Analisi Matematica 1 (Modulo) Prove Parziali A.A....

Analisi 1 Polo di Savona

Analisi Matematica 1 (Modulo)

Prove Parziali

A.A. 1999/2008

1- PrA1.TEX— []

Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998

Prima prova Parziale 21/10/1998

Si consideri l’insieme

A =

{1

x2 + 9, x ∈ R

}.

A3© Determinare supA e inf A.

B3© Determinare maxA e minA.Dimostrare, usando il principio di induzione, che

n∑k=1

k2 + 3k =(5 + n)n(n+ 1)

3

Sia f : R→ R una funzione il cui grafico e quello in figura:

C2© Disegnare il grafico di f1(x) = |f(x)|

D2© Disegnare il grafico di f2(x) = f(|x|)

2- PrA1.TEX— [PrA10008.TEX]


E2© Disegnare il grafico di f3(x) = f(x+ a)

F2© Disegnare il grafico di f4(x) = f(x) + a


Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 27/11/2000

Seconda prova Parziale 27/11/2000

Si consideri la successione definita da {an+1 = 3 +

an2

a0 = 3

A3© Verificare che an e crescente ed superiormente limitata.

B3© Calcolare il limite di an

C2© Determinare la regola di ricorrenza che soddisfa la successione bn = a2n e calcolare b0 ed il limite di bn.

D2© Calcolare

limx→1

sin(x− 1) + (1− cos(x− 1))

tan(2x− 2)

E2© Stabilire se f(x) = 11−x2 e invertibile su [−9,−3] ed in caso affermativo calcolarne l’inversa.


Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2000

Terza prova Parziale 20/12/2000

Si consideri la funzione definita daf(x) = ex − lnx

A3© Calcolare f ′(x) e provare che f ′ si annulla in un solo punto x0, provare inoltre che risulta x0 < 1

B3© Stabilire il segno di f(x0) e disegnare il grafico di f

Si consideri la funzione

g(x) =

{f(x) x > x0a(x− x0)2 + b(x− x0) + c x ≤ x0

C2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e continua

D2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e derivabile





A =

{1

x2 + 9, x ∈ R

}.

A3© Determinare supA e inf A.

B3© Determinare maxA e minA.Dimostrare, usando il principio di induzione, che

n∑k=1

k2 + 3k =(5 + n)n(n+ 1)

3

Sia f : R→ R una funzione il cui grafico e quello in figura:

C2© Disegnare il grafico di f1(x) = |f(x)|

D2© Disegnare il grafico di f2(x) = f(|x|)



E2© Disegnare il grafico di f3(x) = f(x+ a)

F2© Disegnare il grafico di f4(x) = f(x) + a




Si consideri la successione definita da {an+1 = a3na0 = 3

A3© Verificare che an ≥ 3.

B3© Verificare che an e crescente.

C2© Calcolare il limite di an.

D2© Calcolare

limx→0

sin(1− cos2(x))

x2

E2© Si consideri la funzione

f(x) =√

ln(1 + x2)

F3© Disegnare il grafico di f

G3© Calcolare l’inversa di f ristretta all’insieme A = {x ∈ R : x ≥ 0}.




A3© Disegnare il grafico dif(x) =

√1− x ln(x)

B3© Disegnare il grafico difa(x) =

√a− x ln(x)

al variare di a ∈ R

C2© Stabilire se e possibile prolungare f per continuita nell’origine.

D2© Stabilire se e possibile prolungare f nell’origine in modo che risulti continua e derivabile.

E2© Calcolare f(1) e utilizzare il risultato per (f−1)′(1)




Si consideri la funzione definita daf(x) = ex − lnx

A3© Calcolare f ′(x) e provare che f ′ si annulla in un solo punto x0, provare inoltre che risulta x0 < 1

B3© Stabilire il segno di f(x0) e disegnare il grafico di f


g(x) =

{f(x) x > x0a(x− x0)2 + b(x− x0) + c x ≤ x0

C2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e continua

D2© Stabilire per quali valori di a, b, c g e derivabile





A =

{x

x2 + x+ 1, x ∈ R

}.

A© Determinare i maggioranti di A

B© Determinare supA

B© Determinare i minoranti di A

C© Determinare inf A

D© Stabilire se A ammette massimo o minimo e calcolarlo

C2© Dimostrare, usando il principio di induzione, che

3(n)! > 2n ∀n ∈ N





f(x) =

√(x

1 + x

)2

A© Calcolarelim

x→+∞f(x)

B© Disegnare il grafico di x1+x

C© Disegnare il grafico di f(x)

D© Determinare un insieme su cui f e invertibile e calcolare l’inversa di f nell’insieme scelto

E© Calcolare

limx→0

sin(x2)

1− (cos(x))4

F© Calcolare

limx→+∞

√x− 1−

√x3 − 1





f(x) = x2e−x

A© Determinare campo di definizione, continuita, limiti agli estremi del campo di definizione, crescenza,decrescenza di f

B© Disegnare il grafico di f precisando i punti ed i valori di massimo e minimo relativi ed assoluti.

C© Supponendo noto che f(x) ≤ x per x > 0, disegnare sullo stesso grafico di f(x) e g(x) = x

D© Disegnare il grafico della funzione F tale che F ′(x) = f(x) ed F (0) = 0. (Non e richiesto di precisarene il segno ne i valori degli eventuali zeri.)



E© Stabilire graficamente il comportamento della successione definita da{an+1 = f(an)a0 = 1





A =

{1

x+ 1, x ∈ R , x ≥ 1

}.

A© Determinare i maggioranti di A

B© Determinare supA

C© Determinare i minoranti di A

D© Determinare inf A

E© Stabilire se A ammette massimo o minimo e calcolarlo

F© Dimostrare, usando il principio di induzione, che

n∑k=1

2−k = 1− 2−n ∀n ∈ N




Si consideri la successione definita da {an+1 =

6

5− ana0 = k

A© Disegnare il grafico della funzione

f(x) =6

5− x

B© Verificare che se k ∈ [2, 3], an ∈ [2, 3]

C© Verificare che se k ∈ [2, 3], an e decrescente

D© Stabilire se an ammette limite ed, in caso affermativo, calcolarlo

E© Determinare al variare di k il comportamento della successione (non e richiesto dimostrare le affermazionie si puo procedere graficamente

F© Calcolare al variare di α

limx→0

ex − cos(x)

xα


Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova scritta 19/12/2003

Terza Prova scritta 19/12/2003

Si consideri la funzionef(x) = x ln(1 + x2)

A© Determinare campo di definizione e calcolare i limiti agli estremi del campo.

D© Calcolare f ′(x) ed f ′′(x)

E© Disegnare il grafico di f ′

E© Disegnare il grafico di f





f(x) =

√(x

1 + x

)2

A© Calcolarelim

x→+∞f(x)

B© Disegnare il grafico di x1+x

C© Disegnare il grafico di f(x)

D© Determinare un insieme su cui f e invertibile e calcolare l’inversa di f nell’insieme scelto

E© Calcolare

limx→0

sin(x2)

1− (cos(x))4

F© Calcolare

limx→+∞

√x− 1−

√x3 − 1





f(x) = x2e−x

A© Determinare campo di definizione, continuita, limiti agli estremi del campo di definizione, crescenza,decrescenza di f

B© Disegnare il grafico di f precisando i punti ed i valori di massimo e minimo relativi ed assoluti.

C© Supponendo noto che f(x) ≤ x per x > 0, disegnare sullo stesso grafico di f(x) e g(x) = x

D© Disegnare il grafico della funzione F tale che F ′(x) = f(x) ed F (0) = 0. (Non e richiesto di precisarene il segno ne i valori degli eventuali zeri.)



E© Stabilire graficamente il comportamento della successione definita da{an+1 = f(an)a0 = 1




Sia

f(x) =x2 + 2

2x2 − 1, g(x) =

x+ 2

2x− 1

A© Disegnare il grafico di g

B© Disegnare il grafico di f

C© Determinaresup{f(x) : x ∈ [1,+∞)}

D© Determinareinf{f(x) : x ∈ [1,+∞)}

E© Determinare, se esistono,max{f(x) : x ∈ [1,+∞)}

min{f(x) : x ∈ [1,+∞)}




A© Calcolare

limx→0

sin(3x3)

ln(1 + x3)

B© Calcolare

limx→0

ex2 − cos(x)

x2

C© Calcolare

limx→0

ex2 − cos(x)− x

5x

D© Calcolare

limx→0

ex2 − cos(x)

x2 + x4

E© Calcolare al variare di α e di β

limx→0

exα − 1

(ln(1 + x))β




Si consideri

f(x) = e−x2

(1− 4x2) + 2

A© Disegnare il grafico di f

B© Verificare che f(x) ≥ 0, ∀x ∈ RSi consideri

g(x) =√|x|(e−x

2

+ 2)

C© Assumendo vero che f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R, Disegnare il grafico di g

D© Dopo aver verificato che

g(1) = 2 +1

e

calcolare (g−1

)′(2 +

1

e

)

E© Disegnare il grafico di h(x) = x(e−x

4

+ 2)




Sia

f(x) = tan(π

4x2 − π

4

)A© Disegnare il grafico di f per x ∈ [−3, 3]

B© Disegnare il grafico di f−1 per f ristretta a (√

3, 2]

C© Determinare esplicitamente f−1 per f ristretta a (√

3, 2]

D© Determinare esplicitamente f−1 per f ristretta a [−2,−√

3)

E© Determinare una espressione per la somma delle prime N potenze naturali di 5 e provarne, per induzionela validita.




A© Calcolare

limx→0

√1− x− 1

x

B© Calcolare

limx→0

sin(x6)

x2 ln(1 + 2x4)

C© Calcolare

limx→+∞

sin(x)

5x

D© Calcolare

limx→−∞

x4 + 2x+ 1

x2 + 3x4

E© Verificare mediante la definizione di limite che

limx→2−

E(x) = 1

(E(x) e la parte intera di x).


Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 21/12/2005

Terza Prova Parziale 21/12/2005


f(x) = 1 + be−x2

2


B© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione g continua e derivabile su R tale che g′(x) = f(x)

C© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R\{0}, non continua in x = 0,tale che φ′(x) = f(x) per x ∈ R \ {0}



D© Per b = 1; disegnare il grafico di una funzione h continua e derivabile su R tale che h′(x) = f(x) edh(0) = 1

E© Per b = 1; calcolare (h−1)′(1)




Si consideri

f(x) = e−x2

(1− 4x2) + 2



g(x) =√|x|(e−x

2

+ 2)



g(1) = 2 +1

e

calcolare (g−1

)′(2 +

1

e

)


4

+ 2)





A =

{3√

x2 − 2x+ 2: x ∈ R

}

A© Determinare maggioranti e minoranti di A.

B© Determinare estremo superiore ed inferiore di A

C© Determinare massimi e minimi di A, nel caso che esistano.

D© Si consideri il seguente teorema e la sua dimostrazione.Teorema La somma di un qualunque numero k di interi n1, n2, ..., nk al quadrato e un quadrato. In

altre parolek∑j=1

n2j = m2 con m ∈ N , ∀k ∈ N

Dimostrazione Per n = 1 si ha che n21 e un quadratoSupponiamo il teorema vero per k e verifichiamo che e vero per k + 1.Consideriamo

k+1∑j=1

n2j = n21 +

k+1∑j=2

n2j

Per l’ipotesi induttiva,k+1∑j=2

n2j = m21 con m1 ∈ N

quindi

n21 +m21 = m2

2 con m2 ∈ N

e si conclude.Si chiedeIl teorema e vero?La dimostrazione e corretta?Nel caso la dimostrazione non sia corretta, perche non e corretta?




A© Un carrello si muove lungo l’asse x con velocita costante uguale a 5 metri al secondo, partendo da fermo.Disegnare il grafico dello spazio percorso in funzione del tempo t.

La temperatura lungo l’asse x aumenta linearmente di 2 gradi per metro partendo da 10 gradiDisegnare il grafico della temperatura avvertita a bordo del carrello in funzione del tempo.

B© Calcolare

limx→0

1− cos(x3)

x2(1− e2x4)

C© Calcolare (E(x) e la parte intera di x)

limx→+∞

arctan(E(x))

5x

D© Calcolare, al variare di a

limx→−∞

x4 + 2x

x2 + ax4




Si consideri la funzionef(x) = a

x

x2 − 5x+ 6

A© Disegnare il grafico di f al variare di a

B© Determinare, se possibile, x0 in modo che il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f inx0 valga 1

C© Per a = 2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R \ {2, 3}, tale che φ′(x) = f(x)per x ∈ R \ {2, 3}

D© Determinare, se possibile, l’inversa di f ristretta a [0, 1]




A© Calcolare

limx→0

√1− x− 1

x

B© Calcolare

limx→0

sin(x6)

x2 ln(1 + 2x4)

C© Calcolare

limx→+∞

sin(x)

5x

D© Calcolare

limx→−∞

x4 + 2x+ 1

x2 + 3x4


limx→2−

E(x) = 1

(E(x) e la parte intera di x).





f(x) = 1 + be−x2

2


B© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione g continua e derivabile su R tale che g′(x) = f(x)

C© Per b = −2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R\{0}, non continua in x = 0,tale che φ′(x) = f(x) per x ∈ R \ {0}



D© Per b = 1; disegnare il grafico di una funzione h continua e derivabile su R tale che h′(x) = f(x) edh(0) = 1

E© Per b = 1; calcolare (h−1)′(1)




Si consideri

f(x) = e−x2

(1− 4x2) + 2



g(x) =√|x|(e−x

2

+ 2)



g(1) = 2 +1

e

calcolare (g−1

)′(2 +

1

e

)


4

+ 2)





A =

{1√

x4 + 2: x ∈ R

}

A© Determinare maggioranti e minoranti di A.

B© Determinare estremo superiore ed inferiore di A

C© Determinare massimi e minimi di A, nel caso che esistano.




A© Un punto si muove lungo l’asse x con velocita costante uguale a v metri al secondo, partendo da fermo.Disegnare il grafico dello spazio percorso in funzione del tempo t.

La temperatura lungo l’asse x aumenta linearmente di g gradi per metro partendo da 0 gradiDisegnare il grafico della temperatura del punto in funzione del tempo.



B© Calcolare

limx→+∞

x2 − x3x2 + 1

C© Calcolare al variare di x0limx→x0

E(arctan(x))


limx→0

sin(x/2) = 0

F© Calcolare

limx→2

2− 3√

4− xx− 2




Si consideri la successione definita da {an+1 = an + na0 = 0

<A> Dimostrare che la successione e positiva

<B> Dimostrare che la successione e strettamente crescente



<C> Calcolare il limite della successione

<D> Determinare una espressione esplicita di an dimostrando poi, mediante il principio di induzione la suavalidita.


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