Parole, e loro avventure

Se vogliamo ora incominciare a seguire la crescita della teoria di cui abbia-mo visto il contenuto e la prima assiomatizzazione all’inizio del Novecento,dovremmo iniziare ad esaminare i lavori di Cantor e Dedekind. Bisogna perforza scegliere un punto di partenza. Ma non volendo ignorare del tutto leanticipazioni e gli influssi remoti, e utile riflettere su un aspetto linguistico.

Dai resoconti di Borel e di Schoenflies e emerso come i matematici di-stinguessero, o affiancassero, due filoni di ricerche nella nuova teoria: quelloriguardante le cardinalita e le proprieta generali degli insiemi infiniti e quellodelle proprieta degli insiemi di punti (della retta, del piano, o di Rn), cheal tempo di Schoenflies era gia abbastanza ricco da far intravedere le duediscipline autonome che ne deriveranno, quella della topologia e quella dellateoria della misura.

Usavano anche, i matematici tedeschi, due (almeno) parole diverse, perindicare “insieme”, parole che pur se talvolta intercambiabili avevano la loroorigine in queste due aree: Menge (“insieme”) nel primo caso, e Mannigfal-tigkeit (“varieta”) nel secondo1.

Il secondo termine e quello piu usato all’inizio per “insieme”, anche daCantor, in naturale accordo con le origini nel campo dell’analisi delle suericerche, prima della generalizzazione a insiemi astratti; con l’imporsi di “in-sieme” va via via decadendo; ma il suo uso rivela possibili relazioni e influenzesignificative per la ricostruzione della storia.

La sua entrata nel vocabolario della matematica era infatti un fenomenorecente. Le prime occorrenze del termine si rintracciano in Gauss e Riemann2.

Gauss usa il termine “varieta” (varietas in latino) in due lavori del 1831 e1832 dedicati ai residui quadratici dove introduce gli interi complessi a+ ib,con a, b ∈ Z, e dove si sente in dovere di giustificare il suo ricorso a tali enti,ancora non completamente accettati o chiariti3. Dichiara allora che l’uso ditali grandezze e giustificato quando “gli oggetti [studiati] non possono essere

1Per non parlare di System, Gebiet, Bereich, ma ci fermiamo sulle due che sono stateprevalenti.

2Seguiamo la ricostruzione di Ferreiros, Labyrinth, cit., cap. II, a cui rimandiamoanche per le citazioni. Segnaliamo anche come riferimento generale sul periodo I-Grattan-Guiness, The Search for Mathematical Roots 1870-1940 , Princeton Univ. Press, Princeton,2000.

3Gauss aveva usato il piano complesso gia nel suo studio delle applicazioni conforminel 1825.

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ordinati in una singola serie illimitata, ma solo in una serie di serie o, che elo stesso, formano una varieta a due dimensioni”.

Questa nozione intravista da Gauss diventa in Riemann la chiave peruna fondazione della geometria che peraltro, forse al di la delle intenzionidel suo autore, lascia anche intuire una nuova concezione della matematica.Accenniamo a questo episodio perche siamo interessati a trovare i significatidel concetto di insieme che lo colleghino alla problematica fondazionale, e laloro emergenza.

Il termine “varieta” ha queste caratteristiche, nelle sue prime comparse; eparadossale, uno degli strani destini delle parole, che nell’uso per gli insiemidi punti nell’analisi, da parte di Cantor ad esempio , chiaramente influenzatodalla produzione di Riemann, venga invece introdotta – verrebbe da dire asproposito – come un concetto tecnico subordinato.

La concezione piu diffusa a quel tempo era ancora quella della matemati-ca come scienza delle grandezze (tradizionalmente, fin da Aristotele, distintein discrete e continue). Anche Bolzano ad esempio la ripete, pur mentrepone alla base il concetto di insieme. I numeri sono chiamati “grandezzenumeriche” (ad esempio da Weierstrass, da Cantor). Grassmann, che pre-ferisce definire la matematica come scienza delle forme (Formenlehre)4, inaltre opere la definisce anche come “scienza delle connessioni tra grandez-ze”5. Tuttavia la nozione di grandezza a cui ora ci si riferisce e del tuttoastratta: per Grassmann una grandezza e qualunque cosa possa essere dettauguale o diversa da un’altra. La matematica si sta staccando dai numeri edalle figure.

Gia Gauss aveva sollecitato la precisazione di una teoria astratta dellegrandezze per la trattazione delle questioni che coinvolgevano i numeri com-plessi; egli pensava a un linguaggio apposito, sia pur ricavato dalle immaginigeometriche. Nella dimostrazione del 1849 del teorema fondamentale dell’al-gebra, dove aveva fatto uso esplicito del piano complesso, aveva osservato:“Presentero la dimostrazione in una versione presa dalla geometria di posizio-ne, perche in questo modo si ottiene la massima intuitivita e semplicita. Manella sostanza il vero contenuto dell’intero argomento appartiene a un domi-nio superiore costituito dalla teoria astratta delle grandezze, indipendente daquella spaziale, il cui oggetto siano le combinazioni tra grandezze dipendenti

4H. Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre, Teubner, Leipzig, 1844, p. 65.5H. Grassmann, Lehrbuch der Arithmetik fur hohere Lehranstalten, Eislin, Berlin, 1861,

def. 2.

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dalla continuita, un dominio che finora e stato poco coltivato, e dove nonpossiamo muoverci senza un linguaggio preso da immagini geometriche”6.

Nel 1854, nella sua lezione per l’abilitazione (Habilitationsvortrag)7, Rie-mann si pone il problema di dare una fondazione alla geometria e si proponedi rovesciare il procedimento usuale: invece di rappresentarsi varieta a piudimensioni8 per mezzo dell’intuizione geometrica (come superfici in un spa-zio, dando per scontato e primitivo il concetto di spazio), porre il concettodi varieta come indipendente, e tale da rendere al contrario possibile da essouna derivazione astratta della geometria.

La geometria e noto che assume come cose date sia la nozione dispazio sia i primi principi della costruzione dello spazio. Essa neda definizioni che sono puramente nominali, mentre le vere de-terminazioni appaiono sotto forma di assiomi. Lo stato di questeassunzioni resta di conseguenza nell’oscurita; noi ne percepiamose e quanto la loro connessione e necessaria ne, a priori , se epossibile.

[Ne i matematici, da Euclide a Legendre, ne i filosofi hanno chiari-to tale oscurita.] La ragione di cio e senza dubbio che il concettogenerale di grandezze molteplicemente estese [mehrfach ausge-dehnter Grossen] (tra le quali sono incluse quelle spaziali) non estato per nulla elaborato. Mi sono posto percio come primo com-pito quello di costruire il concetto di grandezze molteplicementeestese a partire da concetti generali di grandezza. Ne risultache una grandezza molteplicemente estesa e passibile di diverserelazioni metriche, e di conseguenza che lo spazio e solo un ca-so particolare di grandezze triplamente estese. Ma segue anchecome necessaria conseguenza che le proposizioni della geometrianon possono essere derivate dai concetti generali di grandezza,ma che le proprieta che distinguono lo spazio da altre conce-

6Gauss, Werke, cit., vol. 3, p. 79.7B. Riemann, Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, Habilita-

tionsvortrag, Abhandlungen der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottin-gen, 13 (1868), pubblicata dopo la sua morte a cura di Dedekind; trad. ing. in W. B.Ewald, From Kant to Hilbert , 2 voll., Oxford Univ. Press, Oxford, 1996, vol. 2, pp. xxx.

8Quelle a cui si riferisce Riemann sono in genere varieta di valori di funzioni di variabilecomplessa.

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pibili grandezze triplamente estese possono solo essere ricavatedall’esperienza.

Chiede quindi indulgenza Riemann, che parla davanti alla Facolta filosofica,per la sua scarsa esperienza in simili imprese di natura filosofica “dove ladifficolta sta piu nei concetti che nelle costruzioni”. Ricorda di aver averpotuto sfruttare solo qualche suggerimento preso da Gauss e qualche ricercafilosofica di Herbart, quindi entra in argomento affermando:

Concetti di grandezza sono possibili solo dove vi e un concetto ge-nerale antecedente che ammette diversi modi di determinazione.A seconda che tra queste determinazioni abbia luogo o no unatransizione continua, esser formano una varieta continua oppurediscreta; le determinazioni individuali sono chiamate punti dellavarieta nel primo caso, elementi nel secondo.

Un’analisi terminologica accurata conferma che Riemann sta facendo un chia-ro riferimento alla tradizionale relazione tra un concetto e la sua estensione, ela varieta e l’insieme delle determinazioni che cadono sotto un concetto. Gliesempi che da immediatamente sono di ispirazione herbartiana: ad esempioquello del concetto di “colore” e di tutte le sue manifestazioni particolari.Riemann si dichiarava herbartiano in psicologia ed epistemologia (meno perquel che riguarda la filosofia della natura)9

L’intenzione di generalizzare al massimo e evidente, e giustifica il ricorsoall’impostazione mutuata dalla logica: tra l’altro si ottiene l’unificazione dellevarieta discrete e continue sotto una sola definizione. Non e forse il caso dicaricare di troppo significato le parole di Riemann10. Resta il fatto che nellasua impostazione il concetto di varieta viene prima di quello di spazio, eprimitivo, e una varieta e l’estensione di un concetto, e queste osservazionipossono avere avuto un peso in chi le ha meditate.

A proposito dell’influenza di questa nozione, potrebbe essere significativoche Dedekind non usi il concetto di insieme prima del 1855, mentre vi si ap-poggia risolutamente sia nel lavoro algebrico del 1856-58, sia nella teoria dei

9B. Riemann, Gesammelte mathematische Werke (a cura di H. Weber), Dover, NewYork, 2a ed., 1953, p. 508.

10Quando ha dovuto preparare l’Habilitationsvortrag , era preso piuttosto da studi difisica matematica, come osservato da U. Bottazzini e R. Tazzioli, “Naturphilosophie andits role in Riemann’s mathematics”, Revue d’histoire des mathematiques 1 (1995), p. 3-38.

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numeri irrazionali del 187211. Non c’e evidenza di influenza diretta, ma l’ipo-tesi e legittima. Sara Dedekind soprattutto ad usare il concetto di insieme,da lui chiamato “sistema”, a fini fondazionali.

Il termine “varieta”, quando sara sostituito da “insieme” nella teoria de-gli insiemi, continuera una fortunata e fruttuosa vita in campo geometrico,anche senza gli impegni fondazionali presenti in Riemann. Una varieta e ora,come lo era all’inizio, un insieme con una struttura, metrica, differenziale otopologica.

A proposito di Riemann, prima di abbandonarlo, e legittima la curiosita disapere cosa pensasse dell’infinito attuale. Sembra difficile mettere in dubbioche lo accettasse, considerando anche la esplicita difesa che ne faceva Her-bart. Riemann accenna, nell’Habilitationsvortrag , alla possibilita di varietaa dimensione infinita; ma e interessante sopratutto un frammento filosoficodedicato alle antinomie, dove Riemann esamina, sul modello di Kant, coppiedi concetti contrapposti: una e data da “Tesi. Finito, rappresentabile. An-titesi. Infinito, sistemi concettuali che sono ai confini del rappresentabile”12.Nella seconda categoria sono “concetti che sono ben determinati per mezzo dipredicati negativi, ma non sono rappresentabili positivamente”. Il concettodi infinito e dunque ben determinato, ma Riemann non credeva possibile chepotesse essere definito direttamente.

11Concepita nel 1858. Dedekind conosceva bene i lavori di Riemann, tanto da diventarneuno dei curatori degli inediti.

12Riemann, Gesammelte mathematische Werke, cit., p. 518.

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.

Dedekind e l’algebra moderna

Cantor e Dedekind sono senza dubbio influenzati da Riemann, come risultaanche solo, ma e significativo, dalla terminologia. Vedremo le Mannigfal-tigkeiten comparire come oggetto delle ricerche di Cantor, sia pure in unsenso diverso (insiemi di punti). In una lettera del 1879, Dedekind sugge-risce a Cantor di sostituire la ingombrante parola “Mannigfaltigkeit” con“Gebiet” (estensione, regione), che pero si affretta a precisare che “e ancheriemanniana”1, come se ci fosse un impegno a raccogliere l’insegnamento delmaestro.

Dedekind dopo qualche iniziale incertezza si e dedicato a un lavoro diripensamento e sistematizzazione sia di teorie classiche sia di ricerche nuoveche lo hanno fatto riconoscere come uno dei fondatori dell’algebra moderna2.Dedekind e il prodotto piu genuino e consapevole della scuola di Gottingen,dove Gauss, Dirichlet e Riemann avevano impostato una matematica con-cettuale (in contrasto con la scuola di Berlino, piu algoritmica3). Dirichletaveva insegnato, nel ricordo che ne avevano Hilbert e Minkowski in una com-memorazione del 1905, a conquistare i problemi con un minimo di calcoli eun massimo di pensieri illiminanti. Da Riemann, Dedekind afferma di averimparato ad evitare forme accidentali di rappresentazione a favore di sempliciconcetti fondamentali4.

In relazione alla propria teoria degli ideali commentera che “una teoriabasata sui calcoli non offrirebbe il massimo grado di perfezione; e preferibile

1La corrispondenza tra Cantor e Dedekind e stata pubblicata in Cantor-Dedekind Brie-fwechsel (a cura di E. Noether e J. Cavailles), Hermann, Paris, 1937; trad. franc. in J.Cavailles, Philosophie mathematique, Hermann, Paris, 1962, pp. 187-249; trad. ingl. inEwald, From Kant to Hilbert , cit., vol. 2.

2Dedekind a partire dagli anni sessanta cura la pubblicazione delle lezioni di Dirichlet:P. G. Lejeune Dirichlet, Vorlesungen uber Zahlentheorie (a cura di R. Dedekind), Vieweg,Braunschweig, 1a ed. 1863, 2a ed. 1871, 3a ed. 1879, 4a ed. 1894, aggiungendo diversisupplementi nei quali sono presentate le sue idee originali. Le opere sono raccolte in R.Dedekind, Gesammelte mathematische Werke (a cura di R. Fricke, E. Noether, O. Ore), 3voll., Vieweg, Braunschweig, 1930. Su Dedekind si veda, oltre a Ferreiros, Labyrinth, cit.,anche P. Dugac, Richard Dedekind et les fondements des mathematiques, Vrin Paris, 1976,e H. Stein, “Logos, Logic and Logistike: Some Philosophical Remarks on Nineteenth-Century Transformation of Mathematics”, in W. Aspray e Ph. Kitcher (eds.), Historyand Philosophy of Modern Mathematics, Univ. of Minnesota Press, Minneapolis, 1988,pp. 238-59.

3Si veda Ferreiros, Labyrinth, cit., pp. 24-38.4Lettera a Lipschitz, in Dedekind, Werke, cit., vol. 3, p. 468.

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[. . . ] cercare di ricavare le dimostrazioni non piu dai calcoli ma direttamentedai concetti caratteristici fondamentali, e costruire una teoria nella quale sarapossibile al contrario predire i risultati dei calcoli”.

Un ruolo decisivo nel suo programma e svolto dalla impostazione insie-mistica; nel corso della introduzione di diversi concetti algebrici Dedekindprecisa e impone alcuni elementi fondamentali della teoria insiemistica dellestrutture e del suo linguaggio, che e quello che ci interessa.

Nel 1856-58 Dedekind tiene un corso sulla teoria di Galois, la prima voltache la teoria e insegnata in corsi universitari. Dedekind aveva riflettuto afondo sul lavoro di Galois rielaborandolo con il riconoscimento esplicito delruolo svolto dai concetti soggiacenti e impliciti di gruppo e di corpo.

Dira in seguito5 che aveva presentato la teoria dei gruppi “in un modotale che poteva essere applicata a gruppi Π di elementi arbitrari”.

Sostanzialmente Dedekind ha in mente la concezione moderna dei grup-pi: dopo due teoremi sul prodotto di sostituzioni, che stabiliscono la leggeassociativa e la legge di semplificazione (cioe che da due qualunque delle treequazioni φ = θ, φ′ = θ′ e φφ′ = θθ′ segue la terza), egli scrive:

Le indagini che seguono sono basate esclusivamente su questi duefondamentali teoremi che abbiamo dimostrato, e sul fatto che ilnumero delle sostituzioni e finito: percio i loro risultati saran-no ugualmente validi per qualsiasi dominio di un numero finitodi elementi, cose, concetti θ, θ′, θ′′ . . . che ammettono una com-posizione θθ′ da θ, θ′, definita arbitrariamente ma in modo taleche θθ′ sia ancora un elemento del dominio, e che questa spe-cie di composizione obbedisca alle leggi espresse nei due teoremifondamentali. In molte parti della matematica, ma specialmentenella teoria dei numeri e nell’algebra, noi troviamo continuamenteesempi di questa teoria; gli stessi metodi di prova sono validi lıcome qui6.

Anche Arthur Cayley (1821-1895) fa compiere nel 1854 un passo avanti al-la teoria dei gruppi presentando una assiomatizzazione dei gruppi finiti7. Ma

5La citazione e dal Supplemento XI alla quarta edizione, 1894, p. 484, nota.6W. Scharlau (a cura di), Richard Dedekind 1831/1981. Eine Wurdigung zu seinem

150. Geburtstag , Vieweg, Braunschweig, 1981, dove sono pubblicati manoscritti inediti,cit. p. 63.

7A. Cayley, “On the Theory of Groups, as depending on the Symbolic Equation θn = 1”,

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un livello di astrazione simile a quello della citazione di sopra di Dedekind sidiffondera nella comunita matematica solo dopo circa quaranta anni8, soprat-tutto quando i gruppi saranno riconosciuti essenziali nella fondazione dellageometria. Dedekind non ha l’atteggiamento assiomatizzatore che avrannoaltri, gli algebristi inglesi in particolare, non cerca la stessa generalita nelcaso di altre strutture, ma solo per i gruppi; forse perche si tratta di unconcetto nuovo, o di uno strumento ancora poco conosciuto, o forse perchele altre strutture che prendera in considerazione saranno sempre formate danumeri. Piu che alla formulazione degli assiomi Dedekind da un contributoalla comprensione di come si usa l’impostazione assiomatica, si potrebbe di-re alla semantica piuttosto che alla formalizzazione, la quale negli algebristiinglesi sembra invece arbitraria, proprio alla ricerca di una semantica.

Dedekind usa in questa occasione la parola “dominio [Gebiet ]” come “in-sieme”, anche se in altri passi vicini usa Komplex con lo stesso senso. In altriscritti del periodo, parlando di classi di equivalenza, usa i termini “sistema”e qualche volta “classe”, attribuendo quest’ultimo a Gauss. Gauss si espri-meva tuttavia in modo da lavorare con i rappresentanti, mentre Dedekindparla tranquillamente, in uno scritto del 1856, dell’“intero sistema di infinitefunzioni [che] si comporta come un singolo numero concreto della teoria deinumeri”:

I precedenti teoremi corrispondono esattamente a quelli della di-visibilita dei numeri, nel senso che intero sistema di infinite fun-zioni di una variabile, congrue a ciascuna modulo p, si comportacome un singolo numero concreto della teoria dei numeri, giaccheciascuna funzione di quel sistema sostituisce completamente ognialtra sotto ogni aspetto; una tale funzione e la rappresentantedell’intera classe; ogni classe possiede il suo grado definito, i suoidivisori ecc., e tutti questi tratti corrispondono allo stesso modoa ciascun membro particolare della classe. Il sistema di infiniteclassi non congrue tra loro – infinite, perche il grado puo crescereindefinitamente – corrisponde alla serie dei numeri nell’aritmeti-ca. Alla congruenza numerica corrisponde qui la congruenza diclassi di funzioni rispetto a un doppio modulo9.

Philosophical Magazine, (4) 7, 1854, in A. Cayley, The Collected Mathematical Papers,Cambridge Univ. Press, Cambridge, 13 voll., 1889-1897, vol. 2, pp. 123-30.

8Nel Lehrbuch der Algebra di Heinrich M. Weber (1842-1913), del 1899.9Dedekind, Werke, cit., vol. 1, pp. 46-7.

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In un manoscritto dello stesso periodo, non pubblicato, sulla teoria diGalois, ora edito da Scharlau, e anche presente in posizione centrale la nozionedi applicazione, che Dedekind chiama inizialmente “sostituzione”.

Definizione [Erklarung ]. Con sostituzione si intende, in generale,un processo qualsiasi grazie al quale certi elementi a, b, c, . . . sonotrasformati in oggetti a′, b′, c′, . . ., o sono rimpiazzati da questi;nel seguito considereremo soltanto quelle sostituzioni nelle qualiil complesso degli elementi rimpiazzanti a′, b′, c′, . . . e uguale aquello dei rimpiazzati a, b, c, . . .10.

L’argomento e ripreso con maggiori dettagli nel Supplemento XI:

Capita molto spesso, in matematica e in altre scienze, che quan-do abbiamo un sistema Ω di cose o elementi ω, ciascun definitoelemento ω e rimpiazzato da un definito elemento ω′ che gli e fat-to corrispondere secondo una certa legge; usiamo chiamare taleatto una sostituzione, e diciamo che per mezzo di questa sosti-tuzione l’elemento ω e trasformato nell’elemento ω′,, e anche cheil sistema Ω e trasformato nel sistema Ω′ degli elementi ω′. Laterminologia diventa ancora piu conveniente se, come faremo, siconcepisce tale sostituzione come una applicazione [rappresenta-zione] del sistema Ω e di conseguenza si chiama ω′ l’immagine diω, e anche Ω′ l’immagine di Ω. [Nota] Su questa facolta men-tale di confrontare una cosa ω con una cosa ω′, o di mettere inrelazione ω e ω′, o di far corrispondere ω′ a ω, senza la qualenon e possibile pensare, riposa anche la scienza dei numeri, comecerchero di far vedere in un’altra occasione.]11

Dedekind si riferisce ancora a una legge della corrispondenza, ma il passoavanti consiste nel fatto che prima si parlava, lui incluso, solo di elementi chesi corrispondevano, non della corrispondenza in se.

Va comunque ricordato che Dedekind si ispira alla concezione di Dirichlet;a questi si attribuisce la prima considerazione delle “funzioni arbitrarie”:

Non e per nulla necessario che y dipenda da x su tutto l’interval-lo secondo la stessa legge, e non c’e neanche bisogno di pensare

10Scharlau, cit., p. 60.11Supplemento XI alla terza edizione di Dirichlet, in Werke, cit., vol. 3, pp. 297-314.

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a una dipendenza che possa essere espressa da operazioni mate-matiche [. . . ] Questa definizione non prescrive per le differentiparti della curva alcuna legge comune; essa puo essere pensatacome composta dalle parti piu diverse o assolutamente senza unalegge12.

Ci sono precedenti dell’uso di Abbildung , ma in geometria, non in questomodo cosı generale. Dal 1872 Dedekind usera sistematicamente Abbildung .Traduciamo “applicazione” per l’abitudine che viene dall’inglese mapping ,ma la traduzione piu fedele e significativa sarebbe “rappresentazione”.

Un manoscritto sui gruppi del periodo delle lezioni su Galois contiene ilteorema di omomorfismo: Dedekind assume data una corrispondenza tra glioggetti di un gruppo M e (tutti) quelli di un “complesso” MI tale che l’im-magine della composizione di due elementi in M sia la composizione delleloro immagini. Dimostra allora che MI e un gruppo, considera il nucleo Ndell’omomorfismo e mostra che la partizione M/N da origine a un isomorfi-smo (Aquivalenz ) tra il gruppo quoziente e l’immagine. La trattazione rivelache per Dedekind l’omomorfismo non e necessariamente iniettivo.

Un altro concetto gli appare essenziale non solo per la teoria di Galois maanche per la nuova teoria degli ideali, quello di “corpo”. Nel X supplementoalla seconda edizione, nel 1871, Dedekind racconta come sin dalle lezioni del1856-58 aveva intuito come lo studio delle relazioni algebriche tra numeri sipotesse e dovesse basare su un concetto collegato ai principi aritmetici piusemplici. Decide di chiamarlo “corpo”, per la sua compiutezza, o totalitaorganica.

Nel tentativo di introdurre il lettore a queste nuove idee [di ErnstKummer (1810-1893), sui numeri ideali] adotteremo un punto divista in un certo senso piu elevato, e cominceremo introducendoun concetto che sembra ben adatto a servire come fondamentoper l’algebra superiore e le parti della teoria dei numeri che lesono connesse.

Con corpo [Korper ] intendiamo qualunque sistema di infiniti nu-meri reali o complessi che e in se cosı chiuso e completo che l’ad-dizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione di due

12P. G. Lejeune Dirichlet, “Uber die Darstellung ganz willkurlicher Funktionen durchSinus- und Cosinus-reihen”, Repertorium der Physik , 1 (1837), pp, 152-74. Siamo nelperiodo nel quale e ancora un atto coraggioso pensare a una funzione continua che su dueintervalli adiacenti sia definita da due leggi diverse.

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qualunque di questi numeri porta sempre un numero dello stessosistema. Il corpo piu semplice e composto dai numeri razionali;il piu grande da tutti i numeri13.

Continua introducendo l’intersezione di due corpi, che e ancora un corpo;chiama divisori di un corpo quelli in essi contenuti, e massimo comune divi-sore l’intersezione di due corpi. La scelta e dovuta al fatto che tale termino-logia era stata gia usata per gli ideali, in quel caso con una giustificazionenaturale. Peraltro tale terminologia regge in algebra fino intorno al 1930.

Cantor aveva letto e studiato il X supplemento, che cita nel 1878, ma unfatto notevole e curioso e che nella sua serie di articoli dal 1879 all’1884 usa laterminologia di Dedekind di divisori e multipli per le operazioni insiemistiche,nonostante non appaia adatta al contesto insiemistico, e Dedekind stesso laeviti fuori dall’algebra.

Sempre nel X supplemento si trovano le definizioni di anello (chiama-to “ordine”, il termine “anello” sara introdotto da Hilbert), modulo, idea-le; l’esposizione e considerata da Noether, Bourbaki, Landau la creazionedell’algebra moderna.

Nell’ottica della nascente insiemistica, e da rilevare il modo come De-dekind arriva alla sua definizione di “ideale”. Siccome la introduzione deinumeri ideali da parte di Kummer serviva soltanto a ottenere una buonateoria della divisibilita, e il teorema della fattorizzazione unica, Dedekindconsidera l’insieme dei numeri che sono divisibili da uno stesso numero idea-le (nel senso impreciso e insoddisfacente di Kummer); esamina le proprietadi questo insieme che servono alla dimostrazione, e le individua in due con-dizioni: se due elementi vi appartengono anche la loro somma e differenzavi appartiene, e il prodotto di uno di essi per un numero qualunque vi ap-partiene. Dedekind definisce quindi come un ideale un insieme con questeproprieta. Alcuni ideali sono costituiti da tutti i multipli di un dato numero,e sono gli ideali principali, gli altri si dimostra che possono sempre esserescomposti in prodotti di ideali principali, facendo tornare il teorema dellafattorizzazione unica.

Dedekind utilizza cioe in modo “naturale”, per sua ammissione, il pas-saggio dalla proprieta di divisibilita all’insieme degli elementi divisibili; tec-nicamente si tratta di una applicazione del principio di comprensione, mail risultato e una versione estensionale delle proprieta che interessano e unamaggior presenza di entita insiemistiche nella matematica:

13Supplemento X, del 1871, in Werke, cit., vol. 3, pp. 223-4.

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Il problema e essenzialmente semplificato dalle seguenti riflessioni.Siccome una tale proprieta caratteristica A serve a definire nonil numero ideale in se,ma solo la divisibilita dei numeri contenutinel v [anello di interi] da parte del numero ideale, si e natural-mente condotti a considerare l’insieme a di tutti quei numeri αnel dominio v che sono divisibili da un certo numero ideale; d’orain avanti chiamera tale sistema a, in breve, un ideale e cosı a ogniparticolare numero ideale corrisponde un certo ideale a. Ma sic-come, reciprocamente, la proprieta A [. . . ] consiste solo nel fattoche α appartiene al corrispondente ideale a, si puo, invece delleproprieta A,B,C, . . . [. . . ] considerare i corrispondenti ideali a,b, c, . . . al fine di stabilire il loro carattere comune ed esclusivo14.

Tuttavia Dedekind non chiama numeri gli ideali e non vi associa nuovi nume-ri, a differenza di quanto fara nel caso degli irrazionali. Li considera proprioinsiemi:

Proprio come noi possiamo concepire una totalita di infinite fun-zioni dipendenti da una variabile, con un tutto, ad esempio quan-do collezioniamo tutte le forme equivalenti in una classe, la deno-tiamo con una singola lettera e la sottoponiamo a composizione,con lo stesso diritto io posso concepire un sistema A di infinitinumeri completamente determinati in v, che soddisfano due con-dizioni estremamente semplici I e II, con un tutto, e chiamarloideale15.

Gli ideali sono forse il primo esempio di un nuovo oggetto matematico intro-dotto consapevolmente come un insieme infinito.

14“Sur la theorie des nombres entiers algebriques”, Bulletin des Sciences mathematiqueset astronomiques, 11 (1876), 1 (1877), in Werke, cit. , vol. 3, pp. 262-96.

15Lettera a Lipschitz del 1876, in R. Lipschitz, Briefwechsel mit Cantor, Dedekind,Helmholtz, Kronecker, Weierstrass und anderen, Teubner, Leipzig, 1986, p. 62.

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1872

Nel 1872 Dedekind si dedica alla definizione dei numeri preparando due fon-damentali lavori, uno impostato e uno pubblicato. Inizia una bozza sui nu-meri naturali1 alla quale lavorera in modo intermittente fino al 1878, perriprenderla nel 1887 e pubblicarla nel 1888 con il titolo Was sind und wassollen die Zahlen. Pubblica invece Continuita e numeri irrazionali che con-tiene la definizione dei numeri reali e la discussione della continuita2. Questolavoro e fondamentale per capire le motivazioni dell’aritmetizzazione dellamatematica, che si fa risalire di solito a Karl Weierstrass (1815-1897).

Il 1872 e uno di quegli anni fatali nella storia della matematica dove siha una confluenza di scoperte o risultati simultanei, segno della maturazionedei problemi, e di esigenze comuni, al di la dei percorsi e delle motivazionidei singoli. Vedono la luce pubblica tre diverse soluzioni della definizionedei numeri reali, quella di Weierstrass in un libro di E. Kossak3, quella diCantor4 e quella di Dedekind, mentre nel 1869 era uscita quella di CharlesMeray (1835-1911), tutte indipendenti.

La definizione di Meray e sostanzialmente precisata da Cantor, e anchequella di Weierstrass, piu complicata, basata sulle serie, e riducibile allastessa. Tutte e tre sono basate su successioni di numeri razionali. Quella diDedekind invece si discosta dalle altre per un uso piu originale e diretto degliinsiemi. Le piu antiche sono quella di Weierstrass, che regolarmente trattaval’argomento nelle sue lezioni, e quella di Dedekind, che egli fa risalire al 1858.

Dedekind dichiara di essere stato spinto a interessarsi del problema dall’e-sperienza di insegnamento al Politecnico di Zurigo a partire dal 1858, quandosi accorse che la dimostrazione di teoremi sui limiti, quali il fatto che unagrandezza variabile crescente limitata superiormente ha un limite, erano ba-sate su considerazioni geometriche; pur didatticamente utile, tale imposta-zione non poteva considerarsi scientifica. Dedekind nella bozza sui numeri

1“Versuch einer Analyse des Zahl-Begriffs vom naiven Standpuncte aus”, pubblicata inappendice a Dugac, Richard Dedekind , cit., pp. 293-309.

2R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen. Vieweg, Braunschweig, 1872; trad.it. Continuita e numeri irrazionali (a cura di O. Zariski), Casa Editrice Alberto Stock,Roma, 1926 e in Scritti sui fondamenti della matematica (a cura di F. Gana), Bibliopolis,Napoli, 1983.

3E. Kossak Die Elemente der Arithmetk , Friedrich-Werderschen Gymnasium, Berlin,1872. Weierstrass non avallo con la sua approvazione l’esposizione di Kossak.

4G. Cantor, “Uber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischenReihen”, Mathematische Annalen, 5 (1872), pp. 123-32.

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naturali aveva gia scritto l’epigrafe che ripetera nella pubblicazione del 1888:“Quello che e dimostrabile, non deve essere accettato nella scienza senzadimostrazione”.

La definizione dei numeri reali segna l’apice del metodo che Hilbert chia-mera genetico: tutte le soluzioni proposte assumono come dati i razionali ecostruiscono i reali con operazioni insiemistiche che sono trattate come logica-mente accettabili, non problematiche e nemmeno notate, anche se richiedonol’infinito5.

Piu che di coronamento del metodo genetico si dovrebbe parlare dellacomparsa completamente formata del metodo stesso, perche i gradini pre-cedenti, degli interi come coppie di naturali e dei razionali come coppie diinteri sono definiti nello stesso periodo. Si trovano in manoscritti di Dedekindnon pubblicati ma forse precedenti di poco il 1872; e possibile che Dedekindsia stato influenzato dalla soluzione trovata da Hamilton6 per i complessi,definiti come coppie di numeri reali.

Per Dedekind era essenziale che la estensione graduale del concetto dinumero si basasse sempre sui concetti precedentemente stabiliti “e senza farintervenire rappresentazioni estranee (ad esempio quella di grandezza misu-rabile)”. Con la definizione dei numeri naturali, diventa evidente che ogniteorema di algebra e di analisi si puo esprimere come un teorema sui numerinaturali; ma Dedekind non caldeggia affatto una simile riduzione: “Al contra-rio, i progressi piu grandi e fecondi nella matematica e nelle altre scienze sonodovuti prevalentemente alla creazione e all’introduzione di nuovi concetti, re-se necessarie dalla frequente ricomparsa di fenomeni complessi difficilmentedominabili per mezzo dei vecchi concetti”7.

Ci si puo chiedere perche nessuno sia ricorso al metodo assiomatico. Que-sto nella versione moderna non era ancora diffuso e canonizzato, ma soltanto

5La definizione di Z da N e quella di Q da Z erano sostanzialmente note, o meglioscontate, ma probabilmente approssimative, e forse pochi si preoccupavano come Dedekinddi sviluppare almeno privatamente i dettagli.

6W. R. Hamilton, Lectures on Quaternions, Hodges & Smith, Dublin, 1853. Dedekindl’aveva letto nel 1857. Hamilton considerava l’algebra come la scienza del tempo, fondatasu una intuizione del tempo che forniva le idee di “passo”, “rapporto” e anche di “coppiadi momenti” su cui riteneva di poter basare una teoria delle coppie di numeri [couples ofnumbers].

7Prefazione a Was sind und was sollen die Zahlen, cit., p. 82. Non e escluso chequesto sia uno dei motivi per cui Dedekind insistera, come vedremo, sulla opportunitadi considerare i numeri reali come creati in corrispondenza a insiemi di razionali, e nonidentificati con essi.

80

in fieri ; i sistemi assiomatici che erano proposti soprattutto dagli algebri-sti inglesi avevano bisogno di trovare una interpretazione, spesso forzata (iltempo per l’algebra di Hamilton, le leggi del pensiero per l’algebra di Boole);per il resto, sembravano giochi simbolici; in questo caso invece non si volevasoltanto essere in grado di derivare tutti i teoremi dell’analisi, ma si voleva-no caratterizzare i numeri, e non avere alcun’altra possibile interpretazione.D’altra parte la versione assiomatica euclidea, per cui gli assiomi sono veritache non possono essere dimostrate, non si conciliava bene con l’idea che i nu-meri fossero una creazione della mente, e come tale non ammettessero veritaindimostrate. L’assioma di continuita, la cui necessita come vedremo si eimposta solo dopo la sistemazione di Cantor e Dedekind, e che sara propostoproprio come un assioma in stile euclideo, riguarda il rapporto tra i numerie la retta, non i numeri in se.

Non si puo dire che Dedekind fosse ignaro di come funziona un sistemaassiomatico; lo illustra bene, meglio di molti assiomatizzatori, in un inciso diuna lettera del 1876 a Lipschitz, dove spiega come secondo lui la continuitasia un concetto che ha origine nell’analisi. Nella geometria euclidea non c’ebisogno di questa nozione, e giustamente Euclide non se ne e occupato.

Analizziamo tutte le assunzioni, quelle esplicite e quelle tacite,sulle quali poggia l’intero sistema della geometria euclidea; am-mettiamo la verita di tutti i suoi teoremi e la possibilita di eseguiretutte le sue costruzioni. (Un metodo infallibile per una tale anali-si consiste, secondo me, nel sostituire tutte le espressioni tecnichecon parole inventate sul momento (finora senza senso); l’edificionon dovrebbe collassare, se ben costruito8, e io asserisco che, adesempio, la mia teoria dei numeri reali supera questa prova). Innessun luogo, per quanto ho analizzato, incontriamo in questomodo la continuita dello spazio come condizione che sia indisso-lubilmente legata alla geometria euclidea. L’intero sistema reggesenza la continuita – una conclusione che risultera certo sorpren-dente per molti, e che per questa ragione mi sembrava meritevoledi essere menzionata9.

Nella prefazione al volume del 1888 precisa:

8[Dedekind sembra anticipare l’osservazione di Hilbert (a Frege) che se a “punto, retta,piano” si sostituiscono le parole “legge, amore, spazzacamino” i teoremi della geometriarestano validi e diventano proprieta di queste cose.]

9Dedekind, Werke, cit., vol. 3, p. 479

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[. . . ] ho osservato che per una gran parte della scienza dello spaziola continuita delle immagini spaziali non si presenta in nessunmodo come una premessa necessaria, e cio indipendentemente dalfatto che la continuita, per quanto incidentalmente menzionatanei libri di geometria, non vi e mai ben definita e quindi non vipuo essere neppure sfruttata quale mezzo di dimostrazione.

Se infatti consideriamo soltanto i punti dello spazio a coordinate algebri-che, lo spazio costituito da questi punti e ovunque discontinuo, ma tutte lecostruzioni della geometria euclidea vi sono comunque realizzabili10.

Tanto piu inaccettabile risulta allora che si voglia basare l’analisi sullaintuizione geometrica.

Spesso si dice che il calcolo differenziale si occupa di grandezzecontinue, eppure non si da mai una definizione rigorosa di questacontinuita. Le trattazioni piu rigorose che si hanno del calco-lo differenziale non basano le loro dimostrazioni sulla continuita,ma fanno invece appello piu o meno coscientemente a rappre-sentazioni geometriche o si servono di teoremi che a loro voltanon furono mai rigorosamente dimostrati con mezzi puramentearitmetici. A questi teoremi appartiene, per esempio, il teoremasopra menzionato [che una grandezza variabile crescente e limi-tata superiormente ha un limite] ed io, dopo un esame accurato,mi sono convinto che questo teorema o ogni altro teorema ad essoequivalente puo essere considerato in un certo senso come basesufficiente del calcolo differenziale. E allora si trattava soltantodi scoprire negli elementi dell’aritmetica la vera origine di questoteorema, acquistando con cio nello stesso tempo una definizioneeffettiva della continuita11.

Le proprieta di ordine dei razionali valgono per la retta, ove ad a < b sifaccia corrispondere “p a sinistra di q”; scelto un punto origine e una unitadi misura, tutti i razionali si possono portare sulla retta. Ma esistono infinitipunti sulla retta che non corrispondono a nessun razionale12 .

Di solito numeri irrazionali sono introdotti partendo dalle grandezze esten-sive, senza definirle, e definendo il numero come risultato della misura di una

10Anche Cantor dara un esempio simile, di un continuo “sparso” e smilzo.11trad. Zariski, p. 122.12Se si considera ad esempio un quadrato di lato 1 e la sua diagonale

82

grandezza per mezzo di un’altra, ma cosı secondo Dedekind non si da contodei complessi (e nemmeno dei negativi); invece il concetto di rapporto tragrandezze puo essere introdotto solo se si hanno gia gli irrazionali.

Dedekind inizia ricordando le proprieta dei numeri razionali R, e precisa-mente che formano un corpo, che inoltre e ordinato, con un ordine denso econ la seguente proprieta:

3

Se a e un numero dato, allora tutti i numeri del sistema Rsi ripartiscono in due classi A1 e A2, contenenti ognuna infinitielementi; la prima classe A1 contiene tutti i numeri a1 che sono< a, la seconda classe A2 comprende tutti i numeri a2 che sono> a. Il numero a stesso puo essere incluso a piacere nella prima onella seconda classe, e sara allora corrispondentemente o il nume-ro massimo della prima classe, o il numero minimo della secondaclasse. In ogni caso la ripartizione del sistema R nelle due classiA1, A2 e di tale natura che ogni numero della prima classe A1 eminore di ogni numero della seconda classe A2.

Nel paragrafo 4, intitolato “La creazione dei numeri irrazionali”, Dedekindprocede nel seguente modo:

Ora, noi chiameremo sezione e indicheremo col simbolo (A1, A2)ogni ripartizione del sistema R in due classi A1, A2 che goda sol-tanto di questa proprieta caratteristica, che ogni numero dellaclasse A1 sia minore di ogni numero della classe A2.

Osserva quindi che esistono sezioni che non sono prodotte da alcun numerorazionale, e “nel fatto che non tutte le sezioni sono prodotte da numeri razio-nali consiste l’incompletezza o la discontinuita del campo R di tutti i numerirazionali”.

-

6

ppp rp p

e si ruota la diagonale sull’asse delle ascisse si trova un punto che non corrisponde a unrazionale

83

Orbene, ogni volta che e data una sezione (A1, A2) che non siaprodotta da alcun numero razionale, noi creiamo un nuovo nu-mero, un numero irrazionale α, che noi consideriamo come com-pletamente definito da questa sezione; noi diremo che il numeroα corrisponde a questa sezione e che esso la produce.

L’insieme dei numeri reali R e l’insieme che si ottiene aggiungendo airazionali gli irrazionali cosı definiti.

Il modo di procedere di Dedekind e simile (con una differenza essenzialesu cui torneremo) a quello usato a proposito degli ideali, e consiste in unribaltamento che introduce all’inizio nella definizione quello che deve esserel’obiettivo che si vuole raggiungere. Come per gli ideali aveva considerato leproprieta di chiusura dell’insieme dei multipli di un intero, e aveva definitocome ideale un insieme con le stesse proprieta formali, cosı ora considera lesezioni individuate dai razionali e le proprieta di queste; e ove una sezionenon sia prodotta da un razionale, introduce un numero che la produce. Pergli ideali non aveva introdotto numeri ideali ma aveva considerato gli insiemiin se.

Adesso a ogni sezione corrisponde uno e un solo numero, e due numerisono distinti solo se corrispondono a due sezioni sostanzialmente distinte.

Per il confronto tra numeri, occorre dare alcune definizioni sulle sezioni. Datedue sezioni (A1, A2) e (B1, B2) puo succedere che A1 = B1, quindi A2 = B2 eallora si dira che α = β.

Se invece A1 e B1 non coincidono, esiste in una, per esempio A1, un numero a′

non contenuto in B1, quindi in a′ = b′ ∈ B2. Allora tutti i numeri di B1 sono minoridi a′ e quindi contenuti in A1. Ma se a′ e l’unico numero di A1 non contenuto inB1, gli altri sono contenuti in B1 e quindi < a′ e dunque in A1 e risulta che a′ e ilmassimo di A1; d’altra parte b′ risulta il minimo di B2 e i numeri corrispondentialle due sezioni sono uguali.

Se invece esistono in A1 almeno due numeri che non sono contenuti in B1,infiniti numeri sono in questa posizione, e i due numeri α e β corrispondenti allesezioni sono distinti e si dira che α < β.

Vengono definite quindi le operazioni (solo la somma con qualche det-taglio). L’insieme dei numeri reali R costituisce quindi un corpo ordinato,denso, con la proprieta che ogni numero individua una sezione tale che essoe il numero corrispondente alla sezione. Inoltre R gode della proprieta diessere continuo, come Dedekind dimostra:

84

IV. Se il sistema R di tutti i numeri reali e decomposto in dueclassi A1, A2 di tale natura che ogni numero α1 della classe A1 eminore di ogni numero α2 della classe A2, allora esiste uno e unsolo numero α dal quale questa partizione e prodotta.

La dimostrazione consiste nel seguente ragionamento: la partizione A1, A2 diR determina anche una partizione dei razionali dove in A′1 stanno tutti i numerirazionali di A1, e in A′2 i rimanenti. Questa sezione produce un numero α. Seβ e distinto da α, esistono infiniti razionali c tra β e α (supponendo β < α); cappartiene a A′1, quindi anche a A1, e siccome β < c anche β ∈ A1, perche ogninumero di A2 e maggiore di ogni numero di A1. Analogamente se α < β. Quindiogni numero β distinto da α appartiene o ad A1 o ad A2 a seconda che sia minoreo maggiore di α. Quindi α o e il massimo di A1 o il minimo di A2, cioe l’unico cheproduce la partizione A1, A2.

Per quel che riguarda il confronto con la retta, Dedekind osserva:

Dal confronto fatto sopra tra il corpo R dei numeri razionali ela retta siamo stati portati a riconoscere il carattere lacunoso,incompleto, la discontinuita del primo, mentre alla retta noi at-tribuiamo la proprieta di essere completa, senza lacune, ossia con-tinua . . . Si e rilevato nel § precedente che ogni punto p della rettadetermina una decomposizione della medesima in due parti di ta-le natura che ogni punto di una di esse sta a sinistra di ogni puntodell’altra. Ora io vedo l’essenza della continuita nell’inversione diquesta proprieta, cioe nel principio seguente:

“Se una ripartizione di tutti i punti della retta in due classi e ditale natura che ogni punto di una delle classi sta a sinistra di ognipunto dell’altra, allora esiste uno e un solo punto dal quale questaripartizione di tutti i punti in due classi, o questa decomposizionedella retta in due parti, e prodotta”.

. . . La maggior parte dei miei lettori provera una grande disil-lusione nell’apprendere che e questa banalita che deve svelare ilmistero della continuita.

Tale principio, per la retta, deve essere inteso come un assioma; da essosegue che a ogni punto della retta si puo far corrispondere un numero; unavolta fissata una origine a un segmento unitario, e immediato sistemare sulla

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retta i numeri razionali; per quelli irrazionali, si deve sfruttare l’assioma dicontinuita.

Il fatto che nella teoria dei numeri si possa fare a meno di un simileassioma di continuita, sostituito dal teorema §5,IV, e per Dedekind, comeper Cantor, una prova che la teoria dei numeri e superiore, piu pura, rispettoalla geometria.

I numeri irrazionali sono da noi creati, secondo Dedekind, in corrispon-denza alle sezioni, non sono le sezioni stesse. Si potrebbe anche pensare inquesto modo:

Se uno non vuole introdurre nuovi numeri, non ho nulla da obiet-tare; il teorema che ho dimostrato (§5,IV [teorema sulla conti-nuita, vedi sopra]) reciterebbe allora: il sistema di tutte le sezioninel dominio dei numeri razionali – in se discontinuo – costituisceun insieme [Mannigfaltigkeit ] continuo13.

Ma per Dedekind possiamo sempre creare qualcosa di nuovo in corrispon-denza agli insiemi, purche la costruzione sia rigorosa; lo afferma esplicita-mente in una lettera a Weber:

Lei dice che il numero irrazionale non e altro che la sezione stessa,mentre io preferisco creare qualcosa di nuovo (differente dallasezione) che corrisponde alla sezione di cui io dico che porta inessere, crea il numero. Abbiamo il diritto di ascrivere una talepotenza creativa a noi stessi14.

Il motivo di questa insistenza, a differenza del caso degli ideali, puo dipenderedal fatto che pensare a un numero come un insieme e forse troppo inusuale einoltre, come si evince dal seguito del brano citato, rischierebbe di mescolarein modo improprio il linguaggio algebrico a quello insiemistico: anche i razio-nali infatti producono sezioni, ma non si direbbe che un razionale e identicoalla sezione che produce, e si possono dire tante cose sulla sezione che nonavrebbero molto senso per i reali.

13Lettera a Lipschitz, cit., in Dedekind, Werke, cit., vol. 3, p. 471.14Lettera a Heinrich Weber, in Ewald, From Kant to Hilbert , cit., vol. 2, pp. 834-5:

“Wir sind gottlichen Geschlechtes und besitzen ohne jeden Zweifel schopferische Kraftnicht blos in materiellen Dingen (Eisenbahnen, Telegraphen) sondern ganz besonders ingeistlichen Dingen”; trad. it. in Scritti sui fondamenti della matematica, cit., p. 145.

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In alcune lettere a Lipschitz15 del 1876 Dedekind oltre a insistere sul-l’opportunita di introdurre nuovi numeri spiega cosa ci sia di nuovo nellasua definizione rispetto a quella di Euclide relativa al rapporto tra grandezzeomogenee, nella quale molti vedono una anticipazione delle sezioni16.

Il saggio termina con un paragrafo sull’analisi infinitesimale, dove Dede-kind dimostra che una grandezza variabile x crescente e limitata superior-mente ha un limite, affermando anche che tale teorema e la continuita sonoequivalenti, e che esso e il fondamento di tutta l’analisi. Dimostra infattianche la caratterizzazione di Cauchy dei limiti, cioe che “se per ogni datonumero positivo δ la variazione di x diventa definitamente minore di δ, allorax tende a un limite”, deducendola direttamente dal principio di continuita.

15Trad. it. in Scritti sui fondamenti della matematica, cit., pp. 129-40.16Sull’argomento Dedekind insiste anche nella prefazione al lavoro del 1888, commen-

tando le definizioni di J. Tannery e di J. Bertrand; cfr. Scritti sui fondamenti dellamatematica, cit., p. 84.

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AppendiceI reali come sezioni di Dedekind

Sia Q il campo ordinato dei numeri razionali.Definizione Una sezione, o taglio di Dedekind e un sottinsieme R ⊂ Q tale che

(i) ∅ 6= R 6= Q(ii) R e chiuso verso il basso, nel senso che q ∈ R ∧ r < q → r ∈ R(iii) R non ha massimo.

Le sezioni di Dedekind saranno anche detti numeri reali; R e l’insieme dellesezioni di Dedekind.

Lemma 1 La relazione di inclusione tra le sezioni e una relazione d’ordine totale.

Dimostrazione La relazione di inclusione e chiaramente transitiva, e l’unicacondizione da verificare e la connessione: supponiamo che X non sia incluso in Yne uguale; allora esiste r ∈ X \ Y ; preso q ∈ Y qualsiasi, se r ≤ q allora r sarebbein Y , quindi q < r, e q ∈ X, cioe Y ⊂ X. 2

Poniamo X <R Y se e solo se X ⊂ Y . La proprieta di completezza e espressadal seguente

Lemma 2 Se A e un insieme ⊂ R non vuoto limitato superiormente, A ha unestremo superiore

Dimostrazione Rispetto alla inclusione,⋃A e l’estremo superiore di A; quello

che bisogna far vedere e che⋃A ∈ R.

Ovviamente⋃A 6= ∅, e

⋃A 6= R perche esiste un maggiorante; se q ∈

⋃A e

r < q, allora q ∈ X per qualche X ∈ A, e r ∈ X, e quindi r ∈⋃A.

⋃A non ha

massimo, perche questo sarebbe un massimo di un suo elemento. 2

Questo lemma, dalla semplicissima dimostrazione, e quello che serve a derivarepiu il teorema 5.IV di Dedekind, e tutte le conseguenze per l’analisi.

Definiamo ora le operazioni, incominciando dalla addizione; posto

X +R Y = q + r | q ∈ X, r ∈ Y

si deve dimostrare

Lemma 3 X +R Y ∈ R se X,Y ∈ R.

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Dimostrazione X +R Y non e vuoto, se X e Y non sono vuoti; e 6= Q perchese q′ ∈ Q \ X, r′ ∈ Q \ Y , allora per ogni q ∈ X ed r ∈ Y si ha q < q′ e r < r′,quindi q + r < q′ + r′, e questo vuol dire che q′ + r′ /∈ X +R Y .

Se p < q + r ∈ X +R Y allora p − q < r, p − q ∈ Y , e p si puo’ scriverep = q + (p− q), il primo addendo in X e il secondo in Y , quindi p ∈ X +R Y .

Non c’e un massimo, perche se q + r ∈ X +R Y e q < q′ ∈ X e r < r′ ∈ Yallora q + r < q′ + r′ ∈ X +R Y . 2

Che l’addizione sia associativa e commutativa e facile da dimostrare. Si ponepoi

0R = r ∈ Q | r < 0

e si ha

Lemma 4 Per ogni x ∈ R, x+R 0R = x.

Dimostrazione Si deve dimostrare che

x = r + s | r ∈ X, s < 0.

L’inclusione da destra a sinistra e ovvia. Se p ∈ X, esiste un r tale che p < r ∈ X,perche X non ha massimo; s = p− r < 0, e p = r + s. 2

L’unica definizione un po’ complicata e quella dell’opposto,

−X = r ∈ Q | ∃s > r(−s /∈ X).

Si dimostra innanzi tutto che

Lemma 5 −X ∈ R.

Dimostrazione(i) −X non e vuoto, perche preso t /∈ X, se r = −t−1, allora r = −t−1 ∈ −X.(ii) −X non e uguale a Q, perche se p ∈ X allora −p /∈ −X; infatti se s > −p

allora −s < p ∈ X, quindi −s ∈ X e quindi −p non appartiene a −X.(iii) Se q < r ∈ −X, allora ∃s > r(−s /∈ X) quindi ∃s > q(−s /∈ X) e q ∈ −X.(iv) Se r ∈ −X, allora ∃s > r(−s /∈ X) ma per la densita di Q, ∃p(s > p >

r ∧ −s /∈ X), quindi p > r appartiene a −X. 2

Quindi si dimostra che

Lemma 6 Per ogni X ∈ R, X +R (−X) = 0R. 2

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Le ulteriori definizioni sono: | X |= X∪(−X), per cui si dimostra che | X |≤ Xe

X · Y = 0R ∪ rs | 0 ≤ r ∈ X, 0 ≤ s ∈ Y

per X e Y positivi; per gli altri casi, si estende la definizione mettendo il segnopositivo o negativo secondo la regola dei segni.

Quindi si dimostrano le proprieta della moltiplicazione e R risulta un corpocommutativo ordinato e completo, che e il modo come si presenta assiomaticamentel’insieme dei numeri reali.

Abbiamo gia scritto gli assiomi dei campi (che sono i corpi commutativi17).Per ottenere gli assiomi dei campi ordinati occorre aggiungere

∀x(x 6< x)∀x, y, z(x < y ∧ y < z → x < z)∀x, y(x < y ∨ x = y ∨ y < x)

∀x, y, z(x < y → x+ z < y + z)∀x, y, z(x < y ∧ 0 < z → x · z < y · z)

L’assioma di completezza18 si puo formulare nel seguente modo, che afferma cheogni sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente ha un estremo superiore:

∀X 6= ∅(∃a∀x ∈ X(x ≤ a)→ ∃l(∀x ∈ X(x ≤ l) ∧ ∀r < l∃x ∈ X(r < x ≤ l))).

A differenza degli altri, questo richiede un quantificatore su sottoinsiemi di R, cioee una formula del secondo ordine.

Grazie a questo assioma si dimostra che due campi ordinati completi sonoisomorfi, entrambi il completamento di Q.

17Dove cioe la moltiplicazione e commutativa; l’addizione si assume commutativa anchenei corpi.

18O continuita. Naturalmente in un’impostazione assiomatica la continuita deve esserepostulata anche per i numeri.

90

1888

Con il 1872 inizia anche il lavoro di Cantor che lo portera in circa venti annialla definizione della teoria matematica degli insiemi. Ci soffermiamo ancorapreliminarmente tuttavia su Dedekind, per esaminare il suo contributo piuimportante alla concezione della teoria degli insiemi come teoria fondazionale.

Gli scritti da prendere in considerazione sono Was sind und was sollendie Zahlen del 1888, un abbozzo dello stesso del 1872 (rivisto a piu ripresefino al 1878), e la nuova versione del 1887, prima della stampa del volume.

L’abbozzo del 1872 va oltre precedenti riflessioni di Dedekind contenutein due manoscritti intitolati Arithmetische Grundlagen quasi certamente pre-cedenti1. In questi, indipendentemente da Grassmann2, Dedekind presentadefinizioni ricorsive delle operazioni di somma e prodotto con dimostrazio-ni per induzione delle loro proprieta algebriche. L’impostazione e quella dicreare [Erschaffung ] i numeri da 1 con un “atto +1”. Ma nella penultimapagina introduce una impostazione astratta, considerando addizione e mol-tiplicazione come funzioni a due argomenti e scrivendo la definizione dellaprima come

ϕ(a, d(b)) = dϕ(a, b)ϕ(a, 1) = d(a).

L’atto di aggiungere 1 e sostituito da una funzione d : N −→ N e la succes-sione dei numeri e presentata come 1, d(1) = 2, d(2) = 3, . . .

L’abbozzo del 1872 si propone, per dichiarazione programmatica, di ana-lizzare il concetto di numero da un punto di vista naive; il significato deltermine non e quello contemporaneo, che lo contrappone a una impostazioneformale, oppure spesso indica soltanto una trattazione acritica e non appro-fondita; con “naive” Dedekind probabilmente intende che i concetti di siste-ma e applicazione (Abbildung)3, su cui si basa, e che secondo lui sarebbero

1La datazione e discussa in Ferreiros, Labyrinth, cit. p. 222.2Lehrbuch der Arithmetik , cit.3Il termine tedesco Bild significa “immagine” o “figura”, ma anche “immagine men-

tale” o “idea”. Nelle trad. it. sia di O. Zariski sia di F. Gana Abbildung e tradotto“rappresentazione”, ma noi in seguito useremo sia “rappresentazione” sia “applicazione”,e sempre piu spesso quest’ultima, per facilitare il confronto con la terminologia attuale.In inglese e stato usato tranformation.

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indispensabili anche se il concetto di numero fosse dato in una sorta di in-tuizione interna, appartengono alla logica. Nel paragrafo intitolato “Sistemidi elementi” nel 1887 compare a fianco “(Logica)”, eliminato dalla versionea stampa.

La spiegazione di “insieme” e la seguente:

Una cosa e qualunque oggetto del nostro pensiero . . .

Un sistema o totalita [varieta] S di cose e determinato quando diogni cosa e possibile giudicare se essa appartiene o no al sistema.

Noi trattiamo tutte le cose che hanno una proprieta comune, nellamisura in cui le differenze tra di esse non sono importanti, comeuna cosa nuova in contrasto con tutte le altre cose. La chiamiamosistema, o totalita di tutte queste cose.

La parola Mannigfaltigkeit era scritta a margine. Con “totalita” traduciamoInbegriff , che e di ardua traduzione4; in inglese lo si rende con “collezione”,ma sembra una traduzione forzata in senso insiemistico; in tedesco e ovvioil collegamento con Begriff , che tende a far pensare alla estensione di unconcetto.

Vengono poi definiti “parte” e “parte propria”, l’unione di due insie-mi, chiamata minimo comune multiplo, o “sistema composto”, e infine leapplicazioni e le applicazioni iniettive:

Un sistema S e distintamente applicabile [rappresentabile] in unsistema T quando a ogni cosa contenuta in S (originale) si puodeterminare una (corrispondente) cosa contenuta in T (imma-gine) in modo che immagini differenti corrispondano a originalidiversi.

A margine la definizione e riformulata in modo piu scorrevole; dicendo che aogni a corrisponde un elemento a | ϕ, e che l’applicazione e distinta quandoa′ | ϕ 6= a′′ | ϕ se a′ e a′′ sono differenti. L’intenzione dichiarata e quella distudiare le applicazioni di un sistema S in se, distinte o non distinte.

Viene quindi la definizione di “infinito” (o, come si dira poi per chiarezza,“riflessivo”):

4I dizionari oltre a “totalita” danno anche “essenza”. Per “totalita” c’e anche il termineGesamtheit , usato una volta (vedi oltre) da Dedekind.

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Un sistema S e detto infinito (o, il numero delle cose contenute inesso e detto infinitamente grande) quando esiste una parte U di Sche e differente da S e nella quale S puo essere applicato in mododistinto; il sistema S e detto finito (o: S consiste di un numerofinito di cose) quando non esiste alcuna parte U di S diversa daS nella quale S sia applicabile in modo distinto.

Non si sa quando e come sia venuta a Dedekind l’idea di questa definizione.Nel 1888 Dedekind in una nota dichiara di averla comunicata a Cantor nel1882, e a Schwarz e Weber alcuni anni prima. Cantor fara in privato una timi-da rimostranza a Dedekind affermando di aver sottolineato la distinzione trafinito e infinito fin dal 1877, pubblicata nel 18785, pur non volendo sostenerela priorita; ma nel 1882 quando “dubitava che fosse possibile una definizionesemplice, rimase molto stupito quando io, provocato dai suoi dubbi, gli co-municai, su sua richiesta la mia; a volte capita di possedere qualcosa senzaapprezzarne debitamente il valore e il significato. Anch’io non ho nessunavoglia di una polemica sulla priorita”6.

L’unico riferimento al travaglio intellettuale che ha partorito la sua de-finizione Dedekind lo accenna nella prefazione alla seconda edizione di Wassind und was sollen die Zahlen, dove parla della scelta di assumere la rifles-sivita come definizione dell’infinito, per “costruire in modo puramente logicola scienza dei numeri”, come di un “faticoso lavoro”, perche sono possibilidefinizioni completamente diverse7.

In Was sind und was sollen die Zahlen, Dedekind ripete l’impostazionedei precedenti abbozzi, con qualche sfumatura.

5Nell’occasione Cantor, dopo avere definito la equivalenza tra insiemi, e la cardinalita,aveva osservato che per gli insiemi infiniti puo succedere che un insieme sia equivalentea una sua parte propria; non aveva tuttavia usato questa proprieta, peraltro nota, daGalileo almeno in poi, come definizione. Solo dopo il 1888 Cantor dara esplicitamente ladefinizione di “infinito”, senza alcuna attribuzione.

Nella prefazione alla seconda edizione di Was sind und was sollen die Zahlen, 1893,Dedekind si sente in dovere di precisare che la proprieta da lui usata come definizione di“infinito” era stata enunciata da Cantor nel 1878, ma anche da Bolzano nel 1851, ma che“nessuno dei due ha cercato di assumere questa proprieta come definizione dell’infinito”.

6Dedekind, lettera a H. Weber del 24 gennaio 1888, trad. it. in Scritti sui fondamentidella matematica, cit., p. 144.

7Scritti sui fondamenti della matematica, cit., p. 86. Torneremo piu avanti su questaosservazione.

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Nella prefazione dove, dopo aver ricordato altre opere recenti sul numero,la cui comparsa lo ha convinto a pubblicare le sue idee8, dichiara che l’im-perativo di non credere senza dimostrazione a cio che e dimostrabile non glipare soddisfatto “nemmeno nei fondamenti della scienza piu semplice e cioedi quella parte della logica che tratta della teoria dei numeri”.

Gia il fatto che io parli dell’aritmetica (algebra, analisi) solo comedi una parte della logica mostra che considero il concetto di nu-mero del tutto indipendente dalle rappresentazioni, o intuizionidello spazio e del tempo, e che lo ritengo piuttosto un’emanazio-ne diretta delle pure leggi del pensiero. Alla domanda formulatanel titolo di questo scritto io rispondo fondamentalmente cosı: inumeri sono libere creazioni dello spirito umano e servono percogliere piu facilmente e piu precisamente la diversita delle cose.

[. . . ] Se osserviamo attentamente cosa facciamo quando contiamoun insieme o una quantita determinata di cose siamo condotti aconsiderare una capacita dello spirito senza la quale e impossibileogni pensiero, la capacita di mettere in rapporto cose con cose,di far corrispondere una cosa a un’altra ovvero di rappresentareuna cosa mediante un’altra cosa.

[. . . ] Chiunque possegga il cosiddetto buon senso puo compren-dere questo scritto; esso non richiede affatto particolari cognizionimatematiche o filosofiche. Ma so benissimo che piu di un lettoreavra difficolta a riconoscere nelle figure indistinte che gli propon-go quei numeri che lo hanno accompagnato per tutta la vita comeamici fedeli e familiari; egli sara spaventato dalla lunga serie di in-ferenze semplici corrispondente alla natura graduale della nostracomprensione, dalla lucida dissezione dei ragionamenti sui qualipoggiano le leggi dei numeri e mal sopportera di dover seguiredelle dimostrazioni di verita che alla sua presunta intuizione in-terna appaiono certe ed evidenti. Invece, proprio nella possibilitadi ricondurre quelle verita ad altre piu semplici, indipendente-mente dalla lunghezza e dalla apparente artificiosita della serie di

8E. Schroder, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Teubner, Leipzig, 1873; L. Kro-necker, “Uber den Zahlbegriff” (1886), Journal fur die reine und angewandte Mathematik(Crelle), 101, 1887, pp. 337-55; H. Helmholtz, “Zahlen und Messen, erkenntnistheoretischbetrachten”, Wissenschaftliche Abhandlungen, Barth, Leipzig, 1882-95, vol. 3, pp. 356-91.

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inferenze, io vedo una dimostrazione convincente del fatto che ilpossesso o la persuasione delle verita in questione non sono maistati dati immediatamente tramite l’intuizione interna, ma sonoacquisiti sempre attraverso una ripetizione piu o meno completadelle singole inferenze. Io paragono questa attivita di pensiero,difficile a seguirsi per la rapidita con cui si svolge, con quella diun buon lettore mentre legge: anche questa lettura consiste sem-pre in una ripetizione piu o meno completa dei singoli passi cheil principiante compie sillabando a fatica. Pero al lettore espertobasta una parte molto piccola di questi passi, e di conseguenzauno sforzo intellettuale minimo, per poter riconoscere corretta-mente una parola, sia pure con una probabilita molto alta; e notoinfatti che anche al correttore piu esperto capita a volte di la-sciarsi sfuggire un errore di stampa, cioe di leggere erroneamente,il che sarebbe impossibile se fosse ripetuta integralmente tutta lacatena di processi mentali corrispondenti alla sillabazione. Cosı,a partire dalla nascita, sempre piu siamo indotti a mettere costan-temente in rapporto oggetti con oggetti, cioe a esercitare quellafacolta dello spirito su cui si basa anche la creazione dei numeri.Grazie a questo esercizio cosı precoce e costante, sebbene involon-tario, e alla relativa formazione di giudizi e di serie di inferenze,noi acquisiamo una ricca messe di verita propriamente aritmeti-che alle quali i nostri primi maestri fanno in seguito appello comea qualcosa di semplice, evidente e dato nell’intuizione interna, ecosı avviene che alcuni concetti in realta molto complesso (peresempio, quello di quantita numerica di oggetti) vengono a tortoritenuti semplici9.

La definizione di “insieme” presentata nel §1 e la seguente, benche nonsia chiamata definizione, a differenza di quella per “applicazione”:

Capita spesso che diverse cose a, b, c . . . considerate per qualcheragione sotto uno stesso punto di vista, siano riunite insieme nel-la mente, e allora uno dice che esse formano un sistema S; lecose a, b, c, . . . sono dette gli elementi del sistema S, che esse so-no contenute in S; viceversa, S consiste di questi elementi. Un

9trad. it. pp. 79-82.

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tale sistema S (o una totalita [Inbegriff ], una varieta [Mannig-faltigkeit ], una collezione [Gesamtheit ]), come oggetto del nostropensiero, e ugualmente una cosa; e completamente determinatoquando, per ogni cosa, e determinato se essa sia un elemento diS o no.

Il sistema S e percio lo stesso del sistema T , in simboli S = T , seogni elemento di S e anche elemento di T e se ogni elemento diT e anche elemento di S.

Qualcuno vede in questa formulazione, rispetto a quella del 1872 che men-zionava le proprieta, un indebolimento dell’uso impegnativo del principio dicomprensione.

Gottlob Frege (1848-1925) avrebbe criticato10 il lavoro di Dedekind de-nunciando la non chiara distinzione tra inclusione ed appartenenza, la con-fusione tra un elemento e il suo singoletto e l’esclusione dell’insieme vuoto11.Dedekind rimedio in seguito a queste deficienze, almeno in alcuni suoi ap-punti dove usera 0 per l’insieme vuoto e [a] per il singoletto. Nel 1888 hasolo un simbolo per l’inclusione12 ed osserva che “poiche ogni elemento s diun sistema S puo essere concepito esso stesso come sistema, possiamo usareanche in questo caso la [stessa] notazione”.

Dopo l’introduzione dell’unione e dell’intersezione, con alcune prime pro-prieta, la definizione di “applicazione” [Abbildung ], per la quale rimanda aDirichlet, e la seguente:

Definizione. Con Abbildung di un sistema S s’intende una legge inbase alla quale a ogni determinato elemento s di S appartiene unadeterminata cosa, che si chiama l’immagine [Bild ] di s e si designacon ϕ(s); diremo anche che ϕ(s) corrisponde all’elemento s, cheϕ(s) risulta, o e generato, da s mediante la rappresentazione ϕ,che s e trasformato in ϕ(s) dalla rappresentazione ϕ.

10Nella introduzione a G. Frege, Grundgesetze der Arithmetik , Pohle, Jena, 1893.11Nel 1888 l’esclusione dell’insieme vuoto e fatta per motivi di comodita. Nel 1887 Dede-

kind aveva scritto esplicitamente che un insieme “puo anche (contraddizione) essere vuoto(non contenere nessun elemento)”, alludendo al fatto che una condizione contraddittoriaha come estensione l’insieme vuoto. La distinzione tra ⊂ e ∈ sara invece chiarita da Fregee da Peano.

12Noi useremo la notazione moderna.

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Il rinvio rispettoso alla formulazione di Dirichlet spiega forse l’inserimento delriferimento a una legge13, che nell’abbozzo non era stata menzionata, comeabbiamo visto sopra, e impedisce a Dedekind di passare alla storia come ilprimo ad aver dato la definizione piu astratta di funzione.

Considera poi l’applicazione identica, dimostra che l’immagine di unaintersezione (dopo aver esteso a insiemi la nozione di immagine) e contenutanell’intersezione delle immagini, e definisce la composizione.

Quindi

Definizione. Una rappresentazione ϕ di un sistema S si dicesimile, o distinta quando a elementi diversi a, b del sistema Scorrispondono sempre immagini diverse a′ = ϕ(a), b′ = ϕ(b).

Spesso indica con s′ l’immagine di s mediante ϕ, anche per immagini diinsiemi, quando non c’e pericolo di ambiguita. Seguono alcune proprietadelle applicazioni simili, inclusa la possibilita di considerare l’applicazioneinversa.

Con le applicazioni simili e (diremmo) suriettive si definiscono gli insiemisimili, e dopo aver provato che si tratta di una relazione di equivalenza siintroducono le classi di equivalenza di insiemi simili, senza tuttavia introdurrequi la nozione di cardinalita. Dedekind era ovviamente a conoscenza dellateoria dei cardinali infiniti che era stata sviluppata da Cantor, ma preferivausare la nozione di ordine come fondamentale.

La definizione di “infinito” e che un insieme e infinito se e simile a unasua parte propria.

Il §4 e dedicato alla nozione piu importante introdotta da Dedekind,quella di “catena” [Kette].

Dato un sistema S e una applicazione ϕ : S −→ S, un sottoinsieme K diS e chiamato “catena” se e solo se ϕ(K) ⊆ K. La “catena del sistema A”,dove A ⊂ S, e l’intersezione di tutte le catene K di S che contengono A, ede indicata da A0.

Dedekind dimostra quindi che la catena A0 e l’insieme tale che: (i) A ⊆A0; (ii) ϕ(A0) ⊆ A0; (iii) se K ⊆ S e una catena e A ⊂ K allora A0 ⊆ K.

Segue il teorema di induzione nella forma generale seguente (anche per ϕnon iniettive):

13Dimenticando tuttavia la precisazione di Dirichlet sulla non necessita di una legge,che abbiamo citato sopra.

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59. Teorema di induzione completa. Per dimostrare che la catenaA0 e una parte di qualunque sistema Σ – sia esso parte di S o no– e sufficiente mostrare:

ρ. che A ⊆ Σ, e

σ. che l’immagine di ogni elemento comune ad A0 e Σ e ancheun elemento di Σ.

Nel §6 sono introdotti gli insiemi semplicemente infiniti [einfach unendli-ches System] che sono insiemi N per cui esiste una applicazione iniettiva ϕdi N in se tale che N e la catena di un elemento che non appartiene a ϕ(N).Questo elemento e denotato con 1 e N = 10 (scritto cosı invece di 10) sidice ordinato da ϕ.

Riportiamo il passo originale, che ha una importanza storica14:

71. Definizione. Un sistema N si dice semplicemente infinito,se esiste una rappresentazione simile ϕ di N in se stesso tale cheN risulti la catena di un elemento non contenuto in ϕ(N). Chia-miamo questo elemento, che nel seguito indichiamo col simbolo 1,l’elemento fondamentale di N , e diciamo che il sistema semplice-mente infinito N e ordinato dalla rappresentazione ϕ. Conservan-do le notazioni precedenti delle immagini e delle catene, possiamodire che l’essenza di un sistema N semplicemente infinito e carat-terizzata dall’esistenza di una rappresentazione ϕ di N , e di unelemento 1 che soddisfa le condizioni α, β, γ, δ seguenti:

α. N ′ ⊆ N .

β. N = 10.

γ. L’elemento 1 non e contenuto in N ′.

δ. La rappresentazione e simile.

[. . . ]

14La definizione certo e stata preceduta da quella di Frege del 1897, in G. Frege, Begriff-schrift , Nebert, Halle (Olms, Hildesheim, 1964), che passo inosservata, poi ripetuta nelleGrundlagen der Arithmetik del 1884, sulla quale torneremo, ma per i fondamenti dellamatematica e per la teoria degli insiemi quella di Dedekind e vincente.

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Dopo aver dimostrato che ogni insieme infinito contiene un sottoinsiemesemplicemente infinito15, Dedekind caratterizza i numeri naturali, o ordinali,dicendo che sono gli elementi di un qualunque sistema semplicemente infinito,prescindendo dalla natura dei suoi elementi e considerando “esclusivamente lerelazioni reciproche determinate dalla rappresentazione ordinante ϕ [. . . ] Inconsiderazione di questo atto di eliminare dagli elementi ogni altro contenuto(astrazione), i numeri si possono giustamente chiamare una libera creazionedello spirito umano”. La scienza dei numeri ha come oggetto per Dedekindle relazioni o le leggi che si ricavano unicamente dalle condizioni α, β, γ, δ in71.

L’anno seguente Giuseppe Peano (1858-1932) presentava i suoi assiomi16

equivalenti, o letteralmente uguali salvo il mancato uso del termine “catena”e al suo posto una formulazione esplicita del principio di induzione17.

Il lavoro di Dedekind non ebbe una grande accoglienza, a parte alcuniestimatori come Weber. Fu ritenuto troppo complicato e non chiaro. Ancheperche nel volume Dedekind non si preoccupava di dare molte spiegazionisulle motivazioni e sullo sviluppo della sua analisi. Invece queste spiegazionile fornisce in una lettera a H. Keferstein, un insegnante di Amburgo chein una recensione aveva mosso alcune critiche al suo libro18. La riportiamointegralmente in appendice19.

Ne Dedekind si preoccupava di enfatizzare l’importanza e la possibileutilizzazione dei concetti da lui introdotti, come discuteremo sotto.

La trattazione continua con lo studio della relazione di ordine, basando-si sulle catene. Dedekind introduce il concetto di segmento iniziale Nm =1, 2, . . . , n, come complemento di una catena, e di resto, concetti che sitroveranno utili nella teoria dei numeri ordinali transfiniti.

15Se S e infinito, con la rappresentazione ϕ, di S in se, e s0 un elemento che nonappartiene all’immagine di ϕ, la catena di s0 e un sottoinsieme semplicemente infinito diS.

16G. Peano, Arithmetices principia, novo methodo exposita, Fr.lli Bocca, Torino, 1889.17In seguito anche Peano usera il concetto di catena, si veda Lolli, “Peano e i fondamenti

dell’aritmetica”, cit. Non e chiaro quanto Peano abbia recepito da Dedekind.18Dedekind, Lettera a H. Keferstein del 27 febbraio 1890; trad. inglese in van Heijenoort,

From Frege to Godel , cit. pp. 98-103; trad. it. parziale in Scritti sui Fondamenti dellaMatematica, cit., pp. 154-6.

19Si rifletta in particolare sul punto (6), dove Dedekind spiega come abbia mirato ad eli-minare i sistemi candidati ad avere la struttura dei naturali che contenessero altri elementi,intrusi, a fianco della successione dei numeri – noi diremmo: i modelli non standard.

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Presenta poi le definizioni ricorsive, ma soprattutto il teorema generaledi ricorsione:

126. Teorema delle definizioni per ricorsione. Data una qua-lunque applicazione θ (simile o no) di un sistema Ω in se ed unfissato elemento ω di Ω, esiste una e una sola applicazione ψ dellasuccessione dei numeri naturali N che soddisfa le condizioni

I. ψ(N) ⊆ Ω,

II. ψ(1) = ω,

III. ψ(n′) = θψ(n), dove n denota un numero qualsiasi.

Con il teorema di ricorsione si puo dimostrare che tutti i sistemi semplice-mente infiniti sono simili a N, e che i numeri possono essere usati per definirela cardinalita degli insiemi finiti. Si tratta di dimostrare l’equivalenza trale definizioni di “insieme finito” come “non riflessivo” e come “equipotentea un Nm”. Di conseguenza a ogni insieme finito corrisponde un unico Nm

equipotente, e la definizione dei numeri cardinali non richiede le classi diequivalenza.

In modo equivalente, si tratta di dimostrare che un Σ e infinito se e solose ogni Nm e iniettabile in Σ. La dimostrazione di una direzione del teorematuttavia, quella che se ogni Nm e iniettabile in Σ anche N e iniettabile in Σ,questo Σ e infinito, richiede, nell’uso delle varie iniezioni, l’assioma di scelta20,come fu notato da Rodolfo Bettazzi (1861-1941)21 e da Hessenberg22.

Nella prefazione alla seconda edizione23 Dedekind osserva che

si puo stabilire una definizione del finito e dell’infinito comple-tamente diversa, che sembra anche piu semplice dato che es-sa non presuppone nemmeno il concetto di similitudine di unarappresentazione, e cioe

20Cenni: si deve definire una N −→ Σ; fatto corrispondere un x1 a 1, si considerache 1, 2 e iniettabile in Σ; scelta una tale iniezione, la sua immagine non si riducea 1, quindi si puo considerare il primo (nel senso di immagine del primo) elementodell’immagine diverso da 1 e assumerlo come x2; e cosı via. La definizione e per ricorsione.

21R. Bettazzi, “Gruppi finiti ed infiniti di enti”, Atti Accad. Sci. Torino, 31 (1896), pp.506-12.

22In “Neuer Beweis fur die Moglichkeit einer Wohlordnung”, trad. ingl. cit., p. 188,Zermelo afferma che il suo assioma di scelta e necessario per provare l’equivalenza trale due definizioni di finito, attribuendo l’osservazione a Hessenberg, Grundbegriffe derMengenlehre (1906), cit., Prefazione.

23Scritti sui fondamenti della matematica, cit. p. 86.

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‘Un sistema S si dice finito se e possibile rappresentarlo in se stes-so in modo tale che nessuna parte propria di S sia rappresentatain se stessa; nel caso contrario S si dice un sistema infinito’.

Ora cerchiamo di costruire l’edificio su questa nuova base! Ciimbatteremo presto contro gravi difficolta, e io credo di poter af-fermare che persino la dimostrazione della perfetta equivalenzadi questa definizione con la precedente e possibile (e a quel puntoanche facile) soltanto se si considera gia sviluppata la serie dei nu-meri naturali e inoltre si utilizza l’osservazione finale in (131)24;eppure di queste ultime non si parla ne nell’una ne nell’altra de-finizione. Di qui si puo vedere quanta strada deve percorrere ilpensiero per arrivare a una tale trasformazione di una definizione.

Dedekind ha quindi meditato su diverse possibili definizioni, prima di sce-gliere quella ritenuta piu agevole per la costruzione logica dei numeri25. Ladefinizione di “infinito” data da Dedekind e notevole per il fatto di non pre-supporre, come si riteneva necessario, l’infinita dei numeri naturali. Nel §5Dedekind cerca di dimostrare l’esistenza di un insieme infinito, perche “senzauna dimostrazione logica di esistenza resterebbe sempre il dubbio che l’ideadi un tale sistema non possa per caso contenere contraddizioni interne”26.

Il tentativo e tardo, si trova solo nell’ultima versione del 1887, non inquella del 1872 dell’abbozzo. Nel frattempo Dedekind aveva preso visione deiParadossi di Bolzano, dove si trova la discussione se il concetto di infinitosia dotato di oggettivita [Gegenstandlichkeit ], e la risposta:

Proprio nel dominio di quelle cose che non hanno alcuna pretesadi realta, ma solo di possibilita esistono indisputabilmente insiemiche sono infiniti. L’insieme delle proposizioni e delle verita in see infinito, come si puo facilmente vedere27.

24[Nel paragrafo 131 Dedekind studia le iterazioni di una operazione, che si possonodefinire con il teorema di ricorsione; quindi considera l’operazione di composizione diapplicazioni e l’iterazione di una applicazione dimostrando che la catena di A e ugualeall’unione di A e di tutte le immagini di A mediante le iterazioni finite dell’applicazione,per ogni n. L’osservazione si puo considerare una anticipazione della equivalenza tra ledefinizioni induttive dal basso e dall’alto.]

25Sulle diverse definizioni di “finito” si veda G. Lolli, Guida alla teoria degli insiemi ,Springer, Milano, 2008, cap. 4.6.

26Punto (7) della lettera a Keferstein.27Paradossi , cit., p. 13; trad. it. Feltrinelli, p. 12.

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Dedekind modifica l’argomento di Bolzano sostituendo all’insieme delle ve-rita il “dominio dei miei pensieri”[meine Gedankenwelt ] e in questo dominioconsiderando l’applicazione ϕ che a ogni pensiero s associa il pensiero “s puoessere un oggetto del mio pensiero”. ϕ e iniettiva, e non e suriettiva, perchead esempio “il mio proprio ego” e una cosa che puo essere un oggetto del miopensiero, ma non e della forma ϕ(s).

Questa dimostrazione28 entrera in crisi quando saranno scoperte le anti-nomie, non perche qualcuno obietti che non si tratta di una dimostrazionematematica.

Infine, a riprova della poca cura che Dedekind dedico a fare propagandaal suo lavoro valga il seguente episodio.

Nel 1887 Dedekind, nel sistemare la sua ricerca, trovo una dimostrazionedel teorema di Cantor-Schroder-Berstein, che afferma che se un insieme A eequipotente a un sottoinsieme di B e B e equipotente a un sottoinsieme diA, allora A e B sono equipotenti.

Dedekind era consapevole dell’importanza di questo teorema per la teoriadi Cantor negli anni ottanta; in una lettera29 del novembre 1882 Cantor gliaveva confessato le sue difficolta a dimostrare il lemma che e la chiave per ladimostrazione del teorema: Se M ′′ ⊂ M ′ ⊂ M ed esiste una corrispondenzabiunivoca tra M ed M ′′, allora M ′ ha la stessa potenza di M ed M ′.

Cantor fa riferimento due volte a questo lemma, una prima volta (1883)dandolo per dimostrabile nella sua teoria degli ordinali transfiniti, una se-conda volta come problema aperto, ancora nei “Beitrage” del 1895-7. Ilteorema fu dimostrato da Bernstein nel 1897 (la dimostrazione di Schroderha un baco, ma il suo nome e rimasto, mentre dovrebbe comparire quello diDedekind).

Tuttavia Dedekind non informo Cantor della sua dimostrazione fino al1897, ne la pubblico30, ma incluse una proposizione di significato oscuro, la§4.63, dichiarando che non sarebbe stata usata nel resto del libro e lasciandola non difficile dimostrazione al lettore, salvo alcuni indizi. La proposizionee il lemma seguente, poco trasparente perche formulata piu in generale perapplicazioni qualsiasi e senza riferimento al problema della equipotenza:

Data una applicazione ϕ e ϕ(K) = K ′ ⊂ L ⊂ K, che implica che K e Lsono catene, si puo sempre stabilire la seguente decomposizione di L e K: se

28trad. it. pp. 98-9.29In Unverhoffentlicher Briefwechsel , in Dugac, Richard Dedekind , cit., pp. 223-62.30Vedremo in seguito i motivi dei non buoni rapporti tra i due.

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U = K \ L e V = K \ U0 allora

K = U0 ∪ V e L = U ′0 ∪ V

dove U ′0 e l’immagine di U0.

Ammesso il risultato, si vede facilmente che nel caso ϕ sia iniettiva U0

sarebbe equipotente a U ′0 e quindi anche L e K sarebbero equipotenti.L’atteggiamento di Dedekind sembra a qualcuno31 simile a quello dei ma-

tematici del Seicento che si ponevano sfide e problemi: Cantor certamente nonla vinse, considerato che nel 1895 continuava a considerare non dimostrato ilteorema.

Ma Cantor non aveva grande considerazione per Was sind und was sollendie Zahlen, che non doveva aver meditato, considerandolo artificiale, dedica-to faticosamente solo a dimostrare risultati elementari se non banali, e piuadatto a oscurare che a chiarire32.

Nel 1897 Dedekind gli racconta con malcelata soddisfazione di come Bern-stein fosse andato da lui fiero della sua dimostrazione e fosse rimasto increduloquando Dedekind gli aveva fatto notare di essere in grado di dimostrarlo fa-cilmente con i suoi strumenti33. Glie la espone infine in una lettera del 29agosto 189934.

Zermelo, che nel 1906 trovo una dimostrazione analoga a quella di Dede-kind, espresse la sua meraviglia e incomprensione per il fatto che ne Dedekindne Cantor avessero pensato di pubblicarla, costringendo i posteri a riscoprirla;anche Peano nel 1906 ne aveva trovato una equivalente35.

31Ferreiros, cit., p. 240.32In una lettera a Giulio Vivanti del 1888, cit. da H. Meschkowski e W. Nilson, Georg

Cantor: Briefe, Springer, Berlin, 1991, p. 302.33Unverhoffentlicher Briefwechsel , p. 261.34Cantor-Dedekind Briefwechsel , cit.35G. Peano, “Super theorema de Cantor-Bernstein”, Rendiconti del Circolo Matematico

di Palermo, 21 (1906), pp. 360-6, anche in Revista de matematica, vol. viii, n. 5,1902-1906, pp. 136-43. Torneremo piu avanti su questo episodio.

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Appendice 1Lettera di Dedekind a H. Keferstein del 27 febbraio 1890

Caro dottore,vorrei esprimerle i miei sinceri ringraziamenti per la sua gentile lettera del 14

u.s. e per la sua disponibilita a pubblicare la mia risposta. Ma vorrei chiederledi non essere impulsivo su questo argomento e di venire a una decisione solo dopoaver letto ancora una volta accuratamente e aver considerato a fondo le definizionie le dimostrazioni piu importanti contenute nel mio saggio sui numeri, se ne ha iltempo. Sono convinto infatti che con tutta probabilita lei allora verra ad accettaretutti i punti della mia concezione e della mia trattazione dell’argomento; e questo ecio che mi preme di piu, dal momento che sono convinto che lei abbia un profondointeresse al riguardo.

Per facilitare per quanto possibile questo avvicinamento, vorrei chiederle diprestare attenzione al seguente corso di pensieri, che costituisce la genesi del miosaggio. Come e avvenuta la stesura del mio saggio? Certo non in un giorno; si trat-ta piuttosto di una sintesi costruita dopo una prolungata gestazione, basata su unaprecedente analisi della successione dei numeri naturali proprio come si presentanell’esperienza, per cosı dire, alla nostra considerazione. Quali sono le proprietafondamentali mutuamente indipendenti della successione N , vale a dire quelle pro-prieta che non sono derivabili l’una dall’altra, ma da cui tutte le altre seguono?E come fare per spogliare queste proprieta del loro carattere specificamente arit-metico in modo che esse vengano sussunte sotto concetti piu generali e attivita dicomprensione senza le quali nessun pensiero e possibile ma grazie alle quali vienefornito un fondamento per l’affidabilita e la completezza delle dimostrazioni e perla costruzione di nozioni e definizioni coerenti?

Posto il problema in questo modo, si e forzati, credo, ad accettare i seguentifatti.

(1) la successione numerica N e un sistema di individui, o elementi, chiamatinumeri. Questo porta alla considerazione generale dei sistemi in se (§1 del miosaggio).

(2) Gli elementi del sistema N stanno tra loro in una certa relazione; sussiste uncerto ordine, che consiste, per cominciare, nel fatto che a ciascun numero definiton corrisponde un definito numero n′, il successore, o il primo numero piu grande.Questo porta alla considerazione del concetto generale di applicazione ϕ di unsistema (§2) e siccome l’immagine ϕ(n) di ogni numero n e ancora un numero, n′,e quindi ϕ(N) e una parte di N , abiamo a che fare con una applicazione ϕ di unsistema N in se, su cui dobbiamo dunque sviluppare una indagine generale (§4).

(3) Numeri distinti a e b hanno come successori numeri distinti a′ e b′; l’appli-cazione ϕ dunque ha la proprieta di distinzione, o similarita (§3).

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(4) Non ogni numero e un successore n′; in altre parole, ϕ(N) e una partepropria di N . Questo, insieme a quanto precede, e cio che rende la successionenumerica N infinita (§5).

(5) In particolare, il numero 1 e il solo numero che non appartiene a ϕ(N).Abbiamo cosı elencato i fatti che lei considera [. . . ] la caratterizzazione completadi un sistema N semplicemente infinito e ordinato.

(6) Ho mostrato tuttavia nella mia risposta [. . . ] che questi fatti sono ancoralungi dall’essere adeguati per la caratterizzazione completa della natura della suc-cessione numerica N . Tutti questi fatti varrebbero anche per ogni sistema S che,oltre alla successione numerica N , contenesse un sistema T di elementi aggiuntiviarbitrari t, al quale l’applicazione ϕ potrebbe sempre essere estesa rimanendo si-mile e soddisfacendo ϕ(T ) = T . Un sistema S del genere e ovviamente qualcosadi totalmente differente dalla nostra successione numerica N , e io potrei sceglierloin modo tale che neanche un singolo teorema dell’aritmetica sarebbe conservato inesso. Cosa dobbiamo aggiungere allora ai fatti sopra elencati in modo da ripulireS di tutti gli intrusi alieni t che disturbano ogni traccia di ordine, e restringerlo aN? Questo fu uno dei momenti piu difficili della mia analisi e il suo superamentorichiese una lunga riflessione. Se uno presuppone la conoscenza della successioneN dei numeri naturali, e di conseguenza si concede l’uso del linguaggio aritmetico,allora naturalmente se la cava con facilita. Basta che dica: un elemento n appar-tiene alla successione N se e solo se cominciando con l’elemento 1 e continuando acontare sistematicamente, cioe passando attraverso un numero finito di iterazionidell’applicazione ϕ (si veda la fine del paragrafo 131 del mio saggio), prima o poiraggiungo l’elemento n; procedendo in questo modo invece, non raggiungero maiun elemento t al di fuori della successione N . Ma questo modo di caratterizzarela distinzione tra gli elementi t che devono essere espunti da S e gli elementi nche soli devono rimanere e certamente del tutto inutile al nostro scopo; esso con-terrebbe, in sostanza, il piu ovvio e pericoloso tipo di circolo vizioso. Neanche lesemplici parole “prima o poi lo raggiungo” naturalmente rappresentano una solu-zione; non avrebbero altro effetto che, ad esempio, le parole “karam sipo tatura”,che invento in questo istante senza dare ad esse alcun senso chiaramente definito.Allora, come posso, senza presupporre alcuna conoscenza aritmetica, dare una fon-dazione concettuale non ambigua alla distinzione tra gli elementi n e gli elementit? Semplicemente attraverso la considerazione delle catene (paragrafi 37 e 44 delmio saggio), e tuttavia grazie ad esse in modo completo! Se io volessi evitare lamia espressione tecnica “catena” potrei dire: un elemento n di S appartiene allasuccessione N se e solo se n e un elemento di ogni parte K di S che possiede leseguenti due proprieta: (i) l’elemento 1 appartiene a K e (ii) l’immagine ϕ(K) euna parte di K. Nel mio linguaggio tecnico: N e l’intersezione 10, o ϕ0(1), di tuttele catene K (in S) a cui 1 appartiene. Solo ora la successione N e caratterizza-

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ta in modo completo. Di passaggio, vorrei fare la seguente osservazione a questoproposito. I lavori Begriffschrift e Grundlagen der Aritmetik di Frege vennero inmio possesso per la prima volta la scorsa estate (1889), per un breve periodo, eho notato con piacere che il suo modo di definire la successione non immediata diun elemento rispetto a un altro in una successione concorda essenzialmente con ilmio concetto di catena (paragrafi 37 e 44); bisogna soltanto non essere fuorviatidalla sua terminologia poco agevole.

(7) Dopo che nella mia analisi era stata riconosciuta la natura essenziale del si-stema semplicemente infinito (paragrafi 71 e 73), il cui tipo astratto e la successionenumerica N , si pose la questione: esiste un tale sistema nel dominio delle nostreidee? Senza una dimostrazione logica di esistenza resterebbe sempre il dubbio chel’idea di un tale sistema non possa per caso contenere contraddizioni interne. Diqui la necessita di tali dimostrazioni (paragrafi 66 e 72 del mio saggio).

(8) Risolto anche questo problema, restava la domanda: tutto quanto fattofinora, contiene anche un metodo di dimostrazione sufficiente a stabilire, in pienageneralita, le proposizioni che si suppongono valere per tutti i numeri n? Sı! Ilfamoso metodo per induzione si appoggia sulla sicura fondazione del concetto dicatena (paragrafi 59, 60 e 80 del mio saggio).

(9) Infine, e possibile anche presentare le definizioni di operazioni numerichecoerentemente per ogni n? Sı! Questo e realizzato dal teorema nel paragrafo 126del mio saggio.

Cosı l’analisi era terminata e poteva incominciare la sintesi; che mi ha causatoancora non poca pena! Certo il lettore del mio saggio non ha neanche egli uncompito facile; a parte una valida sensibilita, occorre una determinazione moltoforte per seguire e comprendere tutto a fondo e in dettaglio.

Vengo ora ad alcuni passi del suo scritto . . .

[Dedekind risponde ad alcune obiezioni e incomprensioni di Keferstein, chenon sono particolarmente interessanti, salvo forse la seguente, che riportiamo percompeltezza.]

(e) [. . . ] Il significato di queste [sue] righe36 non mi e chiaro. Esprimono forseil desiderio che la mia definizione della successione numerica N e del modo in cuil’elemento n′ segue l’elemento n siano sostenuti, se possibile, da una successioneintuitiva? Se e cosı, mi opporrei con la massima determinazione, perche si presen-terebbe immediatamente il pericolo che da una tale intuizione noi potremmo forseinconsciamente anche accettare come evidenti teoremi che devono invece essere

36[“Siccome Dedekind non sottolinea il fatto che N puo essere considerata una succes-sione in cui ϕ(n) = n′ segue immediatamente n, le nozioni di successione e di successorein una successione fanno una brusca comparsa quando si viene alla definizione dei numeriordinali”.]

106

derivati del tutto astrattamente dalla definizione logica di N . Se io chiamo (para-grafo 73) n′ l’elemento che segue n, si tratta solo di una nuova espressione tecnicaper mezzo della quale semplicemente porto un po’ di varieta nel mio linguaggio;questo linguaggio suonerebbe ancora piu monotono e repellente se dovessi negarmiquesta varieta e dovessi sempre chiamare n′ solo l’applicazione ϕ(n) di n. Ma l’unaespressione significa esattamente lo stesso dell’altra.

. . .

Ripetendo il desiderio espresso all’inizio e pregandola di scusarmi per la lun-ghezza della discussione, le porgo i piu cordiali ossequi.

SuoRichard Dedekind

27 febbraio 1890Petrithorpromenade 24

107

Appendice 2Il principio di induzione

Il linguaggio del primo ordine per l’aritmetica ha come alfabeto proprio unacostante 0 e un simbolo di funzione s, l’uguaglianza =, quindi variabili x, y, . . . perindividui, i connettivi e i quantificatori.

s(t) si scrive anche t′; i termini

0, 0′, 0′′, 0′′′, . . .

sono i numerali, e si pensa che i numeri di N siano in corrispondenza biunivocacon i numerali37. In effetti, tra i vari modelli della teoria che presenteremo perl’aritmetica, per individuare quello che si indica con N e che si chiama standardnon si puo dire altro che esso e in corrispondenza biunivoca con i numerali.

Alcune proprieta evidenti della successione numerica sono immediate da scri-vere:

∀x(0 6= x′)∀x∀y(x 6= y → x′ 6= y′)

e costituiscono i primi due assiomi dei numeri naturali. L’idea di Dedekind che Nsia l’intersezione di tutte le catene di 0, o la piu piccola (rispetto a ⊆) catena di 0si esprime con l’affermazione

0 ∈ X ∧ ∀x(x ∈ X → x′ ∈ X)→ N ⊆ X,

che si chiama principio di induzione, che tuttavia non appartiene al linguaggio delprimo ordine dell’aritmetica, ma a un linguaggio con variabili X,Y, . . . per insiemioltre alle variabili per individui38.

Da questa condizione, applicata a un X ⊆ N, pensando a X come definito dauna formula A(x), X = x ∈ N | A(x), si ricava l’assioma di induzione

A(0) ∧ ∀x(A(x)→ A(x′))→ ∀xA(x),

37Per distinguere i numeri e i numerali esistono diverse soluzioni grafiche: o i numeralisi scrivono in grassetto, o sottolineati 0, 0′, . . ., oppure per i numeri si mette un indicerelativo alla struttura 0N, 0′

N, . . . Quando sia remoto il pericolo di confusione non useremoalcuno di questi artifici.

38Se questi sono gli unici due tipi di variabili, si parla di un linguaggio del secondoordine, se invece le formule si pensano come frammenti di un discorso insiemistico, siamoall’interno della teoria degli insiemi.

108

dove A e una formula qualsiasi del linguaggio aritmetico.I primi due assiomi e lo schema di induzione formano la teoria PA, acronimo

di aritmetica di Peano.Dall’assioma di induzione deriva una forma particolare di dimostrazione, per

induzione:

A(0) Base∀x(A(x)→ A(x+ 1)) Passo induttivo

∀xA(x).

Per dimostrare ∀xA(x) sono sufficienti due mosse: la prima consiste nel dimostrareA(0), e la seconda nel dimostrare ∀x(A(x)→ A(x+ 1)).

Si dice allora che ∀xA(x) e stata dimostrata per induzione su x, e A(x) sichiama la formula d’induzione, e x la variabile d’induzione (potrebbero essercenealtre nella formula). Nella dimostrazione del passo induttivo, A(x) si chiamaipotesi induttiva.

Come esempio, dimostriamo

∀x(x 6= 0→ ∃y(x = y′)).

La base 0 6= 0 → ∃y(0 = y′) e un teorema logico, perche lo e 0 = 0; per il passoinduttivo, ammesso x 6= 0 → ∃y(x = y′), consideriamo x′ e supponiamo x′ 6= 0.Due casi: se x = 0, allora x′ = 0′ e quindi ∃y(x′ = y′); se x 6= 0, per ipotesiinduttiva ∃y(x = y′), quindi x′ = y′′ e ∃z(x′ = z′). 2

Come applicazione, dimostriamo l’unicita di una funzione definita per ricorsio-ne39: date due funzioni: g(x1, . . . , xr) a r argomenti e h(x1, . . . , xr, x, y) a r + 2argomenti40, dove r puo essere 0, esiste una e una sola funzione f(x1, . . . , xr, x)che soddisfa per tutti gli argomenti la coppia di equazioni

f(x1, . . . , xr, 0) = g(x1, . . . , xr)f(x1, . . . , xr, x

′) = h(x1, . . . , xr, x, f(x1, . . . , xr, x))

e f(x1, . . . , xr, x) si dice definita ricorsivamente a partire da g e h.Supponiamo che due funzioni f1 ed f2 soddisfino entrambe le equazioni. Di-

mostriamo per induzione su x che f1 e f2 hanno sempre lo stesso valore:

Base: f1(x1, . . . , xr, 0) = g(x1, . . . , xr) = f2(x1, . . . , xr, 0).

39Questa forma di ricorsione si chiama “ricorsione primitiva”, ma non avremo occasionedi considerare altri casi.

40In verita, per considerare tutti i casi possibili, g ed h non devono avere necessariamentelo stesso numero di parametri, e h puo non dipendere da x.

109

Passo induttivo: Se f1(x1, . . . , xr, x) = f2(x1, . . . , xr, x), allora

f1(x1, . . . , xr, x′) = h((x1, . . . , xr, x, f1(x1, . . . , xr, x))

= h((x1, . . . , xr, x, f2(x1, . . . , xr, x))= f2((x1, . . . , xr, x

′).2

L’esistenza si dimostra nel modo seguente, supponendo per semplicita di scritturache non ci siano parametri, cioe che si consideri

f(0) = x0

f(x′) = h(x, f(x))

dove x0 ∈ X e h : N×X −→ X.Si dimostra prima per induzione che per ogni n esiste una e una sola funzione

ϕn : Nn −→ X che soddisfa le due equazioni per ogni elemento del suo dominio41.Per n = 0 si considera la funzione vuota. Ammesso che esista ϕn con le

proprieta richieste (che con un argomento uguale al precedente implica l’unicita),si definisca ϕn+1 ponendo

ϕn+1(i) =ϕn(i) i ≤ nh(n, ϕn(n)) i = n+ 1,

o in termini insiemistici ϕn+1 = ϕn ∪ 〈n+ 1, h(n, ϕn(n))〉.Infine la f e definita ponendo f(n) = ϕn(n). In termini insiemistici piu espliciti,

f e l’unione, per n ∈ N, delle ϕn, intese come insieme di coppie ordinate. 2

Si definiscono anche relazioni per ricorsione (riconducendosi al caso delle fun-zioni con la loro funzione caratteristica), sostituendo bicondizionali alle uguaglian-ze, ad esempio tra le prime42

y < 0 ↔ y 6= yy < x′ ↔ y < x ∨ y = x,

che e di immediata utilita.Dal principio di induzione segue che la relazione d’ordine43 < e un buon ordine.La proprieta di buon ordine per N si esprime con il principio del minimo:

∅ 6= X ⊆ N→ ∃x(x ∈ X ∧ ∀y ∈ X(x ≤ y))

41Qui Nm = 0, 1, . . . ,m− 1.42La relazione < si definisce anche in un altro modo che vedremo oltre.43Che < sia una relazione d’ordine totale, cioe antiriflessiva, transitiva e connessa

(∀x, y(x < y ∨ y < x ∨ x = y)), si dimostra per induzione. x ≤ y e una abbreviazione perx < y ∨ x = y.

110

o equivalentemente:

∅ 6= X ⊆ N→ ∃x(x ∈ X ∧ ∀y < x(y 6∈ X)).

Assumendo l’induzione, se ∅ 6= X ⊆ N, si hanno due casi: o 0 ∈ X, e allora Xha un minimo, oppure no, e si consideri l’insieme

Y = x ∈ N | ∀y ≤ x(y 6∈ X.

Y deve essere diverso da N altrimenti X sarebbe vuoto; ma 0 ∈ Y e allora esisteun c tale che c ∈ Y ma c′ 6∈ Y . Si vede subito che c′ e il minimo di X. 2

Non si puo dimostrare che il principio del minimo implica l’induzione, percheesistono altre strutture infinite che sono bene ordinate e diverse da N, ad esempiouna della forma

t t t tttt s s s s r q q q t s s r qω ω′0

Per escluderle occorre che siano vietati elementi come ω che non sono il successoredi nessun numero. Che ogni numero diverso da 0 sia un successore lo abbiamo di-mostrato per induzione; in assenza dell’induzione occorre postularlo, aggiungendoai primi due assiomi

∀x(x 6= 0→ ∃y(x = y′)).

Il principio del minimo insieme a questa assunzione giustifica l’induzione: sup-poniamo infatti che 0 ∈ X e che ∀x(x ∈ X → x′ ∈ X) ma che ∃x ∈ N(x 6∈X).

Allora (∼ X)∩N 6= ∅, e sia c un suo elemento; c 6= 0 e quindi ha un predecessorec1 tale che c′1 = c (otre a un successore c′). Deve essere c1 6∈ X perche c1 ∈ X →c ∈ X. A sua volta c1 6= 0 deve avere un predecessore c2 tale che c′2 = c1 e per cuic2 6∈ X, perche c2 ∈ X → c1 ∈ X, e cosı via. Allora l’insieme . . . , c2, c1, c

t t t tttt s s s s r q q qq q q r r s s r q0 c c′

non avrebbe un minimo. 2

Col principio del minimo si giustifica anche un’altra forma di dimostrazioneper induzione. Se A(x) e una qualunque formula aritmetica, considerando X comel’insieme definito da A(x), x ∈ N | A(x), si deduce che

∃xA(x)→ ∃x(A(x) ∧ ∀y < x¬A(y)).

Poiche questo vale per ogni formula, possiamo considerare una formula che inizicon una negazione, che scriveremo ¬A, e abbiamo

111

∃x¬A(x)→ ∃x(¬A(x) ∧ ∀y < xA(y)).

Di qui, contrapponendo

¬∃x(¬A(x) ∧ ∀y < xA(y))→ ¬∃x¬A(x),

ovvero

∀x¬(¬A(x) ∧ ∀y < xA(y))→ ∀xA(x),

e infine

∀x((∀y < xA(y))→ A(x))→ ∀xA(x).

Questo schema si chiama induzione sul decorso dei valori . Per dimostrare ∀xA(x)e sufficiente dimostrare che ∀x(∀y < xA(y)→ A(x)):

∀x(∀y < xA(y)→ A(x))∀xA(x)

ovvero, a parole, che per ogni x la validita di A(x) segue dal fatto che A valga pertutti gli y < x44.

L’induzione semplice e quella sul decorso dei valori si possono dimostrareequivalenti direttamente nel seguente modo.

La conclusione ∀xA(x) a partire da ∀x(∀y < xA(y) → A(x)) si giustifica perinduzione semplice. Si considera la formula

B(x)↔ ∀y <xA(y)

e si dimostra ∀xB(x) (da cui segue ovviamente ∀xA(x)) per induzione su x,utilizzando anche ∀x(∀y < xA(y)→ A(x)) nel corso della dimostrazione:

Base: B(0) e immediato perche y < 0 e falso.

Passo induttivo: Ammesso B(x), cioe ∀y <xA(y), da questa segue A(x), e quindi∀y < x′A(y) che e B(x′). 2

44Sembra che non ci sia piu la base, ma se si dimostra ∀x((∀y < xA(y))→ A(x)) alloranel caso che x valga 0 segue A(0), perche ∀y < 0A(y) e banalmente vero.

112

Viceversa l’induzione si giustifica in base a quella sul decorso dei valori. Sup-poniamo A(0)∧∀x(A(x)→ A(x′)); per ottenere ∀xA(x), in base all’induzione fortee sufficiente dimostrare ∀x(∀y < xA(y)→ A(x)).

Distinguiamo due casi; un numero o e 0, e allora abbiamo A(0) e quindi ∀y <0A(y)→ A(0), oppure se e diverso da 0 e un successore e possiamo indicarlo x′, edobbiamo dimostrare ∀y < x′A(y)→ A(x′).

Ma ∀y <x′A(y) implica A(x), e con ∀x(A(x)→ A(x′)) anche A(x′). 2

Il principio del minimo e anche equivalente all’affermazione che non esistonocatene discendenti infinite; se una successione an fosse tale che . . . < an+1 <an < . . . < a0, l’insieme an | n ∈ N non avrebbe minimo. Viceversa, dato uninsieme non vuoto X, preso un suo elemento a0, se non e il minimo di X si puotrovare un altro suo elemento a1 < a0, e se neanche a1 e il minimo si continua, masiccome la successione cosı generata non puo essere infinita, si trova un ak che e ilminimo di X. 2

Al principio del minimo si da ancora un’altra formulazione nota come principiodella discesa finita. Esso afferma che se una proprieta P vale per un k > 0, equando vale per un n > 0 qualunque allora vale anche per un numero minore din, allora P vale per 0.

Infatti in queste ipotesi, in cui l’insieme degli n che soddisfa P non e vuoto, ilminimo deve essere 0, perche un n > 0, non sarebbe il minimo, in quanto anchequalche numero minore soddisferebbe P .

Viceversa, ammesso il principio della discesa finita, e dato un insieme X nonvuoto, consideriamo la proprieta P di appartenere a X. O la proprieta P vale per0, e 0 e allora ovviamente il minimo di X, oppure 0 non ha la proprieta P . Inquesto caso, non e vero per P che per ogni n che ha la proprieta P anche unominore ha la proprieta P . Quindi esiste un n che soddisfa P ma tale che nessunsuo predecessore soddisfa P , ed n e il minimo di X. 2

L’induzione al secondo ordine, ma non quella al primo ordine, permette didimostrare che due qualunque modelli dell’aritmetica sono isomorfi.

Siano 〈N1, 01, s1〉 e 〈N2, 02, s2〉 due strutture che soddisfano gli assiomi dell’a-ritmetica.

Poiche per N1 vale il teorema di ricorsione, possiamo definire θ : N1 −→ N2

ponendo θ(01) = 02

θ(s1(x)) = s2(θ(x))

ed e facile dimostrare che θ e iniettiva. Che la struttura sia conservata si vededalla prima equazione per 0 e dalla seconda per la funzione successore. Per vedereche θ e suriettiva, si consideri Y = y ∈ N2 | y /∈ im(θ) ⊆ N2. Se Y 6= ∅, siccome

113

N2 soddisfa il principio del minimo esiste un primo elemento di Y , che non e 02 ede quindi della forma s2(c). Ma allora c /∈ Y , cioe c = θ(x) per qualche x, e alloras2(c) = θ(s1(x)), s2(c) ∈ im(θ), contraddizione. 2

Non c’e modo tuttavia di definire Y con il linguaggio aritmetico in N2, dalmomento che la sua definizione fa riferimento a enti esterni a N2, come θ e N1.Infatti le proprieta della logica del primo ordine permettono di dimostrare cheesiste una struttura soddisfacente gli assiomi di Peano e nella quale esiste un cdiverso da tutti gli n′.

Nel commentare il principio della non esistenza di catene discendenti infiniteabbiamo usato il fatto che se un processo non e infinito allora esso termina a unostadio k.

Questa osservazione dipende dalla equivalenza tra la definizione di “infinito”come “riflessivo” e quella di “infinito” come non equivalente a nessun Nn. Quest’ul-tima definizione di “infinito” e logicamente la stessa cosa che dire che un insiemee “finito” se e solo se e equipotente a un Nn.

Se un insieme X e equipotente a un Nn, allora X e non riflessivo, perche nonesiste una iniezione propria di Nn in se.

Il risultato segue dal

Teorema 1 Se m > n, non esiste una iniezione di Nm in Nn45.

Dimostrazione La dimostrazione e per induzione su n.

Base: N0 e ∅ e non esiste nessuna funzione da un insieme non vuoto nell’insiemevuoto46.

Passo induttivo: Supponiamo vero per n che per ogni m > n non esista un’inie-zione di Nm in Nn; supponiamo per assurdo che esista invece un m > n+ 1con un’iniezione di Nm in Nn+1, chiamiamola g.

Siccome Nn+1 = Nn∪n, deve essere n = g(i) per qualche i < m, altrimentig sarebbe una iniezione di Nm in Nn.

Se i = m− 1 eliminiamo la coppia 〈m− 1, n〉; altrimenti prima scambiamotra di loro i valori attribuiti da g a i e a m − 1, ed eliminiamo m − 1 col

45La proprieta e detta anche Principio dei cassetti (in inglese Pigeonhole Principle):se si distribuiscono m oggetti in n cassetti, con m > n, in almeno un cassetto c’e piu diun oggetto. In altre parole, non esiste una iniezione di un insieme con m elementi in uninsieme con n < m elementi, o ancora: ogni funzione da un insieme con m elementi in uninsieme con n < m elementi non e iniettiva.

46Poiche X × ∅ = ∅ esiste solo una relazione tra X e ∅, la relazione vuota – ∅ e uninsieme di coppie ordinate (e di ogni altra cosa) perche e vero che per ogni x, se x ∈ ∅ x euna coppia, e per lo stesso motivo ∅ e una funzione – ma il dominio di ∅ e ∅, non X.

114

suo nuovo valore n; consideriamo cioe g1 cosı definita: g1(i) = g(m − 1), eg1(j) = g(j) per ogni altro j < m− 1, j 6= i. g1 risulta un’iniezione di Nm−1

in Nn, con m− 1 > n, contro l’ipotesi induttiva. 2

Corollario 1 Per ogni m, non esiste una iniezione propria di Nm in se.

Dimostrazione Se i fosse una iniezione propria di Nm in se, due casi. Se m − 1 /∈im(i), allora i sarebbe una iniezione di Nm in un Nn con n < m, contro il teorema.Se m − 1 ∈ im(i), m − 1 = i(h), c’e qualche altro j < m − 1 /∈ im(i), e di nuovocambiando il valore per h a j si ottiene una contraddizione con il teorema. 2

Si stabilisce cosı anche l’invarianza del contare: se si contano gli elementi diun insieme in ordine diverso, non si arrivera mai a due numeri diversi, altrimenticomponendo le iniezioni del conteggio di contraddirebbe il teorema.

Viceversa si deve dimostrare che se X non e equipotente a nessun Nm alloraX e riflessivo. Precisando la condizione che X non sia equipotente a nessun Nm,possiamo intendere che ogni Nm con m > 0 sia iniettabile in X, senza che nessunosia ad esso equipotente, perche questa precisazione si puo fare per induzione: ∅e una iniezione di N0 in X non suriettiva; ammesso che esiste una iniezione f :Nm −→ X non suriettiva, se c ∈ X \ im(f) si ponga g(i) = f(i) per i < m eg(m) = c e si conclude che esiste una iniezione di Nm+1 in X.

Si deve far vedere allora che N e iniettabile in X, con una iniezione i definitaper ricorsione, da cui segue che X e riflessivo.

Siccome N1 e iniettabile in X se X non e vuoto, e non lo e se no sarebbeequipotente a N0, basta far corrispondere a 0 un qualsiasi elemento di X e porrei(0) uguale a questo elemento.

Ammesso di aver definito i su Nm, in modo che ogni i(r) sia diverso da tuttigli i(s) con s < r, consideriamo una iniezione f di Nm+1 in X. I suoi valori nonpossono coincidere con quelli di i, altrimenti componendo f con i−1 si avrebbe unainiezione di Nm+1 in Nm; ne esiste allora almeno uno che e diverso da i(0), . . . i(m−1), e si prenda per definitezza quello che e f(h) per il primo h, e lo si ponga comevalore per i(m). 2

Nella dimostrazione si usa l’assioma di scelta dove si considera una iniezionef di Nm+1 in X. In alternativa, ammesso di aver definito i su Nm, in modo cheogni i(r) sia diverso da tutti gli i(s) con s < r, si puo osservare che i(j) | j < mnon puo essere X, altrimenti X sarebbe in biiezione con Nm, per cui se c e unafunzione di scelta per sottoinsiemi di X si puo porre i(m) = c(X \ i(j) | j < m).

Un altro modo di presentare la relazione < e quello di definirla come la chiusuratransitiva della relazione successore 〈x, x′〉 | x ∈ N.

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La chiusura transitiva di una relazione S e la piu piccola relazione che estendeS ed e transitiva; se scriviamo

Trans(R) per ∀x, y, z(〈x, y〉 ∈ R ∧ 〈y, z〉 ∈ R→ 〈x, z〉 ∈ R),

e TC(S) per “chiusura transitiva di S” allora

TC(S) =⋂R | S ⊆ R e Trans(R)47.

Tutte le relazioni definite in questo modo ammettono anche una definizionedi tipo ricorsivo, o come anche si dice “induttiva dal basso”48, che nel caso dellachiusura transitiva di S si presenta come

I0 = SIn+1 = In ∪ 〈x, y〉 | ∃z(〈x, z〉 ∈ In ∧ 〈z, y〉 ∈ S),

e

TC(S) =∞⋃i=0

In.

Per < si ha I0 = 〈x, x′〉 | x ∈ NIn+1 = In ∪ 〈x, y〉 | ∃z(〈x, z〉 ∈ In ∧ y = z′).

47L’intersezione non e fatta sull’insieme vuoto, perche esiste sempre almeno una Rsoddisfacente le condizioni richieste, ad esempio la relazione totale.

48Mentre la definizione con l’intersezione si dice “induttiva dall’alto”.

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