UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA

FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

CORSO DI STUDI IN FISICA

DISPENSE DEL CORSO DI

FUNZIONI DI GREEN

Carlo Maria BECCHI

Dipartimento di Fisica, Universita di Genova,

via Dodecaneso 33, 16146 Genova

1

Indice

1 Introduzione 31.1 Reversibilita microscopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Teoria della Risposta Lineare 92.1 La risposta statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Calcolo di una funzione spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Le fluttuazioni termiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 La risposta dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Relazioni di dispersione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6 Teorema Fluttuazione-Dissipazione . . . . . . . . . . . . . . . 272.7 La risposta elettrica in un plasma rarefatto . . . . . . . . . . . 302.8 Calcolo diretto di una Funzione di Correlazione . . . . . . . . 342.9 Sviluppo perturbativo dei correlatori . . . . . . . . . . . . . . 382.10 Funzioni di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.11 Il modello di Onsager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

A L’equazione di Navier-Stokes e le fluttuazioni di densita inun gas 51

2

Capitolo 1

Introduzione

Le funzioni di Green sono uno strumento di applicazione estremamente ge-nerale della Matematica e della Fisica. Il loro impiego va dalle equazionialle derivate parziali, alla teoria dello scattering relativistico, alla teoria dellarisposta dei materiali alle azioni esterne.

Le presenti note vogliono tracciare la linea di applicazione del metododelle funzioni di Green allo studio della risposta dei sistemi materiali alleazioni esterne in regime lineare.

Il quadro generale e il seguente. E dato un sistema che in generale hainfiniti gradi di liberta e si trova all’equilibrio termico (ed eventualmentechimico). Lo stato del sistema e descritto dai valori medi delle osservabili xie delle loro funzioni. Alle osservabili xi sono associate forze generalizzate fi,da cui l’Hamiltoniano dipende secondo la formula:

H = H0 −∑i

xifi . (1.0.1)

E opportuno spiegare l’origine del segno meno in questa formula. Il casoelettrostatico da un quadro chiaro della situazione. Infatti in elettrostatica siha H = H0 +

∑i qiV (~ri) dove qi e ~ri sono carica e posizione della particella i-

esima. D’altra parte il lavoro infinitesimo fatto dal campo elettrico, cioe dalleforze esterne, e dL =

∑i qid~ri · ~E(~ri) = −d(

∑i qiV (~ri)) se si pone

∑i qiV (~ri) =

0 all’equilibrio si conclude che al primo ordine H = H0 −∑i qid~ri · ~E(~ri) che

corrisponde alla espressione in Eq.(1.0.1).L’insieme delle xi va pensato come base dello spazio lineare delle osserva-

bili locali del sistema e le forze generalizzate come i coefficienti nello sviluppodi una perturbazione rispetto alla base. Ci occuperemo di due situazioni di-

3

stinte, quella statica in cui la perturbazione e quindi le forze non dipendonodal tempo, e quella dinamica in cui le forze dipendono dal tempo. In questocaso assumeremo una dipendenza continua, anzi, infinitamente derivabile,delle fi(t) che si annullano piu velocemente di qualsiasi potenza inversa agrandi tempi.

Sono esempi significativi delle osservabili xi le componenti di Fourier delledensita delle particelle di tipo α presenti nel sistema. Quantizzando il sistemastesso in un volume Ω con condizioni al contorno periodiche le componentidi Fourier delle densita si scrivono in seconda quantizzazione come 1:

ρα(~k) =∑~p

a†~p+~k,α

a~p,α , (1.0.2)

Altri esempi di osservabili locali sono le componenti delle densita di corrente:

~jα(~k) =h

2mα

∑~p

(2~p+ ~k)a†~p+~k,α

a~p,α . (1.0.3)

I due esempi sono solo i piu semplici possibili. Oltre alle densita di particellavanno di norma considerate le densita di spin che sono del tipo:

ρ(i)(~k) =∑~p,σ,τ

S(i)σ,τa

†~p+~k,σ

a~p,τ , (1.0.4)

dove gli indici σ e τ si riferiscono agli stati di spin delle particelle e la ma-trice S(i) corrisponde alla componente i-esima dello spin. Evidentementeanche le componenti delle densita di spin, come quelle di corrente, noncommutano fra loro e quindi le osservabili xi formano un algebra localenon commutativa; le osservabili locali relative a punti diversi commuta-no, ma nello stesso punto non commutano. La localita dell’algebra appa-re anche al livello delle trasformate di Fourier tramite relazioni del tipo:[ρ(i)(~k), ρ(j)(~q)] = if (i,j,k)ρ(k)(~k + ~q) .

Considerando invece le forze generalizzate, dovrebbe apparire chiaro dagliesempi presentati che si tratta piuttosto di campi di forze o di potenziali; nelcaso della densita di carica elettrica la corrispondente forza generalizzata e ilpotenziale elettrico e, nel caso della densita di corrente, il potenziale vettore,mentre per le densita di spin si trattera di campi magnetici.

Qui e importante evidenziare un punto centrale della nostra analisi. An-che se ci limitiamo al regime lineare e si usa, come vedremo, la teoria delle

1si vedano gli Appunti di Fisica Teorica, cap 4.3, pg. 50.

4

perturbazioni, questo non vuol dire che la reazione del mezzo sia cosı deboleda non influenzare i campi di forza esterni. Per chiarire questo punto basteraconsiderare il caso della densita di carica la cui forza generalizzata e, come sie detto, il potenziale elettrico. Va peraltro precisato che si tratta del poten-ziale microscopico generato dalle cariche esterne al nostro sistema e da quelleindotte, le quali saranno l’oggetto dei nostri calcoli. Il caso piu noto e quellodi un plasma in condizioni statiche a temperatura T . La presenza di una va-riazione del potenziale elettrico microscopico δV (~r) influenza la densita dellesingole cariche secondo la legge di Boltzmann:

ρα(~r) ∼ ραe−qαδV (~r)

kT → δρα(~r) ∼ −ραqαδV (~r)

kT, (1.0.5)

dove ρα e la densita degli ioni di tipo α all’equilibrio. Quindi si ha unadensita di carica risultante indotta dal potenziale microscopico:

δρ(~r) '∑α

−ραq2α

δV (~r)

kT. (1.0.6)

In questo caso, data la densita delle cariche esterne δρe(~r), l’equazione diLaplace diventa:

∇2δV (~r) = − 1

ε0[δρe(~r)−

∑α

ραq2α

δV (~r)

kT] , (1.0.7)

e quindi si ha

[−∇2 +∑α

ραq2α

kTε0]δV (~r) ≡ [−∇2 + 1/D2]δV (~r) =

δρe(~r)

ε0, (1.0.8)

la cui soluzione regolare all’infinito e

dV (~r) =∫d~r′

δρe(~r′)

4πε0|~r − ~r′|e−|~r−~r

′|/D . (1.0.9)

Qui appare in modo evidente la capacita del plasma di schermare le caricheesterne.

L’esempio ci mostra chiaramente nel caso piu semplice la necessita didistinguere sistematicamene il campo microscopico da quello esterno. Na-turalmente si potrebbe andare avanti con questa distinzione considerando

5

al limite il campo microscopico quantizzato come un componente del siste-ma dinamico in studio. Normalmente questo non e necessario a causa dellagrandezza della velocita della luce.

Un altro ingrediente importante della nostra analisi e costituito dalle sim-metrie della dinamica del nostro sistema. Si tratta in primo luogo dell’even-tuale invarianza per traslazioni nello spazio che viene trattata, passando comesopra, alle trasformate di Fourier delle densita. Altre simmetrie importantisono l’invarianza per rotazioni, e le simmetrie per riflessione come quella diparita (~r → −~r) ed eventualmente, nel caso di sistemi non magnetizzati, lariflessione del tempo.

Quest’ultima simmetria merita qualche commento tecnico. Infatti la ri-flessione del tempo in meccanica quantistica corrisponde a una trasformazio-ne che non e unitaria, come di norma accade, bensı anti-unitaria.

1.1 Reversibilita microscopica

Infatti se, dato un sistema con Hamiltoniano H indipendente dal tempo, lostato iniziale |I > evolve in |F > passando da − t

2a t

2, cioe:

|I >→ |F >= eiHt|I > , (1.1.10)

nella teoria riflessa il T-riflesso |FR > deve evolvere in |IR >:

|FR >→ |IR >= eiHRt|FR > . (1.1.11)

Se la riflessione del tempo corrispondesse alla trasformazione unitaria UT ,cioe |SR >= UT |S > e la teoria fosse microscopicamente reversibile, cioeHR = U †THUT = H , si avrebbe, applicando UT ai due membri di (1.1.10),

|IR >→ |FR >= eiHt|IR > , (1.1.12)

che e incompatibile con (1.1.11).La soluzione del paradosso sta nella scelta di una trasformazione anti-

unitaria per cui l’azione sugli stati non soddisfa < A|B >=< AR|BR >, mae tale che:

< A|B >=< BR|AR > . (1.1.13)

Per quel che riguarda l’azione corrispondente sugli operatori si hanno duepossibili scelte equivalenti. Nella prima si ha:

< AR|O BR >=< A|OR B >∗=< OR B| A >=< (O BR)R | A > , (1.1.14)

6

dove l’ultima eguaglianza segue da (1.1.13). Si noti che le due definizionicoincidono nel casi di operatori Hermitiani. Dalla (1.1.14) si deduce, perqualunque numero complesso a:

(aO)R = a∗OR , OR |B〉 = (O |BR〉)R , (1.1.15)

e quindi, per ogni coppia di operatori, P e Q, si ha:

(PQ|A >R)R = (PQ)R |A >= PR (Q|A >R)R = PRQR|A > (1.1.16)

da cui segue:(PQ)R = PRQR , (aQ)R = a∗QR . (1.1.17)

Con la seconda scelta si ha:

< AR|O BR >=< B|OR A >=< O†R B| A >=< (O BR)R | A > , (1.1.18)

dove l’ultima eguaglianza segue da (1.1.13). Dalla (1.1.18) si deduce, perqualunque numero complesso a:

(aO)R = aOR , O†R |B〉 = (O |BR〉)R , (1.1.19)

e quindi, per ogni coppia di operatori, P e Q, si ha:

(PQ|A >R)R = (PQ)†R |A >= P †R (Q|A >R)R = P †RQ†R|A > (1.1.20)

da cui segue:(PQ)R = QRPR . (1.1.21)

Nella rappresentazione di Schrodinger la riflessione del tempo trasforma lafunzione d’onda nella sua complessa coniugata, questo corrisponde alla primascelta, in seconda quantizzazione invece e conveniente assumere la secondascelta ponendo per l’operatore di distruzione sullo stato di impulso h~p eelicita λ:

(a~p,λ)R = ±a†−~p,λ . (1.1.22)

Conseguentemente per la densita di particella

(ρα(~r))R = (1

Ω

∑~p,~k

ei~k·~ra†

~p+~k,αa~p,α)R =

1

Ω

∑~p,~k

ei~k·~ra†−~p,αa−~p−~k,α = ρα(~r) ,

(1.1.23)

7

mentre la corrispondente densita di corrente cambia segno:

(~jα(~r))R = (h

2mΩ

∑~p,~k

(2~p+ ~k)ei~k·~ra†

~p+~k,αa~p,α)R

=h

2mΩ

∑~p,~k

ei~k·~r(2~p+ ~k)a†−~p,αa−~p−~k,α = −~jα(~r) . (1.1.24)

Un po’ piu complessa di quella sopra assegnata e la legge di trasformazioneper gli elettroni se si passa dall’elicita alla terza componente dello spin. Infattise indichiamo con a~p,σ l’operatore di distruzione sullo stato con impulso ~p eterza componente dello spin σ si pone:

(a~p,σ)R = ±∑σ′εσ.σ′a

†−~p,σ′ ≡ ±(εa†−~p)σ , (1.1.25)

dove la matrice ε e antisimmetrica reale:

ε =(

0 −11 0

). (1.1.26)

Usando questa legge di riflessione si ha per la componente i della trasformatadi Fourier della densita di spin:

S(i)~q ≡

∑~p,σ,σ′

Σ(i)σ,σ′a

†~p+~q,σa

†~p,σ′ , (1.1.27)

dove le matrici Σ(i) sono proporzionali alle matrici di Pauli (hσ(i)/2):

(S(i)~q )R =

∑~p,σ,σ′

Σ(i)σ,σ′(εa

†−~p)σ′(εa−~p−~q)σ =

∑~p,σ,σ′

(εT (Σ(i))T ε)σ,σ′a†~p+~q,σa~p,σ′ = −S(i)

~q ,

(1.1.28)dove si e usata la relazione; εT (Σ(i))T ε = −Σ(i) facilmente verificabile in mododiretto.

Nel seguito faremo spesso riferimento della possibile reversibilita micro-scopica.

8

Capitolo 2

Teoria della Risposta Lineare

La teoria della risposta lineare riguarda la reazione di un sistema all’equilibriotermico a una variazione delle forze esterne che per semplicita cosidereremoinizialmente nulle. Tale reazione verra studiata calcolando le variazioni deivalori medi delle osservabili. Sempre per ragioni di semplicita formale consi-dereremo nulli i valori medi delle osservabili all’equilibrio in assenza di forzeesterne. Evidentemente questa scelta non incide per nulla sulla generalitadella trattazione dato che stiamo semplicemente ridefinendo le osservabilisottraendo l’eventuale loro valor medio all’equilibrio xi → xi − xi. La va-riazione corrispondente dei termini di forza dell’Hamiltoniano corrisponde atermini commutanti (C-numeri) che non contribuiscono alla matrice densita.

Va peraltro notato che in questo modo le osservabili xi vengono a di-pendere dalla temperatura perche il valor medio che abbiamo sottratto nedipende. In particolare la derivata ∂xi/(∂β) e un c-numero che si calcolarifacendosi al valor medio all’equilibrio dell’osservabile originale xi|O e vale−∂/(∂β)xi|O .

Studieremo diverse possibili situazioni. In primo luogo quella statica incui le forze esterne sono indipendenti dal tempo e alterano l’equilibrio ter-modinamico del sistema variandone la matrice densita. Peraltro cio potraavvenire in modo isotermo, oppure adiabatico. Nel caso adiabatico si inten-de che si passa, tramite l’accensione lentissima delle forze, da una situazionedi equilibrio a un’altra senza scambio di calore con l’esterno. Nel modo adia-batico la variazione dell’energia media del sistema coincide col lavoro fattodalle forze esterne.

La situazione piu importante e pero quella dinamica in cui le forze varianonel tempo e inducono uno spostamento dello stato del sistema dall’equilibrio

9

in cui si trovava al tempo iniziale, cioe a t→ −∞.In ogni caso ci limiteremo a considerare il caso lineare in cui le varia-

zioni delle osservabili sono proporzionali alle forze applicate. Evidentementese la deformazione del sistema e lineare essa puo essere trattata in regimeperturbativo al primo ordine rispetto ai termini di forza in Eq.(1.0.1).

I nostri calcoli saranno basati sulle relazione seguenti di validita generale;dati due operatori A e B si ha:

exp[A+B] = exp[A] +∞∑n=1

∫ 1

0

n∏i=0

dτiδ(1−n∑j=0

τj) exp[Aτ0]n∏l=1

(BeAτl)

≡ exp[A]T expo[∫ 1

0dτe−AτBeAτ ] (2.0.1)

= exp[A]∞∑n=0

1

n!

∫ 1

0dτ1 · ·dτn(e−Aτ1BeAτ1 · ·e−AτnBeAτn)[1,0]

Questa si dimostra studiando la famiglia a un parametro di operatori U(t) ≡exp[(A + B)t] che soddisfano l’equazione di evoluzione d

dtU(t) = (A +

B)U(t) da integrarsi nella forma U(t) = exp[At]U(t). Sostituendo nell’e-quazione differenziale la decomposizione scelta si trova l’equazione d

dtU(t) =

exp[−At]B exp[At]U(t), che viene facilmente integrata con condizione inizia-le U(0) = 1 e porta alla Eq.(2.0.2). La seconda e la terza formula esprimonoil fatto che, se gli e−AτBeAτ commutassero per τ differenti, il secondo fatto-re sarebbe l’esponenziale dell’ integrale, in generale invece questo fattore vascritto come lo sviluppo dell’esponenziale in serie di integrali multipli nei cuiintegrandi i fattori e−AτBeAτ vanno riordinati nel senso dei τ decrescenti dasinistra a destra, cioe:

T expo[∫ 1

0dτe−AτBeAτ ] = lim

n→∞e−ABeAe−A(n−1)/nBeA(n−1)/n · · e−A/nBeA/n

(2.0.2)Si noti ancora che se il commutatore [A,B] commuta conA e conB, e−AτBeAτ =B+τ [B,A] e Eq.(2.0.2) porta direttamente alla ben nota formula di Campbell-Hausdorff.

Al primo ordine in B l’Eq.(2.0.2) da:

exp[A+B] ' exp[A][1 +∫ 1

0dτe−AτBeAτ ] . (2.0.3)

La formula Eq.(2.0.2) si generalizza banalmente al caso in cui dell’equa-

10

zione di evoluzione e

d

dtU(t, t0) = (A+B(t))U(t, t0) , (2.0.4)

con la condizione iniziale U(t0, t0) = 1. Questo e il caso della teoria delleperturbazioni dipendenti dal tempo 1. La soluzione dell’ Eq.(2.0.4) e datada:

U(t, t0) = exp[A(t− t0)] +∞∑n=1

∫ t−t0

0

n∏i=0

dτiδ(t− t0 −n∑j=0

τj) exp[Aτ0]

n∏l=1

(B(τl + t0)eAτl)

≡ exp[A(t− t0)] exp[∫ t−t0

0dτe−AτB(τ + t0)eAτ ]|ord . (2.0.5)

Noi utilizzeremo solamente i termini del primo ordine in B delle formuleprecedenti. In particolare al posto dell’Eq.(2.0.5) useremo:

U(t, t0) ' exp[A(t− t0)][1 +∫ t−t0

0dτe−AτB(τ + t0)eAτ ] . (2.0.6)

Quindi nel calcolo della risposta statica useremo la correzione alla matricedensita canonica ρ = exp[−βH]/Tr(exp[−βH]) ≡ exp[−βH]/Z al primoordine nei termini di forza V ≡ −∑i xifi , . Identificando A con H0 e B conV e ponendo ρ0 = exp[−βH0]/Z0, troviamo da Eq.(2.0.3):

ρ = ρ0 +1

Z0

∫ β

0dτ exp[(τ − β)H0]

∑i

xifi exp[−τH0] (2.0.7)

che risulta correttamente normalizzata (Trρ = 1) perche abbiamo assuntoTr(ρ0xi) ≡ 0 .

Nel calcolo della risposta dinamica useremo la correzione della matricedensita al primo ordine nei termini di forza, che ora dipendono dal tempo. Peridentificare questa matrice densita, che al tempo iniziale t = t0 → −∞ coin-cide con ρ0, consideriamo l’operatore di evoluzione temporale U(t) corrispon-dente all’Hamiltoniano (1.0.1) che, in base alla Eq.(2.0.6), e approssimato,

1si vedano gli Appunti di Fisica Teorica, cap 4.6, pg. 91.

11

sempre al primo ordine nei termini di forza, da

U(t, t0) ' exp[−iH0

h(t− t0)]

[1 +

i

h

∫ t

t0dτ∑i

fi(τ)

exp[iH0

h(τ − t0)]xi exp[

−iH0

h(τ − t0)]

]= exp[

−iH0

ht]

[1 +

i

h

∫ t

t0dτ∑i

fi(τ)

exp[iH0

hτ ][xi exp[

−iH0

hτ ]] exp[

iH0

ht0]]. (2.0.8)

Useremo quindi la matrice densita ρ(t) ≡ U(t)ρ0U†(t) che, al primo ordine

nei termini di forza, e data da:

12

ρ(t) ' 1

Z0

exp[−βH0] +i

hZ0

∫ t

−∞dτ∑i

fi(τ)

exp[iH0

h(τ − t)][xi, exp[−βH0]] exp[

−iH0

h(τ − t)]

≡ ρ0 + δρ(t) . (2.0.9)

Si noti che la traccia di ρ(t) vale 1 perche la traccia di un commutatore esempre nulla.

2.1 La risposta statica

Come si e detto la risposta statica e descritta dai valori medi delle osservabilial primo ordine nelle forze esterne, in base alla Eq.(2.0.7) questi sono datida:

Tr(ρxi) =1

Z0

∑j

Tr(xi

∫ β

0dτ exp[(τ − β)H0]xj exp[−τH0]) fj

≡∑j

χi,j fj . (2.1.10)

La matrice χ e detta ammettenza ed e evidentemente data dalla matrice:

χi,j =1

Z0

∫ β

0dτ∑j

Tr(exp[−τH0]xi exp[(τ − β)H0]xj) , (2.1.11)

che e simmetrica come si vede usando la ciclicita della traccia e cambiandola variabile di integrazione da τ a λ = β − τ ·

L’ammettenza puo essere calcolata in termini della densita spettrale defi-nita da:

ji,j(E,E′) ≡ Tr(xiδ(E −H)xjδ(E

′ −H)) . (2.1.12)

Il significato di questa formula viene chiarito se, per esempio, assumiamoche l’Hamiltoniano abbia spettro discreto En e che valga la decomposizionespettrale 2:

H =∑n,α

En|n, α >< n, α| , (2.1.13)

2si vedano gli Appunti di Fisica Teorica, cap 3, pg. 32.

13

infatti in questo caso δ(E −H) =∑n,α δ(E − En)|n, α >< n, α| e la densita

spettrale diventa:

ji,j(E,E′) =

∑n,m,α,β

< m, β|xi|n, α > δ(E−En) < n, α|xj|m,β > δ(E ′−Em) ,

(2.1.14)di cui eventualmente sara facile calcolare il limite allo spettro continuo. Inogni caso e chiaro che la matrice j e positiva nel senso normale del termi-ne cioe per qualunque scelta dei numeri complessi ψi per cui l’espressione∑i,j ψ

∗i ji,j(E,E

′)ψj sia finita, si ha:∑i,j

ψ∗i ji,j(E,E′)ψj ≥ 0 . (2.1.15)

Inoltre e ovvio che l’espressione non puo essere nulla per qualunque sceltadelle ψi .

In base all’Hermiticita delle osservabili e alla ciclicita della traccia siconclude facilmente che

ji,j(E,E′) = jj,i(E

′, E) = j∗j,i(E,E′) . (2.1.16)

In particolare la densita spettrale e una matrice Hermitiana positiva, essa haautovalori reali e non negativi.

Se il sistema e microscopicamante reversibile, cioe l’Hamiltoniana e inva-riante per riflessioni del tempo (H = HR), scegliendo in modo conveniente labase xi delle osservabili, si puo sempre ottenere (xi)R = ηixi con ηi = ±1 .Per esempio abbiano gia visto che per le densita di particella η = 1, mentreper le densita di corrente η = −1 (Per quelle di spin il segno si rovescia) .Riferendoci a questa scelta della base delle osservabili troviamo che la densitaspettrale soddisfa:

ji,j(E,E′) = Tr(δ(E ′ −H)(xj)Rδ(E −H)(xi)R) = ηiηjjj,i(E,E

′) . (2.1.17)

Questo vuol dire che gli elementi della densita spettrale fra due densita diparticella o fra due densita di corrente sono reali e simmetrici, mentre quellimisti sono immaginari e anti-simmetrici.

In generale, in modo del tutto indipendente dalla micro-reversibilita,possiamo decomporre la densita spettrale secondo:

ji,j(E,E′) =

1

2[ji,j(E,E

′) + jj,i(E,E′)] +

1

2[ji,j(E,E

′)− jj,i(E,E ′)]

≡ j+,i,j(E,E′) + ij−,i,j(E,E

′) . (2.1.18)

14

Entrambe le j±,i,j(E,E′) sono reali, ma, mentre j+,i,j(E,E

′) e invariante perlo scambio degli indici e, separatamente, di E con E ′, j−,i,j(E,E

′) cambiasegno. Nel caso reversibile j+ e j− si decompongono in blocchi complementarinel senso che i blocchi nulli dell’una corrispondono a quelli non nulli dell’altra.

In svariate occasioni sara utile basare i nostri calcoli sulla distribuzio-ne Gran-Canonica, invece che su quella Canonica corrispondente alla ma-trice densita ρ0 introdotta nel capitolo precedente. In queste situazioni siintrodurra la densita spettrale gran-canonica definita da:

j(gc)i,j (E,E ′) ≡

∞∑N=0

exp(βµN)Tr(xiδ(E −HN)xjδ(E′ −HN)) , (2.1.19)

dove µ e il potenziale chimico e HN l’Hamiltoniano del sistema con N par-ticelle. Ove necessario l’espressione data si generalizza facilmente al caso diparticelle di specie diverse. Dovrebbe essere evidente che le proprieta espressenelle Eq.(2.1.16) ed eventualmente Eq.(2.1.17) valgono anche per le densitaspettrali gran-canoniche.

Data la densita spettrale e assumendo che lo spettro di H sia contenutodal semiasse positivo, si vede subito che l’ammettenza viene espressa come:

χ(s)i,j =

1

Z0

∫ ∞0

dEdE ′∫ β

0dτji,j(E,E

′)

Z0

exp[−βE − τ(E ′ − E)]

=∫ ∞

0dEe−βE

∫ 2E

−2Ed∆e(τ−β/2)∆ ji,j(E + ∆/2, E −∆/2)

Z0

∫ β

0dτe(τ−β/2)∆

=∫ ∞−∞

d∆2 sinh(β∆/2)

∆

∫ ∞|∆/2|

dEe−βE ji,j(E + ∆/2, E −∆/2)

Z0

=∫ ∞−∞

d∆2 sinh(β∆/2)

∆Q+,i,j(β,∆) , (2.1.20)

dove abbiamo introdotto la funzione spettrale:

Q,i,j(β,∆) ≡∫ ∞|∆/2|

dEe−βE ji,j(E + ∆/2, E −∆/2)

Z0

=∫ ∞|∆/2|

dEe−βE [j+i,j + ij−,i,j](E + ∆/2, E −∆/2)

Z0

≡ Q+(β,∆) + iQ−(β,∆) , (2.1.21)

e abbiamo utilizzato le proprieta di simmetria delle j± descritte sopra. Dallestesse proprieta segue che Q+,i,j(β,∆) e una matrice simmetrica e pari in ∆

15

mentre Q−,i,j(β,∆) e anti-simmetrica e dispari. La matrice Q(β,∆) e Her-mitiana, positiva e soddisfa la relazione Q(β,−∆) = Q∗(β,∆) = QT (β,∆) ,cioe:

Qi,j(β,−∆) = Q∗i,j(β,∆) = Qj, i(β,∆) . (2.1.22)

Si noti che dalla positivita della matrice Q segue quella di χ(s) , questoconferma la stabilita dell’equilibrio.

In condizioni di reversibilita microscopica le matrici Q± si decompongonoin blocchi distinti in cui solo una delle due matrici e non nulla. In terminidi Q questo si puo esprimere in modo grafico considerando, per esempio, lastruttura della matrice nei blocchi corrispondenti ai sotto-spazi generati dal-le densita di presenza delle particelle, o di carica, o ancora dalle densita dicorrente di spin, da quelli generati dalle densita di corrente di carica e par-ticella o dalle densita di spin. Questo equivale a identificare uno spazio delleosservabili formato da due sottospazi il cui elemento generico ha componenti(ξ+(~r), ξ−j(~r)). In questa situazione la matrice Q appare come:

Q =(

Q+ iQ−−iQT

− Q+

), (2.1.23)

dove, come appena detto, Q± sono matrici reali, una simmetrica e l’altraanti-simmetrica. Inoltre i blocchi Q+ sono matrici positive.

La principale ragione di perdita della reversibilita microscopica e la pre-senza all’equilibrio di un campo magnetico e quindi di una magnetizzazionenon nulla, infatti un campo magnetico e la corrispondente magnetizzazio-ne cambiano segno per riflessione del tempo, come segue ovviamente dallaequazione di Ampere. Quindi se h e il campo magnetico all’equilibrio si ha(H0(h))R = H0(−h) 6= H0(h). Le densita spettrali dipendono da h e la de-composizione in blocchi viene a mancare. Pero e possibile separare in Q laparte pari in h dalla parte dispari; per ciascuna delle due parti si ritrova ladecomposizione in blocchi, ma in modo opposto, cioe la Q+ dispari in h sicomporta come la Q− reversibile.

Una variante interessante della risposta statica e quella adiabatica chee caratterizzata dal vincolo di assenza di scambi di calore nell’inserimentolentissimo delle forze esterne. Questo implica che l’introduzione delle forzeesterne induce un cambiamento di temperatura. Il corrispondente cambia-mento dell’energia media e quindi eguale al lavoro eseguito sul sistema. ( Siricordi il caso del gas perfetto CV dT + PdV = 0.)

16

Variando la temperatura di δβ, che si assume lineare in f , la matricedensita diventa

ρa =exp[−(β + δβ)(H0 −

∑i fixi)]

Tr(exp[−(β + δβ)(H0 −∑i fixi)])

' ρ0

[1− δβ(H0 − H0) +

∫ β

0dτ exp[τH0]

∑i

xifi exp[−τH0]

],

(2.1.24)

dove abbiamo indicato con O il valor medio iniziale O = Tr(ρ0O) e ci siamolimitati a considerare termini al primo ordine nelle forze esterne. Dato cheil lavoro delle forze e quadratico nelle forze stesse, perche le deformazionisono proporzionali alle forze, la condizione di adiabaticita equivale a quelladi identita dei valori medi Tr(ρa(H0 −

∑i fixi)) e H0 a meno di termini

quadratici in f . Si ha peraltro:

Tr(ρa(H0 −∑i

fixi)) ' H0 − δβTr(ρ0(H0 − H0)2)

+Tr(ρ0H0

∫ β

0dτ exp[τH0]

∑i

xifi exp[−τH0]) = H0

−δβTr(ρ0(H0 − H0)2) + βTr(ρ0H0

∑i

xifi) = H0

−δβTr(ρ0(H0 − H0)2) + βTr(ρ0(H0 − H0)∑i

xifi) , (2.1.25)

dato che xi ≡ 0. Quindi la condizione di adiabaticita risulta, al primo ordinein f :

δβ =β

Tr(ρ0(H0 − H0)2)Tr(ρ0(H0 − H0)

∑i

xifi) , (2.1.26)

e l’ammettenza adiabatica si calcola da:

Tr(ρaxi) =∑j

[χij − β

Tr(ρ0(H0 − H0)xi)Tr(ρ0(H0 − H0)xj)

Tr(ρ0(H0 − H0)2)

]fj

≡∑j

χ(ad)ij fj . (2.1.27)

Ricordando il commento iniziale sui valori medi delle osservabili e sul fattoche questo introduce una dipendenza delle xi dalla temperatura possiamo

17

riscrivere la suscettivita adiabatica in forma piu semplice. Per questo indi-chiamo con xi le osservabili non sottratte, cioe xi = xi − ¯(xi) dove abbiamousato la barra per indicare i valori medi all’equilibrio termico. Abbiamoovviamente:

∂xi∂β

= −∂β ¯(xi) = −∂βTr(e−βH0xi)

Tr(e−βH0)=Tr(e−βH0H0xi)

Tr(e−βH0)

−Tr(e−βH0xi)Tr(e

−βH0H0)

Tr(e−βH0)2= ¯(H0xi)− H0

¯(xi)

= Tr(ρ0(H0 − H0)xi) = −kT 2∂Txi . (2.1.28)

Inoltre

−∂βU ≡ kT 2∂TU ≡ kT 2C = −∂βTr(e−βH0H0)

Tr(e−βH0)=Tr(e−βH0H2

0 )

Tr(e−βH0)

−(Tr(e−βH0H0)

Tr(e−βH0))2 = Tr(ρ0(H0 − H0)2) . (2.1.29)

Di conseguenza otteniamo la forma piu semplice:

χ(ad)ij = χij −

T

C

∂xi∂T

∂xj∂T

. (2.1.30)

L’ovvia applicazione di questa equazione e al gas perfetto con riferimento allavariabile densita −(N/V 2)∆V = ∆D. L’Eq. (2.1.26) e: δβ = −δT/(kT 2) =−V δP/(kT 2Cp), in condizioni isoterme lineari ∆D = ∆P/(kT ), in condizioniadiabatiche invece l’Eq.(2.1.30) porta al risultato ben noto:

dD = [1

kT− N

CPT]dP =

1

kT[1− k

cP]dP =

cVcP

dP

kT≡ γ

DdP

P. (2.1.31)

2.2 Calcolo di una funzione spettrale

E possibile fornire un esempio semplice del calcolo di una funzione spettrale.Consideriamo un gas perfetto bosonico quantizzato in un volume Ω con con-dizioni al contorno periodiche. Le componenti di Fourier ρ(~k) (con ~k 6= 0)della corrispondente densita di particella sono date in Eq.(1.0.2). Assumendola distribuzione Gran-Canonica e indicando con

HN ≡∑~P

ε~PN~P , (2.2.32)

18

l’Hamiltoniano di N corpi non interagenti, calcoliamo la densita spettrale:

j(gc)~k,~q

(E,E ′) =∑N

eβµNTr(ρ(~k)δ(E −HN)ρ(~q)δ(E ′ −HN))

=∑N~p

∑N ′

~p′eβµ

∑~p′ N~p′δ(E −

∑~P

ε~PN~P )δ(E ′ −∑~P ′

ε~P ′N′~P ′

)

〈N ′~p|ρ(~k)|N~p〉〈N~p|ρ(~q)|N ′~p〉 . (2.2.33)

Gli elementi di matrice delle componenti di Fourier delle densita sono datida 3:

〈N~p|ρ(~q)|N ′~p〉 =∑~r

√N ′~rN~r+~q

∏~s

δN~s,N ′~s−δ~s,~r+δ~s,~r+~q , (2.2.34)

e〈N ′~p|ρ(~k)|N~p〉 =

∑~t

√N~tN

′~t+~k

∏~s

δN ′~s,N~s−δ~s,~t+δ~s,~t+~k . (2.2.35)

Da cui si vede che il prodotto non e nullo solo se ~k+~q = 0, ovvia conseguenzadella invarianza per traslazioni, e ~t = ~r + ~q . Quindi, tornando alla densitaspettrale, troviamo:

j(gc)~k,~q

(E,E ′) = δ~k,−~q∑N~p

eβµ∑

~p′ N~p′δ(E −∑~P

ε~PN~P )

∑~r

δ(E ′ − E − ε~r + ε~r+~q)(N~r + 1)N~r+~q . (2.2.36)

Se ora, indicando con Z(gc) la funzione di partizione gran-canonica, conside-riamo la densita spettrale:

Q~k,~q(β,∆) =∫ ∞|∆|/2

dE e−βE

Z(gc)j

(gc)~k,~q

(E + ∆/2, E −∆/2) , (2.2.37)

dobbiamo distinguere il caso ∆ > 0 da quello opposto.Nel primo caso, sostituendo l’espressione della densita spettrale, si ha:

Q~k,~q(β,∆) = δ~k,−~q∑N~p

∑~r

δ(∆ + ε~r − ε~r+~q)(N~r + 1)N~r+~qeβµ∑

~p′ N~p′

∫ ∞∆/2

dE e−βE

Z(gc)δ(E + ∆/2−

∑~P

ε~PN~P )

3si vedano gli Appunti di Fisica Teorica, cap 4.3, pg. 47.

19

= δ~k,−~qeβ∆2

∑~r

δ(∆ + ε~r − ε~r+~q)∑N~p

(N~r + 1)N~r+~q

Θ(∑~P

ε~PN~P −∆)e−β

∑~p′ N~p′ (ε~P−µ)

Z(gc), (2.2.38)

mentre nel secondo si ha:

Q~k,~q(β,∆) = δ~k,−~qeβ∆2

∑~r

δ(∆ + ε~r − ε~r+~q)∑N~p

(N~r + 1)N~r+~q

e−β∑

~p′ N~p′ (ε~P−µ)

Z(gc)≡ δ~k,−~qe

β∆2

∑~r

δ(∆ + ε~r − ε~r+~q)(N~r + 1)N~r+~q ,

(2.2.39)

dove N~p′ corrisponde al numero medio di occupazione nello stato con impulsoh~p. Non e difficile verificare che il risultato soddisfa la proprieta di simmetria:

Q~k,~q(β,∆) = Q~q,~k(β,−∆) , (2.2.40)

quindi si puo senza errore usare per il calcolo la formula in Eq.(2.2.39) ela simmetria stessa. Infatti nella Eq.(2.2.38) la somma su N~r+~q esclude ilvalore zero che non da contributo. Conseguentemente l’argomento della Θ emaggiore o eguale a ε~p+~q−∆ = ε~p > 0 e quindi la Θ stessa puo essere omessa.

E importante osservare che il risultato ottenuto puo essere facilmenteconvertito in quello valido nel caso della statistica di Fermi introducendobanalmente i gradi di liberta di spin e sostituendo N~r + 1 con 1−N~r .

Non e difficile proseguire il calcolo nel limite di volume infinito con N/Ω =ρ0 costante4. Notiamo in proposito che dalla relazione: N = Ωρ0 =

∫d~p N(~p) =∑

~pN~p → Ω∫d~pN~p/(2π)3 risulta che

∑~pN~p scala proporzionalmente al vo-

lume mentre N~p rimane limitato (N~p → N(~p)(2π)3/Ω). Ricordando inol-tre che nel limite di volume infinito

∑~p → Ω

∫d~p/(2π)3 , e che δ~p,~p′ →

(2π)3δ(~p − ~p′)/Ω e che, come sempre, il segno positivo riguarda i fermioni equello negativo i bosoni, otteniamo dalla Eq.(2.2.39) che per Ω→∞ si ha:

Q~k,~q(β,∆)→ Q(~k, ~q, β,∆)

= δ(~k + ~q)eβ∆2

∫d~rδ(∆ + ε(~r)− ε(~r + ~q))

eβ(ε(~r)−µ)

(eβ(ε(~r)−µ) ± 1)(eβ(ε(~r+~q)−µ) ± 1)

4si vedano gli Appunti di Fisica Teorica, cap 4.5, pg. 84.

20

= δ(~k + ~q)∫d~rδ(∆ + ε(~r)− ε(~r + ~q))

eβ(ε(~r)−ε(~r+~q)

2−µ)

(eβ(ε(~r)−µ) ± 1)(eβ(ε(~r+~q)−µ) ± 1)

=δ(~k + ~q)

sinh(β∆2

)

∫d~rδ(∆ + ε(~r)− ε(~r + ~q))

[N(~r)− N(~r + ~q)

].

Il risultato ottenuto coincide con la formula di Bohm e Pines che costituisceil risultato piu‘ importante della teoria dei sistemi a molti corpi. Esso mostrachiaramente la simmetria di Q sotto lo scambio ~k ↔ ~q e, indipendentemente∆→ −∆. Puo essere integrato analiticamente nel caso isotropo in cui ε(~p) =h2p2/(2m) ottenendo:

Q(~k, ~q, β,∆) =πδ(~k + ~q)m2

h4q sinh(β∆2

)ln

e−βκ + eβ∆/2

e−βκ + e−β∆/2, (2.2.41)

dove si e posto κ = µ− h2q2/(8m)−m2∆2/(2q2h2) .Se i numeri di occupazione soddisfano la condizione N~p 1, cioe nel caso

della distribuzione di Maxwell-Boltzmann quanto sopra puo essere ulterior-mente elaborato. Nel limite di volume infinito la ben nota distribuzione diMaxwell-Boltzmann corrisponde a exp(βµ) ' (N/Ω)(2πβh2/m)3/2 ed e datada:

N~p ' eβ(µ−ε(~p)) ' (N/Ω)(2πβh2/m)3/2e−β ε(~p) . (2.2.42)

Possiamo quindi calcolare dalla Eq.(2.2.39):

Q(~k, ~q, β,∆)

' δ(~k + ~q)(N/Ω)(2πβh2/m)3/2eβ∆/2∫d~rδ(∆ + ε(~r)− ε(~r + ~q))e−β ε(~r+~q)

= δ(~k + ~q)(N/Ω)(2πβh2/m)3/2e−β∆/2∫d~rδ(∆ + ε(~r)− ε(~r + ~q))e−β ε(~r)

= δ(~k + ~q)(N/Ω)(2πβh2/m)3/2e−β∆/2∫d~rδ(∆− h2q2

2m− h2~q · ~r

m)e−

βh2r2

2m

= δ(~k + ~q)N

Ωh

√(2π5)β

me−β∆/2

∫ ∞−∞

dlδ(∆− h2q2

2m− h2lq

m)e−

βh2l2

2m

= δ(~k + ~q)N

Ω(2π)3(

βm

2πh2q2)

12 e−β∆/2e

− βm

2h2q2(∆− h

2q2

2m)2

. (2.2.43)

Sostituendo ∆ con hω e trascurando termini in h troviamo:

hQ(~k, ~q, β, hω) ' δ(~k + ~q)N

Ω(2π)3(

βm

2πq2)

12 e−βmω

2

2q2 . (2.2.44)

21

2.3 Le fluttuazioni termiche

Conoscendo, o meglio, avendo introdotto la densita spettrale, e naturale con-siderare le fluttuazioni termiche del sistema all’equilibrio. Queste si quanti-ficano calcolando la correlazione fra i valori delle osservabili a tempi diversi.Data la scelta di osservabili con valori medi nulli all’equilibrio, si trova:

Ci,j(t, t′) ≡ Tr(ρ0x

(H)i (t)x

(H)j (t′)) , (2.3.45)

dove suffisso (H) sta a indicare le osservabili evolute nella rappresentazionedi Heisenberg all’equilibrio. Sviluppando i calcoli si ha:

Ci,j(t, t′) =

1

Z0

Tr(exp[−βH0] exp[iH0

ht]xi exp[

iH0

h(t′ − t)]xj exp[

−iH0

ht′])

=1

Z0

Tr(exp[(−β +i

h(t− t′))H0]xi exp[

iH0

h(t′ − t)]xj)

≡ Ci,j(t− t′) , (2.3.46)

da cui si vede che la correlazione dipende solo dalla differenza fra i tempi, cosaper nulla sorprendente perche la condizione di equilibrio implica invarianzaper traslazioni nel tempo.

Introducendo la densita spettrale definita in Eq.(2.1.12) troviamo:

Ci,j(t) =1

Z0

Tr(exp[(−β +i

ht)H0]xi exp[

−iH0

ht]xj)

=∫ ∞

0dEdE ′ ji,j(E,E

′)e−iE−E′h

t−βE′

=∫ ∞

0dEe−βE

∫ 2E

−2Ed∆e(β/2−it/h)∆ ji,j(E + ∆/2, E −∆/2)

Z0

=∫ ∞−∞

d∆e(β/2− ith

)∆∫ ∞|∆/2|

dEe−βE ji,j(E + ∆/2, E −∆/2)

Z0

=∫ ∞−∞

d∆e(β/2− ith

)∆Qi,j(β,∆) . (2.3.47)

Se introduciamo la trasformata di Fourier con la convenzione:

f(ω) ≡∫ ∞−∞

dteiωtf(t) , f(t) ≡∫ ∞−∞

dω

2πe−iωtf(ω) , (2.3.48)

troviamo che la trasformata di Fourier del correlatore e :

Ci,j(ω) = 2πheβhω/2Qi,j(β, hω) . (2.3.49)

22

Questa matrice viene chiamata densita spettrale delle fluttuazioni, e risul-ta essere Hermitiana consistemente col fatto che il correlatore soddisfa larelazione C∗i,j(t) = Cj,i(−t) .

Osserviamo ora la stretta relazione fra la matrice di correlazione e quelladi fluttuazione mediata su un tempo T . Se associamo a ogni osservabilein rappresentazione di Heisenberg x

(H)i (t) il suo valore mediato sul tempo

secondo la relazione:

x(T )i ≡ 1√

πT

∫ ∞−∞

dte−( tT

)2

x(H)i (t) , (2.3.50)

e naturale interpretare il valor medio:

∆(T )i,j = Tr

(ρ0 x

(T )i x

(T )j

), (2.3.51)

che e una matrice Hermitiana positiva, come la matrice di fluttuazione.Questa si calcola direttamente in termini del correlatore:

∆(T )i,j =

1

πT 2

∫ ∞−∞

dtdt′e−t2+t′2T2 Ci,j(t− t′) =

1

πT 2

∫ ∞−∞

dT dτe−2T 2+τ2/2

T2 Ci,j(τ)

=1√2πT

∫ ∞−∞

dτe−τ2

2T2

∫ ∞−∞

dω

2πCi,j(ω)e−iωτ (2.3.52)

=∫ ∞−∞

dω

2πCi,j(ω)

∫ ∞−∞

dτ√2πT

e− τ2

2T2+iωτ =∫ ∞−∞

dω

2πCi,j(ω)e−

T2ω2

2 .

Sostituendo il risultato in Eq.(2.3.49) per la trasformata di Fourier del cor-relatore si ottiene finalmente

∆(T )i,j = h

∫ ∞−∞

dωe−T2ω2

2 [cosh(βhω/2)Q+,i,j(β, hω)+sinh(βhω/2)Q−,i,j(β, hω)] .

(2.3.53)Nel limite di T → 0 si ottiene:

∆(0)i,j = h

∫ ∞−∞

dω[cosh(βhω/2)Q+,i,j(β, hω)

+ sinh(βhω/2)Q−,i,j(β, hω)] = Ci,j(0) , (2.3.54)

che e la matrice di correlazione a tempi eguali.Nel caso di reversibilita microscopica sopravvive solo uno dei due termini

che appaiono in questa equazione, in particolare se consideriamo un bloccodiagonale in Eq.(2.1.23) sopravvive solo il primo termine, cioe si ha:

∆(T )i,j = h

∫ ∞−∞

dωe−T2ω2

2 cosh(βhω/2)Q+,i,j(β, hω) ≡∫ ∞−∞

dωe−T2ω2

2 Si,j(β, ω) .

(2.3.55)

23

Peraltro e importante notare che in questa situazione ogni blocco diagonaledella matrice di correlazione e simmetrico e soddisfa la relazione C∗i,j(t) =Ci,j(−t) .

2.4 La risposta dinamica

Come si e detto, la risposta dinamica e caratterizzata dai valori medi assuntinei diversi istanti dalle variabili sotto l’azione delle forze esterne. Questivalori medi vanno calcolati partendo dalla matrice densita data in Eq.(2.0.9)ricordando che xi = 0. Si ha:

Tr(ρ(t)xi) =i

hZ0

∫ t

−∞dτ∑j

fj(τ)

Tr(xi exp[

iH0

h(τ − t)][xj, exp[−βH0]] exp[

−iH0

h(τ − t)]

)=i

h

∫ t

−∞dτ∑j

fj(τ)Tr(ρ0 [x

(H)i (t), x

(H)j (τ) ]

)=i

h

∫ t

−∞dτ∑j

fj(τ)∫ ∞

0dEdE ′ ji,j(E,E

′)ei(E−E′)

h(τ−t)[e−βE

′ − e−βE]

=i

h

∫ t

−∞dτ∑j

fj(τ)∫ ∞−∞

d∆ei∆h

(τ−t)2 sinh(β∆/2)Qi,j(β,∆)

≡∫ t

−∞dτ∑j

Φi,j(t− τ)fj(τ) , (2.4.56)

dove evidentemente si e introdotta la funzione di risposta

Φi,j(t) ≡ i∫ ∞−∞

dω e−iωt2 sinh(βhω/2)Qi,j(β, hω) . (2.4.57)

Si noti che la funzione di risposta coincide col valor medio del commutatoredelle variabili dinamiche x

(H)i (t) e x

(H)j (t′) a tempi diversi, essa e una matrice

reale, infatti, usando la Eq.(2.1.22), si ha:

Φ†(t) = −i∫ ∞−∞

dωeiωt2 sinh(βhω/2)Q(β, hω)

= i∫ ∞−∞

dωe−iωt2 sinh(βhω/2)Q(β, hω) = ΦT (t) . (2.4.58)

24

Nel caso reversibile avremo una decomposizione a blocchi anche della funzionedi risposta:

Φi,j(t) ≡ i∫ ∞−∞

dωe−iωt2 sinh(βhω/2)[Q+i,j(β, hω) + iQ−i,j(β, hω)]

= 4∫ ∞

0dω sinh(βhω/2)[sin(ωt)Q+i,j(β, hω)− cos(ωt)Q−i,j(β, hω)]

≡ Φ+,i,j(t)− Φ−,i,j(t) . (2.4.59)

In generale si chiama suscettivita il prodotto della funzione di risposta perla funzione a gradino:

χ(d)i,j (t) ≡ Θ(t)Φi,j(t) . (2.4.60)

A priori non e garantito che questo prodotto sia ben definito, ci riferiamoalla possibilita che Φi,j(t) non sia regolare a t = 0.

Passando alle trasformate di Fourier troviamo subito le relazioni fra ma-trici:

Φ(ω) = 4πi sinh(βhω/2)Q(β, hω) , (2.4.61)

da cui vediamo che Φ(ω) e una matrice anti-Hermitiana, inoltre Φ(−ω) =−ΦT (ω) = Φ∗(ω).

Si ha anche formalmente:

χ(d)(ω) =i

2π

∫dω′

Φ(ω′)

ω − ω′ + iε

= −2∫dω′

sinh(βhω′/2)Q(β, hω′)

ω − ω′ + iε, (2.4.62)

dove ε e un infinitesimo positivo.Si noti che se Q e regolare a ω = 0 la suscettivita a ω = 0 e eguale alla

ammettenza statica isoterma.Evidentemente questa espressione non ha senso se Φ(ω) tende a una co-

stante, o, peggio, cresce a grandi ω. Tuttavia questo non sarebbe un ostacoloinsormontabile allo sviluppo della nostra teoria anche in presenza di anda-menti asintotici di Φ(ω) polinomiali a grandi ω. Infatti il problema di definirela suscettivita e ben noto e trova una risposta chiara nell’ambito della teoriadelle distribuzioni. Nel caso di un andamento polinomiale la funzione di ri-sposta nella variabile tempo si comporta nell’origine come una combinazionelineare di derivate di funzioni di Dirac e il problema si riduce a quello di de-finire il prodotto di questa combinazione lineare per una funzione a gradino.La teoria delle distribuzioni fornisce per χ(d) un’espressione definita a meno

25

di una combinazione lineare di derivate di funzioni di Dirac o di un polinomioin ω nel caso di χ(d). Se Φ presenta un andamento a grandi ω come ωε con|ε| < 1 la Eq.(2.4.62) va sostituita con la forma sottratta:

χ(d)(ω) = χ(d)(Ω) + iω − Ω

2π

∫dω′

Φ(ω′)

(ω′ − Ω)(ω − ω′ + iε), (2.4.63)

dove χ(d)(Ω) e arbitrario e l’integrale nelle vicinanze di Ω sottintende il valoreprincipale.

2.5 Relazioni di dispersione

Tornando al caso non sottratto osserviamo che la Eq.(2.4.62) e in particolareil ruolo di ε ha piu interpretazioni. Tradizionalmente si pensa che la per-turbazione, il termine delle forze esterne nell’Hamiltoniano, sia accesa adia-baticamente partendo dal tempo iniziale (−∞). Nella nostra formulazione,basata sulla teoria delle distribuzioni, le forze generalizzate sono funzioni diprova che si annullano con tutte le derivate a grandi tempi, tipicamente delleGaussiane, quindi lo smorzamento adiabatico e implicito. La presenza deltermine in ε sta a indicare semplicemente che la suscettivita generalizzata siottiene come limite sull’asse reale, η → 0, di una funzione

χ(d)(z) =i

2π

∫dω′

Φ(ω′)

z − ω′, (2.5.64)

che e evidentemente analitica nel semi-piano complesso superiore (Im z > 0)e che si estende al semipiano inferiore tramite l’equazione:

(χ(d))†(z) = χ(d)(z∗) , (2.5.65)

che segue dalla anti-Hermiticita di Φ. Usando la relazione, valida per qua-lunque f continua e che si annulla all’infinito:

limε→0+

∫ ∞−∞

dyf(y)

x− y + iε= lim

ε→0+[∫ x−ε

−∞dy

f(y)

x− y+∫ ∞x+ε

dyf(y)

x− y]

−πif(x) ≡ P∫ ∞−∞

dyf(y)

x− y− πif(x) , (2.5.66)

26

dove il simbolo P∫

indica la parte principale dell’integrale, abbiamo:

χ(d)(ω) = −2P∫dω′

sinh(βhω′/2)Q(β, hω′)

ω − ω′+ 2πi sinh(βhω/2)Q(β, hω)

= −2P∫dω′

sinh(βhω′/2)Q(β, hω′)

ω − ω′+

1

2Φ(ω) . (2.5.67)

Da questa relazione si ricava che

χ(d)(−ω) = χ(d)∗(ω) . (2.5.68)

che corrisponde alla realta delle matrice χ(d)(t) .L’Eq.(2.5.67) permette di riscrivere la Eq.(2.5.64) in forma piu compatta:

χ(d)(z) =1

π

∫dω′

Im χ(d)(ω′)

ω′ − z. (2.5.69)

Questa equazione prende il nome di Relazione di Dispersione e rende contodella relazione causale implicita nella risposta dinamica.

2.6 Teorema Fluttuazione-Dissipazione

Evidentemente la risposta dinamica presenta un aspetto energetico nel sensoche in presenza delle forze esterne il sistema dissipa o assorbe una certapotenza che vale ovviamente

W (t) =∑i

fi(t)d

dtTr(ρ(t)xi) =

∑i,j

fi(t)∫ ∞−∞

dt′χ(d)i,j (t− t′)fj(t′) (2.6.70)

L’energia totale scambiata e quindi:∫ ∞−∞

dt W (t) =∑i,j

∫ ∞−∞

dtdt′∫ ∞−∞

dωdω′

(2π)2e−i(ωt+ω

′t′)fi(ω)fj(ω′)χ

(d)i,j (t− t′)

=∑i,j

∫ ∞−∞

dt′dτ∫ ∞−∞

dωdω′

(2π)2ei(ω+ω′)t′e−iωτ fi(ω)fj(ω

′)χ(d)i,j (τ)

=∑i,j

∫ ∞−∞

dω

2πfi(ω)fj(−ω)

∫ ∞−∞

dτe−iωτ χ(d)i,j (τ)

=1

2πi

∑i,j

∫ ∞−∞

dωfi(−ω)fj(ω)ωχ(d)i,j (ω)

27

=1

2πi

∑i,j

∫ ∞−∞

dω ω χ(d)i,j (ω)f ∗i (ω)fj(ω)

=i

π

∑i,j

P∫ ∞−∞

dωdω′ω sinh(βhω′/2)Qi,j(β, hω

′)

ω − ω′fi(−ω)fj(ω)

+∑i,j

∫ ∞−∞

dω ω sinh(βhω/2)Qi,j(β, hω)fi(−ω)fj(ω)

=∑i,j

∫ ∞−∞

dω ω sinh(βhω/2)Qi,j(β, hω)f ∗i (ω)fj(ω) . (2.6.71)

Dove abbiamo usato, oltre all’Eq.(2.5.67), la realta delle forze generalizzateche corrisponde a f(−ω) = f ∗(ω) . Per raggiungere l’ultima espressione ab-biamo usato le proprieta della funzione spettrale, in particolare le proprietadella matrice Q espresse in Eq.(2.1.22). Inoltre e facile verificare che questaespressione e reale e positiva usando l’Eq. (2.5.68).

Tenendo conto di tutto cio troviamo l’espressione della densita spettraledell’energia dissipata:

dE(ω)

dω=∑i,j

ω sinh(βhω/2)Qi,j(β, hω)f ∗i (ω)fj(ω) . (2.6.72)

Riferendoci a una situazione reversibile e interessante confrontare questo ri-sultato con l’espressione della fluttuazione termica mediata sul tempo T datain Eq.(2.3.55), identificando le fj(ω) con exp[−ω2T 2/4] appare un rapportofra gli elementi di matrice della densita spettrale delle fluttuazioni S(β, ω) equelli della potenza dissipata dato da:

Si,j(β, ω)

ω sinh(βhω/2)Qi,j(β, hω)=

2πSi,j(β, ω)

ωImχ(d)i,j (ω)

= hcoth(βhω/2)

ω. (2.6.73)

Questo risultato viene chiamato Teorema Fluttuazione-Dissipazione.L’applicazione classica di questo teorema e il calcolo del Rumore di Johnson-

Nyquist, cioe la densita spettrale delle fluttuazioni delle differenza di poten-ziale agli estremi di un resistore ideale, un conduttore sottile di resistenza Rdi cui sono trascurabili le impedenze capacitiva e induttiva. Per semplicitadi trattazione assumiamo la lunghezza del conduttore, che e irrilevante aglieffetti del risultato, unitaria.

Se V (x) e il potenziale lungo il filo e q(x) la densita di carica, il terminedi interazione esterna nell’Hamiltoniano e HI =

∫ 10 V (x)q(x)dx . Peraltro il

28

conduttore e isolato e neutro. Questo implica il vincolo∫ 1

0 q(x)dx = 0 che sipuo risolvere ponendo q(x) = −p′(x) e le condizioni p(0) = p(1) = 0 . Quil’apice indica la derivata rispetto a x, mentre il punto indica quella rispettoa t . In termini del campo di polarizzazione p(x) si puo scrivere

HI = −∫ 1

0V (x)p′(x)dx =

∫ 1

0V ′(x)p(x)dx = −

∫ 1

0E(x)p(x)dx . (2.6.74)

La conservazione della carica permette di calcolare la corrente lungo il filo:

i(x) = −∫ x

0q(y)dy = p(x) . (2.6.75)

La dinamica del filo e determinata dalla legge di Ohm che si scrive in terminidel campo elettrico E:

E(x) = −V ′(x) = Ri(x) = Rp(x) . (2.6.76)

Nelle espressioni precedenti abbiamo evitato di indicare in modo esplicito ladipendenza dal tempo perche si trattava di relazioni che valgono a qualunquetempo.

La potenza dissipata e data in funzione del potenziale applicato da:

W (t) =∫ 1

0dxE(x, t)i(x, t) = R

∫ 1

0dxp2(x, t) =

1

R

∫ 1

0dx(E(x, t))2 .

(2.6.77)Integrando rispetto al tempo e passando alle trasformate di Fourier si hal’energia dissipata:

Etot =1

2πR

∫ ∞−∞

dω∫ 1

0dx|E(x, ω)|2 . (2.6.78)

Questo risultato, confrontato con Eq.(2.6.72) ci da la densita spettrale dellefluttuazioni della polarizzazione p:

hQp(x),p(y)(β, ω) =kT

2πRω2δ(x− y) . (2.6.79)

e quindi

hQp(x),p(y)(β, ω) =kT

2πRδ(x− y) (2.6.80)

Usando la legge di Ohm possiamo concludere che la densita spettrale dellefluttuazioni di V ′ e:

SV ′(x),V ′(y)(ω) =RkT

πδ(x− y) , (2.6.81)

29

e quindi la densita spettrale delle fluttuazioni della differenza di potenzialeai due estremi V =

∫ 10 dxV

′(x) risulta essere:

CV (ω) =∫ 1

0dx∫ 1

0dyRkT

πδ(x− y) =

RkT

π. (2.6.82)

2.7 La risposta elettrica in un plasma rare-

fatto

Avendo calcolato la funzione spettrale di un plasma rarefatto che nel limi-te classico e data in Eq.(2.2.44), applichiamo ora la teoria della rispostadinamica a questo caso.

E necessario osservare innanzi tutto che nel plasma rarefatto non relati-vistico il termine di interazione con le forze esterne nel caso di volume finitoe dato da:

HI = e∫d~rδV (~r)ρ(~r) , (2.7.83)

dove e e la carica di una particella del plasma, δV e il potenziale eletrostaticomicroscopico introdotto nel primo capitolo di questi appunti. Assumiamo lascelta di Coulomb dei potenziali 5 per cui la corripondente interazione con leparticelle cariche e data da Eq.(2.7.83). 6 Usando ancora la convenzione gia

introdotta per la trasformata di Fourier : V~k =∫d~rV (~r) exp(i~k ·~r) abbiamo:

HI =e

Ω

∑~q

V−~q ρ~q . (2.7.84)

Se, usando la funzione spettrale data in Eq.(2.2.38) e in Eq.(2.2.39) calcolia-mo la corrispondente suscettivita χ~k,~q(t) abbiamo per la carica indotta:

δρ~k(t) = −e2

Ω

∑~q

∫ ∞−∞

dτχ~k,~q(t− τ)δV−~q(τ) , (2.7.85)

che nel limite Ω→∞ diventa:

δρ(~k, t) = − e2

(2π3)

∫d~q∫ ∞−∞

dτχ(~k, ~q, t− τ)δV (−~q, τ) , (2.7.86)

5si vedano gli Appunti di Fisica Teorica, cap 4.4.2, pg. 77.6si vedano gli Appunti di Fisica Teorica, cap 4.4.4, pg. 82.

30

e, passando alle trasformate di Fourier nel tempo:

δρ(~k, ω) = − e2

(2π)3

∫d~q χ(~k, ~q, ω)δV (−~q, ω) . (2.7.87)

Ora possiamo calcolare tramite la formula Eq.(2.4.62) e, ovviamente, laEq.(2.2.44):

1

(2π3)χ(~k, ~q, ω) = − 2

(2π3)

∫dω′

sinh(βhω′/2)Q(~k, ~q, β, hω′)

ω − ω′ + iε

' − 2

(2π3)β∫ ∞−∞

dω′ω′hQ(~k, ~q, β, hω′)

ω − ω′ + iε

' −δ(~k + ~q)

√β3m

2πk2

N

Ω

∫ ∞−∞

dω′ω′e−

βm(ω′)2

2k2

ω − ω′ + iε

= −δ(~k + ~q)

√β3m

2πk2

N

Ω

∫ ∞0

dx

√xe−

βmx

2k2

(ω + iε)2 − x≡ −δ(~k + ~q)χ(~k, ω) . (2.7.88)

Quindi possiamo riscrivere la Eq.(2.7.87) come:

δρ(~k, ω) = e2χ(~k, ω)δV (~k, ω) . (2.7.89)

Ripetendo il calcolo della carica indotta svolto nel primo capitolo (Eq.(1.0.6)e Eq.(1.0.7)) in termini delle trasformate di Fourier abbiamo:

[k2 − e2 χ(~k, ω)

ε0]δV (~k, ω) =

δρe(~k, ω)

ε0. (2.7.90)

Questa equazione generalizza, introducendo la dipendenza dalla frequenza, ilrisultato del primo capitolo. Infatti a frequenza nulla si ha:

χ(~k, 0) = −√β3m

2πk2

N

Ω

∫ ∞0

dx√xe−

βmx

2k2

= −√β3m

2πk2

N

Ω

∫ ∞−∞

dye−βmy2

2k2 = −NΩβ . (2.7.91)

Sostituendo questo risultato nella Eq.(2.7.90) si ritrova il risultato ricavatonel primo capitolo adattato al caso di particelle identiche di carica e. La

31

lunghezza di Debye allora indicata con D viene ora indicata con λD che vale

λD =√βe2N/(ε0Ω).

In generale abbiamo una costante dielettrica dipendente da frequenza enumero d’onda pari a:

ε(~k, ω) = ε0[1− e2 χ(~k, ω)

ε0 k2] . (2.7.92)

Si puo osservare che per grandi ω, (ω k2/(βm)), si ha:

e2 χ(~k, ω)

ε0 k2→ e2N

ε0mω2Ω, (2.7.93)

e quindi:

ε(~k, ω)→ ε0[1−ω2p

ω2] , (2.7.94)

dove ωp =√

e2NmΩε0

e detta frequenza di plasma. Va notato che questa formulae valida per ω = ωp e quindi indica l’annullarsi della costante dielettrica seωp k2/(βm) che equivale a k2λ2

D 1 .Il risultato mostra che, in prima approssimazione, il gas di particelle cari-

che, che e un plasma, risuona in presenza di un campo elettrico con frequenzaangolare ωp. Per ω > ωp la costante dielettrica e positiva e tende a ε0 a gran-di frequenze, mentre per ω < ωp e negativa. Dato che la velocita di fasedella luce nel mezzo e vF = 1/

√εµ ' 1/

√εµ0 essa diventa immaginaria sotto

la frequenza di plasma. Questo vuol dire, come ben abbiamo imparato dal-l’equazione di Schrodinger, che l’onda elettromagnetica nel plasma diventaevanescente e la parete del plasma riflette la luce.

Si noti anche abbiamo trascurato la parte immaginaria di χ(~k, ω) che edata, per ω = ωp da:

Im χ(~k, ω) =

√β3m

2πk2

N

ΩIm

∫ ∞0

dx

√xe−

βmx

2k2

(ω + iε)2 − x

=

√πβ3m

2k2

N

Ωωpe

−βmω2

p

2k2 , (2.7.95)

Tenendo conto di questo risultato su trova che la costante dielettrica siannulla per valori complessi della frequenza pari a:

ω = ωp

√√√√1 + ie2Imχ(~k, ωp)

ε0 k2' ωp + i

e2ωpImχ(~k, ωp)

2ε0 k2

32

= ωp + i√πωp

(βmω2

p

2k2

)3/2

e−βmω2

p

2k2

= ωp(1 + i√π/8

(1

kλD

)3

e− 1

2k2λ2D ) . (2.7.96)

Questo implica che la risonanza di plasma indotta da un onda elettromagne-tica alla frequenza ωp si smorza in un tempo eguale al reciproco di

ωp√π/8

(1

kλD

)3

e− 1

2k2λ2D . (2.7.97)

Tale tempo e esponenzialmente grande dato che kλD e stato assunto piccolo.L’analisi di χ(~k, ω) data da Eq.(2.7.88) puo essere raffinata rispetto a

Eq.(2.7.93) tramite lo sviluppo asintotico in potenze di ω−2:

χ(~k, ω) =

√β3m

2πk2

N

Ω

∫ ∞0

dx

√xe−

βmx

2k2

(ω + iε)2 − x

'√β3m

2πk2

N

Ω

∞∑n=0

1

ω2(n+1)

∫ ∞0

dxxn+1/2e−βmx

2k2

=2k2N√πmω2Ω

∞∑n=0

(2k2

βmω2

)n ∫ ∞0

dyyn+1/2e−y

= βN

Ω

∞∑n=0

(2n+ 1)!!

(k2

βmω2

)n+1

, (2.7.98)

e quindi:

Re ε(~k, ω) ' ε0[1− e2N

mΩω2− 3

e2Nk2

βm2Ωω4− ·· ]

ε0[1−ω2p

ω2(1 + 3

k2

βmω2p

− ·· )] . (2.7.99)

Di conseguenza si ha per le onde di plasma, che sono dette Onde di Langmuir,una legge di dispersione:

ω(k) '√ω2p + 3

k2

βm= ωp

√1 + 3k2λ2

D =' ωp(1 +3

2k2λ2

D) . (2.7.100)

Va notato per concludere che le onde di Langmuir nell’approssimazione as-

sunta hanno velocita di fase vf = ω/k = ωp√

1/k2 + 3λ2D , che quindi diverge

a grandi lunghezze d’onda. Invece la velocita di gruppo delle stesse onde vale

vf = dω/(dk) = 3ωpkλ2D/√

1 + 3k2λ2D , che cresce col numero d’onda.

33

2.8 Calcolo diretto di una Funzione di Cor-

relazione

Abbiamo visto in Eq. (2.3.49) che la funzione spettrale Qi,j(ω) e proporzio-nale alla trasformata di Fourier della funzione di correlazione Ci,j(t) tramiteil coefficiente exp(−βhω/2))/h. Questo apre la possibilita di calcolare tuttele funzioni di risposta partendo dal correlatore che e dato da:

Tr(e−βH xi(t)xj(0))

Tr(e−βH), (2.8.101)

nel caso Canonico e da:

Tr(e−β(H−µN)xi(t)xj(0))

Tr(e−β(H−µN)), (2.8.102)

in quello Gran Canonico con un’unica componente. Ricordando che xi(t) =exp(iHt/h)xi exp(−iHt/h) troviamo che il correlatore canonico si scrive co-me:

Ci,j(t) =Tr(ei(t+ihβ)H/hxie

−iHt/hxj)

Tr(e−βH), (2.8.103)

e nel caso Gran Canonico con una formula del tutto analoga ottenuta, se lexi commutano con N , sostituendo H con H − µN .

Usando la ciclicita della traccia e l’invarianza per traslazioni nel tempo(inteso come una variabile complessa) si ottiene:

Ci,j(t) =Tr(ei(t+ihβ)H/hxie

−iH(t+ihβ)/he−βHxj)

Tr(e−βH)(2.8.104)

=Tr(e−iH(t+ihβ)/he−βHxje

i(t+ihβ)H/hxi)

Tr(e−βH)= Cj,i(−(t+ iβh)) ,

che e detta Equazione di Kubo, Martin, Schwinger (KMS).Inoltre e utile osservare che, se la densita degli stati e gli elementi di

matrice delle osservabili xi crescono meno che esponenzialmente in funzionedell’energia del sistema, la funzione di correlazione Ci,j(t) e analitica nellastriscia del piano complesso −βh < =t < 0 , infatti in questa regione ladensita spettrale data in Eq.(2.1.12) cresce meno che esponenzialmente per

34

grandi valori di ciascuna delle due variabili E ed E ′ e di conseguenza dallaEq.(2.3.47) si ha:

Ci,j(τ − iη) =∫ ∞

0dEdE ′ji,j(E,E

′)e−ηE−(β−η)E′−i(E−E′)t/h , (2.8.105)

dove gli integrali sono assolutamente convergenti garantendo con cio la pro-prieta di analiticita eneunciata.

Consideriamo ora il caso gia trattato in precedenza (sezione 2.2) dellacorrelazione densita-densita assumendo particelle libere. Si tratta di calcola-re:

C~k,~q(t) =∑~r,~p

Tr(ei(t+ihβ)(H−µN)/ha†~p+~k

a~pe(−i(H−µN)t/h)a†~r+~qa~r)

Tr(e−βH)

=∑~r,~p

ei(ε~p+~k−ε~p)t/hTr(e−β(H−µN)a†

~p+~ka ~p a

†~r+~q a ~r)

Tr(e−β(H−µN)). (2.8.106)

Il calcolo si riduce a quello della traccia: Tr(e−β(H−µN)a†~p+~k

a ~p a†~r+~q a ~r).

Questo puo essere confrontato col caso di un sistema di Fermioni a temperatu-ra nulla in cui di deve calcolare il valor medio 〈N~t|a

†~p+~k

a ~p a†~r+~q a ~r|N~t〉 ,

se N~t corriponde alla distribuzione di Fermi.Mentre a temperatura nulla il calcolo comporta lo spostamento degli ope-

ratori di distruzione verso destra e quelli di creazione verso sinistra fino araggiungere lo stato di vuoto e il risultato si riduce al prodotto dei commu-tatori non nulli (Teorema di Wick), ora la situazione e differente perche ilvuoto non appare nella formula.

Si puo pero utilizzare un altro teorema dovuto a Block e De Dominicis. Ilteorema e utile nel nostro caso e, a maggior ragione, nel caso in cui le parti-celle siano interagenti e i valori medi si calcolino tramite sviluppi perturbativibasati sulle formule date all’inizie del capitolo 2.

Si tratta di calcolare il valor medio di un prodotto ordinato di operatori dicreazione e distruzione che scriviamo in modo generale come

∏ni=1 a

σiνi

dove σie + per gli operatori di creazione e − per quelli di distruzione e νi distinguegli stati di singola particella. E inteso che l’Hamiltoniana e libera; H =∑ν ενa

+ν a−ν . Osserviamo innanzi tutto che, nel caso libero, exp(−β(H−µN))

e un operatore diagonale nella rappresentazione dei numeri d’occupazione equindi Tr(exp(−β(H−µN))

∏Ni=1 a

σiνi

) e nullo a meno che N sia pari, N = 2ne n+ = n− = n, cioe il numero degli operatori di creazione eguagli quello

35

dei distruttori. Detto cio iniziamo l’analisi considerando il caso n = 2 cioeTr(exp(−β(H −µN))a+

ν a−ρ ). Il calcolo si basa sulle regole di commutazione:

exp(−β(H − µN))aσν = e−σβ(εν−µ)aσν exp(−β(H − µN)) ,

aσ1ν a

σ2ρ = ±aσ2

ρ aσ1ν + (σ2)

1±12 δσ1,−σ2δν,ρ , (2.8.107)

e da:

Tr(exp(−β(H − µN))aσ1ν a

σ2ρ ) = e−σ1β(εν−µ)Tr(aσ1

ν exp(−β(H − µN))aσ2ρ )

= e−σ1β(εν−µ)Tr(exp(−β(H − µN))aσ2ρ a

σ1ν )

= (σ1)1±1

2 δσ1,−σ2δν,ρe−σ1β(εν−µ)Tr(exp(−β(H − µN)))

±e−σ1β(εν−µ)Tr(exp(−β(H − µN))aσ1ν a

σ2ρ ) , (2.8.108)

dove il segno ± distingue la statistica di Bose (+) da quella di Fermi (−).Dall’ultima equazione si ottiene:

Tr(exp(−β(H − µN))aσ1ν a

σ2ρ )

Tr(exp(−β(H − µN)))= (σ1)

1±12

δν,ρδσ1,−σ2

eσ1β(εν−µ) ∓ 1≡ ∆σ1,σ2

±,ν,ρ . (2.8.109)

e si trova facilmente che:

∆σ1,σ2±,ν,ρ = δν,ρδσ1,−σ2

(1− σ1)(1± Nν) + (1 + σ1)Nν

2. (2.8.110)

Chiamiamo ∆ contrazione e osserviamo che la formula precedente indica ilvalore Nν per la contrazione a†νaν e in 1± Nν per quella nell’ordine opposto.Questo risultato e ovvio, ma puo essere generalizzato al caso di 2n operatoriper cui si ha una equazione ricorsiva:

Tr(exp(−β(H − µN))aσ1ν1· · · aσ2n

ν2n)

= e−σ1β(εν1−µ)Tr(aσ1ν1

exp(−β(H − µN))aσ2ν2· · · aσ2n

ν2n)

= e−σ1β(εν1−µ)Tr(exp(−β(H − µN))aσ2ν2· · · aσ2n

ν2naσ1ν1

) = e−σ1β(εν1−µ)

2n∑j=2

(σ1)(1±1)/2(±)jδν1,νjδσ1,−σjTr(exp(−β(H − µN))aσ2ν2· aσj−1

νj−1aσj+1νj+1· aσ2n

ν2n)

+(±)e−σ1β(εν1−µ)Tr(exp(−β(H − µN))aσ1ν1· · · aσ2n

ν2n) , (2.8.111)

che diventa:

Tr(exp(−β(H − µN))aσ1ν1· · · aσ2n

ν2n) =

(σ1)1±1

2

eσ1β(εν−µ) ∓ 1(2.8.112)

36

2n∑j=2

(±)jδν1,νjδσ1,−σjTr(exp(−β(H − µN))aσ2ν2· aσj−1

νj−1aσj+1νj+1· aσ2n

ν2n)

=2n∑j=2

(±)j∆σ1,σj±,ν1,νjTr(exp(−β(H − µN))aσ2

ν2· aσj−1

νj−1aσj+1νj+1· aσ2n

ν2n) .

La stessa formula va applicata a Tr(exp(−β(H−µN))aσ2ν2·aσj−1νj−1a

σj+1νj+1 ·aσ2n

ν2n) e

cosı di seguito finche si arriva alla Tr(exp(−β(H−µN)) e tutti gli operatori dicreazione e distruzione sono stati contratti a coppie in tutti i modi possibili.A questo punto il valore medio del prodotto iniziale di operatori si riducealla somma di tutti i prodotti possibili di 2n contrazioni moltiplicata, nelcaso Fermionico, per un fattore segno pari −1 elevato al numero di scambinecessari per avvicinare in modo ricorsivo tutte le coppie contratte senzascambiarne l’ordine. Se si indica la generica coppia contratta aσiνi ··a

σjνj tramite︷ ︸︸ ︷

aσiνi · ·aσjνj

l’esponente di±1 nella formula finale e eguale al numero degli incrocidei segni di contrazione.

Possiamo ora riprendere, anche a titolo di applicazione di quanto dimo-strato, il calcolo del correlatore dato in Eq.(2.8.106). Applicando diretta-mente il teorema si ha:

Tr(e−β(H−µN)a†~p+~k

a ~p a†~r+~q a ~r)

Tr(e−β(H−µN))

=Tr(e−β(H−µN)

︷ ︸︸ ︷a†~p+~k

a ~p

︷ ︸︸ ︷a†~r+~q a ~r)

Tr(e−β(H−µN))+Tr(e−β(H−µN)

︷ ︸︸ ︷a†~p+~k

︷ ︸︸ ︷a ~p a

†~r+~q a ~r)

Tr(e−β(H−µN))

= ∆+,−±,~p+~k,~p∆

+,−±,~r+~q,~r + ∆+,−

±,~p+~k,~r∆−,+±,~p,~r+~q . (2.8.113)

Siccome ∆+,−±,~p,~p′ = δ~p.~p′N~p e ∆−,+±,~p,~p′ = δ~p.~p′(1 ± N~p) e evidente che il primo

prodotto di due contrazioni da in contributo a ~k = ~q = 0 che non ci interessa.Rimaniamo con:

C~k,~q(t) =∑~r,~p

ei(ε~p+~k−ε~p)t/hδ~p+~k.~rN~p+~kδ~p.~r+~q(1± N~p)

= δ~k,−~q∑~p

ei(ε~p+~k−ε~p)t/hN~p+~k(1± N~p) , (2.8.114)

che risulta equivalente alla Eq.(2.2.39) se si tiene conto della Eq.(2.3.49).

37

Con la stessa facilita si calcola il correlatore corrente-corrente usandol’espressione della trasformata di Fourier della corrente data in Eq.(1.0.3)incui si trascurano i termini dipendenti dallo spin. Si ha:

Cja~k,jb~q(t)

= (h

2m)2∑~r,~p

(2pa + ka)(2rb + qb)ei(ε~p+~k−ε~p)t/hTr(e−β(H−µN)a†

~p+~ka ~p a

†~r+~q a ~r)

Tr(e−β(H−µN))

= (h

2m)2∑~r,~p

(2pa + ka)(2rb + qb)ei(ε~p+~k−ε~p)t∆+,−±,~p+~k,~r∆

−,+±,~p,~r+~q

= (h

2m)2∑~r,~p

(2pa + ka)(2rb + qb)ei(ε~p+~k−ε~p)tδ~p+~k.~rN~p+~kδ~p.~r+~q(1± N~p)

= δ~k,−~q(h

2m)2∑~p

ei(ε~p+~k−ε~p)t/h(2pa + ka)(2pb + kb)N~p+~k(1± N~p) . (2.8.115)

Il correlatore corrente densita e invece:

Cja~k,ρ~q(t) = δ~k,−~q(

h

2m)∑~p

ei(ε~p+~k−ε~p)t/h(2pa + ka)N~p+~k(1± N~p) . (2.8.116)

La dipendenza dal tempo che in Eq.(2.8.106) e posta a fattore della traccia,puo essere inserita nelle contazioni definendo:

∆σi,σj±,νi,νj(ti, tj) ≡ ∆

σi,σj±,νi,νje

ihσi(ενi−µ)(ti−tj) . (2.8.117)

Si lascia al lettore la verifica dall’equazione di continuita che, in termini deicorrelatori si scrive:

−ikaCja~k,jb~q(t) +

∂

∂tCρ~k,jb~q(t) = 0 . (2.8.118)

2.9 Sviluppo perturbativo dei correlatori

E naturale a quasto punto chiedersi come l’espressione del correlatore Ca-nonico (o Gran Canonico) data in Eq.(2.8.103) si possa trattare nel caso diparticelle in interazione, cioe quando:

H = H0 + V =∑ν

ενNν + V . (2.9.119)

38

La risposta a questa domanda basata sulla teoria delle perturbazioni usaEq.(2.0.2) e consiste nella sostituzione di: e−i(H−µN)t/hcon:

e−i(H0−µN)t/h = e−i(H0−µN)t/hT expo(−i

h

∫ t

0V (t1)dt1) (2.9.120)

≡ e−i(H0−µN)t/h∞∑n=0

((− ih)n

n!

∫ t

0dτ1 · ·dτn(V (τ1) · ·V (τn))[t,0]

dove usiamo la convenzione per un generico operatore X che commuta conN , X(t) = eiH0t/hXe−iH0t/h. Similmente per ei(t+ihβ)(H−µN)/h usiamo l’espres-sione:

ei(t+ihβ)(H−µN)/h = e−β(H−µN)(e−it(H−µN)/h

)†= e−β(H0−µN) (2.9.121)

T expo(−i

h

∫ −iβh0

V (t1)dt1)(T expo(−

i

h

∫ t

0V (t′1)dt′1)

)†ei(H0−µN)t/h

= e−β(H0−µN)T expo(−i

h

∫ −iβh0

V (t1)dt1)T expo(−i

h

∫ 0

tV (t′1)dt′1)eiH0t/h

= e−βH0T expo(−i

h

∫ −iβht

V (t1)dt1)ei(H0−µN)t/h

≡ e−β(H0−µN)∞∑n=0

((− ih)n

n!

∫ −iβht

dτ1 · ·dτn(V (τ1) · ·V (τn))[−iβh,t]ei(H0−µN)t/h .

Si noti che gli integrali rispetto al tempo sono intesi nel piano complesso e ilcammino di integrazione e vincolato unicamente dagli estremi di integrazionedato che gli integrandi sono funzioni intere del tempo.

Quindi, per esempio il correlatore Ci,j(t) in presenza di un’interazione edato da:

Tr(e−β(H0−µN)T expo(− ih

∫−iβht V (τ)dτ)xi(t)T expo(− i

h

∫ t0 V (ξ)dξ)ξj(0))

Tr(e−β(H0−µN)T expo(− ih

∫−iβh0 V (η)dη))

.

(2.9.122)Se invece siamo interessati al valor medio di una osservabile all’equilibriodobbiamo calcolare:

xi ≡Tr(e−β(H0−µN)T expo(− i

h

∫−iβh0 V (τ)dτ)xi)

Tr(e−β(H0−µN)T expo(− ih

∫−iβh0 V (η)dη))

. (2.9.123)

In entrambi i casi studiamo separatamente numeratore e denominatore.Iniziamodall’ Eq (2.9.122) che e piu difficile. Il numeratore si sviluppa come segue:

39

∑∞n,m=0

(−i/h)n+m

n!m!

∫ −iβht

dτ1 · ·dτn∫ t

0dξ1 · ·dξm (2.9.124)

Tr(e−β(H0−µN)(V (τ1) · ·V (τn))[−iβh,t]xi(t)(V (ξ1) · ·V (ξm))[t,0]xj(0)

).

Il denominatore invece puo essere scritto come:

Tr(e−β(H0−µN)T expo(−i

h

∫ −iβh0

V (η)dη))

= Tr(e−β(H0−µN)T expo(−i

h

∫ −iβht

V (τ)dτ)T expo(−i

h

∫ t

0V (ξ)dξ))

=∞∑

n,m=0

(−i/h)n+m

n!m!

∫ −iβht

dτ1 · ·dτn∫ t

0dξ1 · ·dξm (2.9.125)

Tr(e−β(H0−µN)(V (τ1) · ·V (τn))[−iβh,t](V (ξ1) · ·V (ξm))[t,0]

).

A questo punto entrambe le espressioni del numeratore e del denominatorevanno ridotte a prodotti di contrazioni che ora vengono chiamati propagatori.Nel caso del numeratore si hanno contrazioni che coinvolgono operatori neimodi seguenti:

• in due V (ξ) diversi,

• oppure in due V (τ) diversi,

• o anche in un V (τ) e un V (ξ) ,

• o in un x e un V (τ) ,

• o in un x e un V (ξ) ,

• o, infine, come nel caso gia tratto, fra i due x .

Invece nel denominatore si hanno solamente le prime tre possibilita.I casi interessanti sono quelli in cui le xi sono densita e il potenziale cor-

risponde all’interazione a due corpi che rende conto degli urti fra le particelledel sistema e quindi e del tipo:

∑va†a†aa, oppure quello in cui il potenziale

rende conto dell’interazione con impurezze ed e un operatore a singola parti-cella cioe del tipo

∑~p,~k v(~k) exp(i~k · ~R)a†

~p+~ka~p ≡ v(a†a) dove ~R e la posizione

dell’impurezza e assumiamo v(~0) = 0. Per semplicita consideriamo il secondocaso

40

Se assumiamo un cammino d’integrazione nel piano complesso rettilineofra gli estremi le contrazioni corrispondono a:

• nel primo caso, indicando con θ(t) = (1 + ε(t))/2 la funzione gradino( θ(t) = 0 per t < 0):︷ ︸︸ ︷

a1a2 ≡ G±,1,2(t1 − t2) = θ(t1 − t2)∆σ1,σ2±,ν1,ν2

(t1, t2)± θ(t2 − t1)∆σ2,σ1±,ν2,ν1

(t2, t1)

=eiσ1(ενi−µ)(t1−t2)/h

4δν1,ν2δσ1,−σ2

[((1− σ1)(1± Nν1) + (1 + σ1)Nν1)

±((1 + σ1)(1± Nν1) + (1− σ1)Nν1))

+ ε(t1 − t2)((1− σ1)(1± Nν1) + (1 + σ1)Nν1)∓ ((1 + σ1)(1± Nν1) + (1− σ1)Nν1)

)].

Separando il caso Bosonico da quallo Fermionico si ha:

G+,1,2(t1 − t2) =eiσ1(ενi−µ)(t1−t2)/h

2δν1,ν2δσ1,−σ2 [2Nν1 + 1− σ1ε(t1 − t2)]

= G+,2,1(t2 − t1)

G−,1,2(t1 − t2) =eiσ1(ενi−µ)(t1−t2)/h

2δν1,ν2δσ1,−σ2 [σ1(2Nν1 − 1) + ε(t1 − t2)]

= −G−,2,1(t2 − t1) , (2.9.126)

• nel secondo caso si scambia l’ordine temporale e quindi ε(t1 − t2) →−ε(t1 − t2)

G+,1,2(t1 − t2) =eiσ1(ενi−µ)(t1−t2)/h

2δν1,ν2δσ1,−σ2 [2Nν1 + 1 + σ1ε(t1 − t2)]

= G+,2,1(t2 − t1)

G−,1,2(t1 − t2) =eiσ1(ενi−µ)(t1−t2)/h

2δν1,ν2δσ1,−σ2 [σ1(2Nν1 − 1)− ε(t1 − t2)]

= −G−,2,1(t2 − t1) . (2.9.127)

• tra un V (τ) e un V (ξ) , oppure un x , cosı come tra V (ξ) e xj, o tra xie V (ξ) per i bosoni si ha:︷ ︸︸ ︷a1a2 = ∆σ1,σ2

+,ν1,ν2(t1, t2) = eiσ1(ενi−µ)(t1−t2)/hδν1,ν2δσ1,−σ2(2Nν1 + 1− σ1)

(2.9.128)e per i Fermioni:︷ ︸︸ ︷a1a2 = ∆σ1,σ2

−,ν1,ν2(t1, t2) = eiσ1(ενi−µ)(t1−t2)/hδν1,ν2δσ1,−σ2(σ1(2Nν1 − 1) + 1)

(2.9.129)

41

In questo modo il numeratore e il denominatore sono sviluppati in prodottidi propagatori. La differenza e che il denominatore non contiene propagatoriassociati agli x.

Si usa associare a ogni prodotto di propagatori un grafico corrispondentea un poligono (detto Diagramma di Feynman) i cui i vertici corrispondono aV e x e le linee ai propagatori. Nel caso in cui sia V , sia x, sono operatori auna particella, il generico poligono corrisponde all’unione insiemistica di piupoligoni chiusi e sconnessi fra loro uno dei quali contiene come vertici i duex. Questo vincolo dell’appartenenza dei due x allo stesso poligono connessointerviene se gli x portano un numero d’onda non nullo ed e legato alla con-servazione dell’impulso che si ha se si media sulla posizione delle impurezzeripristinando l’invarianza per traslazioni. La somma perturbativa corrispon-de a quella su tutti gli insiemi di poligoni possibili. Per il denominatore valelo stesso discorso, ma manca il poligono dei due x. Segue che il rapporto nu-meratore/denominatore, cioe il correlatore, corrisponde alla somma di tutti ipoligoni connessi contenenti i due vertici x. Questa situazione di propagatoria molte componenti corrisponde al formalismo di it Schwinger e Keldysh

Nel caso di interazione a 2 corpi appaiono vertici a 4 lati, i diagrammisono allora poligoni variamente intrecciati, ma resta vero che correlatore,corrisponde alla somma di tutti i poligoni (intrecciati) connessi contenenti idue x.

Infine e utile un osservazione circa le scale dei tempi. Il tempo termicoβh e dell’ordine di grandezza del decimo di picosecondo a temperatura am-biente e di dieci picosecondi a un Kelvin. Di conseguenza essendo di normainteressati a tempi molto lunghi rispetto a quello termico, si puo cambiare ilcammino di integrazione [−iβh, t] in [0, t].

I calcoli perturbativi all’equilibrio sono, come si e detto assai piu facili.Cambiando variabili d’integrazione nella Eq.(2.9.123) si tratta di calcolareun valor medio:

Tr(e−β(H0−µN)T expo(−∫ β

0 V (−ihy)dy)xi)

Tr(e−β(H0−µN)T expo(−∫ β0 V (−ihz)dz)

, (2.9.130)

il cui numeratore si sviluppa:

∞∑n=0

(−1)n

n!

∫ β

0dy1 · ·dynTr(e−β(H0−µN)T (V (−ihy1) · ·V (−ihyn))[β,0]xi) ,

(2.9.131)

42

mentre il denominatore:

∞∑n=0

(−1)n

n!

∫ β

0dy1 · ·dynTr(e−β(H0−µN)T (V (−ihy1) · ·V (−ihyn))[β,0]) .

(2.9.132)In questo caso il propagatore fra V e V e dato da G±,1,2(−ih(y1 − y2)) ≡D±,1,2(y1 − y2) e si ha:

D+,1,2(y) =eσ1(ενi−µ)y

2δν1,ν2δσ1,−σ2 [2Nν1 + 1− σ1ε(y)] (2.9.133)

D−,1,2(y =eσ1(ενi−µ)y

2δν1,ν2δσ1,−σ2 [σ1(2Nν1 − 1) + ε(y)]

mentre quello fra V e x e:

∆σ1,σ2+,ν1,ν2

(−ihy, 0) = eσ1(ενi−µ)yδν1,ν2δσ1,−σ2(2Nν1 + 1− σ1) (2.9.134)

∆σ1,σ2−,ν1,ν2

(−ihy, 0) = eσ1(ενi−µ)yδν1,ν2δσ1,−σ2(σ1(2Nν1 − 1) + 1) .

Peraltro, anche in questo caso il risultato corrisponde alla somma deidiagrammi connessi contenenti x come vertice. Per esempio la correzione alprimo ordine nell’interazione con un’impurezza del valor medio di ρ~k e datada:

v(−~k)∑~p

N~p+~k − N~p

ε~p+~k − ε~p' 4mv(−~k)

∫d~p

θ(pF − |~p+ ~k|)− θ(pF − p)h2(2~p · ~k + k2)

' 8πmpF v(−~k)

h2

∫ 1

−1

dx

2kx

∫dp[θ(pF − p− kx)− θ(pF − p)]

' −8πmpF v(−~k)

h2 . (2.9.135)

Dove hpF e l’impulso di Fermi e si e approssimata la distribuzione di Fermicon quella a temperatura nulla.

Questo risultato conferma che la lunghezza di Debye a bassa temperaturain un conduttore e data da D '

√2ε0EF/(

√3ρe) dove ρ e la densita degli

elettroni di conduzione.Tornando brevemente sulle funzioni D±(y) osserviamo che esse sono ov-

viamente discontinue in y = 0 mentre si ha D±(β/2) = ±D±(−β/2). Per-tanto la funzione D+ puo essere estesa a tutto l’asse reale come una funzione

43

periodica di periodo β pur con la discontinuita nei punti y = nβ. Consideria-mo per esempio la D−,++,ν,ν(y) = exp(−Ey)[NE + (1 + ε(y))/2], dove si e postoE = εν −µ e si ha NE = 1/(exp(βE)− 1), essa puo essere sviluppata in seriedi Fourier:

D−,++,ν,ν(y) =∞∑

n=−∞

e2πny/β

β

∫ β/2

−β/2e2πnz/βD−,++,ν,ν(z) =

∞∑n=−∞

e2πny/β

β(2.9.136)[∫ β/2

0e−Ez(NE + 1)e2πnz/β +

∫ 0

−β/2e−EzNEe

2πnz/β

]=

∞∑n=−∞

1

Eβ + πi2neπi2nyβ .

Nel caso Fermionico si ha invece D−,+−,ν,ν(y) = exp(−Ey)[ε(y) + 1 − 2NE]/2che e periodica con periodo 2β e puo essere sviluppata in serie di Fourier:

D−,+−,ν,ν(y) =∞∑

n=−∞

eπny/β

2β

∫ β

−βeπnz/βD−,+−,ν,ν(z) (2.9.137)

=∞∑

n=−∞

eπny/β

2β

[∫ β

0e−Ez(1−NE)eπnz/β −

∫ 0

−βe−EzNEe

πnz/β

]

=∞∑

n=−∞

1

Eβ + πineπinyβ (1− (−1)n)/2 =

∞∑n=−∞

1

Eβ + πi(2n+ 1)eπi(2n+1)y

β .

Notevole la somiglianza delle due espressioni in Eq. (2.9.137) e Eq. (2.9.138)che differiscono unicamente nelle frequenze immaginarie, dette di Matsubara,proporzionali ai numeri pari nel caso Bose e a quelli dispari nel caso Fermi.Questo fatto e una conseguenza della KMS e corrisponde alla rispettiva pe-riodicita e antiperiodicita dei propagatori nell’intervallo ±β/2. Il legame conla KMS indica che la anti/periodicita vale anche in presenza di interazione,cioe per un generico valor medio di un prodotto di operatori ordinato neltempo immaginario.

Nel calcolo delle correzioni perturbative ai valori medi, i diagrammi diFeynman vanno integrati fra 0 e β nel tempo immaginario associato ai vertici.Di conseguenza si ha per ogni vertice la conservazione della somma dellefrequenze pesate col fattore +1 se associate a un operatore di distruzionee −1 per un operatore di creazione. Quindi, se si calcolano le correzionidi ordine superiore al risultato dato in Eq.(2.9.135), che corrispondono adiagrammi poligonali non intrecciati, si ha una sola somma sulle frequenze.Si invita il lettore a ripetere col metodo di Matsubara il calcolo mostrato inEq.(2.9.135) .

44

2.10 Funzioni di Green

La definizione della suscettivita data in Eq.(2.4.60) si precisa, tenendo contodella Eq.(2.4.56) nella forma:

χ(d)(t) =i

hΘ(t)Tr

(ρ0 [x

(H)i (t), x

(H)j (0) ]

). (2.10.138)

Questa espressione giustifica l’identificazione della suscettivita con la Fun-zione di Green ritardata della nostra teoria; cio puo essere capito nei terminiseguenti. Noi abbiamo introdotto il sistema delle osservabili locali xi pen-sando a un sistema completo e a un’algebra di Lie chiusa. Questo vuol direche qualunque osservabile e scrivibile come una combinazione lineare dellexi e di c-numeri e in tale modo puo essere espresso il commutatore di dueosservabili:

[xi, xj] = ici,j + ifi,j,kxk , (2.10.139)

o quello di un’osservabile con l’Hamiltoniano. Quindi, passando alla rappre-sentazione di Heisenberg all’equilibrio abbiamo

d

dtx

(H)i (t) ≡ x

(H)i (t) = ξi +

∑j

hi,jx(H)j (t) . (2.10.140)

Combinando insieme queste equazioni possiamo ricavare un’equazione diffe-renziale per la suscettivita, cioe:

χ(d)i,j (t) =

i

hΘ(t)Tr

(ρ0 [x

(H)i (t), x

(H)j (0) ]

)+i

hδ(t)Tr

(ρ0 [x

(H)i (t), x

(H)j (0) ]

)=∑l

hi,lχ(d)l,j (t)− 1

hci,jδ(t) . (2.10.141)

In linea di principio, e anche di fatto entro certe approssimazioni, questo si-stema di equazioni contenente una parte inomogenea proporzionale alla deltadi Dirac dovrebbero permettere di calcolare direttamente le suscettivita. Sitratta delle tipiche equazioni di Green il cui esempio piu noto e l’equazione diLaplace per una carica puntiforme posta nell’origine:−∇2V (~r) = (q/ε0)δ(~r) .

Va notato che la somma della suscettivita e del correlatore a tempi diversi:

χ(d)i,j (t) +

i

hT r

(ρ0x

(H)j (0)x

(H)i (t)

), (2.10.142)

definisce un nuovo sistema di funzioni di Green, dette ordinate nel tempo, chesoddisfano le stesse equazioni, ma con condizioni al contorno diverse. Questefunzioni di Green tempo ordinate sono del tutto analoghe ai propagatori cheappaiono negli sviluppi perturbativi trattati nel capitolo precedente.

45

2.11 Il modello di Onsager

La teoria della risposta lineare si confronta con un modello sviluppato daOnsager negli anni ’30 del secolo scorso fortemente ispirato dalle teorie diEinstein sulla diffusione. Qui di seguito svilupperemo un modello ispiratodall’analisi del Landau (Fisica Statistica, cap. XII) precisando un po’ megliole ipotesi di partenza.

Il modello di Onsager assume che i valori medi delle variabili dinamichedi un sistema nelle vicinanze dell’equilibrio termico soddisfino un’equazionedi evoluzione del tipo di Langevin. Volendo confrontare il modello con lateoria presentata nei paragrafi precedenti evidentemente e sottintesa la sceltadella rappresentazione di Heisenberg, ma trattandosi di una teoria classicaevitiamo il suffisso (H). L’equazione di evoluzione e dunque:

xi(t) = −∑j

λi,jxj(t) +Ri(t) , (2.11.143)

dove λ = z−1d z e una matrice diagonalizzabile con z reale e di,j = diδi,jdove di e reale e positivo.7 Ri(t) e una variabile stocastica corrispondentea un rumore bianco, che vuol simulare, schematizzandolo molto rozzamente,il rumore dovuto alle fluttuazioni termiche. Indicando il valor medio dellagrandezza G tramite < G >, quanto detto per R equivale a

< Ri(t)Rj(t′) >= Ri,jδ(t− t′) . (2.11.144)

Evidentemente la matrice R e reale e simmetrica.Da queste premesse possiamo calcolare facilmente la matrice di corre-

lazione del sistema. Infatti se cambiamo la base delle variabili dinamichesecondo l’equazione yi(t) =

∑j zi,jxj(t) e definiamo il vettore r(t) = zR(t) e

la matrice simmetrica r = zRzT , trasformiamo l’Eq.(2.11.143) in:

yi(t) = −diyi(t) + ri(t) , (2.11.145)

7Si noti che l’ipotesi di diagonalizabilita non e riportata dal Landau. Peraltro e facilevedere che, per esempio, una matrice λ non diagonalizzabile del tipo

( λ 10 λ

)

e incompatibile con la reversibilita microscopica e la positivita della matrice di correlazione.

46

la cui soluzione nulla al limite t→ −∞ e:

yi(t) =∫ t

−∞dτedi(τ−t)ri(τ) . (2.11.146)

Da questa equazione segue il correlatore:

< yi(t)yj(t′) >=

∫ t

−∞dτ∫ t′

−∞dτ ′ri,jδ(τ − τ ′)edi(τ−t)edj(τ

′−t′), (2.11.147)

il cui secondo membro vale, per t > t′,∫ t′

−∞dτ ′ri,je

di(τ′−t)edj(τ

′−t′) =ri,j

di + dje−di(t−t

′) , (2.11.148)

e per t′ > t,∫ t

−∞dτ ri,je

di(τ−t)edj(τ−t′) =

ri,jdi + dj

e−dj(t′−t) . (2.11.149)

Quindi, in ultima analisi, si ha:

< yi(t)yj(t′) >= Θ(t− t′) ri,j

di + dje−di(t−t

′) + Θ(t′ − t) ri,jdi + dj

e−dj(t′−t) ,

(2.11.150)la cui trasformata di Fourier, la densita spettrale delle fluttuazioni dellevariabili y, e

C(y)i,j (ω) ≡

∫ ∞−∞

dt < yi(t)yj(0) > eiωt

=ri,j

di + dj[∫ 0

−∞dte(dj+iω)t +

∫ ∞0

dte−(di−iω)t]

=ri,j

di + dj[

1

dj + iω+

1

di − iω] =

ri,j(di − iω)(dj + iω)

. (2.11.151)

Il correlatore a tempo fisso e invece: be

< yi(t)yj(t) >=ri,j

di + dj. (2.11.152)

Tornando alle variabili dinamiche originali abbiamo il correlatore a tempieguali

Ci,j(0) =∑l,m

(z−1)i,l(z−1)j,m

rl,mdl + dm

, (2.11.153)

47

e la densita spettrale delle fluttuazioni:∫ ∞−∞

dt < xi(t)xj(0) > eiωt ≡ Ci,j(ω) = (z−1)i,l(z−1)j,m

rl,m(dl − iω)(dm + iω)

,

(2.11.154)che, come si vede, e una matrice Hermitiana, come peraltro la (2.11.151).

Il modello assume reversibilita microscopica e coinvolge solo le variabilidi un blocco diagonale ponendo (xi)R ≡ xi. In questo caso C(ω) dovrebbeessere una matrice simmetrica cosı come C(y)(ω). Studiamo quest’ultimamatrice perche comporta un’analisi piu semplice. La condizione di simmetriadi C(y)(ω), cioe ri,j/((di − iω))(dj + iω)) = ri,j/((di + iω))(dj − iω)) porta ari,j(di − iω))(dj + iω) = ri,j(di + iω))(dj − iω) cioe ri,j(di − dj) = 0. Questoequivale a richiedere che r commuti con la matrice diagonale d e quindi sipossa scrivere in forma diagonale insieme a d. Di conseguenza la reversibilitaimplica le relazioni:

C(y)i,j (0) = δi,j

ri2di

, C(y)i,j (ω) = δi,j

ri(d2i + ω2)

. (2.11.155)

Onsager osserva che la distribuzione di equilibrio e determinata da unafunzione di probabilita Gaussiana: dP (x) ∼ exp(−S(x)) dove S e l’entropia.Nel modello si ha evidentemente:

S(x) =1

2

∑i,j

Ci,j(0)xixj =1

4

∑i

ridiy2i . (2.11.156)

Egli definisce poi la matrice dei coefficienti cinetici riscrivendo l’equazione diLangevin nella forma:

xi(t) = −γi,j∂S

∂xj+Ri(t) . (2.11.157)

Il Teorema di Reciprocita asserisce che la matrice γ e reale e simmetrica.Seguendo l’analisi del nostro modello il teorema e evidente per le variabili y.Infatti:

∂

∂yiS =

ri2di

yi , (2.11.158)

e quindi l’equazione di Langevin e:

yi(t) = −diyi(t) +R(y)i (t) = −2

d2i

ri

∂S

∂yi+R

(y)i (t) . (2.11.159)

48

Tornando alle variabili iniziali x = z−1y si ha ∂S∂x

= zT ∂S∂y

e quindi si ritrova

la Eq.(2.11.157) con γi,j =∑l z−1i,l z

−1j,l

2d2l

rl.

Il teorema di reciprocita trova numerose applicazioni fra cui, per esempio,ai fenomeni termo-elettrici (trattati sul Landau, volume 8, capitolo 35).

Notiamo che il modello di Onsager dovrebbe essere confrontabile con inostri risultati, almeno nell’ambito della fisica dei gas rarefatti, per cui ab-biamo calcolato la funzione spettrale ottenendo quanto dato in Eq.(2.2.44)che, sostituito in Eq.(2.3.49), da:

C~k,~q(ω) = 2πNδ~k,−~q(βm

2πq2)

12 e−βmω

2

2q2 , (2.11.160)

mentre la Eq.(2.3.54) da:

C~k,~q(0) = Nδ~k,−~q(βm

2πq2)

12

∫ ∞−∞

dωe−βmω

2

2q2 = Nδ~k,−~q . (2.11.161)

Evidentemente il confronto non e possibile per la semplice ragione che ilmodello di Onsager da un andamento a grandi ω della trasformata di Fourierdel correlatore: C~k,~q(ω) ∼ 1

ω2 , mentre noi abbiamo trovato un decadimentoesponenziale. Evidentemente il limite del modello sta nell’ipotesi di rumorebianco, che e non fisica. Un andamento simile a quello in Eq.(2.11.160) sitroverebbe se si assumesse uno spettro di rumore Gaussiano, cioe:

< Ri(t)Rj(t′) >=

Ri,j√2πT

e−(t−t′)2

2T2 . (2.11.162)

Infatti la Eq.(2.11.150) diventerebbe:

< yi(t)yj(0) >=∫ t

−∞dτ∫ 0

−∞dτ ′

ri,j√2πT

e−(τ−τ ′)2

2T2 edi(τ−t)edjτ′

=ri,j√2πT

∫ 0

−∞dx∫ 0

−∞dx′e−

(x−x′+t)2

2T2 edixedjx′. (2.11.163)

Ponendo x− x′ = −y, x+ x′ = −2z si ha:

< yi(t)yj(0) >=ri,j√2πT

∫ ∞−∞

dy∫ ∞|y|/2

dze−(y−t)2

2T2 e−y(di−dj)/2e−(di+dj)z

=ri,j√

2πT (di + dj)

∫ ∞−∞

dye−(y−t)2

2T2 e−y(di−dj)/2e−(di+dj)|y|/2

, (2.11.164)

49

la cui trasformata di Fourier e:

C(y)i,j (ω) ≡

∫ ∞−∞

dt < yi(t)yj(0) > eiωt

=ri,j√

2πT (di + dj)

∫ ∞−∞

dteiωt[∫ 0

−∞dye−

(y−t)2

2T2 edjy +∫ ∞

0dte−

(y−t)2

2T2 e−diy]

=ri,j

di + dje−(ωT )2/2[

∫ 0

−∞dye(dj+iω)y +

∫ ∞0

dte−(di−iω)y]

=ri,je

−(ωT )2/2

di + dj[

1

dj + iω+

1

di − iω] =

ri,je−(ωT )2/2

(di − iω)(dj + iω). (2.11.165)

Tenendo conto della reversibilita e quindi del fatto che r e diagonale si trovainfine:

C(y)i,j (ω) = δi,j

rid2i + ω2

e−(ωT )2/2 . (2.11.166)

Se prendiamo sul serio questo risultato e vediamo apparire due tempidistinti (assumendo i vari di coincidenti o dello stesso ordine di grandezza).Si ha il tempo T che, nel caso di fluttuazioni di densita, dovrebbe valere√mβ/(2q2) ' λ/vT , come risulta da un confronto col caso del gas perfet-

to. L’ordine di grandezza del tempo T corrisponde a quanto impiega unaparticella con velocita termica a percorrere una distanza 1/q. Si ha poi iltempo 1/di, che e il tempo di diffusione, valutato in appendice, il cui or-dine di grandezza e l/vT dove l e il cammino libero medio delle particellenel gas, che quindi non e del tutto perfetto. Il cammino libero medio valecirca Ω/(Nσ), se σ e la sezione d’urto totale molecolare. Dunque si avrebbe1/di ∼

√mβNσ/(Ω). Quindi l’importanza della diffusione molecolare e va-

lutata dal rapporto fra i tempi 1/(Tdi) ∼ Nσ/(Ωq). Nel caso in cui questorapporto e piccolo la distribuzione in Eq.(2.11.166) non e distinguibile da undistribuzione Gaussiana.

Rimane aperto il problema di dedurre un andamento analogo a quelloin Eq.(2.11.166) partendo dalla definizione della densita spettrale, per farquesto pero e essenziale tenere correttamente conto dello scattering.

50

Appendice A

L’equazione di Navier-Stokes ele fluttuazioni di densita in ungas

L’equazione di continuita e:

~∇ · ~v ρ+ ρ = 0 , (A.0.1)

la pressione e data dall’equazione di stato

p =ρ

mβ, (A.0.2)

l’equazione adiabatica edp/p = γdρ/ρ . (A.0.3)

L’equazione di Navier-Stokes linearizzata e:

ρ~v = −~∇p+ η∇2~v = −γpρ~∇ρ+ η∇2~v

= − γ

mβ~∇ρ+ η∇2~v , (A.0.4)

dove la viscosita η e data da

η = lρvT/3 =lρ√3βm

, (A.0.5)

51

e il cammino libero medio l e:

l =Ω

Nσ, (A.0.6)

con Ω volume, N numero di molecole, σ sezione d’urto.Passando alle trasformate di Fourier f(~r) =

∫/(2π)3d~k exp(−i~k · ~r)f(~k)

Eq.(A.0.1) diventa:˙ρ = iρ~k · ~v , (A.0.7)

e l’equazione di Navier-Stokes:

ρ˙~v = i~k

γ

mβρ− ηk2~v , (A.0.8)

moltiplicando scalarmente per ~k ambo i membri e tenendo conto di Eq.(A.0.7)abbiamo:

−i¨ρ = ik2 γ

mβρ+ i

ηk2

ρ˙ρ , (A.0.9)

che in presenza di un rumore stocastico ξ diventa:

¨ρ− ηk2

ρ˙ρ+ k2 γ

mβρ = ξ . (A.0.10)

Di qui si calcola direttamente nel solito modo lo spettro delle fluttuazionidella densita in funzione di quello del rumore Cξ(k, ω):

Cρ(k, ω) =Cξ(k, ω)

(k2 γmβ− ω2)2 + η2k4ω2

ρ2

. (A.0.11)

dove appare la riga di suono e il fattore di smorzamento dello stesso. Risultache il tempo di smorzamento di un’onda sonora e dato da:

τS =ρ

ηk2' 3

lvTk2∼ λ2

lvT, (A.0.12)

dove λ e la lunghezza d’onda del suono. Ma se assumiamo che il rumore siatermico e quindi del tipo Gaussiano

Cξ(k, ω) ∼ e−βmω2

2k2 (A.0.13)

52

la riga di suono viene tagliata dalla Gaussiana, perche la velocita del suonoe vicina a quella termica. Viceversa alle basse frequenze si ha:

Cρ(k, ω) ' Cξ(k, ω)

k4( γmβ

)2 + η2k4ω2

ρ2

=

ρ2Cξ(k,ω)

k4η2

ω2 + ( ργmηβ

)2∼ R

ω2 + (γvTl

)2. (A.0.14)

In sintesi vediamo apparire due tempi distinti . Si ha il tempo T ∼ λ/vT e iltempo di diffusione l/(γvT ). Quindi l’importanza della diffusione molecolaree valutata dal rapporto fra questi tempi, cioe circa l/λ ' Ω/(Nλσ). Nelcaso in cui questo rapporto e piccolo la distribuzione in Eq.(A.0.11) non edistinguibile da un distribuzione Gaussiana.

53