Corso di Laurea Scienze della Formazione Primaria N.O.Corso di Laurea Scienze della Formazione Primaria N.O.Corso di Laurea Scienze della Formazione Primaria N.O.Corso di Laurea Scienze della Formazione Primaria N.O.

A.A. 2013/2014A.A. 2013/2014A.A. 2013/2014A.A. 2013/2014

DIDATTICA DELLA MATEMATICA I DIDATTICA DELLA MATEMATICA I DIDATTICA DELLA MATEMATICA I DIDATTICA DELLA MATEMATICA I

Prof.ssa Anna Rosa Serpe

U.A. : COSTRUZIONE DELLA TABELLA DELLA MOLTIPLICAZIONE CON IL U.A. : COSTRUZIONE DELLA TABELLA DELLA MOLTIPLICAZIONE CON IL U.A. : COSTRUZIONE DELLA TABELLA DELLA MOLTIPLICAZIONE CON IL U.A. : COSTRUZIONE DELLA TABELLA DELLA MOLTIPLICAZIONE CON IL RILIEVO DI ALCUNE PROPRIETÁRILIEVO DI ALCUNE PROPRIETÁRILIEVO DI ALCUNE PROPRIETÁRILIEVO DI ALCUNE PROPRIETÁ

PISANO FRANCESCA 151018

PRINCIPATO ANTONELLA 151460

TURANO CLAUDIA 152326

Istituto Comprensivo Sant’Agostino Istituto Comprensivo Sant’Agostino Istituto Comprensivo Sant’Agostino Istituto Comprensivo Sant’Agostino –––– Rende centro (CS)Rende centro (CS)Rende centro (CS)Rende centro (CS)

Anno Scolastico 2013/2014Anno Scolastico 2013/2014Anno Scolastico 2013/2014Anno Scolastico 2013/2014

Classe:Classe:Classe:Classe: 3 primaria

Numero alunni:Numero alunni:Numero alunni:Numero alunni: 22 9 maschi e 13 femmine

Modalità di lavoro:Modalità di lavoro:Modalità di lavoro:Modalità di lavoro: singolo e/o a gruppi

Tempi:Tempi:Tempi:Tempi: 2° bimestre (dicembre - gennaio)

Spazi: Spazi: Spazi: Spazi: ---- interni alla scuola:interni alla scuola:interni alla scuola:interni alla scuola: aula e laboratorio d’informatica;

- esterni alla scuola:esterni alla scuola:esterni alla scuola:esterni alla scuola: attività ludiche nell’ambiente circostante.

Prerequisiti:Prerequisiti:Prerequisiti:Prerequisiti:

- conoscere il valore posizionale delle cifre: u, d, h, k; - conoscere l’operazione della moltiplicazione e rispettive tabelline; - eseguire moltiplicazioni con il moltiplicatore di una cifra.

Obiettivi trasversali:Obiettivi trasversali:Obiettivi trasversali:Obiettivi trasversali:

- Italiano:Italiano:Italiano:Italiano: “Marco sta giocando con i soldatini e li dispone a schiera: mette 5 soldatini nella prima schiera, 5 nella seconda schiera e 5 nella terza schiera. Quanti soldatini ci sono in tutto?” Per semplificare questo problema si possono introdurre i termini “ognuna/ogni/ciascuna” chiarendone bene il significato con gli alunni. In tal modo il problema verrà formulato nel seguente modo: “Marco sta giocando con i soldatini e li dispone in 3 schiere ciascuna composta da 5 soldatini. Quanti soldatini ci sono in tutto?”.

- Inglese:Inglese:Inglese:Inglese: L’insegnante può avviare una lezione sui termini utilizzati in inglese relativi ai segni delle quattro operazioni (plus, minus, for, divided by) e successivamente far esercitare oralmente i bambini sulle tabelline, per consolidare la conoscenza dei numeri in lingua straniera.

Obiettivi di apprendimento delle indicazioni per il curricolo:Obiettivi di apprendimento delle indicazioni per il curricolo:Obiettivi di apprendimento delle indicazioni per il curricolo:Obiettivi di apprendimento delle indicazioni per il curricolo:

- Eseguire mentalmente semplici operazioni con i numeri naturali e verbalizzare le procedure di calcolo.

- Conoscere con sicurezza le tabelline della moltiplicazione dei numeri fino a 10. Eseguire

le operazioni con i numeri naturali con gli algoritmi scritti usuali.

Obiettivi Formativi:Obiettivi Formativi:Obiettivi Formativi:Obiettivi Formativi:

• comprendere il concetto di moltiplicazione;

• costruire la tabella della moltiplicazione;

• individuare le proprietà della moltiplicazione;

• eseguire moltiplicazioni in riga ed in colonna.

Obiettivi Specifici:Obiettivi Specifici:Obiettivi Specifici:Obiettivi Specifici:

• utilizzare una terminologia specifica;

• comunicare velocemente i risultati delle tabelline;

• operare con i numeri in diversi contesti problematici;

• adottare strategie di calcolo per semplificare le operazioni.

Metodologia di lavoro:Metodologia di lavoro:Metodologia di lavoro:Metodologia di lavoro:

- cooperative learning;

- attività laboratoriali;

- lettura del libro di testo;

- discussione in classe;

- utilizzo di alcuni software;

L’unità di apprendimentoL’unità di apprendimentoL’unità di apprendimentoL’unità di apprendimento è statè statè statè stataaaa suddivissuddivissuddivissuddivisaaaa nei seguenti STEP:nei seguenti STEP:nei seguenti STEP:nei seguenti STEP:

STEP 1STEP 1STEP 1STEP 1

- Conversazione clinica per l’accertamento delle conoscenze pregresse dei bambini. - Confronto delle varie risposte.

STEP 2STEP 2STEP 2STEP 2

- Attività ludica sulla moltiplicazione. - Costruzione della tabella della moltiplicazione. - Esplicazione della proprietà commutativa.

STEP 3STEP 3STEP 3STEP 3

- Utilizzo di materiale povero per introdurre la proprietà associativa. - Presentazione di una situazione problematica per spiegare la proprietà distributiva.

STEP 4STEP 4STEP 4STEP 4

- Esercitazioni di consolidamento. - Verifica delle competenze raggiunte.

Elaborazione del percorso:Elaborazione del percorso:Elaborazione del percorso:Elaborazione del percorso:

STEP 1STEP 1STEP 1STEP 1

Nell’affrontare la spiegazione partiamo da domande semplici, quali:

• Che cos’è la moltiplicazione?• Che cos’è la moltiplicazione?• Che cos’è la moltiplicazione?• Che cos’è la moltiplicazione?

- Silvia: “Un’addizione ripetuta!”

• Che vuol dire “ripetuta”?• Che vuol dire “ripetuta”?• Che vuol dire “ripetuta”?• Che vuol dire “ripetuta”?

- Luca: “Che gli addendi sono tutti uguali, è lo stesso numero che si ripete più volte.” - Giulia: “Si, la nonna ieri mi ha dato 5 monetine da 2 € e io invece di sommare

2+2+2+2+2+ ho fatto direttamente 5x2.”

• Perché hai scelto di utilizzare la moltiplicazione?• Perché hai scelto di utilizzare la moltiplicazione?• Perché hai scelto di utilizzare la moltiplicazione?• Perché hai scelto di utilizzare la moltiplicazione?

- Giulia: “Perché è più veloce!”

- Silvia: “Invece a me la nonna non ne dà soldi. Non ne ho per niente!”

•E quindi quanti ne hai?•E quindi quanti ne hai?•E quindi quanti ne hai?•E quindi quanti ne hai?

- Silvia: “0 maé!”

• Che risultato dà lo 0 moltiplicato per un numero qualsiasi, ad esempio 0x3?• Che risultato dà lo 0 moltiplicato per un numero qualsiasi, ad esempio 0x3?• Che risultato dà lo 0 moltiplicato per un numero qualsiasi, ad esempio 0x3?• Che risultato dà lo 0 moltiplicato per un numero qualsiasi, ad esempio 0x3?

- Giulia: “Sempre 0 maé!” - Giovanni: “Nooooo, fa 3!”

•••• E E E E perchéperchéperchéperché????

- Giovanni: “Perché se io ho 3 caramelle e non le dò a nessuno, sempre 3 me ne rimangono.”

- Sara: “No perché lo 0 annulla tutto nella moltiplicazione”. - Luigi: “Ha ragione Sara! Anche 100x0 fa 0!”.

• • • • E se invece moltiplicassi un numero per 1E se invece moltiplicassi un numero per 1E se invece moltiplicassi un numero per 1E se invece moltiplicassi un numero per 1????

- Sara: “Il numero stesso!” - Luca: “Si perché l’1 è l’elemento neutro della moltiplicazione!”

• Se moltiplichiamo 5x3 o 3x5 è la stessa cosa?• Se moltiplichiamo 5x3 o 3x5 è la stessa cosa?• Se moltiplichiamo 5x3 o 3x5 è la stessa cosa?• Se moltiplichiamo 5x3 o 3x5 è la stessa cosa?

- Giovanni: “No maé perché prima il 5 lo ripetiamo 3 volte, e poi invece è il 3 che si ripete 5 volte…”

- Luigi: “Si però il risultato è sempre 15, quindi è la stessa cosa!” - Sara: “Maé ma questa è la proprietà commutativa dell’addizione!”

Quindi utilizziamo il metodo induttivo (l’arte della maieutica), per far emergere le conoscenze di base degli alunni e le loro idee attorno al tema in questione, aprendo la conversazione con alcune domande-stimolo. Da questa discussione dovrebbero emergere alcuni punti-chiave da ricapitolare poi alla classe, integrati e completati.

STEP 2STEP 2STEP 2STEP 2

Procediamo con un gioco per costruire la tabella della moltiplicazione. Disegniamo, su un cartellone bianco, un quadrato suddiviso a sua volta in 144 quadratini (12 righe e 12 colonne). Nel primo quadratino, in alto a sinistra, inseriamo il segno della moltiplicazione (x), nella prima riga e nella prima colonna invece andiamo a scrivere i numeri da 0 a 10. Formiamo così due gruppi ed assegniamo ad ognuno un pennarello, di colore diverso, che li identifichi (ad esempio squadra blu e squadra rossa). Diamo a ciascun bambino un foglio A4 da appendere al collo con un pezzetto di nastro da pacchi. Ogni squadra deve possedere 11 fogli sui quali sono riportati i numeri da 0 a 10. A questo punto si passa allo svolgimento del gioco in un ambiente esterno l’aula (cortile, palestra, ecc.): attacchiamo il cartellone ad un muro (ad altezza di bambino) con del nastro adesivo e disponiamo i bambini in fila. L’insegnante chiede, per esempio, “2x4” e i bambini che hanno il numero 8 devono correre fino alla tabella. Chi arriva prima inserisce nell’apposito quadratino il risultato della moltiplicazione. Il gioco termina al completamento della tabella. Vince quindi la squadra che ha segnato più numeri in tabella.

OCCORRENTE:OCCORRENTE:OCCORRENTE:OCCORRENTE:

Cartellone bianco, pennarelli colorati, matita, gomma,

fogli A4 (uno a bambino), nastro adesivo,

nastro da pacchi.

Dalla realtà sensibile alla formalizzazione.Dalla realtà sensibile alla formalizzazione.Dalla realtà sensibile alla formalizzazione.Dalla realtà sensibile alla formalizzazione.

La tabella della moltiplicazione illustra in forma schematica le tabelline consentendo quindi all’insegnante di rendersi conto della situazione della classe riguardo la loro conoscenza, in modo da poter intervenire ed ovviare ai problemi riscontrati, attraverso un ripasso oppure con l'aiuto di giochi che favoriscano la memorizzazione.

Dalla tabella emergono alcune osservazioni:

• La moltiplicazione è sempre possibile.

• Osservando la prima riga e la prima colonna dove abbiamo moltiplicato per 0, ci

accorgiamo che i numeri sono diventati tutti zero. Lo zero è l’elemento assorbente o

annullante della moltiplicazione.

• Se si moltiplicano due numeri naturali

si ottiene sempre un risultato tra i numeri

naturali, cioè il prodotto di due numeri

naturali è sempre un numero naturale.

• Osservando la seconda riga e la seconda colonna dove abbiamo moltiplicato per 1, ci

accorgiamo che i numeri sono rimasti uguali. L’uno è l’elemento neutro della

moltiplicazione.

• Introduciamo il concetto di multiplo di un numero come serie infinita che si ottiene

moltiplicando quel numero per tutti gli altri numeri. Vediamo alcuni esempi, curando di non

fermarci ai canonici multipli che si ottengono moltiplicando per 10, ma proseguendo ancora in

modo che gli alunni afferrino bene l'idea che si potrebbe proseguire all'infinito. Dopo aver

scritto alcune serie di multipli possiamo procedere ad alcune osservazioni. Alcuni numeri

possono essere multipli di più di un numero:

12 è multiplo di 2 perché 2 x 6 = 1212 è multiplo di 2 perché 2 x 6 = 1212 è multiplo di 2 perché 2 x 6 = 1212 è multiplo di 2 perché 2 x 6 = 12

12 è multiplo di 3 perché 3 x 4 = 1212 è multiplo di 3 perché 3 x 4 = 1212 è multiplo di 3 perché 3 x 4 = 1212 è multiplo di 3 perché 3 x 4 = 12

12 è multiplo di 4 perché 4 x 3 = 1212 è multiplo di 4 perché 4 x 3 = 1212 è multiplo di 4 perché 4 x 3 = 1212 è multiplo di 4 perché 4 x 3 = 12

12 è multiplo di 6 perché 6 x 2 = 1212 è multiplo di 6 perché 6 x 2 = 1212 è multiplo di 6 perché 6 x 2 = 1212 è multiplo di 6 perché 6 x 2 = 12

La moltiplicazione è simile all’addizione perché può essere considerata un’addizione ripetuta. Pertanto gode delle stesse proprietà dell’addizione, tra cui quella commutativa precedentemente evidenziata in tabella. Procediamo con alcuni problemi che richiedono di mettere in pratica la proprietà commutativa.

• I numeri pari e i numeri dispari si comportano come viene illustrato nelle seguenti tabelle.

P X P = P P X D = P D X P = P D X D = D

P D

P P P

D P D

• La diagonale principale è l'asse di simmetria. Lungo la diagonale principale si allineano

i numeri quadrati: questo succede quando moltiplicando e moltiplicatore sono uguali.

•I numeri ai lati della diagonale si rispecchiano perché la moltiplicazione è un'operazione commutativa: se si invertono i fattori il prodotto non cambia. Si può usare la proprietà commutativa per fare la prova della moltiplicazione.

Problema 1Problema 1Problema 1Problema 1

“Anna e Lucia hanno ricevuto, per Natale, dei cioccolatini. Anna ha 4 scatole ciascuna contenente 2 cioccolatini, mentre Lucia ne ha 2 ognuna con 4 cioccolatini. Chi ha ricevuto più cioccolatini?”

Anna

Lucia

I cioccolatini sono 12; dunque per la proprietà commutativa, il risultato è lo stesso, ciò che differisce è la quantità di cioccolatini in ogni scatola, ossia la loro sistemazione.

Problema 2Problema 2Problema 2Problema 2

“Anna dispone in 4 file 3 cioccolatini. Quanti cioccolatini ha in tutto?”

Anche in questa situazione è possibile applicare la proprietà commutativa, ma al contrario del caso precedente in cui la sistemazione era diversa, ora ciò che cambia è il punto di vista dei bambini che scelgono come meglio moltiplicare i cioccolatini (in riga o in colonna).

4 x 2 = 12

2 x 4 = 12

Contati per riga 4 x 3 = 12

Contati per colonna 3 x 4 = 12

STEP 3STEP 3STEP 3STEP 3

• Secondo voi ci sono altre proprietà dell’addizione che si possono • Secondo voi ci sono altre proprietà dell’addizione che si possono • Secondo voi ci sono altre proprietà dell’addizione che si possono • Secondo voi ci sono altre proprietà dell’addizione che si possono applicare anche alla applicare anche alla applicare anche alla applicare anche alla moltiplicazione?moltiplicazione?moltiplicazione?moltiplicazione?

- Luca: “Maè c’è anche quella associativa!” - Giada: “Si, perché la moltiplicazione è come l’addizione!” - Luigi: “Ma la moltiplicazione è un po’ diversa, quindi cambiano anche le proprietà!”

Alla luce di queste riflessioni allestiamo una situazione problematica adoperando materiale povero quale l’armadietto dell’aula scolastica, alcuni astucci e pennarelli. Disponiamo su 4 scaffali dell’armadietto 3 astucci contenenti 6 pennarelli ciascuno e chiediamo ai bambini di effettuare la moltiplicazione per sapere il numero totale dei pennarelli. In maniera automatica, i bambini svolgeranno la seguente operazione:

4 x 3 x 6 =

A questo punto spieghiamo loro che inconsapevolmente hanno compiuto un’associazione necessaria allo svolgimento di tutte le moltiplicazioni costituite da più fattori. Possiamo quindi definire la proprietà associativa:

Quindi l’operazione precedente può essere effettuata anche associando i fattori in successione diversa.

4 x 3 x 6 = 4 x 3 x 6 =

La presentazione della proprietà distributiva è una tappa difficile da percorrere con gli alunni perché richiede la presenza di molti prerequisiti, quali la conoscenza sicura delle tabelline, la capacità di eseguire moltiplicazioni con una cifra al moltiplicatore, la capacità di addizionare correttamente, la conoscenza del valore posizionale delle cifre, ecc. A tal proposito partiamo sempre da un esempio concreto: utilizziamo delle caramelle distribuite, sulla cattedra, in 4 file da 13.

12 x 6 = 72 pennarelli

Sostituendo a due o più fattori il loro prodotto il risultato non cambia.

4 x 18 = 72 pennarelli 24 x 3 = 72 pennarelli

L’operazione da eseguire è 4 x 13. Per facilitare il calcolo possiamo dividere le caramelle in due gruppi così da ottenere prodotti già noti.

Quindi i due gruppi saranno formati sempre da 4 righe: il primo contiene 8 caramelle in ciascuna riga, il secondo 5. Abbiamo scomposto il numero 13 in 8 + 5.

4 x 13

4 x (8 + 5) = (4 x 8) + (4 x 5)

Segue che:

4 x 13 = 32 + 20

4 x 13 = 52

Possiamo enunciare la proprietà:

Per moltiplicare una somma per un numero, si può moltiplicare ogni

addendo per il numero e poi addizionare i prodotti ottenuti.

OCCORRENTE:OCCORRENTE:OCCORRENTE:OCCORRENTE:

Caramelle.

STEP 4STEP 4STEP 4STEP 4

Proponiamo alcuni esercizi di consolidamento.

1. Completa la Completa la Completa la Completa la tabella della moltiplicazione:tabella della moltiplicazione:tabella della moltiplicazione:tabella della moltiplicazione: 2. 2. 2. 2. Ad ogni multiAd ogni multiAd ogni multiAd ogni multiplo di 3, di 4, di 5 eplo di 3, di 4, di 5 eplo di 3, di 4, di 5 eplo di 3, di 4, di 5 e di 7 il di 7 il di 7 il di 7 il ssssuo colore:uo colore:uo colore:uo colore:

azzurro: i numeri della tabellina delazzurro: i numeri della tabellina delazzurro: i numeri della tabellina delazzurro: i numeri della tabellina del 3;3;3;3; verde: i numeri della tabellina del 4;verde: i numeri della tabellina del 4;verde: i numeri della tabellina del 4;verde: i numeri della tabellina del 4; rosso: i numeri della tabellina del 5;rosso: i numeri della tabellina del 5;rosso: i numeri della tabellina del 5;rosso: i numeri della tabellina del 5; giallo: i numeri della tabellina delgiallo: i numeri della tabellina delgiallo: i numeri della tabellina delgiallo: i numeri della tabellina del 7.

2.2.2.2. La mamma ha comprato una confezione di uova. Quante uova in tutto?Quante uova in tutto?Quante uova in tutto?Quante uova in tutto?

È stata applicata la proprietà _____________________.

Essa dice che ____________________________________________________________________________.

3 uova su 2 file

3 x 2 = 6 uova

2 uova su 3 colonne

2 x 3 = 6 uova

3.3.3.3. Problema:Problema:Problema:Problema:

“Maria, nel suo giardino, ha un albero di ciliegie. Riesce a raccogliere quelle sui 3 rami più bassi. Ogni ramo è composto da 3 gruppi di 2 ciliegie. Quante ciliegie avrà in tutto?

Applica la proprietà associativa nei vari modi possibili.Applica la proprietà associativa nei vari modi possibili.Applica la proprietà associativa nei vari modi possibili.Applica la proprietà associativa nei vari modi possibili.

4.4.4.4. Risolvi il seguente problema applicando la proprietà distributiva dopo aver osservato il Risolvi il seguente problema applicando la proprietà distributiva dopo aver osservato il Risolvi il seguente problema applicando la proprietà distributiva dopo aver osservato il Risolvi il seguente problema applicando la proprietà distributiva dopo aver osservato il disegno e la separazione degli schieramenti. disegno e la separazione degli schieramenti. disegno e la separazione degli schieramenti. disegno e la separazione degli schieramenti.

“Il cuoco Leon ha 2 cassetti con 15 cucchiai in ognuno. Quanti cucchiai ha in tutto?”

(___ X___) + (___X___) = ___ + ___ = ____

In tutto _________________________________________________.

VerificaVerificaVerificaVerifica::::

Diciassette bambini su ventidue hanno appreso i contenuti trattati, i rimanenti hanno riscontrato difficoltà nell’applicare la proprietà distributiva nelle diverse situazioni problematiche. Per questi ultimi sono stati attivati dei momenti di compensazione che hanno permesso ai bambini di superare le lacune.

Conclusione:Conclusione:Conclusione:Conclusione:

Si può constatare che attraverso il gioco viene facilitato l’apprendimento dei bambini; essi infatti sono riusciti a memorizzare le tabelline grazie alla compilazione della tabella della moltiplicazione e mediante esercizi, quali problemi concreti, ad acquisire le relative proprietà della moltiplicazione.

- Giovanni: “Maè è più bello imparare giocando!”