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PROVE DI MATEMATICA

Anno accademico 1960–1961

Dissertazione: Teorema di Talete nel piano e dimostra-zione di uno solo (a scelta) dei criteri di similitudine fratriangoli.

Esercizi:

1) In un cerchio dato, il cui raggioe misurato dar, de-terminare un triangolo che abbia un vertice nel centrodel cerchio e gli altri due,A, B, sulla circonferenza,in modo che la somma della baseAB e della relativaaltezza sia uguale a un dato segmento misurato daa,supponendoa < 2r.

2) Dimostrare che nessun numero realex 6= 0 soddisfa ladisuguaglianza √

xx−1

+√

x < 1.

I radicali vanno intesi in valore assoluto.

3) E piu facile, gettando una volta un dado, ottenere 6,oppure, gettandolo 3 volte, ottenere tutte e tre le volteun numero pari? Perche?

4) Si consideri una barca provvista di una vela girevoleattorno all’albero maestro. Supponiamo che:

(a) la direzione del vento sia perpendicolare alla dire-zione del moto della barca;

(b) la forzaF esercitata dal vento sulla vela sia propor-zionale al seno dell’angolo che la vela forma con ladirezione del vento;

(c) la velocita della barca sia proporzionale aF e alseno dell’angolo che la vela forma con la direzionedel moto della barca.

Dire per quale posizione della vela si ottiene la massi-ma velocita della barca.


Dissertazione: Area dei poligoni e area del cerchio.

Esercizi:

1) Determinare un puntoP esterno a una circonferenzadata di centroO e raggior, tale che la differenza fra

la distanzaOP e la lunghezza di uno dei segmenti tan-genti condotti daP alla circonferenza abbia valore as-segnatoK. Dire per quali valori diK il problemaerisolubile.

2) Trovare quali sono i valori dix per i quali√

x2−1 emaggiore dix.

3) In quanti modi 5 uomini e 5 donne possono disporsi in-torno a un tavolo rotondo in modo che uomini e donnesi trovino in posti alternati? Due disposizioni debbo-no considerarsi uguali quando ciascuno ha a fianco lestesse persone.

4) Con una bilancia a piatti e un certo numero di pesi sivogliono pesare oggetti di peso inferiore a 500 grammicon un errore non superiore a un grammo. Non si pos-sono mettere pesi nel piatto su cui si poggia l’oggetto.Dire quale il minimo numero di pesi sufficiente a talescopo.


Dissertazione: Potenze in campo reale.

Esercizi:

1) Dimostrare che, presi due numeri realia e b, si hasempre:

a4 +b4 ≥ a3 ·b.

Dire quando si ha l’uguaglianza.

2) E dato un circolo di raggior. Determinare un triangoloisoscele che sia circoscritto al circolo e sia tale che ladifferenza tra uno dei lati uguali e la meta della base siad. Si preferisce la soluzione puramente geometrica.

3) Scomporre l’espressione algebrica√x3y+

√xy3

in un prodotto di fattori piu semplici. Applicare laformula trovata al caso numerico:

x =−1, y =−2.

N.B. I radicali vanno presisemprein valore assoluto.

4) Su un foglio di carta illimitato sono segnati due puntiA e B. Si disponga di tre righe prive di suddivisioni,una lunga cm 8, l’altra lunga cm 11, la terza illimitata;dire con quale precisione si puo misurare la distanzadei due puntiA eB.

5) Si sostiene talvolta che noi usiamo il sistema decimaledi numerazione (per cui, per esempio, 362 significa 3·102 +6·10+2) in quanto abbiamo dieci dita.Un marziano, dopo aver vistoscritta l’equazione:

x2−16x+41= 0,

invitato a scrivere la differenza delle radici,scrive10.Quante dita hanno i marziani?N.B. Per i numeri compresi fra 0 e 6 la scrittura deimarziani coincide con la nostra.


Dissertazione: Rette e piani perpendicolari.

Esercizi:

1) Impostare algebricamente, in modo completo, il se-guente problema, trovando un sistema misto di equa-zioni e di disequazioni (almeno una delle une e unadelle altre) che sia equivalente al problema stesso.Problema: costruire un triangolo rettangolo conoscen-do la differenzad dei cateti e sapendo che, se i catetistessi si diminuiscono entrambi dik, l’area del triango-lo diminuisce dim2. (Si indichino conx, y, ponendox > y, le misure incognite dei cateti).N.B. Si deve dimostrare con precisione la suddetta equi-valenza,non risolvere il problema.

2) Sia data da risolvere la seguente equazione, nella qua-le i radicali si intendono in valore assoluto (o, se sipreferisce, col segno+):

√x−1 =

√x−2−1.

Il candidato consideri il seguente schema di risoluzione

x−1= x−2+1−2√

x−2, −2√

x−2= 0, x= 2;

il numero 2 none radice dell’equazione data.Il candidato indichi come va completato lo schema, inmodo che risulti, senza verifica, chex= 2 non puo sod-disfare all’equazione iniziale. Dimostri inoltre direttamen-te, nel campo reale, che l’equazione considerata non hasoluzioni.

3) Sian un numero intero eA un numero reale positivo,entrambi fissati. Dimostrare che: “Il prodotto din nu-meri positivi aventi somma assegnatanA e piu grandepossibile quando i numeri sono uguali”. In altre parole,sea1, a2, . . . ,an sonon numeri positivi tali che

a1 +a2 + · · ·+an = nA

allora si haa1a2 · · ·an ≤ An,

dove l’uguaglianza sussiste se e solo se

a1 = a2 = · · ·= an = A.

Il candidato puo limitarsi a considerare il caso di valoriparticolari pern oppure, cio chee desiderabile, il casogenerale.

4) Due cercatori d’oro hanno due grandi sacchi di pezzid’oro. Il primo ha solo pezzi da 15 grammi, il secondopezzi da 21 grammi. Puo il primo pagare esattamenteal secondo un debito di 27 grammi d’oro? Potrebbe in-vece il secondo pagare esattamente al primo un debitodi 29 grammi d’oro?

5) Un podista si trova su un punto della terra (che suppo-niamo perfettamente sferica). Percorre un chilometroverso nord, poi uno verso est e infine uno verso sud.Si ritrova al punto di partenza. Quali sono i punti dipartenza che obbediscono a questa condizione?


Dissertazione: Proprieta fondamentali dei triangoli ret-tangoli.

Esercizi:

1) In un trapezio si conducano quattro retter1, r2, r3, r4

parallele alle due basi in modo tale che:

r1 passi per l’intersezione delle due diagonali;

r2 divida il trapezio in due trapezi simili;

r3 sia equidistante dalle due rette contenenti le basi;

r4 divida il trapezio in due trapezi aventi la stessa area.

Siano rispettivamenteE1F1, E2F2, E3F3, E4F4 i seg-menti delle retter1, r2, r3, r4 intercettati dal trapezio.Dimostrare che

E1F1 ≤ E2F2 ≤ E3F3 ≤ E4F4.

Esaminare il caso in cui in almeno una delle disugua-glianze valga il segno di uguaglianza.

2) Determinare un triangolo conoscendo un lato, l’angoloopposto e il prodotto degli altri due lati.

3) Un padre possiede un certo numero di monete d’oro.Egli le ripartisce fra i suoi tre figli nel modo seguente.Assegna al primo figlio la meta delle monete piu una,al secondo ne assegna un terzo delle rimanenti, al ter-zo rimane un numero di monete chee doppio di quelleassegnate al secondo. Quale il minimo numero di mo-nete che il padre deve possedere perche il terzo figlioabbia piu di 10 monete?

4) Si vogliono disporre alcuni satelliti, fissi rispetto allaTerra, in modo che da ogni punto della superficie terre-stre se ne veda almeno uno. Si supponga per semplicitache la Terra sia perfettamente sferica e i satelliti punti-formi. Dimostrare che occorrono non meno di quattrosatelliti per ottenere lo scopo.


Esposizione: A proposito della teoria dei polinomi diuna variabilex, il candidato risponda alle seguenti doman-de:

1. Si sa che la somma e il prodotto di due polinomie un polinomio. Come si definisce il grado di unpolinomio? Come si comporta il grado rispetto allasomma e al prodotto?

2. Che cosa significa dividere un polinomio per un al-tro? Spiegare il significato del quoziente e del re-sto, e dire quando un polinomioe divisibile per unaltro.

3. Dare un criterio perche il polinomiop(x) sia divisi-bile per il polinomiox−a. Dedurne che un polino-mio di gradon non puo averen+1 radici distinte.

4. Nella divisione di due polinomi a coefficienti ra-zionali e possibile che il numero

√2 appaia tra i

coefficienti del quoziente o del resto?Facoltativo: quale analogia vede il candidato fra

la teoria della divisibilita dei polinomi e quella deinumeri interi?

Esercizi:

1) Considerare l’equazionex2 +(m−1)x− (m+ 3) = 0,dovem e un parametro reale. Dopo aver riconosciutoche essa ha radici reali per ogni valore dim, trovarel’espressione della somma dei quadrati delle radici edire per quale valore dim essae minima.

2) Dimostrare che ogni numero primo diverso da due sipuo scrivere in un unico modo come differenza di duequadrati di interi.

3) Si dispongano sulle 64 caselle di una scacchiera i nu-meri 1, 2, 3, . . . , 64. Chiamiamo contigue due caselleche hanno un lato in comune.Si dimostri che esistono almeno due caselle contigue icui numeri differiscono per piu di 4.


Dissertazione: Poligoni regolari. Il candidato espongale costruzioni (con riga e compasso) a lui note e indichitutti i poligoni regolari che, partendo da esse,e in grado diottenere.

Esercizi:

1) Dire per quali valori reali dik l’equazionex8+k2+k=0 ammette radici reali.

2) Il candidato dica se l’equazione 2sinx+ 2cosx = 3+2x ha soluzione.

3) Dati nel piano una circonferenzaC di centroO e rag-gio r, e due puntiA eB, cercare gli eventuali puntiP diC tali che la retta congiungenteP conA e la retta con-giungenteP con B siano perpendicolari. Il candidatodica sotto quali condizioni perO, r, A, B, il problemaammette una o piu soluzioni.

4) Il candidato dica in quanti modie possibile cambiareun biglietto da 1000 lire

(a) in monete da 100, 20, 10 lire;

(b) in monete da 50, 20, 10 lire.


Dissertazione: Esporrebrevementela teoria delle equa-zioni di I e II grado nell’ambito dei numeri reali.Dire se e come la teoria debba essere modificata qualora cisi metta nell’ambito dei soli numeri razionali.

Esercizi:

1) E data l’equazione:

cos4x+sin4x = k.

Dire per quali valori dik esistono soluzioni.

2) Sono assegnate tre rette parallele. Esiste un triangoloequilatero con i vertici rispettivamente sulle tre rette?

3) E dato un angolo acuto ed un puntoP interno ad esso:condurre perP una retta che stacca un triangolo di areaassegnataa2.Dire per quali valori dia il problema ammette soluzio-ne.

4) Si consideri l’equazione:

x5 +a1x4 +a2x3 +a3x2 +a4x+a5 = 0

a coefficienti tutti interi.Supponiamo chea1, a2, a3, a4, a5, siano tutti divisibiliper un assegnato numero intero primop > 1 e chea5non sia divisibile perp2.Dimostrare che l’equazione non ammette come solu-zione alcun numero intero.


Dissertazione: Illustrarebrevementeil concetto di areaper i poligoni piani.

Esercizi:

1) Dire per quali interi positivin e per quali numeri realiq la somma 1+q+q2 + · · ·+qn e positiva.

2) Provare che il prodotto di quattro interi positivi conse-cutivi none mai un quadrato perfetto e che aggiungen-do al prodotto trovato 1 si ottiene sempre un quadratoperfetto.

3) Sono dati in un piano quattro puntiA, B, C, D, in modocheA, B, C eA, B, D sono vertici di triangoli equilateridistinti. Determinare tutte le circonferenzeβ che go-dono della seguente proprieta: i quattro puntiA, B, C,D, hanno dalla circonferenzaβ uguale distanza.

4) In un piano sono date tre rette paralleler, s, t: la rettas e tra le altre due e contiene un punto assegnatoA.Determinare le parti della rettar costituite dai puntiXper i quali passa almeno una retta che incontra le rettes, t in punti equidistanti daA.


Dissertazione: Quali sono gli aspetti della Matematicache le sembrano piu interessanti, e perche?(Si raccomanda di non superare le due facciate di foglioprotocollo).

Esercizi:

1) Dire se esistono numeri realix per i quali vale la se-guente uguaglianza:

2+2x = sin4x+cos4x+6sin2x ·cos2x.

2) Nel piano sono dati tre punti non allineatiA, B, C, e larettar perpendicolare inA al segmentoAB. Determi-nare gli eventuali puntiX della rettar tali che:

AXB= BXC.

3) In un piano sono dati una rettar e due puntiL, M fuoridi essa. Inoltree assegnata una lunghezzaa.Determinare sulla rettar due puntiH, K tali che il seg-mentoHK abbia lunghezzaa e sia minima la lunghez-za della spezzataLHKM.

4) Avendo una bilancia a due piatti, si vogliono pesareoggetti di peso non superiore a 500 grammi con erroreinferiore ad un grammo. Si possono acquistare pesi diun grammo o multipli interi del grammo.Quale il minimo numero di pesi che occorre acquista-re?N.B. Durante le pesate, i pesi non possono essere postinel piatto che contiene l’oggetto da pesare.


Dissertazione: Esporre brevemente, motivando la ri-sposta, qualche notevole proprieta che distingue i numerirazionali tra i numeri reali.

Esercizi:

1) Dimostrare che se due triangoli isosceli hanno la stessaaltezza (rispetto alla base) e la stessa mediana rispettoal lato, essi sono uguali. Indicare una costruzione deltriangolo, dati i due segmenti altezza e mediana, oppu-re determinare i lati del triangolo sapendo che l’altezzamisura cm 2 e la mediana cm 2

√5.

2) Dire se i seguenti due problemi sono equivalenti (cioese ogni soluzione dell’unoe anche soluzione dell’al-tro); in caso negativo, modificare il secondo in mododa stabilirne l’equivalenza col primo.

(I) Determinare il raggio di basex e l’apotemay diun cono circolare retto, sapendo che la loro sommae m e che l’area della superficie totale del conoeπkm2 (k > 0).

(II) Determinare le soluzioni del sistema:

x+y = m,

x2 +xy= km2,x > 0,y > 0,

k <12.

3) Nel piano sono fissati due puntiA, B. Sia β una cir-conferenza dello stesso piano avente centro sull’assedel segmentoAB e non avente punti in comune con larettaAB.Determinare, giustificando la risposta, i punti della cir-conferenzaβ dai quali i segmentoAB e visto sottol’angolo massimo e sotto l’angolo minimo.

4) Fissato un intero positivon, determinare il piu picco-lo intero m tale che, presi comunquem numeri, unaalmeno delle seguenti eventualita si verifichi:

(a) tra glim numeri considerati, ve ne sonon uguali;

(b) tra glim numeri considerati, ve ne sonon distinti.

5) (In questo esercizio “numero” significa “intero positi-vo”).E immediato constatare che ogni numero disparie som-ma di due numeri consecutivi. Dimostrare, piu in gene-rale, che ogni numero avente un divisore dispari mag-giore di unoe somma di (piu) numeri consecutivi. Visono altri numeri aventi questa proprieta?


Dissertazione: Esporre brevemente definizione e pro-prieta dei logaritmi.

Problemi:

1) In occasione di un rinnovo del contratto di lavoro, irappresentanti sindacali ottengono che, oltre al ripo-so domenicale, i dipendenti di un’azienda godano diuna vacanza ogni quattro giorni e di una vacanza ognidieci giorni quale premio di operosita. Il contratto vain vigore il primo giorno di un anno che cade di lu-nedı. Calcolare in quali giorni dell’anno accadra, perla prima volta, che per effetto di questo accordo e dei

riposi domenicali, i dipendenti godranno di tre giornidi vacanza consecutivi.

2) Sono dati quattro puntiA, B, C, D, dello spazio. Trova-re un piano dal quale i quattro punti siano equidistanti etale cheA eC stiano in uno dei semispazi determinatodal piano eB eD nell’altro.

3) Sep eq sono numeri interi dispari, l’equazione

x2 +2px+2q = 0

non ha radici razionali.E facoltativo dimostrare che lastessa conclusione vale per l’equazione

xn +2px+2q = 0 n≥ 3.

4) Una bilia si trova su un biliardo in una posizioneP.Provare che esiste almeno una direzione secondo cuisi puo lanciare la bilia in modo che essa non ripassimai per la posizioneP. Si consideri il biliardo privodi attrito e che il rimbalzo alle sponde obbedisca allastessa legge di riflessione della luce.


1) Eseguire la divisione del polinomiox4 + x3 per il po-linomio x2 +1 e spiegare il significato dell’operazioneeseguita.

2) Dimostrare, con precisione e chiarezza, questo sempli-ce teorema: nel triangolo di verticiA, B, C, e di latiopposti (rispettivi)a, b, c, si haA < B se e soltanto sea < b.

3) Dimostrare che il prodotto di quattro interi consecutiviaumentato di 1e un quadrato perfetto.

4) Dire a quale condizione devono soddisfare tre cerchidel piano di uguale raggio e privi, a due a due, di punticomuni perche esista un quarto cerchio tangente a tuttie tre che li racchiude tutti. Costruire tale cerchio.

5) Dire se esistono numeri realix che verificano l’equa-zionex2 +2x+2−x = 0.

6) I batteri di una cultura aumentano dopo ogni minutoprimo del 10%; se inizialmente vi erano mille batte-ri, dopo tre ore vi sarannox batteri. Dire quali delleseguenti congetturee vera, e perche:

(a) x e minore di un milione;

(b) x e compreso fra un milione ed un miliardo;

(c) x e maggiore di un miliardo.


1) Sono date due bottiglieA e B della capacita di un li-tro ciascuna. Si riempieA di vino, e se ne trasferisceuna frazionek in B. Successivamente si colmaB di ac-qua. Dopo aver rimescolato l’acqua e il vino, si versa

una parte della soluzione daB in A fino a riempire que-st’ultima.Determinare la quantita di vino puro che si trova inA altermine dell’operazione, e dimostrare che tale quantitanon puo essere inferiore a34 di litro.

2) Di 128 casse di arance, ogni cassa contiene non menodi 120 e non piu di 144 arance. Mostrare che almeno 6casse contengono un uguale numero di arance.

3) Un treno parte da Pisa. Al momento della partenza ilmacchinista controlla il cronometro e nota che la lan-cetta dei secondie sullo zero. Dopo aver percorso 8chilometri il macchinista controlla di nuovo il crono-metro e nota che la lancetta dei minuti copre esatta-mente quella delle ore. La velocita media del treno pergli otto chilometri percorsie di 33 chilometri l’ora. Ache orae partito il treno da Pisa?

4) Una regione piana si dice convessa se, insieme a duesuoi punti qualsiasi, contiene tutto il segmento che licongiunge.Sono dati nel piano cinque puntiA, B,C, D, E. Mostra-re che, fra i quadrangoli che hanno per vertici quattrodei cinque puntiA, B, C, D, E, ne esiste almeno unoconvesso.Per semplicita, il candidato supponga che, fra i cinquepunti dati, non ve ne siano tre allineati.

5) Quale il piu grande interoN tale che

n5−5n3 +4n

sia divisibile perN qualunque sia l’interon?

6) Determinare nel modo piu elementare possibile (e sen-za usare la tavola dei logaritmi) quale dei due numeri

120100 e 100120

sia maggiore dell’altro.


1) Determinare i valori dia per cui l’equazione

2(cosx+sinx) = a

ammette soluzioni.

2) Dimostrare chee possibile trisecare con riga e compas-so un angolo retto ed un angolo di 45◦.

3) Trovare il luogo del terzo vertice di un triangolo, datidue vertici e la lunghezza di una mediana. Esaminare ivari casi.

4) Dimostrare che le soluzioni intere positive dell’equa-zione

x+y+z= xyz

sono numeri distinti. Dimostrare che l’unica soluzionee costituita dalla terna 1, 2, 3.

5) Dati tre numeri interia, b, c aventi massimo comundivisore 1, verificare che i numeri della forma

am2 +bm+c,

conm intero qualunque, non possono essere tutti divi-sibili per 14. Generalizzare il risultato.

6) Dire con quanti zeri consecutivi termina il numero ot-tenuto moltiplicando fra loro i primi 133 numeri natu-rali.


1) Dettiα, β , γ, gli angoli di un triangoloABCeda, b, c, ilati opposti rispettivamente ad essi, mostrare l’identita

a(sinβ−sinγ)+b(sinγ−sinα)+c(sinα−sinβ )= 0.

2) Un bambino sta giocando con cubi di legno, tutti ugualifra loro. Egli dispone questi cubi in maniera da rico-prire un quadrato. Un fratello vuole fare anche lui lostesso gioco con quei cubi. La madre, per mettere ac-cordo tra i due, divide i cubi fra i due bambini, in partiuguali, e dice loro di ricoprire con i cubi loro assegnatidue quadrati.Quanto pensate che la madre abbia profittato dei suoistudi medi di matematica? Giustificate il vostro giudi-zio.

3) Due circonferenze si intersecano e siaA uno dei puntidi intersezione. Condurre perA le rette che formanocon le due circonferenze corde uguali.

4) Dividiamo l’insieme dei primi sette interi positivi indue parti. Dimostrare che, comunque sia stata fatta

questa suddivisione, una delle due parti contiene alme-no una coppia di numeri la cui differenza appartienepure alla parte stessa.(Per esempio, la parte costituita dai numeri 1 e 2 sod-disferebbe la condizione richiesta poiche 2− 1 = 1).

5) Il prodotto di tre numeri interi positivi consecutivi nonpuo essere il cubo di un numero intero.Facoltativo: Mostrare che il prodotto dik numeri interipositivi consecutivi non puo essere la potenzak-esimadi un numero intero.

6) Siano dati tre numeria, b, c. Supponiamo che, perogni numero intero positivon, esista un triangolo lelunghezze dei lati del quale sonoan, bn, cn, rispet-tivamente. Dimostrare che tutti questi triangoli sonoisosceli.


1) Per quali valori del numero realea l’equazione

1+sin2ax= cosx

ha una ed una sola soluzione?

2) Date le due progressioni aritmetiche

1, 4, 7, . . . ,

7, 33, 59, . . . ,

dimostrare che ogni progressione aritmetica che le con-tiene entrambe ha ragione uno.E in facolta del candidato generalizzare questo risulta-to provando che, se due progressioni aritmetiche han-no ragioni prime fra loro, ogni progressione aritmeticache le contenga entrambe ha ragione uno.

3) Sian un intero maggiore di 2, e sia∆ un triangolo ret-tangolo. Dimostrare che l’n-esima potenza della lun-ghezza dell’ipotenusa di∆ e maggiore della sommadellen-esime potenze dei cateti.

4) Sianox, y, z, eα, β , γ, numeri reali tali che

αz−2βy+ γx = 0, αγ −β2 > 0.

Dimostrare chexz−y2 ≤ 0.

5) Mostrare che, per ogni intero positivon, il numero

5n +2·3n−1 +1

e divisibile per 8.

6) Dati nel piano un segmentoAB ed una rettar, che nonintersechiAB, determinare il punto (o i punti) dir, daiqualiAB e visto secondo un angolo massimo.


1) Su un tavolo orizzontale vie una pila di 7 dischi me-tallici perfettamente uguali ognuno di diametro 40 cm.

Dire quale la distanza massima che puo avere la ver-ticale per il centro del disco piu alto dalla verticale peril centro del disco piu basso senza che la pila crolli.

2) Considerare le equazioni

2x4−2x3 +2x = 0

e

2cos2x2 +x

6= 2x +2−x.

Dire per ciascuna di esse se ammette soluzioni reali ein caso affermativo trovarle.

3) Quattro amici, fra cui il padrone di casa, giocano a dadicon le seguenti regole: ad ogni turno di gioco, ognunodi essi lancia un dado, ed il padrone di casa paga cin-que gettoni a chi ha ottenuto il suo stesso punteggio,mentre ne incassa uno da chi ha ottenuto un punteggiodiverso.Ad un certo momento, uno dei tre ospiti salta un tur-no di gioco per prendere le sigarette dal suo soprabito.Alla fine del gioco essi rimangono con 23, 30, 32, 35gettoni rispettivamente.Sapendo che all’inizio ognuno aveva 30 gettoni, sapre-ste indicare quanti gettoni hanno alla fine il padrone dicasa ed il fumatore?

4) Sui quattro lati di un parallelogrammo, ed esternamen-te ad esso, costruiamo quattro quadrati. Mostrare che icentri di questi quadrati sono a loro volta vertici di unquadrato.

5) Data una progressione geometrica formata da un nu-mero qualsivoglia di numeri reali, dimostrare che ad

essa non possono appartenere tutti e tre i numeri

10, 13, 19.

6) Per ogni intero positivon, il numero

N = n2 +1

none divisibile per 3.Facoltativo: dire per quali interi positivis esistono in-teri n tali che

ns+1

e divisibile per 3.


1) Due amiciA e B fanno questo gioco: quando uno deidue dice un numero intero e positivo, l’altro lo dimez-za se pari, mentre gli toglie uno se dispari. Vince chipronuncia il numero 1.(Esempio:A dice 18,B risponde 9,A continua con 8,B con 4,A con 2 eB dice 1:B vince in sei colpi).Il giocatoreA comincia il gioco scegliendo un numeromaggiore di 30.000 e minore di 31.000.Quale scelta deve fare se vuole vincere nel minimonumero di colpi?

2) Tre satellitia, b e c girano intorno alla Terra con velo-cita costanti ed uguali fra loro, descrivendo tre orbite

circolari di centro nel centro della Terra e raggi uguali.Si possiedono le seguenti informazioni:

(i) l’orbita di a si trova sul piano dell’equatore, men-tre le orbite dib e c si trovano sui piani di duemeridiani;

(ii) in un certo istantea si trova sul puntoA, b in B ec in C, mentre in un istante successivoa si trova inB, b in C ec in A;

(iii) i piani delle orbite dib ec sono perpendicolari;

(iv) in ogni istante il triangolo che ha come verticia, b,c, e un triangolo equilatero;

(v) il rapporto fra il massimo e il minimo delle distanzefra due satellitie

√3.

Il candidato dica se queste informazioni sono fra lo-ro compatibili e se alcune di esse sono superflue, nelsenso che possono essere dedotte dalle informazioniprecedenti.

3) Dire quale forma deve avere un polinomioP(x) affin-che per ogni numero realex si abbia

1−x4 ≤ P(x)≤ 1+x4.

4) Si considerino due quadrati(O,M,N,P) e (O,S,R,T),l’uno esterno all’altro aventi in comune solo il verti-ce O. Dimostrare che la mediana perO del triangolo(O,P,S) e perpendicolare alla retta passante perT edM.N.B. I vertici dei tre poligoni considerati sono elencatiin senso orario.

5) Trovare tre numeri interin tali che 2n− log2n risultiintero e multiplo di 3.Facoltativo: mostrare che esistono infiniti interinaven-ti questa proprieta.

6) Dire se le due equazioni

2x3 +3x2−4x−6 = 0

ex4 +x3−x2−2x−2 = 0

hanno qualche radice in comune.


1) Un battello scende lungo un fiume; sia alla partenzache ad ogni stazione intermedia salgono sul battellotanti passeggeri, ognuno diretto ad una diversa stazio-ne, quante sono le fermate successive. Sapendo cheil numero massimo di passeggeri contemporaneamen-te presenti sul battelloe 380, si determini il numerodelle stazioni.(Si cerchi una formula che leghi il numero delle sta-zioni al numero massimo di passeggeri contempora-neamente presenti a bordo).

2) Descrivere l’insieme delle coppie di numeri reali(x,y)tali che

sinx+√

3cosx≤ y≤ π −|x|+∣∣π −|x|∣∣,

e rappresentarlo graficamente nel piano cartesiano dicoordinatex ey.

3) Per un puntoP passano tre superfici sferiche distintetra loro. Si considerino le affermazioni seguenti:

(a) nessuna retta passante perP e tangente a tutte e trele sfere;

(b) nessuna sferae tangente ad un’altra;

(c) esiste un altro puntoQ in comune alle tre superficisferiche.

Dire, per ogni coppia di affermazioni, se esse sonoincompatibili, se sono equivalenti o se una delle dueimplica l’altra.

4) Un sacchetto contiene 48 palline di diversi colori: bian-che, rosse e nere.La probabilita che, estraendo contemporaneamente duepalline, esse siano entrambe bianchee doppia rispet-to alla probabilita che, estraendo contemporaneamen-te tre palline, esse siano tutte rosse. Quante sono lepalline nere nel sacchetto?

5) Si considerino due circonferenzeC e C1, di raggi ri-spettivamenteR ed R1, tra loro tangenti esternamentein un puntoP, ed un rettaα, tangente ad entrambe, nonpassante perP.Siano poi:

C2, la circonferenza tangente adα, aC ed aC1, diraggioR2 > R1;

C3, la circonferenza tangente adα, aC ed aC2, diraggioR3 > R2;

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ck+1, la circonferenza tangente adα, aC ed aCk, diraggioRk+1 > Rk;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sapendo cheR= 100R1, trovare, al variare dell’interok, il valore diRk, e dire se i cerchiCk esistono per ognik; in caso contrario, trovare il massimok per cuiCk

esiste.(Si consiglia di determinare preliminarmente la rela-zione che intercorre fra i raggi di tre cerchi, ciascunodei quali tangente esternamente agli altri due, e tuttitangenti ad una stessa retta).

6) Ad ogni polinomioP(x) si associ il polinomio

(∗) Q(x) = P(x+1)−P(x).

Si provi che:

(a) Q e identicamente nullo se e solo se il polinomioP(x) e una costante;

(b) per ogni polinomioQ(x) di grado≤ 3 esistono in-finiti polinomi P che verificano la(∗).


1) Provare la disuguaglianza

|xα −yα | ≤ |x−y|α

per ogniα razionale compreso fra 0 e 1, per ognix,y≥ 0.

2) SiaAOBun angolo di 120◦, P eQ punti ad esso interni.Trovare un puntoM sulla semiretta OAe un puntoNsulla semiretta OBtali che sia minima la somma

PM+MN+NQ.

3) Siano date due circonferenzeC, di centroO, e C′, dicentroO′, fra loro secanti in due puntiA e B. SiaP unpunto diC, esterno aC′. Sia poiM il secondo puntodi intersezione della rettaPA conC′ ed N il secondopunto di intersezione della rettaPBconC′.Si dimostri che la rettaPO e perpendicolare alla rettaMN.

4) Costruire un polinomiop di grado minimo e con coef-ficiente del termine di grado massimo uguale a 1, taleche

p(0) = 0, p(1) = 1, p(−1) = 2.

5) Un tale vuole pesare 4 sacchi di patate, ognuno deiquali ha peso compreso fra 20 e 40 chili. Egli disponepero di una bilancia che puo misurare solamente pesi

compresi fra 40 e 80 chili. Decide, pertanto, di pesa-re i sacchi a due a due. Alla fine egli si accorge perodi avere scritto solo 5 dei 6 possibili pesi ottenuti inquesto modo. Sapendo che tali pesi sono 46, 49, 50,50, 51 chili, sapreste determinare il peso di ognuno deisingoli sacchi, dimostrando altresı che tale soluzioneeunica?Sapreste dire inoltre se, cambiando a piacere i 5 valoriforniti, il problema

(a) avrebbe comunque avuto soluzione?

(b) avrebbe comunque avuto non piu di una soluzione?

6) Un’autostrada han caselli a distanze successive dipchilometri. Sie osservato che ogni macchina entra conuguale probabilita da ogni casello ed esce con ugualeprobabilita da un altro casello. Trovare la lunghezzadel percorso medio di ogni macchina.


Il candidato risolvaseidei seguenti problemi:

1) Risolvere il sistema{x− logy = 1y− logx = 1.

(Si ricorda che logx = logex e che il numeroe ha laseguente proprieta:

ex > 1+x per ognix 6= 0).

2) Determinare gli interi positivip, q, N per cui

(p+q)N = 2(pN +qN).

3) Trovare quattro numeri interi positivia, b, c, d, in mo-do che per ogni numero razionale positivox risulti∣∣∣∣ax+b

cx+d−√

2

∣∣∣∣ <110

∣∣x−√2∣∣.

Utilizzando la formula trovata, calcolare√

2 con l’ap-prossimazione di 10−3.

4) Dire per quali numeri realix si ha

2cosx≤∣∣√1+sin2x−

√1−sin2x

∣∣≤ 2.

5) Dato nel piano un quadrilateroABCD, tracciare un cer-chio equidistante dai quattro vertici.Quanti di questi cerchi si possono tracciare? Discutereil problema. (Si ricorda che la distanza di un puntoPda un cerchio di centroO e raggior e OP− r seP eesterno al cerchio,r−OPseP e interno al cerchio).

6) Dato un tetraedro avente 5 dei 6 spigoli di lunghezza≤ 2, provare che il suo volumee≤ 1. In quale caso ilvolume risulta uguale a 1?

7) Una centrale elettrica si trova, ad un certo istante, aderogare la massima potenza disponibile. Si sa che leuniche variazioni sul circuito che avverranno entro bre-ve termine saranno determinate dalla fermata di cinque

impianti industriali e dalla messa in moto di altri dueimpianti. Non conoscendo l’ordine in cui le sette ope-razioni avverranno, dire quale la probabilita che si ve-rifichi un “black-out”.(Si supponga per semplicita che le 7 industrie assor-bano la stessa potenza e che accensioni e spegnimentiavvengano in istanti diversi).Si studi possibilmente il problema anche nel caso piugenerale in cui le industrie che fermano gli impiantisonoN, mentre quelle che li mettono in moto sonoK.


1) (a) Provare che le sole soluzioni del sistema{xey +yex = 1x2 +y2 = 1

sonox = 0, y = 1 ex = 1, y = 0.

(b) Dimostrare che il sistema{xex2

+yey2= 3

x2 +y2 = 1

non ha soluzioni.

[Potra essere utile la seguente disuguaglianza:

(aa′+bb′)2 ≤ (a2 +b2)(a′2 +b′2) ].

2) SiaQ un quadrato di lato unitario. Si determini il piugrande numero realeα che verifica la seguente pro-prieta. Comunque si suddividaQ in due partiA, B,una (almeno) di tali parti contiene due punti che hannodistanza≥ α.

3) Sian un intero maggiore di 2. Mostrare che la sommadei cubi dei numeri che sono primi conn e inferiori aessoe divisibile pern.

4) Un triangolo ha gli angoliα, β , γ che verificano lacondizione

cos3α +cos3β +cos3γ = 1.

Si provi che uno di tali angoli vale23π.

5) Dati un pianoα e due puntiP, Q, nello stesso semispa-zio, si considerino le sfere passanti per i puntiP, Q, etangenti al pianoα.Si richiede di determinare il luogo dei punti di tangen-za.(Si esamini preliminarmente il caso in cui i due puntisono su una retta perpendicolare al piano).

6) Per i tre vertici di un triangolo si conducono tre retteparallele e poi altre tre rette anch’esse fra loro paral-lele. I punti di intersezione di queste sei rette defini-scono dei parallelogrammi. Di questi, tre hanno comediagonale un lato del triangolo. Provare che le secon-de diagonali di questi parallelogrammi passano per unpunto.(Si studi preliminarmente il caso in cui le terne di rettesono fra loro perpendicolari).


1) Si considerino i polinomi

p(x) = x2−2x+2, q(x) = p(p(x));

(a) provare che le radici dell’equazionep(x) = x sonoanche radici diq(x) = x;

(b) trovare le radici dell’equazioneq(x) = x.

2) SiaABCDun quadrato, e siaP un punto interno ad essotale che

PAB= PBA= 15◦.

Si dimostri che il triangoloPCD e equilatero.

3) Sianoa e b due numeri positivi tali chea+ b = 1;provare la disuguaglianza(

a+2a

)2

+(

b+2b

)2

≥ 812

.

Per quali valoria eb vale il segno di uguale?

4) Trovare il massimo numero intero positivo che dividetutti i numeri della forma

n7 +n6−n5−n4

conn intero maggiore di 1.

5) Due amici si sono iscritti alla prima classe di un liceo.Tale liceo ha due sezioni le cui prime classi hanno ri-spettivamenten e m studenti, conn e m compresi tra20 e 30.

Sapendo che la probabilita che i due amici si trovinonella stessa classee 1/2, dite quanti sono gli studentidelle due classi.

6) Si consideri un angolo convesso delimitato dalle duesemiretter esaventi la stessa origine; sianoA eG duepunti interni ad esso.E possibile determinare un puntoB su r e un puntoCsus in modo che il triangoloABC abbia baricentro inG?


1) Una stanza rettangolare ha il pavimento rivestito conmattonelle quadrate; la meta di essee adiacente allepareti. Trovare quante possono essere le mattonelle suciascun lato.

2) In quante regioni viene divisa una superficie sferica dan cerchi massimi che giacciono su di essa?(Si supponga che tra glin cerchi nessuna terna concor-ra in un punto).

3) Trovare tutte le soluzioni del sistema2x+yz−x10

√x2+y2+z2

= 0

2y+xz−y10√

x2+y2+z2= 0

−2z+2xy+z10√

x2+y2+z2= 0.

4) Un tetraedroABCDha tre spigoliAD, BD, CD, di lun-ghezzad e gli altri tre di lunghezzal . Si determini

il raggio r di una sfera chee tangente a tutti e sei glispigoli.

5) Sianon e k due interi assegnati maggiori o uguali a 2;determinare i polinomip(x) di gradok tali che valgal’identita

p(xn) = [p(x)]n.

6) Siano dati una circonferenzaγ e un puntoP distintodal centro. SiaPAB un triangolo che, tra tutti quelliche hanno un vertice inP e i rimanenti due suγ, abbiaperimetro massimo. Dimostrare che le due bisettriciuscenti dai verticiA eB passano per il centro diγ.(Non si richiede la costruzione geometrica, ne la deter-minazione degli elementi del triangolo).


1) L’eguaglianzap! +q! + r! = s!

e soddisfatta perp = q = r = 2 eds= 3.Dire se esistono altri numeri interi positivi per cui taleeguaglianzae vera.(Si ricorda chen! indica il prodotton · (n−1) · · · · ·3 ·2·1 dei primin numeri interi).

2) Si considerino nel piano due circonferenzeγ e γ ′ dieguale raggio. Determinare il luogo dei punti mediMdei segmentiAA′ conA in γ eA′ in γ ′.

3) Fra i triangoli equilateri contenuti in un quadrato asse-gnato, determinare quelli di area massima.

4) Fissati due puntiP e Q su due lati consecutivi di undato rettangolo, si determinino sugli altri due lati duepunti R ed S tali che il quadrilateroPQRSabbia areamassima.

5) Per la costruzione di un certo ponte si prevede che ilcosto di ogni arcata sara di 18s2 miliardi di lire, dovese la distanza in chilometri fra i due piloni di sostegnodi quell’arcata, mentre il costo di ogni pilone sara dimezzo miliardo.Se il ponte deve essere lungo 3 chilometri quale sara ilminimo costo dell’opera?

6) Con una bilancia a piatti e disponendo di infiniti pesicampione

p, p1, q1, p2, q2, . . . , pn, qn, . . .

da1, λ , 1/λ , λ 2, 1/λ 2, . . . ,λ n, 1/λ n, . . .

grammi rispettivamente, doveλ e un numero reale mag-giore di 1, si vogliono pesare tutti gli oggetti con una

precisione arbitrariamente grande. Per quali valori diλ cio e possibile?(N.B. Si dispone di un solo esemplare di ogni pesocampione e non si possono mettere pesi campione sulpiatto che contiene l’oggetto da pesare).


1) Si determinino gli interi positivik tali che il polinomio

x5 +x4 +x3 +kx2 +x+1

sia prodotto di polinomi a coefficienti interi di gradominore di cinque.

2) Si dimostri che il sistema di equazioni{yex−e−y = xyex

xey−e−x = ey

ha un’unica soluzione.

3) Si dimostri che la composizione di due omotetie dellospazio, con poliP e Q distinti, e ancora un’omotetiadi polo R, allineato conP e Q, oppure una traslazioneparallela aPQ.

4) SiaABCun triangolo isoscele di baseBC con l’angoloal verticeBAC minore di 60◦.Si costruisca un altro triangoloPQR, di baseQR, circo-scritto e simile adABC, tale che il puntoA appartengaal segmentoQRe si abbiaQA= 2·AR.

5) (a) Sianoα, β , γ, δ quattro angoli minori di 180◦. Sidimostri che

sinα +sinβ +sinγ +sinδ ≤ 4sinα +β + γ +δ

4.

(b) Utilizzando la relazione precedente, si dimostri chela somma dei seni degli angoli interni di un trian-golo e sempre minore o eguale a 3

√3/2.

6) Si consideri un biliardo diforma trapezoidale (vedi fi-gura) conα = 30◦, l = 1m,L = 5m e si supponga dilanciare una bilia dal pun-to A. Si provi che la bi-lia, qualunque sia la dire-zione iniziale, effettua so-lo un numero finito di rim-balzi prima di battere sul-la spondaAB.Si determinianche il numero massimodi tali rimbalzi.

Si studi infine il caso in cuiα e un angolo generico eL/l e sufficientemente grande.

(Si consideri il biliardo privo di attrito, la palla puntifor-me e si supponga che il rimbalzo sulle sponde obbedi-sca alla legge di riflessione della luce).


1) Siano assegnati due numeri reali positivi non nullir ep, conr < p.Tra tutti i quadrilateri convessi di perimetrop, aventila somma delle lunghezze di una coppia di lati conse-cutivi uguale adr, si determini quello di area massima.

2) Sianop, q, r, tre numeri reali tali che il polinomio

A(x) = x3 + px2 +qx+ r

abbia tre radici reali.Determinare tre numeri realia, b, c, espressi in funzio-ne di p, q, r soltanto, in modo che il polinomio

B(x) = x3 +ax2 +bx+c

abbia per radici i quadrati delle radici diA.

3) Sia dato un segmentoABnel piano. Si consideri il luo-go L dei punti del piano che vedono il segmentoABsotto un angolo di 60◦.Si scelgaP in L e si scelgano due puntiC e D rispet-tivamente interni ai latiBP e AP del triangoloABP, inmodo cheAD = BC.Si costruisca il triangolo equilateroCDQ di baseCD,esterno al quadrilateroABCD.Si studi, al variare diP in L e di C, D, secondo lecondizioni indicate sopra, il luogo dei punti del pianodescritto dal puntoQ.

4) Un punto(x,y) del piano cartesiano si dira razionalesex ey sono numeri razionali.

Data una qualunque circonferenza del piano cartesianoavente centro razionale, si provi che se essa contiene unpunto razionale, allora contiene infiniti punti razionali.

5) Nella figurae rappresentato lo sviluppo delle facce diun tetraedro regolare dello spazio.

SianoP, Q, R, tre punti distinti del tetraedro corrispon-denti, nello sviluppo, rispettivamente ad un punto in-terno al segmentoMN, un punto interno al segmentoMO ed un punto interno al triangoloMOC.Siaα un piano contenenteP, Q, R.Si determini, nello sviluppo piano, l’intersezione tra ilpianoα e le facce del tetraedro.

6) Tizio si trova nella sua abitazione e deve prendere untreno che parte dalla stazione esattamente tra mezz’o-ra. Sotto la sua abitazione c’e la fermata di un autobusche lo porta alla stazione in 20 minuti. A 5 minuti dicammino vie una fermata da cui passano altre due li-nee di autobus che lo possono portare alla stazione in

18 minuti.Tizio non conosce l’orario di passaggio degli autobus,ma sa che su ognuna delle linee, gli autobus passanoogni quarto d’ora.Quale strategia conviene a Tizio per avere maggioreprobabilita di prendere il treno?


1) SianoA, B, C, D, quattro punti distinti assegnati nellospazio. Determinare una condizione necessaria e suffi-ciente affinche ogni superficie sferica che passa perAe B intersechi ogni superficie sferica che passa perC eD.

2) Un ragazzo ha concluso la terza media, sa che sei bravoin matematica e ti chiede

(a) cosae unpoligono piano,

(b) cosae l’area di un poligono piano.

Esponi le definizioni richieste con rigore, chiarezza econcisione (max. 12 righe).Volendo dare le stesse definizioni a un livello scolasti-co piu avanzato, quali precisazioni occorrerebbe fare?(assiomi e definizioni precedenti, enunciati di eventualiteoremi, . . . ).

3) Si considerino i numeri naturali 1, 11, 111, 1111, . . . e,in generale, si indichi conαn il numero che si ottienegiustapponendon cifre uguali a 1.

(a) Si provi che seαn e un numero primo alloran eprimo.

(b) Si provi che, assegnato comunque un numero na-turale r, non divisibile ne per 2 ne per 5, si puotrovare unαn chee multiplo dir.

(c) Si scriva un algoritmo o un programma per calco-latore (in un qualunque linguaggio di programma-zione) che, a partire dar, calcoli il minimo n percui vale la (b).

4) Sia assegnato su un piano un numeron arbitrario ditriangoli con la proprieta che tre qualsiasi di essi abbia-no almeno un punto in comune. Si dimostri che tutti itriangoli assegnati contengono uno stesso punto.Come occorre modificare l’ipotesi perche la stessa con-clusione valga per un numero finito di triangoli nellospazio?

5) Siap(x) = ax4 +bx3 +cx2 +dx+e un polinomio concoefficientia, b, c, d, e, numeri razionali. Si suppongache, per ogni interom maggiore di un certom0, il nu-merop(m) sia intero. Si dimostri che allora 24·a e unnumero intero.Si generalizzi questo risultato a polinomip(x) con coef-ficienti razionali di grado qualsiasi.

6) Un laboratorio deve organizzare il trasferimento di 10m3 di scorie radioattive liquide. Occorre ordinare unnumeron di contenitori, identici, che possano conte-nere tali scorie e garantire un trasporto sicuro.Si stima che il costo di ciascuno di tali contenitori sia16·V2 milioni di lire, ove V e il volume (in m3) discorie che ciascuno di essi puo contenere; il costo del

riempimento di ciascun contenitore risulta essere di unmilione di lire, indipendentemente dalla sua capienza.

(a) Quanti contenitori e di quale volume dovra ordi-nare il laboratorio per spendere il meno possibile?

(b) Al momento di effettuare l’ordine si viene a sapereche la ditta fornitrice pratica un piccolo sconto, sulprezzo dei contenitori ordinati, dik per cento, conk intero, se il loro numero uguaglia o supera le 50unita (il costo del riempimento rimane inalterato).Qual e il piu piccolok per il quale risulta conve-niente modificare l’ordine, e perche?


1) Per 0≤ x≤ π

2 edn = 1, 2, 3, . . . , si ponga:

Fn(x) = 1−sinx+sin2x−·· ·+(−1)nsinnx.

Provare che

(a) per 0≤ α ≤ 12, l’equazioneF2k(x) = α non ha so-

luzioni qualunque siak naturale;

(b) per 12 < α ≤ 1, esiste un numero naturalek∗ tale

che, per ognik > k∗, l’equazioneF2k(x) = α haalmeno due soluzioni.

2) SiaSuna superficie sferica di centroO. Per ogniP∈S,sia fP : S→ S l’applicazione che ad ogniQ∈ Sassociail punto fP(Q) simmetrico diQ rispetto all’asseOP.Dimostrare che:

(a) per ogniP ∈ S, fP e la composizione di due sim-metrie rispetto a piani;

(b) per ogniP, X, Y ∈ S, la distanza traX eY e ugualealla distanza frafP(X) e fP(Y).

(c) per ogniP, Q, X ∈ S, fP( fQ(X)) = f fp(Q)( fP(X)).3) Trovare le soluzioni reali del sistema:2y+x−x2−y2 = 0

z−x+y−y(x+z) = 0−2y+z−y2−z2 = 0.

4) Consideriamo la legge che ad ogni puntoP= (x,y) delpiano cartesiano fa corrispondere il puntof (P) dellostesso piano, definito da:{

P seOP≤ 1,(x/OP,y/OP) seOP≥ 1,

doveO = (0,0) eOP indica la distanza daO aP.Provare che, per ogni coppia di puntiP, Q, la distanzafra f (P) e f (Q) non supera la distanza fraP eQ.

5) SiaS la superficie di un prisma, a base ottagonale re-golare, inscritto in un cilindro circolare retto di raggioR e altezzah = 3Rsin(π/8). SianoA e B due punti diScome in figura, conOA= R√

2.

Determinare la lunghezza del minimo percorso suStraA eB.

6) Sia f (x) una funzione a valori reali, definita sulla se-miretta reale{x≥ 0}. Supponiamo che:

(a) f (x) sia derivabile con derivataf ′ continua;

(b) f (0) = 0;

(c) per ognix≥ 1 risulti

0 < f (x)≤ x f ′(x).

Provare che l’equazionef (x) = k ha almeno una solu-zionex≥ 0, per ognik≥ 0.


1) Considerare nello spazio euclideo nove punti distinti acoordinate intere. Dimostrare che ne esistono due tali

che il segmento che li congiunge contiene almeno unpunto interno (cioe distinto dagli estremi) a coordinateintere.

2) SiaP un poligono semplice (cioe tale che da ogni ver-tice escono esattamente due lati) non necessariamenteconvesso, con almeno 4 vertici. Supponiamo cheP ab-bia al piu un vertice concavo.E vero che esistono due vertici non consecutivi con laproprieta che il segmento che li congiungee contenutoin P? Se sı dimostrarlo, se no trovare un controesem-pio.

3) Dato il sistema

x1 +x2 + · · ·+x100 = 5050x2

2−x21 = 3

· · · ·x2

k−x2k−1 = 2k−1

· · · · · ·x2

100−x299 = 199

trovare tutte le soluzionix1, x2, . . . , x100, conxk ≥ 0,k = 1, 2, . . . , 100. Giustificare il risultato.

4) Sia dato il polinomioF(x) = xn +an−1xn−1 + · · ·+a0

con coefficientiai interi. Supponiamo che esistanoquattro interi distinti,a, b, c, d, tali cheF(a) = F(b) =F(c) = F(d) = 7. Dimostrare che non esiste alcuninterok tale cheF(k) = 12.

5) Trovare il piu piccolo numeroα > 1 tale che risulti:

α +sinxα +siny

≤ ey−x

per ognix≤ y.

6) Si consideri un rettangoloRdi misure 8×5 metri. Nelpunto di mezzoO di un latoe incernierato un braccioarticolato, della lunghezza totale di due metri, forma-to da due segmentiOA e AB (vedi figura). Il bracciopuo muoversi soltanto all’interno diR. Piu precisa-mente il segmentoOApuo ruotare intorno al punto fis-soO e, per ogni posizione assunta daA, il segmentoABpuo ruotare intorno al puntoA; naturalmente, duranteil movimento, il braccio deve restare inR.

E possibile scegliere le lunghezze dei segmenti in mo-do tale che ogni punto diR a distanza minore o ugua-le a 2 metri daO sia raggiunto daB? Giustificare larisposta.


1) Provare che, per ogni numero interon≥ 2, si ha

n√

n! <n+1

2,

e chen+12 none mai un multiplo intero din

√n!.

2) Fra tutti i quadrilateri convessi inscritti in un quadrato,in modo che ogni lato del quadrato contenga almenoun vertice del quadrilatero, si determinino quelli aventiminimo e massimo perimetro.

3) Trovare il piu piccolo numero interoN0≥ 1 con la pro-prieta cheN0+1 e 2N0+1 siano entrambi quadrati per-fetti.Mostrare poi che ogni interoN con questa proprieta eun multiplo diN0.

4) Su un treno, inizialmente senza passeggeri e formatoda n carrozze, salgonok viaggiatori disponendosi inmodo casuale e indipendente l’uno dall’altro. Qualela probabilita che solo tre carrozze siano occupate daalmeno un viaggiatore?

5) Costruire un polinomio (a coefficienti reali)

P(x,y) = ax2 +bxy+cy2

verificante le proprieta:

(i) P(x,y) = 0 soltanto perx = y = 0,

(ii) se x e y sono due numeri interi allora ancheP(x,y)e un intero.

Determinare poi il massimo della quantita

∆ = b2−4ac

al variare diP nell’insieme dei polinomi soddisfacentile proprieta precedenti.

6) (a) Ci si propone di congiungere con una strada duelocalitaA eB che distano 4 km, fra le quali si trovauna zonaZ costituita da terreno pietroso ed aventela forma di un cerchio con centro nel punto mediodi ABe raggio di 1 km.Sapendo che, a parita di lunghezza, il costo di co-struzione della strada nella zona pietrosae λ volte(λ numero reale maggiore di 1) quello relativo al-la zona circostante, determinare due puntiP, Q sulbordo diZ in modo tale che il percorsoAPQB(vedifigura) sia il piu economico possibile.

(b) Discutere poi il caso piu generale in cui si consi-derano percorsi formati, oltre che da tratti rettili-nei, anche da eventuali tratti curvilinei contenutinel bordo diZ (dove il costo unitario di costruzionesi puo considerare lo stesso che nella zona esternaaZ).

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