NIVERSITA DEGLI STUDI DI CAMERINO SCUOLA DI SCIENZE …grandezza e importante, perch e e...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAMERINO

SCUOLA DI SCIENZE E TECNOLOGIE

Corso di Laurea in Fisica (classe L-30 )

Simulazione del backscattering in un rivelatore al Silicio

Tesi di Laurea in Fisica

Laureando Relatore

Silvia Bara Alessandro Saltarelli

Correlatore

Stefano Simonucci

ANNO ACCADEMICO 2017-2018

Indice

1 Richiami teorici 61.1 Interazioni della radiazione con la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3 Creazione di coppia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Perdita di energia delle particelle cariche nella materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 Elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Scintillatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.1 Scintillatori con LaBr3(Ce) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Rivelatori a semiconduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1 Rivelatori al Silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5 I software utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.1 Casino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.2 GEANT4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 La costruzione della simulazione 362.1 La simulazione preliminare con uno scintillatore al LaBr3 . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 La simulazione con il rivelatore al silicio, Si(Li) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.1 Raggi γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.2 Elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Confronto con i risultati sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Confronto tra la simulazione in Mathematica e in Geant4 50

2

Introduzione

Questo elaborato descrive la realizzazione di una simulazione in Mathematica, con lo scopo di pre-vedere e riprodurre gli spettri di sorgenti radioattive. Cosa molto importante da sottolineare è chela simulazione realizzata è indipendente dalla sorgente radioattiva utilizzata, in quanto, cambiando idati inseriti all’inizio del programma, si possono simulare gli spettri di diversi elementi.

La sorgente presa in considerazione, in questo caso specifico, è il 207Bi, che emette sia raggi γ cheelettroni. Questi, quando interagiscono con la materia, danno origine a diversi fenomeni, quali l’effettoCompton, l’effetto fotoelettrico e la creazione di coppia, per quanto riguarda i γ, e il backscattering el’assorbimento per gli elettroni.

Nel caso preso in esame in questo lavoro, i raggi γ e gli elettroni emessi dal 207Bi, sono catturati daun rivelatore al silicio, con il quale interagiscono attraverso gli effetti sopra citati. Da queste interazionicon il mezzo del rivelatore, si riesce a ricavare lo spettro della sorgente.

Allo scopo di riprodurre lo spettro della sorgente, attraverso la simulazione, tutti gli effetti che sipossono verificare nell’interazione dei γ e degli elettroni con la materia sono stati riprodotti attraversole equazioni, che determinano il verificarsi o meno di questi fenomeni. Generando un certo numerodi eventi iniziali, corrispondenti agli elettroni e ai γ emessi dalla sorgente, sono stati ricavati quantieventi si sono verificati per ogni dato fenomeno. Mettendo insieme tutti i conteggi, si è ricavato lospettro finale.

Per verificare la validità dei risultati ottenuti attraverso questa simulazione, lo spettro ricavato inquesto modo è stato confrontato con altri due, quello ottenuto dai dati sperimentali e quello ricavatoda una simulazione fatta con Geant4, programma più avanzato, che permette di realizzare simulazionicon processi fisici.

Dai confronti fatti, si evince che la simulazione realizzata è sufficientemente affidabile, dato che sitrova una corrispondenza sufficiente con lo spettro sperimentale e con l’altro ricavato dalla simulazionein Geant4, anche se in alcuni punti presenta alcuni difetti dovuti alle approssimazioni fatte nelloschematizzare il sistema (nel simulare lo spettro dei γ, ad esempio, non si è tenuto in considerazionelo strato d’oro che protegge il silicio nel rivelatore).

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Capitolo 1

Richiami teorici

1.1 Interazioni della radiazione con la materia

L’interazione dei raggi γ con la materia può avvenire attraverso diversi processi, anche se i più im-portanti (cioè quelli le cui sezioni d’urto risultano maggiori) sono l’effetto fotoelettrico, il Compton ela creazione di coppia. Una delle caratteristiche comuni di questi processi è che la loro sezione d’urtodipende dall’energia del fotone incidente e dal numero atomico Z del mezzo assorbente.

Figura 1.1: Sezioni d’urto delle tre interazioni principali nel silicio[18].

Dalla figura 1.2 si possono distinguere le zone in cui la probabilità che si verifichi una determinatainterazione prevale sulle altre: l’effetto fotoelettrico è il processo fondamentale a basse energie (10 keV-1 MeV), il Compton prevale per medie energie (1 - 8 MeV), mentre la creazione di coppia diventaimportante solo per enegie molto alte (7/8 - 100 MeV). Un’altra cosa da notare è che l’intervallo incui l’effetto Compton è dominante decresce al crescere di Z.

Figura 1.2: Le interazioni principali dei raggi γ con la materia in funzione dell’energia del fotoneincidente e del numero atomico del mezzo.

6

https://www.researchgate.net/profile/A_Gusarov/publication/226534039/figure/fig2/AS:430183544037379@1479575157772/Partial-cross-sections-for-the-different-photon-material-interaction-mechanisms-in.png

Questi processi sono alla base del funzionamento dei rivelatori per γ e ne determinano la risoluzionee l’efficienza. Una differenza importante tra il comportamento dei raggi γ e quello delle particellecariche, nell’attraversare la materia, sta nel fatto che l’energia dei γ non diminuisce durante il percorsonel mezzo, ma viene solo attenuata l’intensità del fascio, cioè il numero di fotoni. Questo perchè tuttee tre le interazioni rimuovono interamente il fotone dal fascio, sia per assorbimento che per scattering.I fotoni che proseguono indisturbati, quindi, sono quelli che non hanno subito alcuna interazione.Inoltre, a causa della minore sezione d’urto dei tre processi appena elencati, rispetto a quella dell’urtoinelastico degli elettroni, i raggi γ sono più penetranti rispetto alle particelle cariche[1].

L’attenuazione che subiscono i raggi γ nell’attraversare la materia, può essere espressa da

I(x) = I0 · e−µ·x (1.1)

dove I0 è l’intensità iniziale del fascio incidente, x lo spessore attraversato e µ il coefficiente di atte-nuazione lineare, in cm−1. Il coefficiente di attenuazione è una quantità caratteristica del materialeassorbente ed è legato alla sezione d’urto totale dell’interazione, attraverso la relazione

µ =NAPA· ρ · σ (1.2)

dove NA è il numero di Avogadro, PA è il peso atomico del mezzo, ρ la sua densità in g/cm3 e σ la

sezione d’urto totale, data daσ = σph + σc + σpp (1.3)

dove la sezione d’urto Compton è stata moltiplicata per Z per tener conto di tutti gli elettronidell’atomo.

Il coeffciente può essere espresso tramite la somma dei coefficienti di attenuazione relativi ai singoliprocessi:

µ(Eγ) = µph(Eγ) + µc(Eγ) + µpp(Eγ) (1.4)

In realtà, si usa più spesso il coefficiente di attenuazione di massa µ/ρ, dove ρ è sempre la densitàdel mezzo in g/cm3; di conseguenza, il coefficiente di attenuazione di massa si misura in cm2/g. Questagrandezza è importante, perchè è indipendente dalla densità del materiale attraversato.

Inoltre, è possibile definire il libero cammino medio:

λ =

∫ +∞0 x · e

−µ·x dx∫ +∞0 e

−µ·x dx= µ−1 (1.5)

Se il mezzo è una miscela di diversi elementi, il coefficiente di attenuazione di massa totale è

µ

ρ= w1 ·

µ1ρ1

+ w2 ·µ2ρ2

+ ... (1.6)

dove µi/ρi sono i coefficienti di attenuazione di massa di ogni elemento e wi sono le frazioni ponderalidei diversi elementi presenti del composto.

La probabilità che un singolo fotone sia assorbito[1] sarà data da

p(Eγ) = 1− e−µ(Eγ)·x (1.7)

1.1.1 Effetto fotoelettrico

L’effetto fotoelettrico consiste in un urto completamente anelastico tra il fotone incidente e un elet-trone, a seguito del quale l’energia del fotone è completamente ceduta a un elettrone atomico, che cos̀ıacquista un’energia sufficiente per essere espulso dall’atomo, prendendo il nome di fotoelettrone.

Indicando con Esh l’energia di legame dell’elettrone e con Eγ l’energia del fotone incidente, l’energiacinetica che acquista il fotoelettrone è data da (trascurando l’energia cinetica del rinculo dell’atomo,che è praticamente nulla):

Ke = Eγ − Esh (1.8)

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Figura 1.3: Effetto fotoelettrico [16].

Dato che un elettrone libero non può assorbire un fotone e conservare anche la quantità di moto,l’effetto fotoelettrico avviene sempre con elettroni legati e il risultato sta nel nucleo che assorbe ilmomento del rinculo[1].

Figura 1.4: Sezione d’urto dell’effetto fotoelettrico per il piombo[1].

Nella figura 1.4 è rappresentato l’andamento della sezione d’urto dell’effetto fotoelettrico, in fun-zione dell’energia del γ incidente, per il piombo: come si può notare, per energie superiori all’energiadi legame dell’elettrone nell’atomo (shell K), la sezione d’urto è relativamente piccola, ma cresce ra-pidamente mentre ci si avvicina all’energia della shell K. Subito dopo questo punto, la sezione d’urtodiminuisce drasticamente, dato che gli elettroni-K non sono più disponibili per l’effetto fotoelettrico.Questa rapida decrescita è detta K absorption edge. Al di sotto di questa energia, la sezione d’urtocresce un’altra volta e si abbassa di nuovo quando si raggiungono le energie dei livelli L, M, ecc. (Labsorption edge e M absorption edge)[1].

La sezione d’urto dell’effetto fotoelettrico dipende dal numero atomico Z e dall’energia del fotoneEγ nel seguente modo:

σph(Eγ) = σ0ph ·

Zα

E3γ(MeV )(1.9)

dove σ0ph è una costante tipica del materiale attraversato e α è una costante compresa tra 4 (per fotonia bassa energia) e 5 (per fotoni ad alta energia). Di conseguenza, l’effetto fotoelettrico è più rilevante

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http://www.scienzaescuola.eu/forum/leggi/52-onde-e-particelle-per-pedoni-molto-curiosi

per alti valori di Z e bassi valori delle energie dei fotoni incidenti.Dall’espressione precedente è possibile ricavare anche il coefficiente di attenuazione lineare:

µph(Eγ) =σ0ph ·NA · ρ

PA· Z

α

E3γ(MeV )(1.10)

1.1.2 Effetto Compton

L’effetto Compton consiste nello scattering di fotoni su elettroni liberi. Nella materia, ovviamente,gli elettroni sono legati, ma dato che, di solito, l’energia del fotone è molto più grande dell’energia dilegame, è possibile trascurare quest’ultima e considerare gli elettroni come se fossero liberi[1].

La figura 1.5 mostra il processo di scattering in maniera schematica: un elettrone del mezzo riceve,dal raggio γ incidente, un’energia cinetica sufficiente a essere emesso insieme a un fotone di energiaminore di quella del fotone incidente. Lo si può vedere anche come uno scattering parzialmenteinelastico, dato che il fotone incidente cede solo parte della sua energia all’elettrone. Viene definitoanche come scattering incoerente, dato che il fotone interagisce con il singolo elettrone e non conl’atomo intero.

Figura 1.5: Descrizione dell’effetto Compton.

Figura 1.6: Cinematica dell’effetto Compton.

Analizzando la cinematica del processo (figura 1.6) e imponendo la conservazione della quantitàdi moto e dell’energia, si ottengono le seguenti relazioni[1]

hν ′ =hν

1 + �(1− cosθ),

Ke = hν − hν ′ = hν ·�(1− cosθ)

1 + �(1− cosθ),

cosθ = 1− 2(1 + �)2 · tan2φ+ 1

,

cotφ = (1 + �)tanθ

2

(1.11)

dove � = hν/mec2 e ν è la frequenza della radiazione incidente. Ke rappresenta l’energia cinetica con

cui è emesso l’elettrone.

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La sezione d’urto per l’effetto Compton è espressa dalla formula di Klein-Nishina[1]:

dσ

dΩ=r2e2· 1

[1 + �(1− cosθ)]2·(

1 + cos2θ +�2(1− cosθ)2

1 + �(1− cosθ)

)(1.12)

dove re è il raggio classico dell’elettrone e vale 2.81 fm. Integrando sull’angolo solido dΩ, si ottiene laprobabilità totale per un elettrone di subire lo scattering Compton:

σc = 2πr2e ·

{1 + γ

�2

[2(1 + �)

1 + 2�− 1�ln(1 + 2�)

]+

1

2�ln(1 + 2�)− 1 + 3�

(1 + 2�)2

}(1.13)

Figura 1.7: Sezione d’urto dell’effetto Compton per diverse energie incidenti[2]. Il grafico polare mostral’intensità della radiazione scatterata in funzione dell’angolo di incidenza θ.

Una quantità importante che si può ricavare dalla sezione d’urto è la distribuzione di energia deglielettroni che rinculano[1]. Dalla formula di Klein-Nishina si ottiene:

dσ

dT=

πr2emec2�2

·

[2 +

s2

�2(1− s)2+

s

1− s

(s− 2

�

)](1.14)

dove s = Ke/hν. L’energia massima che l’elettrone può acquistare è quindi

Kemax = hν ·(

2�

1 + 2�

)(1.15)

che viene chiamato Compton edge [1] (figura 1.8).

1.1.3 Creazione di coppia

La creazione di coppia elettrone-positrone consiste nell’emissione di un elettrone e un positrone, aseguito dell’annichilazione di un fotone (figura 1.9). Per la conservazione della quantità di moto, nonpuò avvenire nel vuoto, ma deve essere sempre coinvolta una terza particella, che assorba la quantitàdi moto in eccesso, come un nucleo o un elettrone del mezzo, anche se, in questo caso, l’energia delrinculo sarebbe maggiore e la sezione d’urto del processo notevolmente ridotta.

Inoltre, è un processo a soglia, nel senso che l’energia della radiazione incidente deve essere almenouguale alle masse a riposo di elettrone e positrone, per garantire la loro creazione (Eγ ≥ 1.022MeV )[1].Il fotone incidente perde tutta la sua energia e dà origine a una coppiaa elettrone-positrone, con energie

10

Figura 1.8: Distribuzioni di energia degli elettroni emessi dal Compton[1]. La diminuzione drasticadopo la massima energia di rinculo è detta Compton edge.

Figura 1.9: Schematizzazione del processo di creazione di coppia.

Figura 1.10: Distribuzione dell’energia di una coppia elettrone-positrone.

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cinetiche rispettivamenteKe+ = Ee+ −me+ · c2

Ke− = Ee− −me− · c2(1.16)

Il processo è statistico, quindi nel singolo evento le due particelle non ricevono la stessa energia,mentre come valore medio si può considerare la stessa energia cinetica sia per l’elettrone che per ilpositrone: 〈

Ke−〉

=〈Ke+

〉=h · νγ − 2 ·me · c2

2(1.17)

La sezione d’urto di questo processo può essere espressa tramire la seguente formula, fino a energiedell’ordine di una decina di MeV:

σpp(Eγ) = σ0pp · Z · (Z + 1) · P [Eγ , Z] (1.18)

dove P [Eγ , Z] è una funzione complicata da determinare. Di solito lo si fa attraverso un fit dei datisperimentali, partendo da espressioni del tipo

P [Eγ , Z] =

5∑k=0

Pk(Z) · Log

[Eγ

me · c2

]k(1.19)

Osserviamo che, a bassa energia, la probabilità più alta di emissione è quella dove Ke− = Ke+ .Si può, infine, notare che il positrone, una volta termalizzato può annichilire con un elettrone del

mezzo, originando due raggi γ di 511 keV ciascuno, attraverso il processo inverso della creazione dicoppia. Il risultato è una coppia di fotoni di 511 keV emessi nelle stessa direzione, ma in versi oppostiper la conservazione dell’impulso.

Figura 1.11: Annichilazione di un positrone e un elettrone [17].

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http://www.borborigmi.org/2016/10/25/i-parametri-del-modello-standard-sesta-puntata-materia-antimateria-e-annichilazione/

1.2 Perdita di energia delle particelle cariche nella materia

Due sono gli aspetti principali che caratterizzano il passaggio di particelle cariche attraverso la materia:la perdita di energia da parte delle particelle e la deviazione della particella dalla direzione iniziale.Questi processi sono i risultati di collisioni anelastiche con gli elettroni atomici del materiale e diurti elastici con i nuclei. Occorre separare le particelle cariche in due gruppo: elettroni e positroni eparticelle pesanti (muoni, pioni, protoni, particelle α ...).

Le collisioni anelastiche sono il maggiore responsabile della perdita di energia delle particelle pesantinella materia. In questi urti, l’energia è trasferita dalla particella all’atomo, causando una ionizzazioneo un’eccitazione del reticolo. La quantità di energia trasferita in ogni collisione è, di solito, unafrazione piccola dell’energia cinetica totale della particella, ma, considerando che in condizioni dinormale densità della materia il numero di collisioni è molto elevato, la perdita complessiva di energiasi verifica anche per strati sottili di materiale.Queste collisioni atomiche sono divise in soft collisions,da cui derivano delle semplici eccitazioni, e in hard collisions, in cui l’energia trasferita è sufficiente acausare la ionizzazione[1].

Figura 1.12: Simulazione delle traiettorie di 200 elettroni a 500 keV in 5 mm di piombo con CASINO.

Lo scattering elastico da parte dei nuclei si verifica spesso, anche se non cos̀ı frequentemente comequello inelastico, dato che hanno sezioni d’urto con ordine di grandezza di 1/1000000. In questiprocessi, la quantità di energia trasferita è molto piccola, dato che le masse dei nuclei sono, nellamaggior parte dei casi, molto più grandi di quelle delle particelle incidenti.

A differenza dei raggi γ, i quali sono assorbiti attraverso un unico processo, le particelle carichedissipano energia in modo continuo, generando una sequenza di eccitazioni negli atomi che incontranodurante il loro percorso, attraverso interazioni coulombiane. Occorre notare che le collisioni anelastichesono processi statistici, che avvengono con una certa probabilità e nei quali l’energia trasferita è semprediversa da un caso a un altro. Comunque, dato che il numero di processi nel complesso è grande, lefluttuazioni dell’energia totale persa sono piccole e si può definire la perdita di energia media perunità di lunghezza. Questa quantità è stata quantificata da Bohr (in seguito è stata corretta, primada Bethe e Bloch e poi da Landau e Vavilov) nella seguente formula:〈

dE

dx

〉Bohr

= −2 · π ·NA · r2e ·me · c2 ·ρT · Z2P · ZTPAT · β2P

· Log

[2 ·me · c2 · β2P ·Wmax

〈U〉2

](1.20)

dove

Wmax =2 ·me · c2 · β2P[

1 + 2 · meMP · γP +(meMP

)2· γ2P

] me/MP∼0−−−−−−−−→βP∼0 e γP∼1

2 ·me · v2P

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è l’energia cinetica massima trasferibile all’elettrone atomico in una singola collisione (Knock-on).Inoltre

〈U〉 = ZT · ū ∼ ZT · 10eV −→ energia potenziale atomica media

re =e2

4 · π · �0 ·me · c2= 2.8179fm −→ raggio classico dell′elettrone

ρT −→ densità del mezzo in g/cm3

Occorre notare che la formula costruita da Bohr vale nel caso non relativistico (β = vP /c � 1 eγ = 1/

√1− β2 ∼ 1): si suppone che il proiettile continui a muoversi di moto rettilineo uniforme dopo

l’interazione coulombiana, in modo da poter usare le leggi della cinematica classica.La formula di Bohr è valida per particelle pesanti (particelle α o nuclei pesanti), mentre per

particelle più leggere, devia molto dai risultati sperimentali, a causa di processi quantomeccanici. Laformula fu corretta da Bethe e Bloch, che inserirono, in prima battuta, fattori aggiuntivi, che tenesseroconto del moto relativistico del proiettile, dell’effetto dovuto alla densità (ad alte energie del proiettile)e dell’effetto shell (a basse energie del proiettile): la prima correzione implica che Wmax non può piùessere approssimata con 2 ·me · v2P , ma occorre usare l’espressione completa definita in precedenza, eche nell’integrazione occorre tener conto della contrazione relativistica delle lunghezze; l’effetto densitàè dovuto al fatto che lo ione proiettile tende ad attirare su di sè cariche del segno opposto alla sua,nell’attraversare il mezzo, cosa che modifica la densità di carica che incontra; l’effetto di shell si verificaquando la velocità della particella incidente diventa confrontabile o minore della velocità orbitale deglielettroni del mezzo attraversato, per cui l’assunzione che l’elettrone sia fermo rispetto al proiettile nonè più valida.

Dalla formula della perdita di energia media per unità di lunghezza di Bethe-Bloch si può ricavarelo stopping power del materiale attraversato

S(EP ) =1

ρT·

〈dE

dx

〉BB

(1.21)

Un’altra quantità importante da considerare è il range, ossia la distanza media percorsa all’internodel materiale, prima di perdere tutta l’energia e finire bloccato al suo interno come impurezza o dislo-cazione. Inoltre, questa grandezza è la stessa per tutte le particelle dello stesso tipo che attraversanoil mezzo con la stessa energia iniziale.

λ =

∫ K0P0

∣∣∣∣∣〈dE

dx

〉BB

∣∣∣∣∣−1

· dE (1.22)

Successivamente, la formula fu rivista da Landau e Vavilov: nella formula di Bohr si ha un ap-proccio deterministico, supponendo che l’energia ceduta dal proiettile dipenda solo dalla distanza trail proiettile e l’elettrone bersaglio, e che sia sempre la stessa, cioè che i bersagli siano sempre spessi.In realtà, l’interazione tra il proiettile e gli elettroni del mezzo, nel caso di spessori confrontabili conλ avviene in maniera statistica. Si può definire una sezione d’urto relativa allo scambio di energia δEtra lo ione e l’elettrone, cioè la probabilità che i due si scambino una quantità δE di energia.

L’approssimazione fatta da Bohr vale finchè si considerano spessori abbastanza piccoli, ma allostesso tempo grandi abbastanza da poter contenere un numero infinito di elettroni. Nel caso incui si abbia dx ∼ λ, ossia confrontabili col range delle particelle in quel mezzo, non si può piùritenere costante la perdita di energia dei proiettili all’interno dello strato e va considerato il processonella versione statistica. Si introduce, come distribuzione di probabilità p[δE], la distribuzione diLandau-Vavilov.

Quando lo strato assorbente è molto sottile, la distribuzione della perdita media di energia delleparticelle non è più simmetrica, rispetto al valore medio della perdita di energia, ma è caratterizzatada una lunga coda nella parte delle alte energie, dovuta alla probabilità che le particelle perdano unagrande quantità di energia in eventi “one-shot”.

14

Figura 1.13: Distribuzione della perdita di energia in uno strato sottile[1].

15

1.2.1 Elettroni

Bremsstrahlung

Il Bremsstrahlung è la radiazione elettromagnetica di spettro continuo emessa da una particella chefa un’interazione impulsiva con il campo elettrico di un nucleo e viene deviata bruscamente con con-seguente perdita di energia. Questo fenomeno è particolarmente importante per particelle leggere(elettroni e positroni) di alta energia: infatti, se KP � mP · c2, la perdita di energia per bremsstra-hlung è trascurabile rispetto a quella per ionizzazione, ma ad alte energie, quando KP � mP · c2,diventa predominante.

Dato che l’emissione nel bremsstrahlung dipende dall’intensità del campo elettrico sentito dall’e-lettrone, diventa molto importante anche lo schermaggio degli elettroni atomici attorno al nucleo: lasezione d’urto del processo dipenderà, non solo dall’energia della particella incidente, ma anche dalparametro d’urto, ossia la distanza tra la direzione iniziale del proiettile e la posizione del bersaglio,e dal numero atomico, Z, del materiale.

La perdita di energia del proiettile per unità di lunghezza sarà:〈dEPdx

〉BS

= −4 ·NA · ρTPAT

·KP ·Z2T · α2 · (~ · c)2

(mP · c2)2· ln

[183

Z1/3T

]︸︷︷︸

ΦIrr[in cm2]

(1.23)

dove mP è la massa della particella, α è la costante di struttura fine, NA il numero di Avogadro , ZTil numero atomico del mezzo attraversato e PAT e ρT sono peso atomico e densità del mezzo.

Quando l’energia cinetica del proiettile diventa dell’ordine di qualche centinaio di MeV, la perditadi energia per bremsstrahlung è confrontabile o maggiore di quella per ionizzazione. L’energia persaper irraggiamento può essere scritta come:(

dE

dx

)BS

∝ −NT ·KP · ΦIrr (1.24)

dove NT è il numero di atomi per cm3, KP è l’energia cinetica della particella incidente e ΦIrr è un

termine che ha il significato fisico di una sezione d’urto, che dipende fortemente dal numero atomicodel materiale attraversato.

L’energia totale persa sarà in generale composta da due parti:(dE

dx

)Tot

=

(dE

dx

)BS

+

〈dE

dx

〉BB

(1.25)

in cui il primo termine è dovuto al bremsstrahlung, il secondo alla ionizzazione.Per ogni materiale si definisce un’energia per la quale si ha che l’energia persa per bremsstrahlung

è uguale a quella persa per ionizzazione(dE(Kcrit)

dx

)BS

=

〈dE(Kcrit)

dx

〉BB

(1.26)

Per KP � Ecrit, si ha solo perdita di energia per bremsstrahlung, con una cascata elettro fotonica nelmezzo, emessa lungo la direzione di moto della particella. Una formula empirica per Ecrit è

Ecrit =800MeV

ZT + 1.2(1.27)

dove ZT è il numero atomico del mezzo attraversato.Nel caso specifico di questo lavoro, dato che le energie in gioco sono dell’ordine di qualche MeV,

questo effetto può essere trascurato.

16

Backscattering e Assorbimento

Nella figura 1.14 è mostrato lo schema del comportamento di un fascio di elettroni all’interno dellamateria.

Come si è detto, a causa della piccola massa, gli elettroni sono particolarmente soggetti a grandideflessioni dovute allo scattering da parte dei nuclei. Alcuni elettroni possono essere addiritturarimandati indietro, cioè subire deflessioni di angoli maggiori di π/2 e, di conseguenza, riescono aduscire dal materiale prima di aver perso tutta la loro energia. L’effetto è particolarmente evidente perelettroni a bassa energia e aumenta con il numero atomico del materiale e con l’angolo d’impatto[1].

Figura 1.14: Modello a diffusione della penetrazione di un fascio di elettroni in un target[4]: R è ilrange massimo, xD è la profondità di diffusione, xE la profondità corrispondente alla massima perditadi energia, rB è il range del backscattering e tanθ0 = rB/rE .

L’espressione generale per la frazione di elettroni incidenti ηT avrà un andamento esponenziale, infunzione dello spessore attraversato, cos̀ı come per i γ. Da questa è possibile definire la frazione dielettroni backscatterati ηB, sapendo che

dηB(y)

dy= −N · dηT

dy·D(y) ·

∫ θ00

sinθ

(1 + cosθ)11/8dθ (1.28)

dove y=x/λ è una variabile adimensionale (λ è il range degli elettroni) e D(y) è una funzione di perditadiffusiva degli elettroni backscatterati in funzione di y[4].

Il backscattering dipende, come si è detto, dall’angolo di incidenza. Ovviamente, gli elettroni cheentrano in direzione obliqua rispetto alla superficie del materiale assorbente hanno una probabilitàmaggiore di essere scatterati fuori rispetto a quelli che entrano a angolo 0.

Il rapporto tra il numero di elettroni backscatterati e gli elettroni incidenti è detto coefficiente dibackscattering. Questo rappresenta la probabilità che un elettrone con una certa energia e angola-zione, possa essere backscatterato con una determinata energia finale e di un certo angolo. Dato unflusso uniforme di elettroni incidenti su una superficie piana (figura 1.15), si definisce il coefficiente dibackscattering R[5] come

R(~n,E;~n′, E′) =flusso uscente per unitá di angolo solido e di intervallo di energia

flusso incidente(1.29)

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Figura 1.15: Cinematica del fascio di elettroni contro un target[5].

Risulta molto importante tener conto del backscattering quando ci si occupa della spettroscopiadegli elettroni, perchè la geometria del rivelatore acquista un ruolo molto importante, dato che unagrande quantità di elettroni possono essere scatterati senza prima produrre un segnale utile.

Gli elettroni che non fuoriescono vengono assorbiti dal mezzo che attraversano: in questo caso, leparticelle perdono tutta la loro energia e vengono assorbite dal mezzo attraversato. Note le frazionidi elettroni incidenti e di quelli backscatterari, si può risalire alla frazione di elettroni che, invece,vengono assorbiti, semplicemente considerando

ηA = 1− (ηT + ηB) (1.30)

Figura 1.16: Proporzioni relative tra ηA, ηT e ηB, nel rame in funzione di y[4].

Le distribuzioni degli elettroni assorbiti con diverse energie iniziali sono mostrate nella figura 1.17.

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Figura 1.17: Distribuzioni degli elettroni assorbiti in funzione dello spessore in rame e oro[4].

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1.3 Scintillatori

Gli scintillatori sfruttano il fatto che alcuni materiali, quando sono colpiti da una radiazione o dauna particella, emettono una specie di “scintilla”. Se accoppiati con degli amplificatori, come unfotomoltiplicatore, queste “scintille” possono essere convertite in impulsi elettrici, i quali possonoessere analizzati, in modo da ottenere informazioni riguardo la radiazione incidente.

Generalmente, è costituito da un materiale scintillante: quando la radiazione passa attraverso loscintillatore, eccita gli atomi e le molecole facendogli emmettere luce. Questa luce è trasmessa a un fo-tomoltiplicatore, dove viene convertita in una debole corrente di fotoelettroni, che sarà successivamenteamplificata e il segnale di corrente finale sarà poi analizzato da sistemi elettronici.

Il segnale registrato con lo scintillatore può fornire una varietà di informazioni, tra le qualitroviamo[1]:

1. Efficienza sulla rivelazione dell’energia: sopra un certo valore minimo di energia, per la maggiorparte degli scintillatori, i segnali hanno un andamento lineare con l’energia, cioè l’emissione lumi-nosa è direttamente proporzionale all’energia di eccitazione. Dato che anche il fotomoltiplicatoreè uno strumento lineare, l’ampiezza del segnale elettrico finale sarà, ugualmente, proporzionalea questa energia.

2. Tempo di risposta veloce: sono strumenti veloci, nel senso che la loro risposta e i tempi direcupero sono brevi rispetto ad altri rivelatori. Questa velocità permette di ottenere in manierapiù precisa la differenza temporale tra due eventi. Inoltre, tutto ciò fa si che gli scintillatoripossano sopportare velocità di conteggio più elevate, dato che il tempo morto (il tempo che siperde nell’aspettare che lo scrintillatore si riprenda) è ridotto.

3. Differenziazione delle forme degli impulsi: con alcuni scintillatori, è possibile distinguere tradiversi tipi di particelle, analizzando la forma degli impulsi della luce emessa. Questo a causadell’eccitazione di diversi meccanismi di fluorescenza, a opera di particelle con diverso potereionizzante.

I materiali degli scintillatori hanno la proprietà della luminescenza: quando esposti a certe formedi energia (luce, calore, radiazione), assorbono e riemettono l’energia sotto forma di luce visibile. Se lariemissione avviene immediatamente dopo, il fenomeno viene chiamato fluorescenza; se la riemissioneè ritardata a causa di stati eccitati metastabili, il processo è chiamato fosforescenza[1]. Per essereuno scintillatore utilizzabile, un materiale dovrebbe riuscire a convertire una frazione il più grandepossibile dell’energia della radiazione incidente in fluorescenza primaria, mentre deve minimizzare icontributi indesiderati della fosforescenza.

Il materiale ideale dovrebbe possedere le seguenti proprietà[3]:

1. dovrebbe convertire l’energia cinetica delle particelle cariche in luce rilevabile, con una grandeefficienza di scintillazione;

2. questa conversione dovrebbe essere lineare, nel senso che lo spettro luminoso deve essereproporzionale all’energia depositata, in un intervallo energetico più grande possibile;

3. il mezzo dovrebbe essere trasparente alle lunghezze d’onda delle sue stesse emissioni, per unabuona raccolta della luce;

4. il tempo di decadimento della luminescenza indotta dovrebbe essere breve, cos̀ı che impulsi disegnali veloci possano essere generati;

5. il materiale deve essere di una buona qualità ottica e deve avere dimensioni appropriate;

6. il suo indice di rifrazione dovrebbe essere vicino a quello del vetro (' 1.5), in modo da permettereun accoppiamento efficiente dello scintillatore con un fotomoltiplicatore.

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Nessun materiale presenta tutte queste caratteristiche contemporaneamente, quindi occorre trovareun compromesso. Esistono diversi tipi di scintillatori (cristalli organici, vetro, plastica), ma quelli piùutilizzati sono gli scintillatori con cristalli inorganici, che tendono ad avere la migliore emissioneluminosa e la migliore linearità e, anche se con alcune eccezioni, hanno un lento tempo di risposta.Gli alti valori di Z dei costituenti e l’alta densità dei cristalli inorganici favoriscono la loro scelta perspettroscopia dei raggi γ[3].

Gli scintillatori inorganici sono costituiti per lo più da cristalli di alogenuri alcalini contenenti unapiccola quantità di attivatori come impurità[1]. Il meccanismo degli scintillatori con cristalli inorganicidipende dall’energia degli stati, la quale è determinata dal reticolo cristallino del materiale.

Gli elettroni hanno a disposizione solo bande di energia discrete in materiali classificati comeisolanti o semiconduttori. La banda inferione, detta banda di valenza, contiene quegli elettroni chesono legati ai siti del reticolo, mentre la banda di conduzione contiene gli elettroni che hanno energiasufficiente per essere liberi di muoversi all’interno del cristallo. Esiste una banda intermedia, dettabanda proibita, in cui gli elettroni non sono mai presenti, nel caso di un cristallo puro. L’assorbimentodi energia può risultare nello spostamento di un elettrone dalla sua posizione normale nella banda divalenza, attraverso il gap energetico tra le due bande, per finire nella banda di conduzione, lasciandouna lacuna nella banda di valenza. Nei cristalli puri, il ritorno dell’elettrone nella banda di valenza, conl’emissione di un fotone, è un processo inefficiente, anche perchè le ampiezze tipiche dei gap energeticicorrispondono a fotoni risultanti con un’energia troppo elevata per ricadere nello spettro visibile[3].

Per aumentare la probabilità di avere un fotone nel visibile durante il processo di diseccitazione,si inseriscono nel cristallo piccole quantità di impurità, dette attivatori, che hanno la funzione dimodificare la normale struttura a bande del cristallo. Si avranno, quindi, degli stati energetici creatiall’nterno della banda proibita, attraverso i quali gli elettroni possono diseccitarsi, tornando alla bandadi valenza. Dato che l’energia è minore di quella dell’intera banda proibita, questa transizione puòdar luogo a un fotone nello spettro visibile, dando inizio al processo di scintillazione. Questi sitidi diseccitazione sono detti centri di luminescenza o centri di ricombinazione [3]. Uno schema dellasituazione appena descritta è mostrato nella figura 1.18.

Figura 1.18: Struttura a bande energetiche di un cristallo attivato[3].

Una particella carica che passa attraverso il mezzo rivelatore formerà un gran numero di coppieelettrone-lacuna, create dall’eccitazione dell’elettrone dalla banda di valenza alla banda di conduzio-ne. Le buche positive si muoveranno velocemente verso un sito dell’ attivatore, ionizzandolo, perchèl’energia di ionizzazione delle impurità sarà inferiore rispetto a quella di un tipico sito del reticolo.Nel frattempo, l’elettrone è libero di spostarsi attraverso il cristallo e lo farà finchè non incontreràquell’attivatore ionizzato. A questo punto, l’elettrone può cadere nel sito dell’attivatore, creando unaconfigurazione neutrale che avrà il proprio set di stati energetici eccitati. Se lo stato dell’attivatoreche si è formato è una configurazione eccitata con una transizione permessa nel ground state, la suadiseccitazione avverrà molto velocemente e l’emissione di un fotone corrispondente avrà una grandeprobabilità. Se l’attivatore è propriamente scelto, questa transizione può avvenire nel range visibile.I tempi di decadimento tipici di questi stati eccitati variano tra 30-500ns[3]. Dato che il tempo in cuil’elettrone viaggia nel cristallo è molto più breve, tutte le configurazioni eccitate delle impurità sonoformate in una volta soltanto e si disecciteranno successivamente con una vita media caratteristica deldeterminato stato. Il tempo di decadimento di questi stati è ciò che determina il tempo caratteristicodi emissione della scintilla di luce.

Ci sono processi che competono con questo appena descritto. Per esempio, un elettrone che arrivasul sito dell’impurità può creare una configurazione eccitata le cui transizione al ground state sono

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proibite. Questi stati, quindi, richiedono un ulteriore incremento di energia per farli salire a uno statosuperiore in cui la transizione allo stato fondamentale sia permessa. Una sorgente di quesa energia èl’eccitazione termica e la componente della luce risultante è detta fosforescenza [3].

Esiste anche una terza possibilità: la cattura di un elettrone da parte di un sito di un attivatore.Alcune transizioni che non emettono radiazioni sono possibili tra alcuni stati eccitati, formati attra-verso la cattura elettronica, e lo stato fondamentale. In questo caso non si avrà nessun fotone visibile.Questi processi sono chiamati quenching e rappresentano i meccanismi di perdita nella conversionedell’energia di una particella in una scintilla di luce[3].

Una conseguenza importante della luminescenza attraverso i siti di attivatori è il fatto che ilcristallo può essere trasparente alla luce emessa. In un cristallo puro, è richiesta circa la stessaenergia per eccitare una coppia elettrone-lacuna di quella liberata quando la coppia si ricombina. Diconseguenza gli spettri di emissione e assorbimento si sovrapporranno e si verificherà un sostanzialeauto-assorbimento. Come si è visto, però, l’emissione da un cristallo attivato avviene da un sito di unattivatore, in cui l’energia di transizione sia inferiore a quella richiesta per la creazione di una coppiaelettrone-lacuna. Ne segue che lo spettro di emissione è spostato verso lunghezze d’onda maggiori enon sarà influenzato dalla banda di assorbimento del cristallo. Si noti che per sfruttare appieno laluce di scintillazione, lo spettro dovrebbe cadere vicino la regione di lunghezza d’onda corrispondentealla massima sensibilità nel rivelare la luce dello strumento[3].

La risoluzione energetica di un rivelatore è una misura della sua capacità di distinguere piccoledifferenze nell’energia dei raggi γ incienti. Si definisce come:

R =FWHM

H0· 100% (1.31)

dove FWHM è la larghezza ametà altezza del picco energetico, espressa come numero dei canali e H0è il numero del canale corrispondente al centroide[6].

Nel caso degli scintillatori, fattori che influenzano la risoluzione sono le fluttuazioni statistiche delnumero di fotoelettroni prodotti e la non uniformità dell’emissione luminosa. L’ampiezza dell’impulsoin uscita è proporzionale al numero di fotoelettroni creati

R =FWHM

H0=K√E

E=

K√E

(1.32)

dove E è l’energia del fotone e K è una costante[6].L’efficienza di un rivelatore è la proporzione di eventi radioattivi registrati dallo strumento, cioè

una misura di quanti impulsi vengono generati per un certo numero di raggi γ incidenti[6]. Per misurarel’efficienza di uno scintillatore, basta fare un semplice conto con l’energia: per una vasta categoria dimateriali, occorre in media circa tre volte l’energia del bandgap per creare la coppia elettrone-lacuna.

Per gli scintillatori inorganici più comuni, si vede che lo spettro luminoso è più o meno proporzio-nale all’energia depositata dalla radiazione. I processi di quenching tolgono un po’ di linearità nellaproporzionalità, ma spesso sono molto meno estesi di quanto non accada negli scintillatori organici.Si osservano anche variazioni nello spettro luminoso per diversi tipi di particelle alla stessa energia.

Un parametro a cui bisogna fare attenzione è la temperatura, dato che l’emissione luminosa dellamaggior parte degli scintillatori dipende dalla temperatura. Infatti, anche se questa dipendenza èdebole a temperatura ambiente e può essere trascurata, non può più essere ignorata quando si operaa temperature molto diverse da quella ambiente.

Uno dei più grandi svantaggi di alcuni cristalli inorganici è l’igroscopicità, ossia la capacità diassorbire le molecole d’acqua presenti nell’ambiente circostante. Spesso, per proteggerli dall’umiditàdell’aria, sono inseriti in involucri protettivi a tenuta stagna[1].

Il vantaggio dei cristalli inorganici sta nel loro elevato stopping power, dovuto alla loro alta densitàe all’elevato numero atomico. Tra tutti gli scintillatori, hanno anche alcuni dei più alti valori di luceemessa, che risulta in una migliore risoluzione energetica. Questo li rende estremamente utili per larivelazione di raggi γ ed elettroni e positroni ad alta energia[1]. In particolare, cristalli con un elevato

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Figura 1.19: Cristallo di LaBr3(Ce)[15].

numero di protoni riescono a rilevare in maniera migliore i raggi γ, rispetto agli elettroni, questo acausa dei processi che si sviluppano quando una radiazione incontra la materia (effetto Compton,effetto fotoelettrico e creazione di coppia). Nell’effetto fotoelettrico e nella creazione di coppia, ilraggio γ è completamente assorbito e trasformato in una particella carica o più. Nell’effetto Compton,invece, il γ conserva la sua identità, trasferendo solo parte della sua energia a un elettrone. Se il raggioγ scatterato non subisce altre interazioni con il materiale dello scintillatore, è possibile che riesca auscire dallo scintillatore, lasciando solo parte della sua energia. Per realizzare un rivelatore di raggi γefficiente, quindi, bisogna utilizzare un materiale in cui le sezioni d’urto dell’effetto fotoelettrico e dellacreazione di coppia, siano maggiori rispetto a quella dell’effetto Compton. Fortunatamente, le primedue sezioni d’urto dipendono da Z, rispettivamente, come Z5 e Z2, mentre quella del Compton solocome Z, cosa che giustifica il fatto che i cristalli inorganici con elevato Z sono favoriti nella rivelazionedi raggi γ[1].

1.3.1 Scintillatori con LaBr3(Ce)

Il LaBr3(Ce) (bromuro di lantanio, attivato col cerio) ha delle caratteristiche eccezionali come scin-tillatore, a cominciare dagli alti valori di Z e della densità, tempo di decadimento breve, lunghezzed’onda delle emissioni che si abbinano bene con i comuni fotocatodi, e un’eccellente risoluzione ener-getica (' 3% a 662 keV [9]). In particolare, il suo tempo di decadimento breve lo rende molto utileper applicazioni che richiedono alti counting rates.

Si è dimostrato che le prestazioni temporali migliorano con l’aumento della concentrazione delcerio. Anche la qualità degli spettri di emissione dipende dalla quantità di attivatori inseriti nelcristallo, come si può vedere dallo spettro del 137Cs, ottenuto con 0.2, 0.5% e 5% di Ce3+, nella figura1.20.

Figura 1.20: Spettro del 137Cs[7].

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http://www.epic-scintillator.com/LaBr-scintillator-50x6mmHigh-energy-resolution scintillator: Ce$^{3+}$ activated LaBr$_3$Charge carrier and exciton dynamics in LaBr$_3$:Ce$^{3+}$ scintillators: Experiment and model

Nella tabella 1.1, sono inseriti alcuni dei parametri caratteristici del cristallo, che variano con laconcentrazione del cerio.

Concentrazione di Ce3+(%) Emissione luminosa (fotoni/MeV) Tempo di decadimento (ns)

0.2 60700 23 ns (93.4%), 66 ns (6.6 %)0.5 60000 26 ns (93%), 66 ns (7 %)1.3 47000 16.5 ns (97%), 66 ns (3 %)5 55300 15 ns (97%), 63 ns(3%)

Tabella 1.1: Proprietà del LaBr3(Ce) con diverse concentrazioni di Ce3+[8].

Nel realizzare questo tipo di cristallo bisogna prestare attenzione a diversi fattori: le espansioni ter-miche anisotrope, a causa della struttura esagonale del cristallo, provoca sollecitazioni interne quandoil cristallo si raffredda dopo la crescita e bisogna adottare procedure attente per evitare di rompereil cristallo. Inoltre il LaBr3(Ce) è molto igroscopico, quindi bisogna far attenzione che l’umidità nondanneggi il processo di fabbricazione.

Dagli esperimenti, si è visto che cristalli del genere possono raggiungere valori di risoluzione ener-getica anche a partire da 2, 6%[3]. Questo valore si avvicina alla statistica di Poisson degli scintillatorie suggerisce che il contributo non lineare nello spettro luminoso alla risoluzione è piccolo se comparatoagli altri scintillatori. In particolare, il LaBr3(Ce) è molto richiesto per la sua maggiore risoluzioneenergetica (figura 1.21).

Figura 1.21: Spettro del 60Co ottenuto con LaBr3, con NaI e con BaF2[3].

Gli alogenuri di lantanio hanno dimostrato di avere altre caratteristiche favorevoli. Per esempio, èstato dimostrato che hanno uno spettro luminoso e una risoluzione energetica relativamente costanti inun vasto range di temperature. Mostrano anche una buona resistenza al danneggiamento radioattivo,dovuto all’esposizione di alte dosi di raggi γ e protoni[3].

Per quanto riguarda lo scintillatore al LaBr3(Ce), le caratteristiche specifiche sono mostrate nellatabella 1.2.

Peso specifico Lunghezza d’on-da della massimaemissione

Indice di rifrazio-ne

Tempo di decadi-mento (µs)

Spettro di as-sorbimento infotoni/MeV

5.29 380 2.05 - 2.10 0.026 63000

Tabella 1.2: Tabella dei parametri caratteristici del LaBr3(Ce)[3].

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LaBr$_3$:Ce Scintillators for Gamma-Ray Spectroscopy

Sperimentalmente, si è trovata la relazione con l’energia dei raggi γ incidenti della risoluzioneenergetica (figura 1.22) e dell’efficienza intrinseca di foto-picco (è stata ricavata dall’energia piena delfoto-picco) (figura 1.23).

Figura 1.22: Grafico della risoluzione energetica in funzione dell’energia[6].

Figura 1.23: Grafico dell’efficienza intrinseca di foto-picco in funzione dell’energia[6].

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1.4 Rivelatori a semiconduttore

Una delle limitazioni più grandi degli scintillattori è la loro scarsa risoluzione energetica. L’energiarichiesta per la produzione di un fotoelettrone è dell’ordine di 100 eV o più, rendendo molto scarso ilnumero di fotoelettroni creati nel processo descritto in precedenza. Le fluttuazioni statistiche in unnumero cos̀ı piccolo costituisce una limitazione nella risoluzione energetica e non si può fare niente ariguardo per migliorare la situazione.

L’unico modo per ridurre il limite statistico alla risoluzione consiste nell’aumentare il numero diportatori di informazioni prodotti per ogni impulso. L’uso di materiali semiconduttori come rivelatoridi radiazioni porta ad avere un numero maggiore di portatori per una data radiazione incidente, cosache fa aumentare la risoluzione energetica dello strumento. I portatori di informazioni fondamentalisono le coppie elettrone-lacuna, create lungo il percorso dalle particelle cariche attraverso il rivelatore.Lo spostamento delle coppie elettrone-lacuna in un campo elettrico genera il segnale elettrico di basedel rivelatore[3].

Il successo dei semiconduttori come rivelatori di radiazioni dipende da diverse proprietà caratte-ristiche, come l’alta velocità di lettura, la disponibilità di avere un segnale elettronico diretto e lasimultanea misura di energia e posizione. In particolare, il silicio e il germanio hanno una risoluzioneenergetica eccellente, anche se il Si è caratterizzato da un basso stopping-power per i fotoni ad alteenergie, mentre la piccolla band-gap del Ge lo rende utilizzabile solo a temperature criogeniche [11].

Gli strumenti realizzati adottando semiconduttori mostrano difetti nei cristalli, che possono es-sere causati da legami oscillanti nelle zone di contatto o dalla presenza di impurità nel substrato.La presenza di questi siti difettosi, o trappole, nei substrati dei semiconduttori possono influenzaresignificativamente le caratteristiche elettriche del dispositivo. I siti in questioni, i cui livelli energeticisi trovano nella banda proibita, scambiano cariche con le bande di valenza e conduzione del semi-conduttore, attraverso l’emissione e la ricombinazione di elettroni. Perciò, cambiano la densità dicarica spaziale nel semiconduttore, influenzando la ricombinazione statistica e inducendo distorsioninella distribuzione del campo elettrico. Questi difetti riducono anche l’efficienza di campionamentodel rivelatore e la risoluzione energetica [11].

L’utilità dei semiconduttori come elementi nei circuiti elettrici e per misurazioni di radiazioni derivadalla proprietà che si ottiene quando semiconduttori di tipo n e p sono messi a contatto, creando undiodo a giunzione. In pratica, questa giunzione è realizzata diffondendo accettori come impurità in uncristallo di silicio di tipo n, o donori in un cristallo di tipo p. Nella figura 1.24 si trova un esempio dirivelatore con una giunzione p-n.

Figura 1.24: Esempio di un diodo a giunzione p-n [11].

Consiste in una regione superficiale di tipo p+ altamente drogato su un substrato di tipo n moltodrogato, la cui porzione posteriore è uno strato n+ altamente drogato. Lo strato n+ fornisce un buoncontatto ohmico dall’alluminio al substrato e, contemporaneamente, permette il funzionamento dellostrumento in modalità di esaurimento (polarizzazione diretta).

Tra le regioni di tipo p e di tipo n, si forma la cosiddetta zona di svuotamento (o regione dicarica spaziale), come risultato sia dello spostamento degli elettroni dalla zona n alla zona p chedello spostamento delle lacune dalla zona p alla n. Di conseguenza, lo spostamento è responsabile

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dell’esistenza una regione di carica spaziale composta da due zone: la prima è fatta di siti pieni dielettroni accettori non compensati dalle lacune, mentre la seconda è costituita da siti vuoti, caricatipositivamente, che svolgono la funzione di donori, non equilibrati dagli elettroni.

Questa separazione di carica genera un campo elettrico, che riduce ulteriori spostamenti da unlato all’altro. All’equilibrio il campo riesce a bloccare completamente gli spostamenti, dando luogoa una distribuzione di carica stazionaria. La regione di carica spaziale agisce come una camera diionizzazione a piastre parallele ad alta resistività, rendendo il diodo a giunzione utilizzabile comerivelatore. A causa della presenza del campo elettrico, le coppie elettroni-lacune prodotti nella zonadi svuotamento migrano fuori e il loro movimento dà luogo a un segnale elettrico. Per questo motivo,la regione rappresenta il volume sensibile del rivelatore a semiconduttore.

Una giunzione p-n a cui non è applicato alcun voltaggio può fungere da rivelatore, ma con scarseprestazioni, perchè la zona di svuotamento è piccola, la capacità della giunzione è alta e l’intensità delcampo elettrico attraverso di essa è bassa e non sufficiente a prendere i portatori di carica indotti, chesaranno, di conseguenza, persi a causa dell’intrappolamento o della ricombinazione.

Le prestazioni migliorano applicando una differenza di potenziale esterna, che pone la giunzio-ne nella polarizzazione inversa. Come il potenziale applicato aumenta, la larghezza della zona disvuotamento aumenta, la capacità della giunzione diminuisce e il rendimento dello strumento migliora.

I rivelatori a semiconduttore possono lavorare con una tensione di polarizzazione inversa, che puòprodurre sia una regione di carica spaziale contenuta dentro il volume interno del wafer (partiallydepleted detector), che una regione di carica spaziale che si estenda a tutto lo spessore del wafer (fullydepleted detector).

In ogni caso, bisogna ricordare che il potenziale applicato deve essere tenuto al di sotto delpotenziale di breakdown del rivelatore, in modo da evitare danni allo strumento.

Quando una particella carica attraversa un semiconduttore, vengono prodotte diverse coppieelettrone-lacuna. Il processo di produzione può essere diretto o indiretto, ossia quando le particel-le producono elettroni ad alta energia (o raggi δ), i quali, successivamente, perdono la loro energiaproducendo altre coppie elettrone-lacuna. La quantità più importante di questo processo è l’energiamedia richiesta per la produzione di una coppia. Si è dimostrato sperimentalmente che questa quan-tità, spesso chiamata energia di ionizzazione (�), è scarsamente dipendente dall’energia e dal tipo dellaradiazione incidente ed è specifica di ogni materiale assorbente. Questa importante semplificazione,rende possibile legare il numero di coppie prodotte all’energia della radiazione incidente, purchè laparticella sia completamente assorbita dal volume attivo del rivelatore[3].

Quando una radiazione interagisce con un semiconduttore, l’energia depositata porta sempre allacreazione di un numero uguale di elettroni e lacune. Ogni elettrone di conduzione, prodotto in unsemiconduttore, genera a sua volta una lacuna nella banda di valenza, portando a un bilancio perfettodel numero di cariche create. Si dovrebbe, inoltre, sottolineare che i livelli di drogaggio tipici neisemiconduttori di tipo n o p sono cos̀ı bassi che questi atomi non giocano un ruolo significante neldeterminare il tipo di interazione che la radiazione sviluppa con il rivelatore. Quindi semiconduttoridi tipo n o p, dello stesso spessore, hanno identiche probabilità di interazione con raggi γ.

Uno dei vantaggi principali dell’utilizzo di rivelatori a semiconduttore, sta nel valore dell’energiadi ionizzazione, che per Ge e Si è solo di 3 eV, molto più basso di quello di altri rivelatori[3]. Diconseguenza, per una data energia della radiazione, il numero di coppie prodotte, nei semiconduttori,sarà maggiore di quello relativo ad altri rivelatori. Il numero medio di coppie generate, per un’energiaincidente E, è dato da[11]:

N =E

�(1.33)

Il maggior numero di portatori di carica creati porta due benefici alla risoluzione energetica: lefluttuazioni statistiche sul numero di portatori per impulso sono una frazione più piccola del totale,dato che il numero è aumentato. Questo fattore spesso è predominante per determinare il limite dellarisoluzione energetica di un rivelatore, tra medi e alti valori di energia di radiazione.

L’energia di ionizzazione dipende anche dalla temperatura. Per materiali come Si e Ge, il valoredi � aumenta con la diminuzione della temperatura[3].

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Oltre al numero medio, anche le fluttuazioni, o varianza, del numero dei portatori di carica sonoun parametro importante, a causa del legame con la risoluzione del rivelatore. Si introduce il fattoredi Fano, F, per legare il numero medio di coppie generate alla varianza statistica osservata[3]:

F =varianza statistica

N(1.34)

Per buone risoluzioni energetiche, si vorrebbe che il fattore di Fano fosse il più piccolo possibile.Dopo la creazione della coppia elettrone-lacuna dentro al semiconduttore, le cariche generate ten-

deranno a muoversi sia spontaneamente che a causa dell’applicazione di un campo elettrico. Il loromovimento continuerà finchè non saranno raccolti dagli elettrodi o non si ricombineranno a causadella presenza di impurità o delle imperfezioni nella struttura del materiale. La ricombinazione pro-duce una raccolta incompleta della carica. In particolare, le impurità all’interno del semiconduttoresi comportano come trappole, perchè introducono ulteriori livelli energetici nella zona proibita (deepimpurities). Questi livelli possono catturare gli elettroni o le lacune e rilasciarli dopo un certo pe-riodo. Ovviamente, se il periodo è lungo, i portatori catturati non possono contribuire alla misuradell’impulso.

Altre deep impurities possono comportarsi come centri di ricombinazione. Queste impurità sonocapaci di catturare tutti i tipi di portatori. Infatti, possono catturare prima gli elettroni dalla bandadi conduzione e poi una lacuna dalla banda di valenza, portando all’annichilazione dei portatori.Anche difetti strutturali all’interno del cristallo possono portare a fenomeni di cattura e alla perditadi portatori di carica.

Al fine di produrre un campo elettrico grande abbastanza da avere una raccolta di portatoridi carica sufficiente, occorre applicare una tensione di polarizzazione inversa di centinaia o migliaiadi volts, tra gli elettrodi del rivelatore. Quando la tensione di polarizzazione e il campo elettricosono deboli, l’altezza degli impulsi dovuti alle radiazioni completamente bloccate all’interno dellazona di svuotamento, continua ad aumentare con la tensione applicata. Questa variazione è causatadall’incompleta raccolta dei portatori di carica, di cui si parlava prima. La frazione di portatori chenon vengono raccolti, diminuisce con l’aumentare del campo elettrico.

Quando si applica una tensione di polarizzazione inversa alla giunzione, si osserva solitamente unacorrente dell’ordine di una frazione di µA o nA, anche in assenza della radiazione ionizzante. L’originedi questa corrente di perdita è legata sia al volume che alla superficie del rivelatore[11].

Le sorgenti di questa corrente sono sia i portatori di carica minoritari, che sono condotti attraversola giunzione, a causa della tensione inversa applicata, che la generazione termica delle coppie elettrone-lacuna all’interno della regione di svuotamento. Il primo contributo è generalmente piccolo, mentre ilsecondo dipende dalla temperatura a cui si lavora. Per esempio, gli arseniuri di Si e Ga hanno unatemperatura, a cui vengono generate queste correnti, relativamente bassa e possono essere utilizzati atemperatura ambiente, mentre il Ge deve essere raffreddato.

Le correnti di perdita superficiale si trovano sui bordi della giunzione, dove è applicata la tensione.Dipende da vari fattori, come l’umidità e la contaminazione della superficie del rivelatore. Fluttuazionicasuali relative alla corrente di perdita potrebbero oscurare piccoli segnali di corrente, che arrivanodopo un processo di ionizzazione, e costituire, quindi, una fonte di rumore. Si possono inserire deidispositivi, come anelli-guardia, per ridurre la corrente di perdita, durante la progettazione dellostrumento.

Le proprietà temporali dei rivelatori a semiconduttore possono essere valutate tenendo in conside-razione il tempo di salita del segnale in uscita. Nel complesso è dato dal contributo del charge transittime e del plasma time [11]. Il charge transit time è legato al movimento delle coppie di elettrone-lacunacreate da una radiazione che incide nella regione di svuotamento del rivelatore. Inoltre, dipende dal-l’intensità del campo elettrico e dalla larghezza della regione di carica spaziale. Nei fully depleteddetectors, lo spessore fisico del semiconduttore determina la larghezza della zona di svuotamento e,di conseguenza, l’aumento del campo elettrico riduce il tempo di salita. Nei partially depleted detec-tors, la regione di carica spaziale cresce con l’aumentare del potenziale applicato e, quindi, l’effetto di

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un’alta tensione di polarizzazione è quello di aumentare sia il campo elettrico che la distanza oltre cuile coppie di cariche devono essere raccolte.

Quando la radiazione incidente è composta da particelle cariche pesanti, si osserva la componenteplasma time. Infatti, in questa situazione la densità delle coppie elettrone-lacuna lungo il percorsodelle particelle incidenti è sufficientemente elevata da formare il plasma, che scherma la parte piùinterna dall’influenza del campo elettrico. Solo i portatori di carica del bordo esterno si spostano acausa del campo elettrico. Le regioni esterne sono gradualmente erose via, finchè anche le cariche piùinterne sono soggette al campo elettrico e iniziano a muoversi. Il plasma time può essere definito comeil tempo richiesto affinchè la nuvola di carica si disperda al punto che si inizia la normale raccolta dellecariche.

Quando i rivelatori a semiconduttore sono irradiati con particelle poco penetranti, come particellecariche pesanti, una grande quantità di energia può essere persa prima che il raggio raggiunga ilvolume attivo del rivelatore. Lo spessore di questo dead layer è, in genere, una funzione della tensioneapplicata.

Quando il raggio incidente è ortogonale alla superficie del rivelatore, la perdita di energia nel deadlayer [11] è

∆E(0) =dE(0)

dxd (1.35)

La perdita di energia per un generico angolo di incidenza β [11] è

∆E(β) =dE(0)

cosβ(1.36)

Figura 1.25: Spettro degli elettroni del 207Bi, misurato con un rivelatore al Si(Li), con diversi spessori

di dead layer : (a) senza , (b) wdl=280µm e (c) wdl=540µm[10].

Inoltre, nei materiali cristallini la velocità della perdita di energia delle particelle cariche dipededall’orientazione del loro percorso; infatti, particelle che viaggiano parallelamente al piano del cristallodel rivelatore diminuiscono la loro energia più lentamente rispetto alle particelle dirette in direzioniarbitrarie. Queste particelle (dette particelle canalizzate) penetrano molto attraverso il cristallo.

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Il processo di radiazione produce dentro al rivelatore alcuni danni la cui natura dipende dalleparticelle incidenti sul materiale semiconduttore. La radiazione può interagire con i nuclei del semi-conduttore, producendo un danno irreversibile, dato che un atomo è spostato dal suo normale sito nelreticolo. La lacuna creata e l’atomo originale si comportano come[11]:

• centri di ricombinazione/generazione, perchè sono entrambi capaci di catturare e di emettereelettroni e lacune. Questa diversa emissione di elettroni o lacune nella zona di svuotamento delrivelatore aumenta la corrente di perdita;

• centri intrappolanti, perchè gli elettroni e le lacune sono catturati e riemessi. Il segnale dellacarica catturata può essere rilasciato troppo tardi, producendo una raccolta di carica incompletasugli elettrodi del rivelatore.

Inoltre, potrebbero cambiare la densità di carica nella zona di svuotamento e di conseguenzaun potenziale di polarizzazione maggiore sarebbe richiesto per rendere il rivelatore completamentesensibile. Perciò, quando abbastanza di questi difetti sono generati, la vita dei portatori e l’efficienzanella raccolta della carica sono ridotte, mentre la risoluzione energetica del rivelatore diventa peggiore,a causa delle fluttuazioni nella carica persa.

Dopo la fine del processo di irradiazione, è possibile notare che il danno prodotto al rivelatore siriduce col tempo. Questo effetto è chiamato annealing (ricottura). La diminuzione della velocità deldanno dipende fortemente dalla temperatura a cui il rivelatore è tenuto durante il periodo di attesa.Esistono casi il cui il cristallo torna di nuovo perfetto, ma la maggior parte delle volte si trasformanosemplicemente in altri difetti più stabili.

I danni superficiali comprendono la creazione di carica sia nella parte a contatto tra i due tipi diconduttori sia negli strati di copertura isolanti e possono causare inversioni o accumulazioni superficiali.Infatti, l’energia assorbita dalla ionizzazione elettronica negli strati isolanti libera portatori di caricache possono diffondere o spostarsi altrove, dove restano intrappolati, comportando la formazione diconcentrazioni di carica e campi parassiti.

Supponendo che la zona di svuotamento sia sufficientemente spessa da fermare tutte le particellein ingresso, la risposta dei semiconduttori dovrebbe essere perfettamente lineare con l’energia. Se E èl’energia della radiazione, si sa che il numero di coppie creato è dato dalla (1.33). Ipotizzando di avereun’efficienza nella raccolta di cariche n, allora la carica raccolta sugli elettrodi è

Q = n ·N (1.37)

Dal momento che la regione di svuotamento ha una capacià C, il potenziale osservato sugli elettrodisarà

V =Q

C= n

E

� · C(1.38)

che varia linearmente con E. Inoltre, dato che � è indipendente dal tipo di particella, la risposta saràindipendente dal tipo di radiazione (in realtà, questo vale per elettroni o ioni leggeri, perchè per ionipesanti si sviluppano effetti di plasma che influenzano l’efficienza della raccolta di carica)[1].

1.4.1 Rivelatori al Silicio

Applicando la purezza più alta disponibile del silicio, si arriva ad avere, attravero la polarizzazioneinversa, zone di svuotamento dell’ordine di 1-2mm[3]. Se occorrono rivelatori più spessi, si deveutilizzare un altro approccio per fabbricare lo strumento. Il processo del lithium drifting può essereapplicato per creare regioni di silicio compensato o “intrinseco”, in cui le concentrazioni di accettori edonori possono essere perfettamente bilanciate fino a uno spessore di 5-10mm[3]. Questa regione, unavolta collegata agli elettrodi, funge da volume attivo del rivelatore. Questi rivelatori sono chiamatirivelatori lithium drifted silicon, Si(Li). Il loro spessore è limitato soltanto dalla distanza oltre cui puòessere effettuato il processo di lithium drifting.

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Durante il processo di fabbricazione[11], il litio è diffuso attraverso la superficie di un cristallodi tipo p, dove agisce come donore. La giunzione p-n risultante ha polarizzazione inversa, mentrela temperatura del cristallo aumenta per favorire la mobilità dei donori del litio. I donori del litiosono lentamente trasportati dal campo elettrico all’interno del semiconduttore di tipo p, dove la loroconcentrazione aumenta, raggiungendo quella degli accettori iniziali. In questo modo, si è creatauna regione che assomiglia a un semiconduttore intrinseco. Una volta che il processo è completo, ilrivelatore ha la struttura nella figura 1.26.

Figura 1.26: Configurazione di un rivelatore con una lithium drifted junction [11].

Un’analisi dettagliata del processo di lithium drifting ha dimostrato, che la presenza, durante ladiffusione, di coppie elettrone-lacuna eccitate termicamente, contribuisce alla carica spaziale netaa epuò disturbare la precisa compensazione tra donori e accettori. Per questo, la fabbricazione vienefatta in due passi, in cui un processo di “clean-up” drift relativamente lungo, segue la prima fase. Latemperatura del secondo passo è tenuta molto più bassa di quella della prima fase, cos̀ı da esercitareun’influenza termica minore sui portatori, e per favorire una quasi-perfetta compensazione, attraversola graduale redistribuzione del litio[3].

Il numero atomico più basso del silicio rispetto al germanio, indica che per le tipiche energie dei raggiγ, la sua sezione d’urto relativa all’assorbimento fotoelettrico è più piccola. Di conseguenza, l’efficienzadei rivelatori al Si per gli spettri dei γ è più piccola e non vengono impiegati molto per la spettroscopiadei raggi γ. Il numero atomico più basso rappresenta, invece, un vantaggio nella spettroscopia delleparticelle beta, in quanto, in questo modo, meno elettroni subiranno backscattering, uscendo dallrivelatore, senza perdere tutta la loro energia[3].

La corrente di perdita che si genera nella superficie del silicio, in un rivelatore, non costituisceun contributo significativo al rumore. Nel rivelatori Si(Li), la regione compensata è sufficientementespessa, da far si che a temperatura ambiene le fluttuazioni della corrente di perdita non vadano acostituire una fonte di rumore.

Nel silicio, l’effetto fotoelettrico è più probabile dell’effetto Compton per fotoni con energia inferiorea 55 keV. Per energie sotto i 30 keV, l’assorbimento fotoelettrico è predominante, cos̀ı la rispostadel rivelatore a raggi γ sotto questa energia sarà dominata da un singolo picco energetico, causatodall’assorbimento del risultante fotoelettrone[3]. Se il campo elettrico nel rivelatore è sufficientementealto, la raccolta di carica è completa e la forma del picco può essere ben rappresentata da una gaussiana,anche se alcune modifiche alla forma gaussiana, in alcuni casi, portano a una migliore rappresentazione.Infatti, a volte il picco è seguito da una coda, che si è dimostrato sperimentalmente essere dovuta allaraccolta incompleta della carica in una dead layer sulla superficie del rivelatore.

La risposta di rivelatori al Si(Li), nel caso di raggi γ è quasi perfettamente lineare, almeno se sonoapplicate tensioni sufficientemente alte, in modo da evitare significanti perdite di carica dovute allacattura o alla ricombinazione.

L’efficienza di picco intrinseca del rivelatore al Si(Li) è quasi del 100%[3], in un ampio range dienergie incidenti. In questo intervallo energetico, tutti i fotoni incidenti sono assorbiti dal rivelatoreattraverso l’effetto fotoelettrico. L’efficienza assoluta di conteggio dipende innanzitutto dall’area dellasuperficie del rivelatore. Di conseguenza, tutti i rivelatori di fotoni a basse energie sono fabbricati conuna geometria planare, in modo da minimizzare l’area superficiale. A energie più alte, l’efficienza inizia

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a diminuire rapidamente, riproducendo la diminuzione della sezione d’urto dell’effetto fotoelettrico nelsilicio.

I rivelatori lithium drifted silicon sono molto utili nella misura delle energie di elettroni. Glispessori sono quelli sufficienti ad assorbire completamente le particelle e il valore del numero atomicominimizza gli elettroni backscatterati. Quando lo spessore del silicio è molto grande rispetto allamassima distanza di penetrazione dell’elettrone, la spettro in uscita è dato da un singolo picco conun continuo dovuto a eventi di ampiezza minore. Il picco corrisponde a quegli elettroni che sonocompletamente bloccati dal volume attivo del rivelatore[3]. Il continuo rappresenta eventi di perditaparziale di energia, che possono corrispondere, ad esempio, al backscattering di elettroni, che esconodalla superficie incidente, senza lasciare tutta la loro energia all’interno del rivelatore. Mano a mano chediminuisce lo spessore del rivelatore, alcuni elettroni iniziano a penetrare completamente attraversoil rivelatore senza perdere tutta la loro energia. Gli impulsi corrispondenti si spostano dai picchidi energia completa ad ampiezze minori nello spettro. Per rivelatori molto sottili, soltanto alcunielettroni sono completamente assorbiti e lo spettro corrisponde alla distribuzione dell’energia, che essiperdono prima di uscire dal volume attivo. Naturalmente, per elettroni che incidono sulla superficiecon angoli obliqui, una frazione maggiore viene backscatterata fuori prima di perdere tutta l’energia.Di conseguenza, il continuo nello spettro è intensificato, rispetto ai casi di incidenza perpendicolare.

Per concludere questa sezione, si riportano alcune caratteristiche principali dei rivelatori al Si(Li)nella tabella 1.3.

Temperatura Z Densità Bandgap Energia di ionizzazione Miglior risoluzione energetica(K) (g/cm2) (eV) (eV per coppia di e−-lacuna) per i raggi γ (FWHM)

300 K 14 2.33 1.12 3.6177 K 1.16 3.76 400 eV a 60 keV77 K 550 eV a 122 keV

Tabella 1.3: Tabella caratteristiche rivelatore al Si(Li)[3].

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1.5 I software utilizzati

1.5.1 Casino

CASINO (“monte CArlo SImulation of electroN trajectory in sOlids”) è un simulatore Monte Carlodelle traiettorie di elettroni nei solidi appositamente progettato per l’interazione di fasci a bassa energiacon fogli grandi e sottili materiale. Questo complesso programma può essere utilizzato per generarediverse sorgentii (raggi X ed elettroni backscatterati) in qualsiasi materiale. Il programma simula letraiettorie di elettroni in un materiale a scelta.

Il programma utilizza diversi modelli per simulare l’interazione di elettroni con un solido. Per orariesce a restituire i raggi X e i coefficienti di backscattering.

Per generare una simulazione basta fornire al programma la composizione del materiale e la suageometria; successivamente, si deve specificare la quantità di elettroni che si vuole generare, se sivuole una sola energia o simulazioni in sequenza a diverse energie e l’angolo con cui il fascio entra nelmateriale.

La figura 1.27 mostra una simulazione in cui sono stati generati 200 elettroni a 500 keV e incidentiperpendicolarmente al materiale, che consisteva in uno strato di silicio spesso 5 mm.

Figura 1.27: Simulazione delle traiettorie di elettroni nel silicio con CASINO. In rosso sonorappresentare le traiettorie degli elettroni backscatterati.

Il programma si può utilizzare anche per capire entro quale spessore di un certo materiale vengonobloccate le particelle del fascio incidente.

Figura 1.28: Simulazione delle traiettorie di 200 elettroni a 500 keV in 5 mm di piombo con CASINO.Confrontando con l’immagine precedente si può notare che nel piombo la maggior parte degli elettronisono assorbiti in uno spessore minore rispetto al silicio.

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1.5.2 GEANT4

GEANT4 è un software composto di strumenti che possono essere utilizzati per simulare accurata-mente il passaggio delle particelle attraverso la materia. Tutti gli aspetti del processo di simulazionesono stati inclusi nel programma:

• la geometria del sistema;• i materiali coinvolti;• le particelle fondamentali;• la generazione degli eventi primari;• il tracking delle particelle attraverso il materiale e i campi magnetici;• i processi fisici che sono alla base delle interazioni tra particelle;• la risposta delle componenti dei rivelatori;• la generazioni dei dati;• l’immagazzinamento di eventi e track;• la visualizzazione dei rivelatori e delle traiettorie delle particelle;• l’analisi dei dati simulati a diversi livelli di accuratezza.

Alla base del GEANT4 c’è un abbondante set di modelli fisici per maneggiare le interazioni chele particelle sviluppano attraverso la materia in un ampio range di energie.

GEANT4 è scritto in C++: non ha un’interfaccia con “command-line” o un’interfaccia grafica perdefinire la struttura geometrica, ma, sostanzialmente, ogni simulazione è un programma compilabilein C++. Sfrutta tecniche avanzate di ingegneria del software: ad esempio, la computazione dello statofinale può essere diviso in modelli alternativi o complementari, a seconda del range di energie, del tipodi particelle e del materiale.

GEANT4 è costituita da 17 categorie, ognuna delle quali è gestita indipendentemente. Il Kernelsi occupa di tutti gli step della simulazione, fornendo una struttura della rappresentazione geometricae dei processi fisici.

Figura 1.29: Diagramma delle classi principali del GEANT4.

Le classi principali del GEANT4 sono rappresentate nel diagramma nella figura 1.29. Il file prin-cipale è HPGe simulation: in esso si possono definire il numero di treads, ossia di eventi generati inparallelo (si noti che più eventi si generano in parallelo, più la simulazione sarà veloce), che dipendedalle capacità del computer utilizzato, e si definiscono le classi principali, quelle che caratterizzanoeffettivamente la simulazione, ossia DetectorConstruction, EventAction, PhysicsList e PrimaryGene-ratorAction. Nel file principale viene anche definito il world volume, ossia il volume che il programmadiscretizza (attraverso il metodo delle differenze finite) e in cui poi va a generare i diversi eventi.

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La classe DetectorConstruction è il file che definisce la geometria del sistema, in questo caso, delrivelatore al silicio: in esso bisogna inserire il nome del file che contiene la struttura del rivelatore equello che contiene l’area attiva, ossia il silicio, in modo tale che il programma possa individuarne ilmateriale e capire dove generare gli eventi.

La classe EventAction si occupa di salvare di dati ottenuti dalla simulazione, quindi contiene icomandi che dicono al programma cosa deve salvare e come, alla fine della simulazione.

Per quanto riguarda la classe PhysicsList, questa definisce la fisica in gioco, dato che contiene iprocessi fisici che avvengono: GEANT4 contiene diversi processi fisici, che possono essere inclusi nellesimulazioni (interazioni elettromagnetiche, nucleari...), che sono scelte in base alle energie in gioco eai fenomeni che ci si aspetta.

Infine, la classe PrimaryGeneratorAction si occupa di generare la sorgente, con la forma che vienedefinita dall’utente, da cui poi saranno emessi gli eventi.

Al file principale HPGe simulation va affiancato un file di input, che contiene il tipo di particelle oradiazioni emesse, i loro livelli energetici, la loro intensità e la loro distribuzione angolare, e contieneanche il numero totale di eventi che vengono generati dalla simulazione.

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Capitolo 2

La costruzione della simulazione

2.1 La simulazione preliminare con uno scintillatore al LaBr3

Per cercare di comprendere quale fosse la forma dell’effetto Compton e dell’effetto fotoelettrico e, quin-di, il codice da utilizzare, per realizzarli, si è realizzata una simulazione preliminare con Mathematicaper studiare lo spettro di determinati elementi, rivelato da uno scintillatore al LaBr3. In questo casospecifico, si è utilizzato come sorgente il 60Co, che decadendo a causa della sua radioattività emettedue raggi γ con energie di 1.172 MeV e 1.332 MeV.

Per il codice del programma si rimanda all’appendice A. Il programma è identico a quello discussonella sezione successiva, riguardante il rivelatore al silicio (si rimanda, in particolare, alla parte relativaai raggi γ). L’unica cosa che cambia, rispetto al rivelatore al silicio, è che il materiale nello scintillatoreè composto e di conseguenza il coefficiente di attenuazione è definito in maniera diversa. Dopo averimportato dal sito NIST (una libreria online in cui è possibile ricavare informazioni relative ai diversielementi o a materiali composti, riguardo alle interazioni che i γ possono sviluppare con questi)le sezioni d’urto per atomo, che un γ a una determinata energia ha di interagire tramite l’effettofotoelettrico, il Compton o la creazione di coppia, sia nel bromo che nel lantanio, si realizzano tretabelle (una per ogni interazione) per ciascun elemento, con due colonne, contententi le energie dei γ ele sezioni d’urto di ogni effetto moltiplicate per la densità dell’elemento associato (nel caso del bromoρ = 3.12g/cm3, mentre per il lantanio ρ = 6.146g/cm3 ).

Successivamente queste tabelle vengono interpolate al terzo ordine, attraverso la funzione Inter-polation, in funzione dell’energia del γ e si definiscono le funzioni, che descrivono i coefficienti diattenuazione nelle varie interazioni: in quest’ultimo passaggio si deve tener conto delle proporzioni trabromo e lantanio nel LaBr3. Una volta trovate le funzioni dei coefficienti di attenuazione, si ricavanole espressioni delle probabilità di ciascuna interazione, definite nelle 2.2.

Un’altra considerazione da fare è che, come si è già detto in precedenza, l’efficienza di fotopiccodegli scintillatori dipende dall’energia dei γ incidenti: dal grafico in figura 1.23 sono stati estrapolatii valori dell’efficienza corrispondenti alle energie dei due γ emessi dal 60Co e nel programma si èutilizzata la media tra i due valori, come efficienza del rivelatore.

La figura 2.1 mostra un confronto tra gli spettri del 60Co ottenuti sperimentalmente (quello in blu)e attraverso la simulazione (quello in rosso).

Confrontando i due spettri si nota una certa congruenza: sia i Compton edge che i picchi del fotoe-lettrico sono ben riprodotti dalla simulazione fatta con Mathematica, cosa che permette di concludereche il programma creato può essere effettivamente utilizzato per prevedere gli spettri energetici deglielementi.

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https://physics.nist.gov/PhysRefData/Xcom/html/xcom1.html

Figura 2.1: Spettro del 60Co: lo spettro blu è quello sperimentale, ottenuto con un numero di eventiiniziali pari a 108 e con la sorgente posta a 10 cm di distanza, mentre quello rosso è lo spettro teorico,ottenuto con la simulazione.

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2.2 La simulazione con il rivelatore al silicio, Si(Li)

Si è realizzata una simulazione con il programma Mathematica, allo scopo di riprodurre lo spettro diuna sorgente, posta a una certa distanza da un rivelatore: in questo particolare caso, si è supposto diavere come sorgente il 207Bi e un rivelatore al Silicio, ma, cambiando i file di input, con quelli di altresorgenti o altri rivelatori il programma funziona lo stesso, dato che la simulazione è stata creata conun approccio generico.

Il 207Bi, isotopo radioattivo del bismuto, decade emettendo raggi γ ed elettroni. I γ interagisconocon il Silicio, dando luogo a effetto Compton, effetto fotoelettrico e creazione di coppia (solo se l’energiadel γ è pari a 1022keV), nel caso dei raggi γ, mentre gli elettroni possono o essere completamenteassorbiti o fare backscattering, uscendo dal rivelatore, dopo aver perso solo parte della loro energia.Nel caso esaminato in questo lavoro, lo spessore del rivelatore è troppo sottile (5 mm), per dare luogoa un fotopicco (date le energie dei γ del 207Bi). Lo spettro acquisito sperimentalmente (figura 2.2)mostra contemporaneamente tutti questi effetti, che dovranno successivamente essere riprodotti dallasimulazione.

Figura 2.2: Spettro sperimentale.

Per ricostruire lo spettro del 207Bi, si è realizzata una simulazione con Mathematica, che riproducegli effetti determinati dai γ e dagli elettroni, nell’interazione con il rivelatore.

Il rivelatore ha forma cilindrica con area di base pari a 500 mm2 e spessore 5 mm (indicato nelprogramma con spes) e la sorgente è posta a d = 10 cm di distanza; si genera un certo numero dieventi iniziali (nel programma è chiamato nev), che serve a simulare le emissioni che provengono dal207Bi. Si possono considerare solo gli eventi che rientrano nell’angolo solido del rivelatore, in quantosoltanto questi vengono mostrati da esso: per farlo si suppone che gli eventi generati vengano sparatitra un angolo 0◦ e un angolo massimo, definito come

θmax = ArcTan

(d

h/2

)(2.1)

2.2.1 Raggi γ

Per i dettagli del codice discusso di seguito si rimanda all’appendice B.

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Si parte dai raggi γ, i quali nel Silicio danno luogo prevalentemente all’effetto fotoelettrico eall’effetto Compton, mentre la creazione di coppia ha una sezione d’urto praticamente trascurabile. Persapere quale probabilità ha un raggio γ a una certa energia di interagire mediante effetto fotoelettrico,effetto Compton o creazione di coppia, nel Silicio, e, quindi, definirne la funzione associata, bastarisalire al coefficiente di attenuazione. Dal sito NIST è possibile risalire alla sezione d’urto per atomo,che un γ, a una certa energia, possiede, sia nel caso di effetto fotoelettrico, sia nel caso di effettoCompton (scattering incoerente), che di creazione di coppia, nel Silicio; questi valori sono misurati incm2/g e per ottenere i coefficienti di attenuazione, di ogni fenomeno, vanno moltiplicati per la densitàdel Silicio (2.33 g/cm3).

Si creano tre tabelle, una per ogni interazione, contenenti nella prima colonna le energie dei γ(in keV ) e nella seconda i coefficienti di attenuazione (in mm−1); per trovare una funzione generale,dipendente dall’energia, si fa un’interpolazione al terzo ordine, attraverso la funzione Interpolation.Siset (tabella 2.1) è un vettore a quattro componenti, in cui sono stati messi i dati scaricati dal sitoNIST: energia dei γ in keV nella prima (siset[[k, 1]]), sezioni d’urto del Compton (siset[[k, 2]]), delfotoelettrico (siset[[k, 3]]) e della creazione di coppia (siset[[k, 4]]).

Energia γ (MeV) Effetto Compton (cm2/g) Effetto fotoelettrico (cm2/g) Pair production (cm2/g)

1.000E-03 1.317E-02 1.567E+03 0.000E+001.500E-03 2.393E-02 5.333E+02 0.000E+001.839E-03 3.081E-02 3.071E+02 0.000E+001.839E-03 3.081E-02 3.191E+03 0.000E+002.000E-03 3.388E-02 2.775E+03 0.000E+003.000E-03 4.962E-02 9.767E+02 0.000E+004.000E-03 6.135E-02 4.514E+02 0.000E+005.000E-03 7.110E-02 2.438E+02 0.000E+006.000E-03 7.983E-02 1.458E+02 0.000E+008.000E-03 9.507E-02 6.379E+01 0.000E+001.000E-02 1.076E-01 3.315E+01 0.000E+001.500E-02 1.289E-01 9.848E+00 0.000E+002.000E-02 1.402E-01 4.089E+00 0.000E+003.000E-02 1.501E-01 1.161E+00 0.000E+004.000E-02 1.534E-01 4.687E-01 0.000E+005.000E-02 1.538E-01 2.307E-01 0.000E+006.000E-02 1.526E-01 1.288E-01 0.000E+008.000E-02 1.483E-01 5.120E-02 0.000E+001.000E-01 1.432E-01 2.498E-02 0.000E+001.500E-01 1.309E-01 6.806E-03 0.000E+002.000E-01 1.207E-01 2.736E-03 0.000E+003.000E-01 1.055E-01 7.882E-04 0.000E+004.000E-01 9.475E-02 3.409E-04 0.000E+005.000E-01 8.663E-02 1.849E-04 0.000E+006.000E-01 8.019E-02 1.156E-04 0.000E+008.000E-01 7.050E-02 5.854E-05 0.000E+001.000E+00 6.340E-02 3.639E-05 0.000E+001.022E+00 6.274E-02 3.433E-05 0.000E+001.250E+00 5.671E-02 2.326E-05 3.521E-051.500E+00 5.155E-02 1.684E-05 1.912E-042.000E+00 4.400E-02 1.050E-05 7.533E-042.044E+00 4.346E-02 1.016E-05 8.118E-043.000E+00 3.461E-02 5.800E-06 2.139E-034.000E+00 2.888E-02 3.952E-06 3.456E-035.000E+00 2.494E-02 2.983E-06 4.629E-03

Tabella 2.1: Tabella Siset.

Dalle funzioni dei coefficienti di attenuazione, si ottengono le espressioni delle probabilità in funzio-ne dell’energia dei γ e della distanza percorsa all’interno del rivelatore, per ciascuna delle tre interazioni

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https://physics.nist.gov/PhysRefData/Xcom/html/xcom1.htmlhttps://physics.nist.gov/PhysRefData/Xcom/html/xcom1.html

(rispettivamente effetto Compton, effetto fotoelettrico e pair pr

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