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OSCILLATORI SINUSOIDALI PER BASSA FREQUENZA

Gli oscillatori sinusoidali sono dei circuiti in grado di generare una tensione sinusoidale d'uscita senza alcun segnale d’ingresso. Criterio di Barkhausen Consideriamo un amplificatore lineare di guadagno A, con in ingresso (commutatore nella posizione 1) il segnale sinusoidale iV a frequenza of . Supponiamo A e β reali ed entrambi positivi o entrambi negativi, ossia si ha una retroazione comunque positiva. Mediante la rete β, si riporta al punto 2 un segnale rV proporzionale a quello d'uscita

oV :

i

rior V

VAAVVV =β⇒β=β= .

Allorché si commuta l'ingresso dalla posizione 1 alla posizione 2, si possono avere i seguenti casi:

1. iri

r VV1VV

1A >⇒>⇒>β : chiudendo l'anello di retroazione ed

escludendo iV , viene riportato in ingresso un segnale rV d'ampiezza maggiore di

iV ; viene mantenuta l'oscillazione a frequenza of , d'ampiezza crescente nel tempo fino a quando non vengono interessate zone di caratteristica non lineare dell'amplificatore. Tale retroazione si definisce retroazione positiva rigenerativa.

iV

oV

CCV

rV

A

β

2

1

oV

oV

1A >β

Retroazione positiva rigenerativa

t

Istante della commutazione dell'ingresso

2

2. iri

r VV1VV

1A =⇒=⇒=β : chiudendo l'anello di retroazione ed

escludendo iV , viene riportato in ingresso un segnale rV identico a iV ; l'amplificatore si autoeccita, mantenendo in uscita l'oscillazione a frequenza of e ampiezza costante.

3. iri

r VV1VV

1A <⇒<⇒<β : chiudendo l'anello di retroazione ed

escludendo iV , viene riportato in ingresso un segnale rV d'ampiezza minore di iV e la cui ampiezza diminuisce nel tempo fino ad annullarsi; l'oscillazione d'uscita a frequenza of si smorza gradualmente nel tempo.

Se il circuito è realizzato in modo che sia soddisfatta la condizione 1A =β , detta criterio di Barkhausen, portando il commutatore nella posizione 2, cioè escludendo il segnale esterno iV e inserendo il segnale di retroazione rV , l'amplificatore A continuerà a fornire l'uscita oV (oscillare a frequenza of e ampiezza costante) senza dipendere più dal segnale esterno. Il criterio di Barkhausen, dato il carattere complesso, dà luogo alle seguenti due condizioni reali:

π=β=ϕ=β 2;0Afase;1Aulomod La condizione 1A =β garantisce che, se l'uscita oscilla a una data frequenza of e ampiezza MV , l'oscillazione si manterrà inalterata.

oV

1A =β t

Istante della commutazione dell'ingresso

oV

1A <β t

Istante della commutazione dell'ingresso

3

Innesco delle oscillazioni Il criterio di Barkhausen garantisce il mantenimento dell'oscillazione quando essa è presente in uscita. Il problema è quindi di generare questa oscillazione all'accensione del dispositivo, quando cioè l'uscita non oscilla. È possibile ottenere l'innesco delle oscillazioni dalla tensione di rumore presente all'uscita di un qualunque amplificatore. Questa tensione di rumore, di ampiezza costante, è presente in una banda di frequenza molto ampia (da frazioni di Hz a 1000 GHz). Tra queste frequenze sarà presente anche la frequenza of di ampiezza infinitesima. Perché da questa si inneschi l'oscillazione, dobbiamo ottenere per βA , almeno nella fase iniziale, un valore leggermente superiore all'unità, cioè una retroazione positiva rigenerativa. Il segnale infinitesimo, presente alla frequenza per cui l'oscillatore può innescare, ritorna, tramite il circuito di retroazione, sull'ingresso in fase con quello entrato l'istante precedente e di ampiezza maggiore ( 1A >β ); nel ciclo successivo ritorna con ampiezza ancora maggiore e così via. L'oscillazione, che all'inizio era infinitesima, si esalta e diventa sempre più grande. Allorché raggiunge l'ampiezza voluta, il prodotto βA deve assumere il valore uno (altrimenti saturerebbe l'uscita), al fine di stabilizzare l'oscillazione. Per ottenere 1A >β si può aumentare il valore iniziale di A o di β, o di entrambi; e quindi ridurne automaticamente il valore una volta innescata l'oscillazione. Oscillatore a rete di sfasamento L'oscillatore a rete di sfasamento utilizza un amplificatore invertente e una rete di retroazione costituita da tre celle RC in cascata.

Ogni cella determina uno sfasamento inferiore a 90°, quindi per ottenerne uno di 180° se ne impiegano tre. Supponendo valide le ipotesi semplificative che riguardano l'amplificatore (non assorbe corrente in ingresso e resistenza d'uscita nulla), la maglia di retroazione può essere aperta in ingresso senza alterare il comportamento del circuito. Il circuito equivalente risulta il seguente:

4

Dove ro VAV ⋅= . Calcoliamo rV in funzione di oV applicando il teorema di Thèvenin tra i punti AA' e poi tra i punti BB'. Si applica il teorema di Thèvenin tra i punti AA'.

oo'AA V

sRC11

1V

sC1R

RV ⋅+

=⋅+

=

sRC1R

sC1sRC

sCR

sRC11

sC1

sC1R

sC1R

Z 'AA +=

+=

+=

+

⋅=

Il circuito si riduce al seguente:

Si applica il teorema di Thèvenin tra i punti BB'.

=⋅+

⋅

+++

=⋅++

= o'AA

'AA

'BB V

sRC11

1

sRC11

sRC11

sRC1

1V

sC1RZ

RV

( ) ( )o

2

o

2

V

sRC1

sRC31

1V

sRC11

1

sRC11

sRC11

sRC1

sRC1

sRC1

1⋅

++=⋅

+⋅

+

++++=

5

=

+++

+

++

=

+++

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

=++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

1sRC

1

sRC11

sRC1

sRC11

RCs1

sC1

sC1

sC1R

sRC11

sC1

RsC1

sRC11

sC1

sC1RZ

RsC1Z

Z

22

'AA

'AA

'BB

( ) ( )2

22

2

22

sRC1

sRC31

RCs1

sC2

sRC11

sRC11

sRC1

sRC1

sRC1

sRC11

RCs1

sC2

++

+=

+

++++

+

+

=

Applicando la regola di partizione si ottiene rV .

( )

( )

=⋅++

⋅

++++

+=⋅

++= o

2

2

22

'BB

'BB

r V

sRC1

sRC31

1

RsC1

sRC1

sRC31

RCs1

sC2

RVR

sC1Z

RV

( )

( )

( )

=⋅++

⋅

++++

+= o

2

2

2

V

sRC1

sRC31

1

1sRC

1

sRC1

sRC31

sRC1

sRC2

1

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )32

o

2

o

32

2

sRC1

sRC5

sRC61

V

sRC1

sRC31

V

sRC1

sRC5

sRC61

sRC1

sRC31

+++=

++⋅

+++

++=

sostituendo con 3322 js,s,js ω−=ω−=ω= , si ha:

( ) ( ) ( ) ( )

=

ω−

ω+

ω−

=

ω−+

ω−+

ω+

=

RC6j

RC1j

RC51

V

RCj1

RC5

RCj61

VV

32

o

32

or

6

( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ω−

ω−

ω−

=β⇒=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ω−

ω−

ω−

=

32

r

32

o

RC1

RC6j

RC51

1V

RC1

RC6j

RC51

V

Poiché

( ) ( )

1

RC1

RC6j

RC51

1RRAV

RRVAV

32

fr

fro =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ω−

ω−

ω−

⋅−=β⇒⋅−=⋅=

Il prodotto βA è reale e positivo (ossia uguale a 1) se la parte immaginaria di β risulta nulla, e ciò si ha alla pulsazione ωo che verifica l'equazione:

( )( ) ⇒=ω⇒=ω⇒=

ω−

ω 61RC

61RC0

RC1

RC6

o2

o3oo

6RC21f

6RC1

ooπ

=⇒=ω⇒

A tale pulsazione

( )291

3011

61

51

1

RC51

1

22o

−=−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

ω−

=β

Perché si abbia oscillazione, deve risultare:

29A1291A1A −=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⇒=β ,

cioè, alla frequenza of , l'amplificatore invertente deve avere un guadagno di 29 e sfasare di 180°.

Dall'equazione 6RC2

1foπ

= si dimensiona il gruppo RC; dall'equazione

29RR

A f −=−= si dimensiona fR .

Al fine d'innescare le oscillazioni per fR si utilizza un potenziometro che viene regolato in modo da avere inizialmente un valore di A appena maggiore di 29, ad ottenere una retroazione positiva rigenerativa. Quando, crescendo l'ampiezza del segnale d'uscita, la tensione tende a raggiungere la saturazione, si ha una leggera diminuzione di A sufficiente a rendere 1A =β e realizzare il criterio di Barkhausen.

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Secondo circuito oscillatore a rete di sfasamento Un circuito più conveniente e meno critico di quello già visto è il seguente.

Il segnale presente nel punto A viene sfasato di -90° dal derivatore invertente formato dalla capacità C, dalla resistenza R1 e dall'amplificatore operazionale. Uno sfasamento uguale, ma di segno opposto, è quindi prodotto dalle due celle RC della rete di reazione, assicurando così uno sfasamento complessivamente nullo lungo l'anello. Essendo praticamente nulla la resistenza d'uscita dell'amplificatore operazionale, possiamo aprire l'anello di reazione nel punto B senza alterare il funzionamento del circuito.

Applicando il teorema di Thèvenin tra i punti AA', si ha:

( ) ( )2

22

'AAo

2

'AA

sRC1

sRC31

RCs1

sC2

Z;V

sRC1

sRC31

1V++

+=⋅

++=

Si ottiene il seguente circuito ridotto:

8

Considerando l'amplificatore operazionale ideale e nella configurazione invertente, si ha:

( )

( )

=⋅++

⋅

+++

+−=⋅

+−= o

2

2

22

1'AA

'AA

1o V

sRC1

sRC31

1

sC1

sRC1

sRC31

RCs1

sC2

RV

sC1Z

RV

( ) ( ) ( )

( )

( )

=⋅++

⋅

++

++++−= o

2

2

2322

1 V

sRC1

sRC31

1

sRC1

sRC31

RsC1

RsC3

sC1

RsC1

sC2

R

( ) ( ) ( ) ( )

1

RsC1

RsC4

sC3

RV

RsC1

RsC4

sC3

R

232

1o

232

1 =++

−⇒⋅++

−=

Ponendo 3322 -js;-s;js ω=ω=ω= , si ha:

1

RC1

C3j

RC4

R1

RCj1

RC4

Cj3

R

23322

1

23322

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−

ω+

ω

⇒=

ω−+

ω−+

ω

−

Questa uguaglianza risulta verificata per una sola pulsazione ωo, per la quale risulta nulla la parte immaginaria a secondo membro.

( )( ) ⇒=ω⇒=ω−⇒=

ω−

ω 31CR0CR

310

RC1

C3

o2

o23oo

9

3RC21f

3RC1

ooπ

=⇒=ω⇒

ωo è quindi la pulsazione dell'oscillazione d'uscita. Con 3RC

1o =ω=ω , si ha:

( )

R12RRC

CR31

4R 12

2

1 =⇒⋅

=

che è la condizione per l'oscillazione su R1 e R. Perché si inneschi l'oscillazione deve risultare R12R1 ≥ . È quindi necessario introdurre un opportuno circuito limitatore per limitare l'ampiezza dell'oscillazione con conseguente riduzione del guadagno. Inoltre, conviene scegliere variabili sia la resistenza R1, per regolare l'ampiezza dell'oscillazione, sia il circuito limitatore, per rendere minima la distorsione. Poiché il segnale presente nel punto A è sfasato di -90° rispetto al segnale d'uscita, potremmo utilizzare questo segnale come ingresso ad un amplificatore invertente per produrre un'uscita in quadratura con quella dell'oscillatore. Il circuito diventa il seguente.

La resistenza R si trova collegata a una massa virtuale, e l'elevata resistenza d'ingresso dell'amplificatore operazionale non influenzerà sensibilmente il comportamento dell'oscillatore. Volendo due segnali in quadratura, cioè sfasati di 90° e di uguale ampiezza, bisogna dimensionare opportunamente R2. Indicando con Va la tensione presente nel punto A, dovremo imporre che, alla pulsazione di oscillazione ωo, l'ampiezza delle due uscite risulti uguale. In modulo, si ha:

10

A2

oqA1oo VR

RVeCVRV =ω= ;

tenendo presente che R12Re3RC

11o ==ω , si ha:

93,63

12CR3RC

1R

R

RR

CR 122

1o ==⋅=⇒=ω .

Il guadagno dell'amplificatore invertente dovrà essere:

R93,6R 93,6R

R2

2 =⇒−=− .

Per il dimensionamento dei componenti si sfruttano le relazioni:

)eventuale(R93,6R;R12R;3RC2

1f 21o ==π

= .

Oscillatore a ponte di Wien

Supponendo che l'amplificatore non assorba corrente d'ingresso e sia nulla la sua resistenza d'uscita, possiamo aprire le maglie in corrispondenza dei terminali d'ingresso, senza alterare il comportamento del circuito. Si ottiene un amplificatore in configurazione di amplificatore non invertente, come mostrato in figura.

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Si calcolano le impedenze serie e parallelo:

( )CS

C

C

C

CP jXRZ;

jXRjRX

jXRjXR

Z −=−

−=

−−⋅

=

Si calcola la funzione d'uscita:

⇒⋅

−−

+−

−−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⋅

+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= o

C

CC

C

C

1

2o

PS

P

1

2o V

jXRjRX

jXR

jXRjRX

RR1V

ZZZ

RR1V

=−−−

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−−

+−

−−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⇒

C2CC

2C

1

2

C

CC

C

C

1

2

jRXXRX2jRjRX

RR

1

jXRjRX

jXR

jXRjRX

RR

11

( )2C

2C

C

1

22C

2C

C

1

2

XRjRX3RX

RR

1XRRX3j

jRXRR

1−+

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−+−−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

dove 1

2

RR1A += è l'amplificazione, e ( )2

C2

C

C

XRjRX3RX

−+=β è la rete di retroazione.

Il prodotto β⋅A è reale e positivo (ossia uguale a 1) se la parte immaginaria di β risulta nulla, e ciò si ha alla pulsazione ωo che verifica l'equazione:

( )RC21f

RC11RC0

C1R0XR oo

2o22

o

22C

2

π=⇒=ω⇒=ω⇒=

ω−⇒=−

12

A tale pulsazione, si ha:

121

2

1

2 R2R2RR31

RR1A

31

=⇒=⇒=β

=+=⇒=β

Oscillatore in quadratura Poiché la doppia integrazione di una sinusoide fornisce una sinusoide avente la stessa frequenza, ma sfasata in ritardo di 180°, se si inverte il segnale risultante dalla doppia integrazione si può realizzare uno sfasamento complessivo di 360° e, quindi, riottenere la sinusoide di partenza, purché alla frequenza di oscillazione risulti 1A =β . Ricordando che l'integratore nella configurazione non invertente introduce uno sfasamento di 90° in ritardo tra il segnale d'uscita e quello d'ingresso, e che l'integratore invertente introduce uno sfasamento di 90° in anticipotra il segnale alla sua uscita rispetto a quello al suo ingresso, se al posto del secondo integratore si utilizza un integratore invertente, si otterrà uno sfasamento complessivo di zero gradi, rendendo superfluo l'invertitore. Ponendo, quindi, in cascata ad un integratore non invertente un integratore invertente, si realizza un oscillatore in grado di fornire due uscite sinusoidali sfasate tra lori di 90°, cioè in quadratura, da cui il nome di oscillatore in quadratura. Il circuito è il seguente.

xsenxsen− ∫ ∫

−1

xcos

xsenxsen xcos−∫ ∫−

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Sempre nell'ipotesi che gli ingressi degli amplificatori non assorbono corrente e che le loro resistenze d'uscita siano nulle, possiamo aprire la maglia all'uscita dell'integratore invertente senza alterare il comportamento del circuito.

( ) ( )1

RC1V

RC1V

RC1j

RC1jV

RC1jV 2COS2COSSENCOS =

ω⇒⋅

ω=⋅

ω⋅

ω−=⋅

ω−=

Tale uguaglianza è vera solo per quella frequenza oω alla quale 1RCo =ω , ossia

RC21f

RC1

oo π=⇒=ω

che è la frequenza a cui oscillerà il circuito. In corrispondenza di tale frequenza il guadagno di entrambi gli integratori risulterà unitario.