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La moltiplicazione di numeri naturali:esercizi svolti

La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali

dell'aritmetica. È un modo sintetico per rappresentare la somma di

numeri uguali. Il risultato di una moltiplicazione è chiamato

prodotto mentre i due numeri moltiplicati sono detti fattori se

considerati insieme e, rispettivamente, moltiplicando e

moltiplicatore se presi individualmente.

Per moltiplicare i numeri naturali la tecnica più conosciuta è simile,

ma non uguale, a quella dell'addizione e della sottrazione: la

moltiplicazione in colonna.

Vediamo con qualche esempio come si effettua.Cominciamo con un esempio semplice. Moltiplichiamo 24 per 7.

Scriviamo il primo numero e sotto di esso il secondo numero

allineandoli partendo da destra, cioè dalle unità, così (anche se per

le moltiplicazioni l'allineamento non è necessario è sempre utile in

matematica essere ordinati!):

� di �1 14


moltiplichiamo le unità del moltiplicando (il 4) per il moltiplicatore

(il 7); il risultato è 28:

scriviamo l'8 nella colonna delle unità e segniamo a parte (meglio

se lo si tiene a mente) il 2 delle decine:

moltiplichiamo adesso le decine del moltiplicando (il 2) per il

moltiplicatore (il 7); il risultato è 14 e sommiamo le decine che

avevamo segnato:

� di �2 14


scriviamo il risultato in ordine. Il risultato finale è: 24x7=168.

Passiamo adesso ad un esempio più complesso. Effettuiamo la

moltiplicazione: 3167x57. Ricordiamo, prima, che nel sistema

decimale 57 rappresenta il numero che si ottiene addizionando 5

decine a 7 unità, cioè 57=50+7. La moltiplicazione che stiamo per

effettuare si può scrivere anche come: 3167x(7+50). È importante

ricordarlo per capire il procedimento.

Come prima, scriviamo il primo numero e sotto di esso il secondo

numero allineandoli partendo da destra, cioè dalle unità, così:

Effettuiamo la moltiplicazione del moltiplicando (3167) per le unità

del moltiplicatore (7) procedendo come nell'esempio precedente: � di �3 14


� di �4 14


Procediamo adesso a moltiplicare il moltiplicando (3167) per le

decine del moltiplicatore (5). Prima di procedere ricordiamo che il

prodotto di un multiplo di 10 per qualsiasi altro Numero Naturale ha

come risultato un multiplo di 10, cioè un numero che termina con lo

0. Ad esempio 10x3=30, 10x37=370, 30x7=210, ecc. Quindi per

moltiplicare un multiplo di 10 per qualsiasi altro numero possiamo

scrivere subito lo 0 nella colonna delle unità ed occuparci solo di

moltiplicare il multiplo di 10 senza lo 0 per l'altro numero. Ad

esempio, riferendoci agli esempi precedenti: 10x3=1(decina)x3=3

(dec i ne ) c he , agg i ungendo l o 0 f i n a l e d i ven ta 30 ,

10x37=1(decina)x37=37 che, aggiungendo lo 0 finale diventa 370,

30x7=3(decine)x7=21 che, aggiungendo lo 0 finale diventa 210,

ecc.

Cominciamo con l'inserire uno 0 nella colonna delle unità sotto la

riga del risultato appena ottenuto, quindi effettuiamo la

moltiplicazione del moltiplicando per le decine del moltiplicatore (in

questo caso il 5), ricordandoci di allineare correttamente

in colonna il risultato:

(Al posto degli 0 è possibile trovare dei -, così:

tuttavia sono personalmente contrario al loro uso

perché nascondono il reale significato delle operazioni che si

compiono.)

� di �5 14


� di �6 14


Quello che abbiamo fatto è solo applicare la proprietà distributiva

de l l a mo l t i p l i c a z i one r i spe t t o a l l ' add i z i one . In f a t t i ,

!

Passiamo adesso ad effettuare l'addizione per trovare il risultato

finale:

Abbiamo ottenuto i l r isul tato:3167x57=3167x(7+50)=

3167x7+3167x50=22169+158350=180519.

Sappiamo dalla teoria che la moltiplicazione gode della proprietà

commutativa cioè, riferendoci all'esempio precedente, che

3167x57=57x3167. Verifichiamolo, scriviamo il moltiplicatore

come: 3167=7+60+100+3000, effettuiamo la moltiplicazione:

57x3167=57x(7+60+100+3000)=57x7+57x60+57x100+57x3000

e calcoliamola, come prima, tramite il metodo a colonna:

3167x57= 3167x(7+50)=3167x7+3167x50=22169+158350.

� di �7 14


� di �8 14


� di �9 14


Il risultato finale, come c'era da aspettarsi, è uguale al precedente.

Notate che sono cambiati il numero di righe ed il valore di ciascun

risultato intermedio. In questo caso il numero di righe è aumentato

ma ciascun passo intermedio è più semplice. Consideratelo quando

dovete effettuare una moltiplicazione e scegliete quello che vi viene

meglio.

Ci si potrebbe chiedere se è importante iniziare le operazioni dalle

unità (in questo caso il 7) piuttosto che dalle decine (il 6), le

centinaia (l’1) o le migliaia (il 3). La risposta è no. Infatti, per la

proprietà commutativa di cui gode l'addizione 7+60+100+3000 è

uguale, ad esempio, a 100+7+60+3000 ma anche a qualsiasi

scambio degli addendi possibile. L'importante è ricordarsi che il 7

sono unità, il 6 sono decine (6x10=60), l'1 sono centinaia

(1x100=100) ed il 3 sono migliaia (3x1000=3000), quindi vanno

inseriti gli 0 nelle colonne opportune. Proviamo allora con

100+7+60+3000:

� di �10 14


� di �11 14


� di �12 14


Come si vede anche in questo caso il risultato è lo stesso ma, come

potete ben vedere, il tutto è più confuso; questo può facilmente

causare errori di distrazione.

Ricordate sempre che nelle materie scientifiche l'ordine è di

essenziale importanza per evitare confusione ed errori!

Di seguito è presentato un esercizio sulle

moltiplicazioni che compre anche le sottrazioni e le

addizioni in forma di espressioni.

Nella risoluzione delle espressioni non vengono utilizzate le varie

proprietà della moltiplicazione (cosa che verrà fatta in altra sezione)

ma la successione standard di passi. Ricordarsi che è necessario

eseguire le operazioni nel giusto ordine per non trovarsi di fronte a

numeri negativi che non sono ammessi nella risoluzione nell'ambito

dei numeri naturali neanche come passaggio. Ricordiamo a chi

vuole esercitarsi nella risoluzione delle espressioni che le regole

basi sono: se l'espressione è:

� di �13 14


1) risolvere prima le operazioni all'interno delle parentesi tonde;

2) eliminare le parentesi tonde tenendo conto dei segni (in questo

caso specifico essendoci solo somme l'operazione è banale);

3) risolvere le operazioni all'interno delle parentesi quadrate;

4) eliminare le parentesi quadrate tenendo conto dei segni (stesse

considerazioni del punto 2);

5) ripetere i passi 1) e 2) anche per le parentesi graffe;

6) risolvere le operazioni rimaste in cui non compaiono più

parentesi ed ottenere il risultato finale.

� di �14 14

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