesiane il controllo dell’appartenenza di un punto allaretta e immediato. Per i punti dell’esempio di pagina 17, di coordinate(0,−1, 3) e (2, 3, 2), rispettivamente, sostituendo le coordinate nelle equazionicartesiane otteniamo{

2 · 0− (−1) = 12 + 1 = 3

e

{2 · 2− 3 = 12 + 2 = 3

il che conferma che il primo punto sta sulla retta, perche le sue coordinatesoddisfano le equazioni cartesiane, e il secondo no, perche le sue coordinatenon soddisfano la seconda equazione cartesiana. La retta che abbiamo ap-pena considerato l’avevamo definita (pag. 16) come la retta passante per ipunti di coordinate (1, 1, 2) e (2, 3, 1): per esercizio, verificate che, come deveessere, le coordinate di questi punti soddisfano le equazioni cartesiane.

Pensiamo ora al caso di un piano. Vediamo come ottenere, in questo caso,l’equazione cartesiana a partire da quelle parametriche. Torniamo all’esempiodi pagina 23, quindi al piano di equazioni parametriche

x = 1 + s+ ty = 1− s− tz = −s+ 2t

Qui, come abbiamo visto negli esempi trattati, quando sostituiamo a x, y, zle coordinate reali di un punto dello spazio, otteniamo il sistema in s e t

s+ t = x− 1−s− t = y − 1−s+ 2t = z

Ora, la terza equazione e insieme una sola delle prime due permettono dideterminare i valori di s e t. Ma questi valori, in generale, non soddisfanoanche l’equazione rimanente. Ad esempio e chiaro che il sistema formatodalla seconda e terza equazione e risolubile; ma le soluzioni che troveremosoddisferanno la prima equazione se e solo se x− 1 = −(y − 1), cioe

x+ y = 2

Quella scritta sopra e quindi un’equazione cartesiana del piano.

Notiamo che conoscere l’equazione cartesiana rende molto piu semplicestabilire se un punto appartiene o no al piano, ad esempio se consideriamonuovamente il problema di pagina 23, vediamo subito che il punto di co-ordinate (1, 0, 1) non sta sul piano perche sostituendo queste coordinate

25

nell’equazione cartesiana troviamo 1 + 0 = 2, mentre quello di coordinate(1, 1, 1) sta sul piano perche in questo caso otteniamo 1 + 1 = 2.

Quello che abbiamo fatto e, nella la terminologia classica, ottenere leequazioni cartesiane da quelle parametriche eliminando i parametri. Il metodoche abbiamo usato si riassume cosı:(a) nel caso della retta scegliamo una delle equazioni parametriche per de-terminare il valore dell’unico parametro presente (in funzione di x, y, z,); im-poniamo la condizione che le altre due equazioni siano soddisfatte dal valoretrovato: questa condizione fornisce un sistema di due equazioni cartesianedella retta.(b) nel caso del piano scegliamo due delle equazioni parametriche per deter-minare il valore dei due parametri presenti (in funzione di x, y, z,); imponia-mo la condizione che l’equazione rimanente sia soddisfatta dai valori trovati:questa condizione fornisce un’equazione cartesiana del piano.

Il procedimento descritto sopra e generale, nel senso che e sempre possibilescegliere due delle tre equazioni parametriche di un piano che permettano dideterminare s e t in funzione di x, y, z. Questo segue dalla geometria delproblema e sara chiaro piu avanti, quando avremo studiato la teoria deisistemi lineari. Per il momento ricordiamo che un sistema lineare di due

equazioni in due incognite

{as+ bt = ca′s+ b′t = c′

determina s e t (cioe ha soluzione

unica) se e solo se la differenza dei prodotti incrociati ab′ − ba′ e diversa da0. Questa condizione equivale a questa: as+ bt e a′s+ b′t non differisconoper un fattore costante. Nell’esempio precedente, le prime due equazioniparametriche non determinano s e t perche s+ t e −s− t differiscono per ilfattore −1. Invece, la terza equazione piu una delle prime due determinanos e t in modo unico.

Facciamo qualche altro esempio.

Esercizio - Esempio. Determinare un sistema di equazioni cartesianeper le rette r e r′ e per il piano π descritti dai seguenti sistemi di equazioniparametriche:

r :

x = 2y = 2s+ 3z = 2

; r′ :

x = 2s− 1y = 2z = −s+ 1

; π :

x = s+ t− 1y = −1z = 2s− t+ 1

26

Per r: la seconda equazione determina t; ovviamente, qualunque siaquesto valore le altre due equazioni sono soddisfatte se e solo se{

x = 2z = 2

,

quindi non occorre alcun calcolo, questo e un sistema di equazioni cartesianedi r.

Per r′: la terza equazione da s = 1 − z; sostituendo nelle altre si trova:x = 2(1− z)− 1 = −2z + 1 e ancora y = 2, quindi{

x+ 2z = 1y = 2

e un sistema di equazioni cartesiane di r′.Per π: la prima e la terza equazione determinano s e t, e quali che siamo

questi valori la seconda equazione e soddisfatta se e solo se y = −1, quindi

y = −1

e l’equazione cartesiana di π.

Nel caso di un piano l’equazione cartesiana e unica a meno di fattoricostanti, questo e il motivo per cui diciamo l’equazione, con l’articolo deter-minativo.

Nel caso di una retta, invece i sistemi di equazioni cartesiane che de-scrivono la medesima retta sono essenzialmente infiniti. Per capire percheragioniamo sul fatto che ciascuna delle due equazioni cartesiane di una rettadescrive un piano, quindi il sistema delle due equazioni esprime la retta comeintersezione di questi due piani. Ma le coppie di piani che si intersecano inuna certa retta sono infinite.

Abbiamo visto come passare dalle equazioni parametriche a quelle carte-siane. Spieghiamo come fare il passaggio inverso. Dalle equazioni cartesianesi possono ottenere delle equazioni parametriche semplicemente risolvendo leequazioni cartesiane. Facciamo degli esempi.

Esercizio – Esempio. Calcolare un sistema di equazioni parametriche:(a) del piano di equazione cartesiana x+y−3z = 2; (b) del piano di equazionecartesiana x+ z = 2; (c) del piano di equazione cartesiana y = 0.

(a) Dobbiamo risolvere un sistema di una equazione in tre incognite.Ovviamente le soluzioni esistono e sono infinite (formano il piano considera-to). Dal punto di vista algebrico, possiamo, per esempio, attribuire valori a

27

piacere a y e z e determinare x in funzione di essi, cioe: per ogni s e t in R,abbiamo la soluzione y = s, z = t, e x = −s+ 3t+ 2. Questa scrittura dellesoluzioni ci da le equazioni parametriche del piano

x = −s+ 3t+ 2y = sz = t

Nei casi (b) e (c) si ragiona allo stesso modo, basta solo fare attenzione alfatto che abbiamo delle equazioni in x, y e z, anche se le tre incognite noncompaiono tutte esplicitamente. Nel caso (b) y puo variare liberamente in Re possiamo scegliere una tra x e z come secondo parametro, ad esempio unsistema di equazioni parametriche corretto e

x = sy = tz = −s+ 2

Nel caso (c) x e z sono libere e un un sistema di equazioni parametrichecorretto e

x = sy = 0z = t

Esercizio – Esempio. Calcolare un sistema di equazioni parametriche:

(a) per la retta di equazioni cartesiane

{x+ y − z = 1x− y = 0

; (b) per la retta di

equazioni cartesiane

{x+ y = 1x− y = 1

.

(a) Il sistema delle equazioni cartesiane ha infinite soluzioni (tutti i puntidella retta considerata). Dal punto di vista algebrico, possiamo, ad esempio,attribuire valori a piacere a y e determinare di conseguenza x e z. Otteniamoil sistema di equazioni parametriche

x = sy = sz = 2s− 1

(b) Qui lasciamo z libera, mentre x e y sono determinate. Otteniamo ilsistema di equazioni parametriche

x = 1y = 0z = s

28

Concludiamo con qualche considerazione sul calcolo dell’intersezione didue piani. Prima di tutto osserviamo che calcolare l’intersezione di due pia-ni per mezzo delle equazioni parametriche, con un procedimento analogo aquello usato per l’intersezione di due rette, costa risolvere tre equazioni inquattro incognite. Invece, se usiamo le equazioni cartesiane, ci riduciamo aun sistema di due equazioni in tre incognite: e piu economico.

Ora ragioniamo sulla geometria. Il primo fatto che osserviamo e che duepiani non paralleli hanno sempre come intersezione una retta. Invece duepiani paralleli o sono disgiunti, o sono coincidenti, cioe la loro intersezioneo e vuota o e un piano. Il secondo vantaggio di lavorare con le equazionicartesiane e che dalle equazioni cartesiane e evidente se due piani sono pa-ralleli o no, mentre in generale non e evidente dalle equazioni parametriche.La seguente affermazione ci sara chiara piu avanti: I due piani di equazionicartesiane ax + by + cz = d e a′x + b′y + c′z = d′ sono paralleli se e solo seesiste uno scalare non nullo λ ∈ R tale che a′x+ b′y+ c′z = λ(ax+ by+ cz).Se questo accade, allora i due piani coincidono se anche d′ = λd, altrimentisono disgiunti.

Ad esempio, delle tre equazioni x− y + z = 2,x

2− y

2+z

2= 1 e 2x−

2y+ 2z = 1, le prime due descrivono lo stesso piano, mentre la terza descriveun piano parallelo al precedente, ma disgiunto da esso.

Esercizio – Esempio. Calcolare l’intersezione dei due piani di equazionicartesiane

x− y + z = 2 e 2x+ y − z = 1

I due piani dati non sono paralleli, quindi la loro intersezione e una retta,precisamente e la retta descritta dal sistema di equazioni cartesiane{

x− y + z = 22x+ y − z = 1

Se vogliamo descrivere in modo piu concreto questa retta, possiamo risol-vere le equazioni cartesiane e ottenere una descrizione parametrica. Notiamoche la somma delle due equazioni da 3x = 3, quindi x e determinata; possiamofar variare liberamente o y o z per avere le soluzioni in forma parametrica,per esempio, se poniamo y = t, otteniamo

x = 1y = tz = 1 + t

29

Se analizziamo la descrizione parametrica in questo modo:xyz

=

1t

1 + t

=

1 + 0 · t0 + 1 · t1 + 1 · t

=

101

+ t

011

,

vediamo che la retta ottenuta e parallela al vettore (0, 1, 1) e passa per ilpunto di cordinate (1, 0, 1).

30