Precessione del perielio dellorbita diMercurioAlessandro Antini

SommarioVengono discusse le correzioni apportate dalla Relativit Generale alla descrizione delle orbitedelle particelle massive in un campo gravitazionale a simmetria sferica.

Introduzione

La meccanica Newtoniana predice con ottima precisione le orbite dei pianeti del Sistema Solare.In questo contesto una particella massiva descrive orbite ellittiche chiuse, il che vuol dire che ladistanza della particella dal centro del campo di forze, coincidente praticamente con il Sole, oscillarispetto ai due valori di minimo (perielio) e massimo (afelio) in modo tale che essa sia la stessa dopoun giro completo, ovvero una funzione periodica di periodo 2pi.

Questa descrizione sembra fallire nel caso dellorbita di Mercurio, che soggetta ad un evidenteeffetto di precessione. Questo vuol dire che il perielio dellorbita ruota attorno al Sole, e dunquelorbita non si chiude. A dire il vero tutti i pianeti del Sistema Solare sono soggetti a questo tipo dieffetto, principalmente a causa dellinfluenza gravitazionale degli altri pianeti, soprattuto i pi mas-sivi, e in piccola parte anche a causa della non perfetta sfericit del Sole. La meccanica Newtonianariesce a tener conto di questi fattori e correggere le previsioni, ma ancora una volta questo non siapplica allorbita di Mercurio. Per molto tempo infatti gli astronomi hanno provato a giustificaresenza successo le osservazioni, ipotizzando anche lesistenza di un nuovo pianeta battezzato comeVulcano, la cui influenza avrebbe in qualche modo giustificato le osservazioni. Questa discrepanza stata per sfruttata da Einstein per dare credito alla sua nuova teoria della gravitazione, proponendocome test il confronto dei dati sperimentali con le sue previsioni teoriche.

Moto in un campo gravitazionale a simmetria sferica

Per la descrizione delle orbite dei pianeti attorno al Sole possiamo certamente fare delle ovviesemplificazioni. Prima di tutto ci riconduciamo al moto di una particella massiva (il pianeta)allinterno del campo gravitazionale generato da un solo altro corpo (il Sole), ovviamente considerandoperfettamente trascurabile la perturbazione del campo che la particella introdurrebbe essendo essastessa dotata di massa. Inoltre si suppone che il Sole sia approssimabile con una distribuzione dimassa a simmetria centrale che non sia soggetta ad un moto che voli questa simmetria (ad esempiouna rotazione). In queste condizioni, lequazione di Einstein :

G R 12Rg =

8piG

c4T

si riduce nel vuoto a :

R = 0

1

la cui soluzione fornisce la pi semplice delle variet ammesse (spazio piatto a parte). La metrica diquesta variet, detta di Schwarzschild, da origine al seguente elemento di linea :

dl2 = gxx =

(1 2GM

c2r

)c2dt2 +

(1 2GM

c2r

)1dr2 + r2

(d2 + sin2d2

)che ponendo c = G = 1 e 2GMc2 = rs, dove rs detto raggio di Schwarzschild, diventa :

dl2 = (

1 rsr

)dt2 +

(1 rs

r

)1dr2 + r2

(d2 + sin2d2

)dove la coordinata r definita come 2pi1 volte la lunghezza della circonferenza di una sfera centrataattorno al corpo massivo, e dunque differisce dalla distanza effettiva della particella dal centro delcampo.

Per una particella massiva risulta valida la seguente relazione :

g xx = (

1 rsr

)t2 +

(1 rs

r

)1r2 + r2

(2

+ sin22)

= 1. (1a)

dove x = dx

d , tempo proprio.

Essendo il campo a simmetria sferica, certamente = pi2 una soluzione, e tutte le altre possonoessere ottenute per opportune rotazioni. Dunque ci stiamo limitando a considerare il moto di unaparticella sul piano equatoriale. Questo implica naturalmente = 0 e sin2 = 1, il che porta ad unaprima semplificazione della (1a) :

(

1 rsr

)t2 +

(1 rs

r

)1r2 + r22 = 1 (1b)

Possiamo sfruttare ulteriormente la simmetria del problema per poter trovare quantit conservate edunque ridurre i gradi di libert della particella.Dunque consideriamo lazione, che nel nostro caso si pu scrivere come :

S =

21

g xx d

Si pu mostrate che S = 0 equivalente a T ( 12g xx) = 0 e dunque le equazioni diEulero-Lagrange possono essere dedotte da :

d

d

(T

x

)= T

x.

Queste equazioni ci permettono immediatamente di riconoscere alcuni integrali primi. Infatti lametrica di Schwarzschild del tutto indipendente dalla coordinata temporale t, il che si traducenella staticit del campo, e dallangolo . Dunque :

T

x0=( 12g x

x)

x0= g0 x =

(1 rs

r

)t = costante

e

T

x3=( 12g x

x)

x3= g3 x = r

2 = costante.

2

Ora possiamo definire :

E = (

1 rsr

)t

e

J = r2

rispettivamente come lenergia e il momento angolare (per unit di massa).Questi due integrali primi riducono la relazione (1b) semplicemente a :

r2 + V (r) = E02

dove E20 = E2 1 e :

V (r) = rsr

Potenziale Kepleriano

+J2

r2Potenziale centrifugo

J2rsr3

correzione relativistica

il potenziale efficace, e il suo andamento al variare di r, per diversi valori di J , mostratoqualitativamente in Figura 1.

Figura 1: Potenziale Efficace per diversi valori del momento angolare

Esso si riconduce sostanzialmente allo stesso potenziale della meccanica Newtoniana se si trascuralultimo termine, che in effetti molto piccolo dato che rs 1c2 . Si pu notare che per r moltopiccoli landamento del potenziale "corretto" molto diverso da quello del potenziale "classico" : nelprimo caso infatti V (r) , mentre nel secondo V (r). Inoltre questo potenziale ammettedue punti stazionari :

V (r)

r= 0 rmin = J

2

rs

(1

1 3rs

2

J2

)

3

rstabile =J2

rs

(1 +

1 3rs

2

J2

) (2V (r)

r2> 0

)

rinstabile =J2

rs

(1

1 3rs

2

J2

) (2V (r)

r2< 0

)

che si riduce solamente a rISCO = 3rs quando J2 3rs2 e J2 > 3rs2, che corrisponde allorbitacircolare stabile pi piccola (Innermost Stable Circular Orbit).

Per ottenere lequazione della traiettoria r() possiamo porre r = drd =drd = r

Jr2 e

1r = u per

ottenere dalla (1b) :

(u)2 rsuJ2

+ u2 rsu3 = E02

J2

che derivata rispetto a fornisce :

u +(u rs

2J2

) oscillatore armonico

32rsu

2 termine perturbativo

= 0 (2)

Nei primi tre termini si pu riconoscere lequazione delloscillatore armonico, che ammette comesoluzione u0 = rs2J2 (1 + ecos) (dove e leccentricit dellorbita) che ci fornisce direttamente,tramite r0() = u10 , la traiettoria della particella prevista dalla meccanica Newtoniana, che comegi anticipato risulta ellittica e chiusa. Lultimo termine si assume come una piccola perturbazionedel potenziale che la effettiva responsabile della precessione dellorbita. Dunque una soluzioneapprossimata pu essere cercata nella forma u = u0 + u, che sostituita nella (2) fornisce :

u0 +

(u0 rs

2J2

)

0

= (u + u 3

2rsu0

2

)

dunque:

u + u 32rsu0

2

=u + u 38

r3sJ4

(1 + ecos)2

=u + u 38

r3sJ4(1 + 2ecos+ e2cos2

)=0

Questa equazione pu essere vista come lequazione di uno oscillatore armonico forzato, in cui laforzante consta di tre termini. Lunico termine che ha un effetto non trascurabile sulla correzzionedi u0 cos in quanto dotato della stessa frequenza delloscillatore. Dunque lequazione descriveun fenomeno di risonanza e la perturbazione, per quanto piccola, cresce con . La soluzione per usar dunque :

4

u ' 38

rs3

J4esin

da cui:

u =u0 + u

=rs

2J2(1 + ecos) +

3

8

rs3

J4esin

=rs

2J2

[1 + e

(cos+

3

4

rs2

J2sin

)]' rs

2J2

(1 + ecos

[

(1 3

4

rs2

J2

)])=rs

2J2(1 + ecos [ (1 )])

dove si sfruttata lassunzione che 1, con definito dallultima uguaglianza. Dunque lorbitadescritta solo approssimativamente unellisse, ma ancora periodica, sebbene di periodo diversoda 2pi ma uguale a :

2pi

1 ' 2pi (1 + )Questo vuol dire che se la particella si trova nella sua posizione di minima distanza dal centrodel campo, vi ritorner dopo aver compiuto una rotazione di 2pi(1 + ), e dunque quando intermini intuitivi lasse dellellisse ruotato di = 2pi. Da qui leffetto di precessione del perieliodellorbita. Nel caso di Mercurio, la cui orbita ha le caratteristiche opportune per rendere lacorrezione apprezzabile, questo risultato predice un valore = 42.98/secolo, in totale accordocon le osservazioni che indicano = (43.1 0.5) /secolo.

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