Parabola

Definizioni

Parabola con asse parallelo all’asse y

Parabola con asse parallelo all’asse x

Parabole particolari

Rappresentazione grafica

Esempi di esercizi

Retta tangente ad una parabola

Esercizi

Materia: Matematica Autore: Mario De Leo

Definizioni

“Luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto

fisso F detto fuoco e da una retta fissa d detta direttrice”

Asse di simmetria della parabola è la retta perpendicolare alla

direttrice e passante per il fuoco.

Il vertice V è il punto d’intersezione della parabola con l’asse di

simmetria.

Parabola con asse parallelo all’asse y

cbxaxy 2

1° tipo: concavità rivolta verso l’alto (a > 0) 2° tipo: concavità rivolta verso il basso (a < 0)

y d y

V

F.

0 x 0 x

F.

V

d

Formule:

direttrice:

asse di simmetria:

Vb

a a

2 4;

F

b

a a

2

1

4;

ya

1

4

xb

a

2

Parabola con asse parallelo all’asse x

Formule:

direttrice:

asse di simmetria:

cbyayx 2

3° tipo: concavità rivolta verso destra (a > 0) 4° tipo: concavità rivolta verso sinistra (a < 0)

y y

d d

V F

0 0

F V

Va

b

a

4 2; F

a

b

a

1

4 2

;

xa

1

4

yb

a

2

Parabole particolari

a) L’equazione di una parabola avente il vertice sull’asse y è:

o avente il vertice sull’asse x:

b) L’equazione di una parabola passante per l’origine è:

c) L’equazione di una parabola avente il vertice nell’origine è:

cxay 2

cyax 2

xbxay 2 ybyax 2

2xay 2yax

Rappresentazione grafica (tratteremo solo parabole del tipo )

Rappresenta la parabola di equazione:

1) Si calcolano le coordinate del vertice

2) si individuano due o tre punti assegnando alla x valori maggiori o minori dell’ascissa del vertice (vedi tabella a lato); la simmetria della figura farà corrispondere ad essi altri tre punti.

3) Unendo i punti si otterrà una rappresentazione abbastanza reale

(vedi figura a lato).

cbxaxy 2

x y

-2 +11

-1 + 6

0 + 3

;112

2

2

a

bxv

231212

vy

6;3'11;4'3;06;111;22;1 BACBAV

3;2'C

322 xxy

Esempi di esercizi

1) Trovare l’equazione della parabola dati fuoco ed equazione della direttrice: Si utilizza la definizione della parabola uguagliando la distanza di un

generico punto P dal fuoco e dalla direttrice. Esempio: Dati il fuoco e la direttrice trovare l’equazione della

parabola. eleviamo entrambi i membri al

quadrato

e sommando i termini simili e ordinando si ottiene da cui 2) Trovare l’equazione della parabola passante per tre punti: Si sostituiscono le coordinate dei punti nell’equazione canonica ottenendo

così tre equazioni, nelle incognite a, b, c, che metteremo a sistema; i valori

ottenuti dalla risoluzione del sistema andranno sostituiti nell’equazione canonica.

32 ;F 1y

PdPF 13222

yyx

129644132 222222 yyyyxxyyx

1248 2 xxy

2

3

2

1

8

1 2 xxy

3) Trovare l’equazione della parabola conoscendo:

a) vertice e fuoco; b) vertice e direttrice; c) fuoco e direttrice; d) vertice

e un punto; e) fuoco e un punto; f) direttrice e due punti; g) due punti

e una retta ad essa tangente; ……………....

In tutti questi casi, ed altri, si risolverà il sistema (di tre equazioni nelle

tre incognite a, b, c) ottenuto uguagliando alle formule di direttrice, fuoco,

vertice, ed altro i valori noti (caso particolare è quello in cui si ha la retta

tangente perché dovremo prima ottenere l’equazione del =0 nel sistema

retta-parabola canonica).

Esempio: Trovare l’equazione dati il vertice e il punto .

Sostituiamo nelle formule di V i valori 1 e -1 e il punto P

nell’equazione canonica e risolviamo il sistema così ottenuto:

1;1 V 3;2P

3

444

*

443

444

*

2243

442

2

243

14

4

12

2222

c

aaca

caa

aaca

caa

aaca

ab

cba

a

acb

a

b

sostituendo .

In questo esercizio alla seconda condizione posso sostituire la condizione

di appartenenza (il vertice appartiene alla parabola):

3

4

8

3

4)(0

*

3

0164

*

3

4344

*

22

c

a

b

c

aeeimpossibila

c

aa

c

aaa

384 2 xxy

cbacba 11112

Retta tangente ad una parabola

Per trovare l’equazione della retta tangente ad una parabola e passante per un punto mettiamo a sistema l’equazione della parabola con l’equazione del fascio delle rette passanti per il punto; svolgendo il sistema otterremo una equazione di secondo grado in cui imponendo che il sia uguale a 0 si otterranno i valori di m delle rette tangenti passanti per il punto (se il punto appartiene alla retta si otterrà un solo valore di m e quindi una sola tangente). ESEMPIO: Trova l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione e passante per il punto 322 xxy 6;1 P

6440168

01244403142

032

6326

32

)1(6

32

21

2

22

2

2

22

xyequazioneavràrettalammm

mmmmm

mxmx

mmxxxmmxy

xxy

xmy

xxy

Esercizi

1) Rappresenta le parabole di equazioni:

562;32;32;56;14 22222 xxyxyxxyxxyxxy

2) Determina i punti di intersezione della parabola di equazione

con la retta di equazione .

152 xxy

012 yx 5;23;1

3) Trova l’equazione della parabola passante per i punti:

5;22;11;0 CBA 12 2 xxy

4) Scrivi l’equazione della parabola avente fuoco e direttrice di equazione

.

3;2F

1y

2

3

2

1

8

1 2 xxy

5) Scrivi l’equazione della parabola avente vertice e passante per il

punto .

1;2 V

5;0 P 542 xxy

6) Trova le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione

e passanti per il punto .

562 xxy

6;

2

1P 28;72 xyxy