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Politecnico di Milano

Scuola di Ingegneria dei Sistemi

Corso di Studi in Ingegneria Matematica

Tesi di Laurea Magistrale

TRANSIZIONE DI FREEDERICKSZ IN

CRISTALLI LIQUIDI SMETTICI

Relatore: Professor Paolo Biscari

Candidata:Erica BenincaMatricola 755627

Anno Accademico 2011-2012

Indice

Abstract 5

1 Background fisico 71.1 Cristalli liquidi nematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Cristalli liquidi colesterici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Cristalli liquidi smettici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Prime teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Parametri d’ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1 Stati uniassici e biassici . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2 Difetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 La teoria classica: la teoria di Frank 172.1 Indifferenza materiale e simmetria materiale . . . . . . . . . . 182.2 Parita e definita positivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 La Formula di Frank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Equazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1 Nessuna condizione al bordo . . . . . . . . . . . . . . 252.4.2 Strong anchoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4.3 Conical anchoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 La transizione di Freedericksz 273.1 Instabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Disallineamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Applicazione nella tecnologia LCD . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 La fase smettica 394.1 Funzionale di energia libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Equazioni di Eulero-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Esempio di transizione di Freedericksz in una geometriaparticolare 475.1 Geometria ed equazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Minimizzazione in φ10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3 Studio della biforcazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

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6 Risultati 63

7 Conclusioni 67Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

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Abstract

In questo lavoro di tesi si e effettuata una panoramica teorica riguardantei vari modelli matematici proposti per descrivere i cristalli liquidi: si e in-trodotta la teoria classica proposta da Frank, il quale si occupo esclusivamentedella fase nematica, per poi arrivare alla teoria di Landau-De Gennes alfine di spiegare il comportamento della fase smettica. Ci si e concentrati poisull’analisi del fenomeno della transizione di Freedericksz, che si manifestaquando un cristallo liquido viene sottoposto ad una forzante esterna. L’ef-fetto dell’agente esterno si manifesta nel momento in cui un determinatoparametro oltrepassa un valore critico. Si sono presentati i casi in cui questeforzanti fossero un campo elettrico (o magnetico) oppure un cambiamentodelle condizioni al bordo in cristalli liquidi nematici. Si e quindi svoltaun’analisi relativa ad una sostanza di tipo smettico, soggetta ad una vari-azione di temperatura. E stato analizzato il caso semplificato di una sostanzaracchiusa tra due lastre piane parallele, in cui le lamine smettiche fosseropiani e il parametro che misura la modulazione di densita fosse costante.Si e presentato il funzionale di energia relativo ad un materiale di questotipo nel caso generale e sono state ricavate delle condizioni su un coeffi-ciente di tale funzionale, in modo da identificare quando si instaurasse latransizione di Freedericksz. Questo punto infatti corrisponde al valore percui la condizione di equilibrio iniziale diventa instabile e nascono due nuoviequilibri stabili. Si e isolato in particolare il parametro adimensionale dibiforcazione e si e identificato per quale valore avviene il cambio di stabilita.Per capire l’evoluzione del sistema oltre tale valore critico si e effettuatauna perturbazione del funzionale in un intorno del punto critico. Si sonoquindi calcolati i due nuovi equilibri stabili, in particolare si e calcolato ilvalore dell’angolo formato tra il direttore e i piani che delimitano il dominioe l’inclinazione degli strati smettici rispetto a tali piani.

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Capitolo 1

Background fisico

I cristalli liquidi sono materiali complessi che, se posti a determinate temper-ature, presentano sia le caratteristiche dei fluidi incomprimibili che dei solidi.In un solido le molecole occupano posizioni fissate e regolari ed i loro centridi massa sono organizzati in un reticolo periodico. Dato un pattern in unpunto x0 nello spazio, la probabilita di trovarne uno simile ad una distanzainfinita risulta finita; in un liquido non e cosı, poiche non c’e modo, data unamolecola o una struttura in un punto, di esprimere la probabilita di trovareuna situazione analoga in un altro punto. Nei cristalli liquidi, entro deter-minati intervalli di temperatura, la sostanza assume proprieta intermedie:non si passa cioe direttamente da stato solido a stato liquido ma si manifestauna mesofase. Sostanze di questo tipo si incontrano di frequente nella vitadi tutti i giorni: alcuni esempi sono schiume, saponi, gomme, plastiche e idisplay a cristalli liquidi, che sfruttano in particolare le proprieta ottiche diquesti materiali. Lo studio teorico del loro comportamento coinvolge diversediscipline, dalla meccanica dei continui alla meccanica statistica, dal calcolodelle variazioni alla teoria delle transizioni di fase.Vennero scoperti nel 1888 da Friedrich Reinitzer, il quale, lavorando con ilbenzoato di colesterolo, si accorse che questo aveva due punti di fusione; a145.5 la sostanza diventava liquida, ma si presentava opaca nonostantenon contenesse impurita. Alla temperatura di 178.5 questo effetto svanivae il liquido diventava trasparente. Nello stadio intermedio il materiale e unfluido anisotropo, che presenta caratteristiche sia di un liquido, in quantoper esempio scorre come come un fluido incomprimibile, che di un solido,per le proprieta ottiche e per la struttura microscopica. Le molecole infattisono disposte lungo una direzione preferenziale che puo variare da punto apunto, a seconda del tipo di cristallo liquido: questa direzione e chiamataasse ottico.La maggior parte dei cristalli liquidi e costituita da sostanze organiche, chechiamiamo mesogeni. Nell’esperimento di Reinitzer la fase mesogenica estata indotta attraverso una variazione di temperatura: questo e il caso delle

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Cristalli liquidi colesterici

sostanza termotropiche; un altro metodo per far comparire questo effetto ela variazione di concentrazione in un solvente, e queste sostanze si diconoliotropiche.Georges Friedel nel 1922 propose una classificazione dei cristalli liquidi sullabase della disposizione delle molecole nella mesofase: individuo la fase ne-matica, colesterica e smettica. Quest’ultima a sua volta include tre tipologiedi sostanze: gli smettici-A, gli smettici-B e gli smettici-C.

1.1 Cristalli liquidi nematici

La caratteristica principale dei cristalli liquidi nematici e la forma dellemolecole, che si presentano come dei bastoncini di dimensione tra i 5 e i 20A,caratterizzate da una simmetria rispetto ad un piano ortogonale al proprioasse. Ad una scala microscopica si manifesta un ordinamento parziale, nelsenso che le molecole tendono a disporsi parallelamente l’una rispetto all’altra.Si tratta di un ordine relativo solo all’orientazione, infatti i centri di massadelle molecole sono liberi di disporsi. Questa tendenza puo essere contrastatadall’aumentare della temperatura in una sostanza pura, o dall’interazione tradiverse specie nel caso di una soluzione; entrambi i fattori sono causa di di-sordine molecolare. Non appena i fattori caotici prevalgono, la sostanza cessadi essere un cristallo liquido e diventa un liquido isotropo. Questo avvienead un determinato valore di temperatura per le sostanze termotropiche, e diconcentrazione per sostanze liotropiche.Quando non vi sono campi esterni che influenzino l’orientazione delle molecole,queste tendono a disporsi lungo una direzione media, che e la loro naturaleorientazione. Ogni direzione dello spazio ha la stessa probabilita di essere ladirezione preferenziale della sostanza.

1.2 Cristalli liquidi colesterici

I cristalli liquidi colesterici vengono anche chiamati chiro-nematici : questoperche sono simili ai nematici, ma le molecole presentano una caratteristicain piu, ovvero la chiralita. Anch’esse appaiono allungate ma hanno unaforma a spirale, che puo avere un’orientazione destrorsa o sinistrorsa. Ladirezione privilegiata e costituita dall’asse delle eliche, che e l’analogo dell’assedelle molecole nei nematici. Ogni molecola, se capovolta, ovvero se vieneinvertita la testa con la coda, appare invariata ma questa proprieta nonsi traduce in una simmetria a specchio come nel caso nematico, poiche lachiralita cambia. Inoltre, in assenza di campi esterni le molecole tendono adassumere un’orientazione naturale, ma il criterio con cui si dispongono e laminimizzazione del volume occupato: gli assi quindi in questo caso non sono

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Cristalli liquidi smettici

paralleli gli uni agli altri. La direzione preferenziale varia di punto in punto,ma si mantiene ovunque parallela ad un dato piano P: non varia nei pianiparalleli a P, ma ruota progressivamente al variare di P. Si definisce assecolesterico la direzione perpendicolare a P.A titolo di esempio, si consideri una sostanza in cui l’asse colesterico coincidacon l’asse z di un riferimento cartesiano; il piano P coincidera con il piano(x, y). Se (nx, ny, nz) sono tre componenti di un versore giacente sul pianoP, una naturale orientazione sara della forma

nx = cos(τz + ψ0), ny = sin(τz + ψ0), nz = 0, (1.1)

dove τ e uno scalare chiamato twist, ed e un modulo materiale dipendentedalla temperatura, mentre ψ0 ∈ [0, 2π) e un angolo che dipende dal sistemadi riferimento e non ha alcuna interpretazione fisica.Il vettore (1.1) descrive un’elica avvolta attorno l’asse z ; la distanza tra duespirali adiacenti, della pitch, e data da

P =2π|τ |. (1.2)

Tipicamente P vale circa 6 · 103 A. Quando τ > 0 l’elica e destrorsa, quandoτ < 0 e sinistrorsa. Ad una certa temperatura critica τ puo annullarsi:questo e il caso in cui la sostanza diventa nematica, e il vettore desritto soprasi riduce ad una costante.L’essere nematico o colesterico e una caratteristica globale, che fa riferi-mento a proprieta medie della sostanza: si osserva infatti che una misceladi molecole colesteriche aventi chiralita opposte da luogo ad una sostanzanematica, poiche in media le chiralita si compensano e si annullano a vicenda.E importante dunque un’osservazione del comportamento macroscopico oltreall’analisi microscopica per una descrizione completa del fenomeno in esame.

1.3 Cristalli liquidi smettici

I cristalli liquidi smettici sono sostanzialmente diversi dalle prime due tipologiepresentate. L’esempio piu comune di sostanza smettica e costituito dallebolle di sapone. Innanzitutto vengono favoriti sia un ordine posizionale tra lemolecole, dovuto alle forze intermolecolari, che un ordine di orientazione. Alivello microscopico si notano delle strutture bidimensionali stratificate, chescorrono l’una sull’altra, e prendono il nome di mesofasi lamellari. Questestrutture sono tipicamente dei piani, all’interno dei quali le molecole sonoordinate in modo simile a quelle delle sostanze nematiche o colesteriche.Tipicamente la fase smettica si presenta a temperature inferiori rispetto aquella nematica. Come detto precedentemente, in base a come si dispongonole molecole si differenziano piu tipologie di smettici:

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Prime teorie

• Smettici-A: le molecole sono orientate perpendicolarmente agli strati ela sostanza e otticamente uniassica. All’interno di ogni strato non esisteun ordine posizionale tra le molecole e come nei nematici le direzioni ze −z sono equivalenti. Tipicamente la distanza tra uno strato all’altrovaria tra la lunghezza di una molecola e il doppio di questo valore.

• Smettici-B: le molecole tendono ad occupare posizioni fissate

• Smettici-C: analoghi agli smettici-A, ma le molecole formano un angolofissato con la normale agli strati, e questo rende la sostanza otticamentebiassica.

Fig. 1.1: Disposizione delle molecole in un cristallo smettico-C.

In figura 1.1 e riportata una schematizzazione della disposizione moleco-lare in una sostanza smettica C, in cui con ω si e indicato l’angolo diinclinazione della normale agli strati rispetto al direttore, detto angolo di tilt.Se ω = 0 il materiale e smettico-A.Esistono altre configurazioni particolari, ma quelle elencate sono le principali.E possibile passare da una fase all’altra variando la temperatura, e tipica-mente la fase smettica compare prima di quella nematica.

1.4 Prime teorie

Le prime due teorie matematiche sull’argomento risalgono al 1930, e sonola swarm theory e la distortion theory. Anni piu tardi, precisamente nel1958, Frank propose la sua teoria dei continui prendendo spunto dall’ultima

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Parametri d’ordine

di quelle citate. Lo stesso Frank si accorse che le due visioni non eranorealmente in contrasto, in quanto affrontavano lo stesso problema ma dapunti di vista diversi: la prima proponeva un approccio statistico, mentre laseconda poneva le basi per una teoria dei continui.La teoria degli swarm viene inizialmente proposta da Bose nel 1909; riguardasolamente le sostanze nematiche e colesteriche, che tratta come fosserodei policristalli. In particolare afferma che le molecole si raggruppano incolonie, di dimensione stimata circa 10−6 cm e contenenti 105 molecole,all’interno delle quali l’orientazione e pressoche costante, e non e influenzatadall’orientazione degli swarm circostanti. Il tutto e immerso in una matrice difluido isotropo. Una molecola inoltre non e vincolata a rimanere nello swarminiziale: ci sono infatti scambi continui, quindi sia composizione che formanon sono costanti nel tempo. Questa descrizione spiegherebbe l’opacita chesi osserva nelle mesofasi: la luce che attraversa la sostanza viene riflessa intutte le direzioni poiche la composizione non e omogenea.Nel 1927 Zocher propose una teoria alternativa, nota come distortion theory.Il nome deriva dal fatto che studia la distorsione nei cristalli liquidi(inparticolare in quelli nematici), provocata da un campo magnetico esterno.Innanzitutto si parte da tre ipotesi fondamentali:

• la sostanza tende ad assumere una configurazione in cui la direzioneassiale e costante in ogni punto;

• qualsiasi forza esterna di disturbo alla configurazione naturale causauna distosione per cui la direzione preferenziale cambia continuamente,finche non agisce una forza di natura elastica a riportare l’equilibrio;

• all’interfaccia con corpi solidi la posizione iniziale non subisce variazioni.

Tra le due teorie prevalse la prima, anche se quest’ultima pone le basi per lateoria di Frank, che e ad oggi la piu accreditata.

1.5 Parametri d’ordine

Un modello completo ed esaustivo che descriva la struttura dei cristalli liquididovrebbe tenere conto di posizione e orientazione di ogni molecola. Tuttaviaun approccio di questo tipo risulta molto complicato e bisognerebbe tenereconto di tutte le interazioni interamolecolari. Inoltre spesso e sufficienteconoscere l’orientazione di gruppi di molecole che si trovano in determinatezone.Una possibile alternativa e utilizzare un punto di vista statistico. Un corpocostituito di cristalli liquidi contiene al suo interno delle microstrutture,quindi i parametri che descrivono la scala microscopica hanno un significatoanche a livello macroscopico. Questi sono detti parametri d’ordine.

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Sia E uno spazio ortogonale euclideo, e TpE , p ∈ E il corrispondente spaziotangente. Gli elementi di E sono detti punti, quelli di TpE sono vettori. Siindica con B la regione di spazio occupata dal cristallo liquido. Si suppongadi conoscere la densita di probabilita fp : S2 → R+, dove S2 e la sfera diraggio unitario, che indica per ogni p ∈ B la distribuzione di probabilita localedell’orientazione delle molecole. Se ω e un sottoinsieme di S2, la probabilitadi trovare in p una molecola orientata come un vettore contenuto in ω e datada

Pω =∫ωfp(`)da (1.3)

dove a e la misura dell’area definita su S2. Vista la simmetria a specchio delcaso nematico, per cui testa e coda delle molecole sono equivalenti, fp deveessere una funzione pari, cioe

fp(`) = fp(−`) ∀` ∈ S2 (1.4)

Di conseguenza il momento primo della distribuzione risulta nullo:

m =∫

S2

`fp(`)da = 0 (1.5)

Per ottenere qualche informazione bisogna quindi passare ad analizzare ilmomento secondo:

M =∫

S2

(`⊗ `)fp(`)da (1.6)

M e un tensore simmetrico a traccia unitaria. Si ha infatti:

trM =∫

S2

tr(`⊗ `)fp(`)da =∫

S2

fp(`)da = 1

MT =∫

S2

(`⊗ `)T fp(`)da = M

Quindi, per il teorema di decomposizione spettrale, M e diagonalizzabile e isuoi autovalori sono regolari. Indicando con λ1, λ2, λ3 gli autovalori e cone1, e2, e3 i rispettivi autovettori, si puo esprimere M come

M = λ1e1 ⊗ e1 + λ2e2 ⊗ e2 + λ3e3 ⊗ e3 (1.7)

M inoltre e semidefinita positiva. Sia infatti λ un autovalore ed e il rispettivoautovettore, si ottiene

λ = e ·Me =∫

S2

(` · e)2fp(`)da ≥ 0

Poiche la traccia di M e unitaria i suoi autovalori sono limitati, in particolare

sp(M) ⊆ [0, 1]

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Nel caso isotropo i tre autovalori coincidono, λi = 13 , i = 1, 2, 3. Questa con-

figurazione corrisponde al caso in cui le molecole sono equamente distribuitein tutte le direzioni, quindi nessuna direzione viene favorita. La distribizionedi probabilita e quindi uniforme:

fp(`) =1

4π(1.8)

Poiche tr(M) = 1 si avra che

Misotropo =13I (1.9)

Il parametro d’ordine utilizzato in letteratura ed introdotto da De Gennes eil tensore del secondo ordine

Q := M− 13I (1.10)

Q si puo interpretare come una misura del grado locale di ordine nella sostan-za. Il caso isotropo e rappresentato quindi dalla condizione Q = 0, condizionenecessaria ma non sufficiente di isotropia; e infatti possibile trovare statinon isotropi ma il cui tensore d’ordine sia nullo. Nel seguito, per semplicita,si adottera il criterio di considerare equivalenti due configurazioni con lostesso tensore di momento secondo, dunque tutte le densita di probabilitache soddisfano

M = Misotropo

sono considerate isotrope.Anche per Q si puo applicare il teorema di decomposizione spettrale: i suoiautovettori coincidono con quelli di M mentre gli autovalori saranno traslati

sp(Q) ⊆[−1

3,23

]e tr(Q) = 0

1.5.1 Stati uniassici e biassici

Se gli autovalori di M sono tali che λ2 = λ3 6= λ1 il cristallo liquido si diceuniassico. In questo caso il tensore d’ordine e della forma

Q = s

(n⊗ n− 1

3I)

(1.11)

dove n e il direttore ed e l’autovettore associato all’autovalore λ1. Lo scalares prende il nome di grado d’ordine e assume valori nell’intervallo

s ∈[−1

2, 1]

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Se s = 1 allora M = n⊗ n e le molecole sono orientate parallelamente adn. Se s = 0 la distribuzione e isotropa, e con s = −1

2 , M = 12(I − n ⊗ n),

proporzionale cioe all’operatore di proiezione sul piano ortogonale ad n.Questo significa che la distribuzione e planarmente isotropa.Nel caso λ1 6= λ2 6= λ3 il cristallo liquido e biassico, e Q e della forma

Q = s1

(n⊗ n− 1

3I)

+ s2 (e2 ⊗ e2 − e3 ⊗ e3) (1.12)

i cui autovalori sono

µ1 =13s1, µ2 = s2 −

13s1, µ3 = −s2 −

13s1

Sapendo qual e l’intervallo in cui sono contenuti gli autovalori si deduce che

−12≤ s1 ≤ 1, −1− s1

3≤ s2 ≤ −

1− s13

Se s2 = 0 lo stato e biassico, quindi s2 puo essere interpretato come estensionebiassica. Si osservi inoltre che anche quando s2 = ±s1 esiste una coppia diautovalori uguali, quindi la sostanza e uniassica. Se si indica con µ1 il piugrande autovalore positivo, s1 e s2 sono rispettivamente il grado d’ordine e ilgrado di biassialita . La rappresentazione fornita nella (1.12) e significativa esemplice solo nei casi prossimi all’uniassialita, in cui s2 e piccolo. Nel casogenerale in letteratura si trovano le seguenti espressioni per il grado d’ordines e il grado di biassialita β, entrambi funzione degli autovalori di Q:

s =(

272µ1µ2µ3

) 12

β =(

6√

3|(µ1 − µ2)(µ2 − µ3)(µ3 − µ1)|) (1.13)

in cui s ∈[−1

2 , 1]

e β = 0 se due autovalori coincidono(caso uniassiale),mentre il massimo grado di biassicita si ha per β = 1. Con un cambio divariabile le (1.13) possono essere scritte come

s = [s1(s21 − 9s22)]1/3

β =(

12√

3|s2(s1 + s2)(s1 − s2)|).

1.5.2 Difetti

Si definiscono difetti i punti in cui la mappa da B in S2 che assegna il valoredel direttore n non e continua. Innanzitutto un difetto puo essere concentratoin punti isolati, curve o superfici. La teoria classica spiega soltanto il primo

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caso; e quindi necessario introdurre una trattazione piu generale che prendain esame tutte le casistiche, lavoro di cui si occupo Ericksen (1991). I difettinella nuova teoria vengono identificati come punti di B in cui s si annulla:in queste zone l’asse ottico n non e definito e la sostanza viene considerataisotropa. Sono zone quindi interessate da un cambiamento di fase senza cheintervenga nessun effetto della temperatura.La nuova definizione di s e n e quindi

s : B →[−1

2, 1], n : B r S(s)→ S2 (1.14)

dove si definisce insieme singolare il sottoinsieme S di B contenente i difetti

S(s) := p ∈ B|s(p) = 0 (1.15)

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Capitolo 2

La teoria classica: la teoriadi Frank

La teoria matematica a cui si fa riferimento come modello per i cristalliliquidi e una teoria del continuo sviluppata da Oseen(1933), Zocher(1933) eFrank(1958).Nella sua trattazione Oseen si concentra sullo studio delle forze intermoleco-lari, che suppone diminuire in intensita all’aumentare della distanza tra lemolecole. Descrive inoltre l’orientazione di ciascuna molecola attraverso unvettore unitario diretto come il corrispondente asse di simmetria. Assumendoche la densita sia costante, ha ricavato un’espressione di un funzionale cherappresentasse l’orientazione molecolare, in modo che ad ogni configurazonedi equilibrio il valore di tale funzionale fosse minimizzato. Secondo Frank,tale teoria risultava non completa, in quanto considerava l’energia totalecome somma di energie tra molecole prese a due a due, e per questo alcunecostanti elastiche non venivano ricavate. Zocher pone le basi per la teoriadi Frank: individua tre costanti elastiche, una in meno di quelle ricavate daFrank, ma il suo modello e corretto quando l’asse ottico e parallelo ad undato piano.L’obbiettivo della teoria di Frank e costruire un funzionale che rappresentil’energia libera; si suppone che la temperatura sia nota, quindi questo fun-zionale descrivera l’energia libera di Helmholtz. Tale trattazione riguardasoltanto cristalli liquide nematici. Per una teoria piu completa bisogna fareriferimento al lavoro svolto da De Gennes, che ha studiato le picole defor-mazioni degli strati smettici.Sia B la regione nota di piano occupata dal cristallo, si indica con n l’asseottico, rappresentato da un campo da B in S2, la sfera di raggio unitarionello spazio euclideo tridimensionale E . Formalmente

B ⊂ E , n : B −→ S2, S2 := u ∈ V : |u| = 1, con V := E − E .

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Indifferenza materiale e simmetria materiale

in cui V rappresenta lo spazio delle traslazioni in E e S2 e una sfera di raggiounitario in V.L’energia libera per unita di volume, σ, dipende da n e dal suo gradiente; ildominio di σ e quindi

F (V) := (n,N)|n ∈ S2, N ∈ L(n,V) (2.1)

doveL(n,V) := L ∈ L(V)|LTn = 0 (2.2)

e L(V) sono i funzionali lineari in V.Il funzionale di Frank assumera la forma

FB[n] :=∫Bσ(n,∇n)dv (2.3)

e definisce l’energia libera elastica. σ deve essere definito positivo e soddisfarele proprieta di indifferenza materiale e simmetria materiale.

2.1 Indifferenza materiale e simmetria materiale

Richiedere che valga l’indifferenza materiale significa imporre che l’energiadel corpo non vari al variare del sistema di riferimento, cioe che il valore diσ resti invariato dopo rotazioni rigide del sistema.Formalmente, si introducono il sistema cartesiano (o, e1, e2, e3), con origineo ∈ E e definito dai versori e1, e2, e3 ∈ V, e si definiscono p ∈ E e x = p− o.Sia Q ∈ L(V) una rotazione, cioe un tensore Q ∈ SOV, dove

SO(V) = Q ∈ O(V)|detQ = 1 (2.4)

e

O(V) = Q ∈ L(V)|Qu ·Qv = u · v ∀u,v ∈ V (2.5)

e lo spazio dei tensori ortogonali. Q trasforma il vettore x in x∗ nel modoseguente:

x∗ = Qx.

Allo stesso modo ciascun punto p ∈ E viene trasformato in p∗, a sua voltadefinito da:

p∗ = o+ x∗ = o+ Q(p− o).

Si e cosı introdotta una rotazione di E che trasforma la porzione di spazio Bin B∗

B∗ = p∗ ∈ E|p∗ = o+ Q(p− o)

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Indifferenza materiale e simmetria materiale

La funzione σ soddisfa la proprieta di indifferenza materiale se

n∗(p∗) = Qn(p)

implica

σ(n∗(p∗),∇n∗(p∗)) = σ(n(p),∇n(p))

Questo si traduce nella relazione algebrica

σ(Qn,QNQT ) = σ(n,N),

∀n ∈ S2, ∀N ∈ L(n,V), ∀Q ∈ SOV(2.6)

e significa che l’energia σ associata alla sostanza in esame non cambia se ilcorpo viene sottoposto ad una rotazione rigida. Questa equivalenza vale siaper cristalli liquidi nematici che per cristalli liquidi colesterici.Diversa e la questione se si parla di simmetria materiale: ci sono trasfor-mazioni di B per cui i due tipi di materiale si comportano diversamente,e questo e dovuto al fatto che le molecole dei colesterici possiedono unachiralita, che cambia se vengono sottoposte ad esempio ad una riflessione.Queso comportamento dovra influenzare anche il comportamento a scalamacroscopica, in particolare l’energia interna nel caso nematico non variera,mentre nel caso colesterico sı.Si cosideri a titolo di esempio il caso di una riflessione: siano e ∈ S2, o ∈ E ePo(e) il piano perpendicolare ad e passante per o. La riflessione attorno aPo(e) e data da

Re := I− 2e⊗ e

Re e un tensore simmetrico e ortogonale, ed e una rotazione attorno ad e diun angolo π, cioe Re = −Qe(π); l’immagine p∗ di un punto p ∈ E e data da

p∗ = o+ Re(p− o)

Se Po(e) e esterno a B, B viene trasformato in B∗:

B∗ := p∗ ∈ E|p∗ = o+ Re(p− o), p ∈ B

e ogni campo vettoriale n su B viene riflesso rispetto Po(e) e si trasformanel vettore n∗ definito su B∗:

n∗(p∗) = Ren(p).

Di conseguenza segue che

∇n∗(p∗) = Re∇n(p)Re.

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Parita e definita positivita

Se B e occupato da un cristallo liquido nematico, la densita di energia σsoddisfera la relazione

σ(n∗(p∗),∇n(p∗)) = σ(n(p),∇n(p))

che equivale a

σ(Ren,ReNRe) = σ(n,N), ∀n ∈ S2, ∀N ∈ L(n,V)

Nel caso dei nematici, questo signica richiedere che

σ(n∗,N∗) = σ(n,N), ∀n ∈ S2, ∀N ∈ L(n,V) (2.7)

Combinando la (2.6) con la (2.7), si ottiene che le proprieta di indifferenzamateriale e simmetria materiale sono soddisfatte se vale

σ(Qn,QnQT ) = σ(n,N), ∀n ∈ S2, ∀N ∈ L(n,V), ∀Q ∈ O(V).(2.8)

Queste proprieta si possono sinteticamente caratterizzare nel caso generalein un’unica relazione: σ deve soddisfare

σ(Qn(p),Q∇n(p)QT ) = σ(n(p),∇n(p)) ∀Q ∈ G(V) (2.9)

dove G(V) e un gruppo che dipende dal materiale:

G(V) =

O(V) nel caso nematicoSO(V) nel caso colesterico

2.2 Parita e definita positivita

La direzione del vettore n in un punto p ∈ B puo essere interpretata comeorientazione media delle molecole che costituiscono la particella p. Nellemolecole dei cristalli liquidi nematici e smettici testa e coda sono indistin-guibili, pertanto n e fisicamente uguale a −n. Questo si riflette anche sulladensita di energia, ovvero σ soddisfa:

σ(−n,−∇n) = σ(n,∇n) (2.10)

σ e cioe una funzione pari.Si analizzi ora il segno di σ. Innanzitutto si consideri il caso in cui la sostanzain esame non sia soggetta ad azioni esterne o condizioni al bordo che nemodifichino l’orientazione: in questa situazione il cristallo liquido si disponein uno stato non distorto, cui corrisponde la sua orientazione naturale, e acui si associa un valore nullo della densita di energia. Formalmente quindi,l’orientazione naturale e definita dal vettore n che annulla σ. E possibile

20

La Formula di Frank

individuare una classe di orientazioni naturali, indicata con N , che dipendedalla natura del materiale:

σ(n,∇n) = 0 ∀n ∈ N

Ogni azione che comporti una variazione da tale stato di equilibrio richiedeun apporto di energia, per cui richiediamo che σ raggiunga un minimo in N .Quindi

σ(n,∇n) ≥ 0 (2.11)

e in questo senso l’orientazione naturale rappresenta uno stato di riferimentoper il materiale.

2.3 La Formula di Frank

In questo peragrafo vengono presentate le espressioni ottenute da Frank perla densita di energia σ(n,N) per sostanze nematiche e colesteriche. Sarannofunzioni polinomiali quadratiche in N che sodisfano le proprieta elencatesopra, tranne la (2.11). Il seguente teorema fornisce la formula di Frank perun cristallo liquido nematico o colesterico:

Teorema 2.3.1. Il piu generale funzionale per l’energia libera che soddisfile (2.6)-(2.7)-(2.10) e del tipo

FFr[n] =∫BσFr(n,∇n)dv (2.12)

con

σFr(n,∇n) = k0(n · curln + τ) + k1(divn)2 + k2(n · curln + τ)2+

+ k3|n ∧ curln| + (k2 + k4)(tr(∇n)2 − (divn)2). (2.13)

τ e il parametro di twist, che risulta nullo se la sostanza e nematica.Frank adotto la semplificazione k0 = 0, in quanto la formula (2.13) acqui-sisce un aspetto piu elegante e le proprieta richieste continuano ad esseresoddisfatte.I parameri (k1, ..., k4) sono conosciuti come costanti elastiche di Frank display,bend,twist e saddle splay.La positivita di σ e garantita se

k1 ≥12

(k2 + k4), k2 ≥ |k4|, k3 ≥ 0. (2.14)

Inoltre la (2.14) implica che k1, k2, k3 e k2 + k4 siano non negativi. Persostanze colesteriche la positivita implica inoltre che

k2 + k4 = 0, (2.15)

21

La Formula di Frank

una relazione che Frank non evidenzio.Ognuna di queste costanti misura un’energia associata ad un campo vettorialespecifico, la somma dei quali approssima n. Per fornire un’interpretazione diogni singolo contributo si consideri un sistema di riferimento con coordinatecilindriche (r, θ, z) con origine in o ∈ E e vettori coordinati er, eθ, ez.

Si avra che:

1. k1 e proporzionale all’energia dello splay field ns := er, schematizzatoin figura 2.1:

σFr(ns,∇ns) = k11r2

Fig. 2.1: Splay field

2. k3 e proporzionale all’energia del bend field nb := eθ(si veda figura2.2):

σFr(nb,∇nb) = k31r2

Fig. 2.2: Bend field

3. k2 e proporzionale all’energia del twist field nc(p) := cos(tx3 +ψ0)e1 +sin(tx3 + ψ0)e2, visualizzabile in figura 2.3, che coincide con l’orien-tazione naturale nei cristalli liquidi colesterici(qui utilizziamo t al postodi τ poiche consideriamo il caso nematico, e in tal caso non c’e unparametro di twist):

σFr(ns,∇ns) = k2t2

22

La Formula di Frank

Fig. 2.3: Twist field

4. per k4 l’interpretazione e condotta per appossimazione: siano p, o ∈ E ,allora

p− o = x1e1 + x2e2 + x3e3.

L’equazione ϕ(x1, x2, x3) = 0 con ϕ(x1, x2, x3) = x3 − x1x2 e unasuperficie-sella di E contenente l’origine.Si definisce quindi saddle-splay field nϕ := ∇ϕ

|∇ϕ| il campo che descriveun’orientazione la cui energia e proporzionale a k2 + k4 nelle vicinanzedi ez, ovvero nel cilindro CE := p ∈ E|x2

1 + x22 < ε2:

σFr(nϕ,∇nϕ) = 2(k2 + k4) + o(ε)

Un’approssimazione comune della formula (2.13), detta approssimazionea una costante , si ottiene scegliendo k1 = k2 = k3 = K > 0 e k4 = 0.L’espressione diventa

σFr,1(n,∇n) = K|∇n|2 (2.16)

Un’approssimazione valida anche per sostanze colesteriche venne propostada Ericksen:

σFr(n,∇n) = k(|∇n|2 − τ2) + h(n · curln + τ)2 (2.17)

Per sostanze termotropiche i valori delle costanti di Frank dipendono dallatemperatura. Sperimentalmente e stato verificato che k1, k2, k3 diminuisconose la temperatura aumenta per raggiungere la temperatura di transizioneTNI . k4 e piu difficile da determinare, poiche negli esperimenti condotti ilvalore dell’energia associata a nϕ non dava contributi al funzionale di energiaglobale. Si e osservato comunque che il valore di k4 e dello stesso ordine digrandezza di quello delle altre costanti.

23

Equazioni di equilibrio

2.4 Equazioni di equilibrio

In questa sezione si presentano le equazioni di equilibrio per il funzionaleFB, per ottenere l’orientamento nella configurazione naturale. Siano B laregione di spazio occupata dalla sostanza in esame, e σ una funzione C2 cherappresenta l’energia libera per unita di volume, per cui valgono le proprietaelencate nella sezione precedente. Le conclusioni tratte varranno anche nelcaso particolare in cui σ = σF .Sia S ⊆ B l’insieme singolare di n, cioe in cui n non e definito. La nostradescrizione considera i punti regolari di B. Diremo che n : B ∪ ∂∗B \ S → S2

e una configurazione di equilibrio se FB e stazionario in n, con n sceltotra tutti i vettori unitari che soddisfano opportune condizioni al bordo. nviene assegnato sul bordo ridotto ∂∗B, cioe dove geometricamente esiste unanormale. Sono possibili due tipi di condizioni al bordo:

• Strong anchoring :

n = n0 su ∂∗B (2.18)

• Conical anchoring :

n · ν su ∂∗B (2.19)

dove ν e la normale uscente.

Come prima cosa e necessario valutare quando FB e stazionario in B ingenerale, senza particolari condizioni al bordo; bisogna analizzare cioe le suevariazioni prime.Sia ε0 > 0 dato, e sia u : B ∪ ∂∗B \ S → V un campo di classe C2. Per ogniε ∈ [−ε0, ε0] definiamo il vettore nε : B ∪ ∂∗B \ S → S2 come

nε :=n(p) + εu(p)|n(p) + εu(p)|

, ∀p ∈ B ∪ ∂∗B \ S. (2.20)

Anche u e definito su ∂∗B in modo da garantire che la variazione nε soddisfile condizioni prescritte ad n. Inoltre il campo nε e di classe C2 per ogniε ∈ [−ε0, ε0] e la mappa ε→ nε(p) definisce ∀p ∈ B ∪ ∂∗B \ S una curva inS2 che in ε = 0 passa per n(p).Dalla (2.20) si ricava che

nε(p) = n(p) + εP(n(p))u(p) + o(ε), ∀p ∈ B ∪ ∂∗B \ S. (2.21)

dove

P(n) = I− n⊗ n. (2.22)

24


Al variare di ε, nε descrive un cammino di configurazioni per n, che dipendeda u.Applichiamo l’operatore variazione prima di FB in n al funzionale δFB(n)definito da

δFB(n)[u] :=d

dεFB[nε]|ε=0. (2.23)

E chiaro che questo termine dipende linearmente da u.Diciamo che FB e stazionario in n se δFB si annulla identicamente. Quindi,n e una configurazione di equilibrio per l’asse ottico quando

δFB(n) ≡ 0. (2.24)

Per calcolare la variazione prima del funzionale FB ci avvaliamo del seguenteteorema:

Teorema 2.4.1. Siano n : B∪ ∂∗B \S → S2 e u : B∪ ∂∗B \S → V funzionidi classe C2. Allora

δFB(n)[n] =∫B\S

P(n)(∂σ

∂n− div

(∂σ

∂∇n

))· udv+ (2.25)

+∫∂∗B\S

(∂σ

∂∇n

)ν · uda (2.26)

dove σ e la densita di energia libera per unita di volume e ν e la normaleuscente a B.

I due integrali sono indipendenti l’uno dall’altro, quindi affinche la lorosomma sia nulla, cioe n sia di equilibrio, si devono annullare contemporanea-mente per ogni scelta del campo u. Questo significa che le due funzioni inte-grande si devono annullare identicamente e si traduce nell’imporre l’equazionedi Eulero-Lagrange per FB:

∂σ

∂n− div

(∂σ

∂∇n

)= λn in B \ S, (2.27)

dove λ e un campo scalare arbitrario definito in B \ S, che puo essere inter-pretato come moltiplicatore di Lagrange associato al vincolo sulla lunghezzadi n.Per quanto riguarda l’equazione da imporre su ∂∗B \ S, bisogna distiguerediverse casistiche in base alle condizioni al bordo imposte dal problema.

2.4.1 Nessuna condizione al bordo

Se non viene specificata nessuna condizione su n, il secondo integrale nella(2.25) viene trattato come il primo, si impone cioe l’annullamento della

25


funzione integranda: (∂σ

∂∇n

)ν = 0 su ∂∗B \ S, (2.28)

che costituisce la condizione al bordo naturale per n.

2.4.2 Strong anchoring

Quando viene imposta una condizione al bordo forte su n, u deve annullarsiidenticamente; in questo modo nε soddisfa le stesse condizioni, e l’integrale(2.25) si annulla automaticamente per tutte le u ammissibili. Segue che none necessaria alcuna condizione aggiuntiva su ∂∗B \ S.

2.4.3 Conical anchoring

Supponiamo che n sia soggetto alla condizione

n · ν = α0 su ∂∗B \ S, (2.29)

dove α0 : ∂∗B \ S → [−1, 1] e una funzione C1 data. Anche nε soddisfaquesta condizione, almeno al primo ordine in ε, se u e tale che

P(n)ν · u = 0 su ∂∗B \ S. (2.30)

Quindi, una configurazione n e di equilibrio se vale(∂σ

∂∇n

)ν · u = 0 (2.31)

per tutte le u che soddisfano la (2.30). Si puo dimostrare che questa equivalealla relazione (

∂σ

∂∇n

)ν = λP(n)ν su ∂∗B \ S, (2.32)

dove λ puo essere visto come l’estensione a ∂∗B \ S del campo scalare checompare in (2.27).Nel caso in cui vengano imposte piu condizioni al bordo differenti su ∂∗B\S, siapplichera il metodo appena trattato per determinare le condizioni aggiuntiveda assegnare ad n.I casi esaminati finora fanno riferimento ad un dominio noto; e possibileche in alcune situazioni non lo sia, e sia invece libero di attarsi all’ambientecircostante. Sara necessario quindi aggiungere a FB un funzionale di energiasuperficiale, e quindi le equazioni da risolvere risulteranno diverse.

26

Capitolo 3

La transizione diFreedericksz

In questo capitolo si analizzera un fenomeno di variazione dell’orientamentomolecolare dovuta all’applicazione di una forzante esterna e nota cometransizione di Freedericksz.Quando un cristallo liquido e soggetto ad un’azione esterna, di naturamagnetica o elettrica, si crea un’interazione con il campo applicato, che sitraduce nella comparsa di termini aggiuntivi nel funzionale dell’energia FB.L’asse ottico puo avere due differenti reazioni: disporsi parallelamente alladirezione di azione del campo, oppure in una qualsiasi direzione ortogonale.Se sono imposte delle condizioni al bordo, l’asse ottico si disporra in unaposizione d’equilibrio che rispetti tali condizioni, pur venendo influenzato dalcampo esterno applicato.La configurazione che minimizza l’energia in genere rimane invariata finchel’intensita dell’azione esterna si mantiene ridotta; oltre un valore criticocambia e l’equilibrio precedente diventa instabile, e il sistema tendera versouna nuova configurazione stabile. Obbiettivo di questo capitolo e studiare idiversi tipi di instabilita che si manifestano.Innanzitutto definiamo i vettori induzione elettrica d e magnetizzazione m,in un materiale con una propria orientazione n:

d =εe = ε⊥e + εa(e · n)n (3.1)m =χh = χ⊥h + χa(h · n)n (3.2)

dove e e h sono rispettivamente il campo elettrico e magnetico che hannogenerato d e m. ε⊥ e la costante dielettrica del materiale quando e hadirezione ortogonale ad n, mentre εa e l’anisotropia dielettrica, ovvero ladifferenza tra ε//(costante dielettrica relativa ad un campo parallelo ad n) eε⊥. L’interpretazione di χ⊥ e χa e la stessa: χa := χ⊥ − χ// e χ⊥ e χ// sonol’equivalente magnetico di ε⊥ e ε//. E chiaro che d ed m possono variarenello spazio anche se e ed h sono costanti, poiche l’asse ottico, che compare

27

Capitolo 3. La transizione di Freedericksz

nelle (3.1)-(3.2) non e necessariamente costante.Si osserva che il vettore che rappresenta la risposta di un materiale all’azionedi un campo elettrico o magnetico e parallela all’azione stassa solo se questae diretta come l’asse ottico in quel punto. In tutti gli altri casi azione esternae risposta non sono paralleli tra loro.I cristalli liquidi sono materiali diamagnetici, cioe le quantita χ⊥ e χ// hannovalore negativo. Tipicamente χa nei nemativi e positiva e dell’ordine di 10−7,mentre nei colesterici e negativa e dell’ordine di 10−9 (in unita di misuraelettromagnetiche nel sistema c.g.s.). E stato verificato che χa << χ⊥, quindiquando viene applicato un campo h si trascurano le perturbazioni generatedal materiale sul campo stesso. La stessa approssimazione si puo applicareanche al campo elettrico, qualora si verifichi che εa e trascurabile rispetto aεbot. Il valore di εa, sia per sostanze nematiche che colesteriche, puo esseresia positivo che negativo.Si possono introdurre le quantita densita di energia libera associate ai campiindotti da e ed h, espresse in unita elettromagnetiche del sistema c.g.s., lecui espressioni sono:

σe =− 18π

d · e, (3.3)

σm =− 12m · h (3.4)

che diventano quindi

σe(n) =− 18π

(ε⊥e · e + εa(e · n)2),

σm(n) =− 12

(χ⊥h · h + χa(h · n)2). (3.5)

I campi esterni quindi contribuiscono modificando il funzionale di energialibera attravarso i termini

Fe :=∫Bσe(n)dv (3.6)

Fm :=∫Bσm(n)dv (3.7)

che verranno aggiunti a FB.Dalla (3.3) si osserva che il funzionale Fe viene minimizzato quando

(e · n)2 = 1 se εa > 0 oppuree · n = 0 se εa < 0 in B

e lo stasso ragionamento vale per il campo magnetico, purche χa > 0. Ilfunzionale dell’energia, con i contributi dei campi esterni diventa quindi:

FB[n] =∫B

(σF (n,∇n) + σe(n) + σm(n)) dv (3.8)

28


Per spiegare il fenomeno si fara uso di un risultato fondamentale nel calcolodelle variazioni, dovuto a Tonelli. Si introduce innanzitutto la definizione difunzione assolutamente continua:

Definizione 3.1. Sia (α, β) un intervallo aperto di R. Si dice che u e unafunzione assolutamente continua se la sua derivata u′ esiste in (α, β), ede tale che

u(y)− u(x) =∫ y

xu′(ζ)dζ ∀x, y ∈ (α, β) (3.9)

La classe di funzioni assolutamente continue da ]α, β[ in R si indica conAC(α, β). Si enuncia quindi il

Teorema 3.0.2.Sia k una funzione reale di classe C1 in R,tale che

k(u) ≥ k0 (3.10)

∀u ∈ R e per una costante positiva k0. Sia h una funzione reale di classe C1

in R,tale cheh(u) ≥ h0 (3.11)

∀u ∈ R e per una costante positiva h0. Il funzionale definito come

F [u] :=∫ β

α[k(u)u′p + h(u)]dx (3.12)

per p > 1 viene minimizzato per funzioni nella classe

AF [u] := u ∈ AC(α, β)|u(α) = a, u(β) = b (3.13)

per qualsiasi valore di a e b assegnato. Inoltre, se dk/du e dh/du sonolimitate in R, i minimi di F in AF sono di classe C2 e soddisfano l’euazionedi Eulero-Lagrange

p(k(u)u′(p−1))′ − dk

duu′p − dh

du= 0 in]α, β[ (3.14)

dove u′ indica la derivata di u rispetto a x ∈]α, β[

Si consideri di nuovo la porzione di materiale nematico B, rappresentatain un riferimento cartesiano dal:

B = p = o+ xe1 + ye2 + ze3| x, y ∈]0, l[, z ∈]− d, d[

Le due lamine che deliminano il dominio sono definite da

S− = p = o+ xe1 + ye2 − de3| x, y ∈]0, l[

29


eS+ = p = o+ xe1 + ye2 + de3| x, y ∈]0, l[

Si suppone chen|S− = n|S+ ≡ e1 (3.15)

quindi in corrispondenza delle lamine il direttore e costante e parallelo adesse, mentre sul resto di ∂B non ci sono condizioni al bordo.Supponiamo che agisca un campo magnetico h ortogonale ai piani S− e S+

definito da:h = He3 (3.16)

con H parametro positivo.Le configurazioni di equilibrio stabile dell’asse ottico sono i vettori cheminimizzano il funzionale (3.8), con σe ≡ 0 poiche stiamo considerandosolamente l’effetto di un campo magnetico. Cerchiamo n della forma

n(p) = cosθ(z)e1 + sinθ(z)e3 (3.17)

θ(z) e una funzione θ(z) : (−d, d)→ (−π, π) che rappresenta l’angolo tra ned e1. Le condizioni al bordo (3.15) sono soddisfatte se e solo se

θ(−d) = θ(d) = 0 (3.18)

θ inoltre e una funzione AC(−d, d), quindi

∇n = −θ′(sinθe1 ⊗ e3 − cosθe3 ⊗ e3). (3.19)

Tale equazione e valida in B se θ′ e definita.Valgono inoltre le seguenti uguaglianze:

divn = θ′cosθn · curln = 0(∇n)n = −θ′sinθ(sinθe1 − cosθe3)

(3.20)

quindi la formula di Frank (2.13) diventa

σF = (k1cos2θ + k3sin2θ)θ′2 (3.21)

Inoltre il contributo energetico dovuto al campo magnetico esterno e dato da

σm = −H2

2(χ⊥ + χasin2θ) (3.22)

Il valore dell’energia totale e quindi dato da

FB[n] = l2(F [θ]− χ⊥H2d) (3.23)

30

Instabilita

F e un funzionale definito su AC(−d, d):

F [θ] :=∫ d

−d[k(θ)θ′2 + h(θ)]dz (3.24)

dove

k(θ) := k1cos2(θ) + k3sin2(θ)

h(θ) := −12χaH

2sin2θ(3.25)

Per ogni H ∈ R, minimizzare FB tra tutti i vettori del tipo (3.17) equivalea minimizzare F nella classe AF con a = b = 0. Se k1 e k3 sono positivi,k(θ) soddisfa la condizione (3.10) con k0 = mink1, k3. Inoltre, h soddisfala (3.11) con h0 = min

0,−1

2χaH2

. Si puo quindi applicare il teorema (),e il problema variazionale per il funzionale FB possiede una soluzione con ndel tipo (3.17).

3.1 Instabilita

Se χa > 0 il campo magnetico (5.17) tende a far allineare n a e3 all’internodi B, contrastando le condizioni al bordo che lo vincolano ad essere paralleload e1. Ci apettiamo che il minimo di F sia la funzione nulla per valoridi H bassi, mentre all’aumentare di H il minimo si discostera dallo zeronell’intervallo (−d, d), riflettendo la distorsione che h ha prodotto su n. Ilpunto critico che segna il passaggio tra il valore nullo del minimo e il valorediverso da zero e individuato da un particolare valore di H. Il fenomenoe quello della transizione di Freedericksz. Il seguente teorema fornisce laspiegazione matematica di quello che avviene:

Teorema 3.1.1. Siano k1,k2 e χa costanti positive e si definisca Hc come

Hc :=π

2d

√2k1

χa(3.26)

Se 0 < H ≤ Hc il funzionale F definito nella (4.4) ammette un minimo cheappartiene all’insieme

AF = θ ∈ AC(−d, d)|θ(−d) = θ(d) = 0 (3.27)

quando θ ≡ 0. Se H > Hc, F raggiunge il suo minimo in AF in due funzionitali che una sia l’opposto dell’altra e tali per cui entrambe soddisfino lacondizione

θ(z) 6= 0 ∀z ∈ (−d, d) (3.28)

31

Instabilita

I minimanti di F in AF inoltre sono funzioni di classe C2 che risolvonol’equazione

2kθ′′ +dk

dθθ′2 + χaH

2sinθcosθ = 0 in (−d, d) (3.29)

I seguenti lemmi enunciano le proprieta della soluzione di (3.29)

Lemma 3.1.2. La funzione nulla e soluzione di (3.29). Inoltre, se θ∗ esoluzione, anche −θ∗ e soluzione.

La soluzione banale θ ≡ 0 corrisponde a n ≡ e1, situazione in cui l’asseottico e uniforme e rispetta le condizioni al bordo assegnate. Con il prossimolemma si analizzano le proprieta della soluzione non banale:

Lemma 3.1.3. Sia θ∗ una soluzione non banale di (3.29), che minimizza Fin AF . Allora:

• θ ∈[−π

2 ,π2

]• il segno di θ∗ e costante in (−d, d)

• θ∗ e una funzione pari

• θ∗ e strettamete crescente o strettamente decrescente in (−d, 0)

I due lemmi appena enunciati servono per dimostrare il teorema 3.1.1.Si consideri θ∗, minimo non banale di F in AF . Anche il suo opposto risolvel’equazione di Eulero-Lagrange per F , per il lemma 3.1.2. F [θ∗] = F [−θ∗],dunque anche θ∗ e minimo per F . Questo dimostra che tutti i minimi nonidenticamente nulli possono essere raggruppati in coppie di funzioni opposte,a cui e associato lo stesso livello di energia. Possiamo rimuovere questofenomeno considerando la classe dei minimanti di F come funzioni positivein (−d, d) e che raggiungano il loro massimo in 0. Sara implicito ricordareche ad ognuna di queste funzioni corrispondono due diverse orientazioni.Sia θm il massimo di θ∗, dunque θm = θ∗(0). Moltiplicando la (3.29) in θ∗

per θ∗′, nei punti in cui θ∗

′ 6= 0, si ottiene la seguente equazione differenziale:

k(θ∗)θ∗′2 +

12χaH

2sin2θ∗ = c (3.30)

dove c e una costante che dipende dalla soluzione specifica. (3.30) puo essereriscritta come

k(θ∗)θ∗′2 =

12χaH

2(sin2θm − sin2θ∗) (3.31)

Separando le variabili si ottiene

z = −d+1H

√2χa

∫ θ∗(z)

0

√k(θ)

sin2θm − sin2θ∗dθ (3.32)

32

Instabilita

Effettuando il cambio di variabili

sinλ :=sinθ

sinθm(3.33)

si puo riscrivere (3.32) come

z = −d+1H

√2χa

∫ λ∗(z)

0G(λ, θ)dλ (3.34)

dove

λ∗(z) = arcsin(

sinθ∗(z)sinθm

)∀z ∈ [−d, d] (3.35)

e

G(λ, θm) =

√k(arcsin(sinθmsinλ))

1− (sinθmsinλ)2(3.36)

Ponendo z=0, si ha che λ∗(0) = π/2 e H = f(θm) con f definita come

f(θm) :=1d

√2χa

∫ π/2

0G(λ, θm)dλ (3.37)

Per ogni θm ∈ (0, π/2) che risolve H = f(θm), l’equazione (3.32) rappresental’inversa in [−d, 0] di una soluzione non banale di (3.29), candidata ad essereminimo di F in AF . Dobbiamo quindi cercarne le radici. Innanzituttosi nota che f e strettamente crescente in (0, π/2) (infatti ∂G/∂θm > 0 in(0, π/2)× (0, π/2)). Inoltre

limθm→0+

f(θm) =1d

√2χa

√k(0)

π

2lim

θm→(π/2)−f(θm) = +∞

(3.38)

Quindi perH ≥ Hc, conHc definito in (3.26),l’equazioneH = f(θm) ammetteuna soluzione non banale, mentre non ne ammette nessuna per H < Hc. PerH = Hc la soluzione e θm = 0 quindi, dato che θm = θ∗(0), θ∗ e non banalesolo con H > Hc. Per verificare che la soluzione ottenuta sia effettivamenteun minimo e necessario calcolare il valore dell’energia ed essa associato econfrontarlo con quello della soluzione banale.

F [θ∗] = −√χa2Hsin2θm

∫ π/2

0sin2λ

∂G

∂λdλ < 0 (3.39)

Poiche F [0] = 0 si conclude che quando appare una soluzione non banalequesta e il minimo per F .

Il seguente teorema spiega il fenomeno della biforcazione, nel quale ilminimo di F non salta quando H supera il valore critico Hc:

33

Instabilita

Teorema 3.1.4. Per oghi H assegnato, tale che H > Hc, sia θH il minimopositivo di F in AF . Allora θH converge uniformemente alla soluzione banalequando H → H+

c . In piu

limH→H+

c

F [θH ] = 0 (3.40)

Per H ≤ Hc la soluzione banale θ = 0 e l’unica soluzione dell’equazionedi equilibrio, ed e necessariamente stabile; per H > Hcla soluzione banalediventa instabile, per cui si genera un nuovo equilibrio stabile e positivo.Diciamo quindi che avviene una biforcazione con cambio di stabilita incorrispondenza di H = Hc.Si deve analizzare l’andamento asintotico di f(θm) per θm → 0, per avereinformazioni su come nasce il ramo stabile in prossimita di Hc. Dalla (3.36)e dalla prima equazione delle (3.25) risulta:

G(λ, θm) =√k1

(1 +

k3

2k1sin2λθ2

m

)+ o(θ2

m) (3.41)

mentre dalle (3.37) e (3.26) si giunge a

H = Hc

(1 +

k3

4k1θ2m

)+ o(θ2

m) (3.42)

Le proprieta ottiche in corrispondenza di H = Hc possono essere ricavatesperimentalmente. Se χa e nota, misurando d e Hc si puo calcolare k1

attraverso la (3.26). In modo analogo si possono misurare k2 e k3. Sia ndella forma (3.17). Si supponga che il campo magnetico sia diretto comee2,invece che lungo e3. Si puo ripetere lo stesso tipo di analisi ai minimantidell’energia FB all’interno della classe

n(p) = cosθ(z)e1 + sinθ(z)e2 (3.43)

In questo caso Hc e dato da

Hc =π

2d

√2k2

χa(3.44)

Inoltre si arriva ad un risultato analogo quando si utilizzano le condizioni

n|S− = n|S+ = e3

h = He1

n(p) = cosθ(z)e3 + sinθ(z)e1

(3.45)

Ora Hc avra la forma

Hc =π

2d

√2k3

χa(3.46)

34

Disallineamento

3.2 Disallineamento

Nel paragrafo precedente e stato esposto il caso di un fenomeno di biforcazionedella soluzione di equilibrio per il funzionale dell’energia FB causato da uncampo magnetico esterno. Ora si vuole analizzare lo stesso processo, in cuipero si impone una diversa condizione al bordo: in corrispondenza dei duepiani che delimitano il dominio B, S+ e S−, il vettore n non e piu paralleload essi. Il problema quindi diventa cercare vettori del tipo (3.17), che sianoconfigurazioni di equilibrio stabili e che soddisfino la condizione al bordo

n|S− = n|S+ = cosθ0e1 + sinθ0e3 (3.47)

per un dato θ0 ∈ (0, π/2). La classe di funzioni ammissibili diventa quindi

AF (θ0) := θ ∈ AC(−d, d)|θ(−d) = θ(d) = theta0 (3.48)

Il funzionale F ammette minimo nella classe AF (θ0), e le funzioni che lominimizzano sono di classe C2 e soddisfano la condizione di equilibrio (3.29).Non esiste piu una soluzione banale, poiche la soluzione nulla non fa partedella classe AF (θ0), e quella che sembrerebbe avere lo stesso ruolo (θ ≡ θ0)non soddisfa (3.29). Il lemma 3.1.2 non si puo applicare in questo caso, mentrei primi tre punti del lemma 3.1.3 risultano vere. La simmetria dell’insiemeAF viene rotta a causa delle nuove condizioni al bordo, i minimi quindi nonsono piu raggruppabili a coppie di funzioni opposte. L’ultima condizioneenunciata nel lemma 3.1.2 diventa piu restrittiva:

Lemma 3.2.1. Ogni funzione che minimizza F in AF e strettamente cres-cente in (−d, 0)

La biforcazione descritta nel teorema 3.1.1 non si presenta nella classeAF , per quanto piccolo si possa scegliere θ0. Il seguente teorema spiega cosaavviene in questo caso:

Teorema 3.2.2. Sia θ0 ∈ (0, π/2) dato. Se k1, k2 e χa sono costanti positive,per ogni H > 0 esiste un minimo di F in AF (θ0) che soddisfa

θ∗(z) > θ0 ∀z ∈ (−d, d) (3.49)

La dimostrazione e analoga a quella del teorema 3.1.1. Si giunge allarelazione

z = −d+1H

√2χa

∫λ0

(θm)λ∗(z)G(λ, θm)dλ ∀z ∈ [−d, 0] (3.50)

G e definita come in (3.36) e

λ0(θm) = arcsin(

sinθ0sinθm

)(3.51)

35

Applicazione nella tecnologia LCD

Esiste un’unica soluzione di (3.29) in AF (θ0):

θ(z)∗ := arcsin(sinθmsinλ∗(z)) ∀z ∈ [−d, 0] (3.52)

a patto che sia verificata l’equazione

d =1H

√2χa

∫ λ∗(z)

λ0(θm)G(λ, θm)dλ (3.53)

Si nota che λ0(θm) : [θ0, π/2]→ [θ0, π/2] e strettamente decrescente quindi,visto che ∂G/∂θm > 0, la funzione

g(θm) :=1d

√2χa

∫ π/2

λ0(θm)G(λ, θm)dλ (3.54)

e strettamente crescente. Quindi (3.53), che equivale a H = g(θm) possiedeuna sola radice in (θ0, π/2) per ogni H > 0, poiche

limθm→θ+0

g(θm) = 0 e limθm→π/2−

g(θm) = +∞ (3.55)

Si puo concludere quindi che una leggera perturbazione delle condizioni albordo porta a cambiare radicalmente il diagramma di biforcazione. Il metodoper calcolare le costanti di Frank esposto precedentemente quindi e sensibileal cambiamento dei parametri, e cio significa che errori sperimentali possonoinfluire molto sul buon esito. Un piccolo disallineamento dell’asse otticoin corrispondenza di S− ed S+ causa la scomparsa del fenomeno descrittonella sezione precedente. In questo caso infatti l’effetto del campo magneticosi vede subito, senza passare per una fase intermedia in cui le molecolerimangono parallele ai due piani. Il valore di θ parte da un valore basso eaumenta progressivamente.D’altra parte, se θ0 e sufficientemente piccolo il grafico di g (??) e molto simileal grafico di f (4.5), ma non puo comunqe essere considerato un diagrammadi biforcazione.

3.3 Applicazione nella tecnologia LCD

La piu comune e frequente applicazione in cui vengono utilizzati i cristalliliquidi per le loro proprieta sono gli chermi LCD. Un primo vantaggio e ilconsumo energetico: questi tipi di display infatti consumano molto menorispetto al tubo a raggi catodici. Per molti LCD infatti e sufficiente la lucedell’ambiente esterno per illuminare lo schermo, ma anche nei casi in cuisia necessaria una fonte esterna il consumo energetico e comunque basso.Principalmente le applicazioni di queste tecnologie sono state sviluppate percristalli liquidi nematici.Un display a cristalli liquidi e formato da un array di segmenti (pixel) che

36


possono essere manipolati indipendentemente. Ogni pixel e costituito da unacella riempita di cristallo liquido.La tecnologia piu utilizzata e detta twist nematic cell, in cui il materiale eposto tra due lamine di vetro appositamente incise per controllare l’orien-tamento delle molecole, che infatti seguono i solchi impressi nel vetro. Lescanalature di ogni piastra vengono ruotate di 90 gradi rispetto all’altra,in modo da creare una torsione nel cristallo liquido tra esse racchiuso. Leproprieta ottiche del materiale dipendono strettamente dal tensore M, cheriflette l’anisotropia del materiale anche a livello macroscopico. L’ellissoidedi Fresnel che caratterizza la risposta ottica di un materiale bifrangente, elegato ad M.La luce polarizzata che attraversa un materiale a cui e stata sottoposta ladistorsione appena descritta viene manipolata. Quando la luce attraversa lacella lo stato polarizzato si distorce assieme al direttore del cristallo liquido.Sulla parte superiore ed inferiore del display vengono posti dei polarizzatori.La polarizzazione della luce dunque ruota con le molecole. Nel passaggio dal-l’alto verso il basso la rotazione e stata di 90 gradi, e puo entrare nel secondopolarizzatore. Quando viene applicato un campo elettrico sufficientementeelevato le molecole subiscono una transizione di Freedericksz, allineandosicon il campo esterno, annullando cosı l’effetto di twist. Se la luce polarizzataattraversa tale configurazione non viene distorta, e il secondo polarizzatoreelimina la polarizzazione. Queste regioni appaiono nere alla vista. Si ossonoottenere tutte le sfumature di grigio regolando l’intensita del campo elettricoapplicato.

Fig. 3.1: Schematizzazione di una cella nematica.

37


38

Capitolo 4

La fase smettica

Gli studi teorici riguardanti la fase nematica sono dovuti, come detto nelcapitolo 2 al lavoro congiunto di Oseen, Zocher e Frank, che non trattanoargomenti riguardanti la fase smettica.Un primo passo verso la generalizzazione ad altre tipologie e dovuto allateoria di la teoria di De Gennes[[2]], il quale generalizza il concetto di tensored’ordine n e introduce il tensore d’ordine Q, di cui si e gia parlato nellasezione (1.5), che da informazioni su orientazione, grado d’ordine e sullepossibili transizioni di fase, in particolare su quali siano le condizioni perpassare da una isotropa ad una nematica.Vista la struttura stratificata degli smettici, e stato appurato che la com-parsa della fase smettica-A deve essere accompagnata dalla nascita di unaperiodicita nella densita di massa delle molecole, lungo la direzione del di-rettore. De-Gennes propose di introdurre un parametro d’ordine complessoche descrivesse la transizione nematico-smettica. La scelta dei parametri dautilizzare influenza la forma del funzionale di energia che descrive il problema.La necessita di una teoria che unifichi e descriva il comportamento di tuttele fasi esistenti nasce dall’evidenza sperimentale del fatto che le transizionidi fase in uno stesso materiale sono possibili, variandone la temperatura. Inpiu la simmetria nella struttura microscopica del materiale non e verificatase si inverte soltanto il direttore o gli strati smettici, ma l’invarianza nelfunzionale di energia risulta valida solamente se queste due azioni vengonosvolte contemporaneamente. Anche per questo motivo c’e la necessita di unateoria esaustiva per la fase nematico-smettica.Un primo tentativo venne compiuto da Lelidis e Durand, che restrisserola loro analisi a sostanze con tensore d’ordine uniassiale e con autovettoricostanti, strati smettici piani e ortogonali agli autovettori. Una teoria piucompleta venne proposta da Brand. Lavori recenti propongono di includerela fase smettica di tipo C nella teoria di Landau in cui pero compaiono lederivate seconde del parametro d’ordine smettico e, di conseguenza, nelleequazioni differenziali di equilibrio ci sono termini del quarto ordine. In piu

39

Funzionale di energia libera

verrebbero modificate le condizioni al bordo da applicare.In questa sede si lavorera soltanto con gradiente dei parametri d’ordine,senza gradi di derivazione ulteriori. Il punto di partenza e il lavoro svoltonell’articolo [[3]], in cui viene proposto un potenziale elastico che accoppi iltensore d’ordine nematico con un parametro d’ordine smettico ψ. Questorisulta essere una funzione non convessa del gradiente di ψ. L’ordine smetticoda un’idea della distribuzione molecolare dei centri di massa. Nella fasesmettica le molecole tendono a disporsi in una struttura lamellare compostada una famiglia di piani non necessariamente paralleli tra loro.Si definisce il seguente parametro d’ordine smettico

ψ = ρeiω (4.1)

il quale misura la disomogeneita della densita molecolare. ρ e l’ampiezza dellamodulazione di densita, mentre le curve di livello di ω indicano la posizionedegli strati smettici; ∇ω quindi e parallelo alla normale alle superfici, mentre|∇ω| e inversamente proporzionale alla distanza tra essi. Nel caso in cui iltensore d’ordine sia uniassiale ed esista il direttore si distinguono due casi:

• n ‖ ∇ω: fase smettica-A

• n non parallelo a ∇ω: fase smettica-C

Se Q e biassiale il caso smettico-C e intrinsecamente biassiale per il fattoche la normale e inclinata e non c’e simmetria lungo la direzione normale adn. Per ovviare questa difficolta si introduce il parametro χ := Q∇ψ ∧∇ψ,che indica se ∇ψ e autovettore di Q. Nel funzionale che descrive l’energia cisara quindi un termine del tipo

σAC = fχ · χ = f |Q∇ψ ∧∇ψ| (4.2)

Se f assume valori negativi sara favorita la comparsa della fase smettica-C.

4.1 Funzionale di energia libera

Si considera un cristallo liquido racchiuso in un dominio tridimensionale B.Con A si indica l’insieme dei tensori d’ordine nematici, che quindi devonoessere simmetrici, a traccia nulla e hanno spettro contenuto nell’intervallo[−1

3 ,23

]. I parametri d’ordine Q : B → A e ψ : →C descrivono lo stato

microscopico del materiale. Introdotto inoltre il parametro

χ(P0) := Q(P0)∇ψ(P0) ∧∇ψ(P0) (4.3)

con P0 ∈ Ω, e possibile classificare le varie fasi di un cristallo liquido nelmodo seguente:

• fase isotropa: Q = 0 e ψ = 0

40

Funzionale di energia libera

• fase nematica: Q 6= 0 e ψ = 0

• fase smettica-A: Q, ψ 6= 0 e ψ = 0

• fase smettica-C: Q, ψ 6= 0 e ψ 6= 0

Si focalizza l’analisi sul caso di cristalli liquidi achiralici e non polarizzati.Il funzionale di energia assume la seguente forma:

F(Q, ψ,∇ψ) =∫B

[K

2|∇Q|2 + f(Q, ψ,∇ψ)

]dx (4.4)

dove f(Q, ψ,∇ψ) e definita da:

f(Q, ψ,∇ψ) = atr(Q2)− btr(Q3) + ctr(Q4) + b1 |∇ψ|2 +

+ b2 |∇ψ|4 + a |ψ|2 + c |ψ|4 +

− b |ψ|2 tr(Q2) + eQ∇ψ · ∇ψ ++ fχ · χ

(4.5)

La (4.4) e composta da vari contributi, ciascuno dei quali corrisponde ad undiverso tipo di energia. Nel dettaglio si possono isolare:

• Energia nematica elastica:

σel,n(∇Q,Q) =K

2|∇Q|2 (4.6)

risulta minima se ∇Q = 0 cioe quando Q e uniforme

• Potenziale di Landau-De Gennes:

σLdG(Q) = atr(Q2)− btr(Q3) + ctr(Q4) (4.7)

c > 0 in modo che il potenziale sia limitato dal basso, b > 0 in sostanzein cui le molecole sono allungate, mentre a cambia segno nel momentoin cui la configurazione isotropa diventa instabile.

• Energia elastica smettica:

σel,sm(∇ψ) = b1 |∇ψ|2 + b2 |∇ψ|4 (4.8)

il termine di quarta potenza in ∇ψ e necessario per bilanciare ilcontributo σ(2)

n,sm (4.11). La costante b2 e positiva.

• Potenziale smettico:

σsm(|ψ|) = a |ψ|2 + c |ψ|4 (4.9)

e responsabile dell’instaurarsi della fase smettica. c > 0 mentre acambia segno in prossimita della transizione smettica.

41

Equazioni di Eulero-Lagrange

• Interazione nematico-smettica:

σ(1)n,sm(Q, |ψ|) = −b |ψ|2 tr(Q2) (4.10)

b puo essere positivo o negativo. b > 0 significa che e favorita qualsiasifase (nematica o smettica) quando uno dei due parametri d’ordine enon nullo. Dello stesso contributo fa parte il termine

σ(2)n,sm(Q,∇ψ) = eQ∇ψ · ∇ψ + fχ · χ (4.11)

Se e ≤ 0 il primo termine viene minimizzato quando∇ψ risulta paralleloagli autovettori di Q corrispondenti al maggior autovalore, cosa cheavviene nella fase smettica-A. Analogamente f < 0 favorisce la fasesmettica-C

4.2 Equazioni di Eulero-Lagrange

Si vogliono analizzare in questa sezione quali sono le configurazioni di equi-librio per il funzionale (4.4) nel caso piu generale possibile. Questo equivalea ricavare le equazioni di Eulero-Lagrange. Poiche i parametri in esame sonodue, Q e ψ, si ricaveranno due equazioni, perturbando una variabile allavolta. Applicando la teoria del calcolo delle variazioni si otterranno dellequantita δF da porre uguali a zero.La prima grandezza considerata e Q. Sia ε > 0, si definisce la grandezzaperturbata Qε definita da

Qε = Q + εU, ε > 0

Poiche Q e un tensore simmetrico a traccia nulla, si richiede che anche Uabbia le stesse proprieta, in modo da ottenere una perturbazione Qε tale che:

Qε = QTε

tr(Qε) = 0

Il funzionale perturbato in Q, fissando ψ, arrestato al primo ordine in εassumera la forma

Fε(Q + εU, ψ,∇ψ) = F(Q, ψ,∇ψ) + εδF(Q)δQ

[U] + o(ε)

Il valore dell’incremento δF rispetto ad ε si ricava dunque calcolando Fε:

42


Fε(Q + εU, ψ,∇ψ) =∫B

[K

2|∇ (Q + εU)|2 + f(Q + εU, ψ,∇ψ)

]dx

=∫B

K2

∑i,j,k

(∂Qjk∂xi

+ ε∂Ujk∂xi

)2

+ f(Q, ψ,∇ψ) + ε∂f(Q)∂Q

[U] + o(ε)

dx=∫B

K2 ∑i,j,k

[(∂Qjk∂xi

)2

+ 2ε∂Qjk∂xi

·∂Ujk∂xi

+ o(ε)

]+

+ f(Q, ψ,∇ψ) + ε∂f(Q)∂Q

[U] + o(ε)dx

= Fε(Q, ψ,∇ψ)+

+∫B

k2· 2ε∑i,j,k

∂Qjk∂xi

·∂Ujk∂xi

+ ε∂f(Q)∂Q

[U] + o(ε)

dxIl termine f(Q+εU) e stato sostituito dal suo sviluppo di Taylor troncato

al primo ordine. Si applica quindi l’integrazione per parti al primo addendoall’interno dell’integrale∫

BKε∑i,j,k

∂Qjk∂xi

·∂Ujk∂xi

dx =∫∂BKε∑i,j,k

∂Qjk∂xi

· νi · Ujkdσ+

−∫BKε∑i,j,k

∂2Qjk∂x2

i

· Ujkdx

Si ipotizza di trovarsi nel caso di condizioni di Neumann o di Dirichletomogenee, quindi il primo termine a secondo membro si annulla e si ottiene

Fε(Q + εU, ψ,∇ψ) = F(Q, ψ,∇ψ) + ε

∫B

(∂f(Q)∂Q

[U]−K∆Q[U])dx

pertanto l’equazione di Eulero-Lagrange associata alla perturbazione diQ e:

∂f(Q)∂Q

−K∆Q = 0 (4.12)

Dalla definizione di sviluppo di Taylor di f

f(Q + εU) = f(Q) + ε∂f(Q)∂Q

[U] + o(ε)

si deduce che per ottenere ∂f(Q)∂Q nel caso in esame e necessario calcolare

f(Q + εU).

43


Si esplicita singolarmente ciascun termine della (4.5), sfruttando la simmetriadi Q e l’uguaglianza tr(QU) = Q :U:

tr((Q + εU)2) = tr(Q2) + 2εQ :U + o(ε)

tr((Q + εU)3) = tr(Q3) + 3εQ2 :U + o(ε)

tr((Q + εU)4) = tr(Q4) + 4εQ3 :U + o(ε)

(4.13)

Per i termini in cui compare ψ sono necessarie le quantita

∇ψ = (iρ∇ω +∇ρ)eiω

|∇ψ|2 = ρ2|∇ω|2 + |∇ρ|2(4.14)

Con opportuni calcoli si giunge alla formulazione finale dell’equazione diEulero Lagrange, che risulta un’equazione tensoriale:

− k∆Q + 2aQ + 4cQ2 − 2b|ψ|2Q + e(∇ρ⊗∇ρ) + eρ2(∇ω ⊗∇ω)+

+ 2f [|∇ρ|2(Q∇ρ⊗∇ρ)− (Q∇ρ · ∇ρ)(∇ρ⊗∇ρ)]+

+ 2fρ2|∇ρ|2(Q∇ω ⊗∇ω)− 4fρ2(Q∇ρ · ∇ω)(∇ρ⊗∇ω)]+

+ 2fρ2(Q∇ω · ∇ω)(∇ρ⊗∇ρ)] + 2fρ2(Q∇ρ · ∇ρ)(∇ω ⊗∇ω)+

+ 2fρ2|∇ω|2(Q∇ρ⊗∇ρ)− 4fρ2(Q∇ρ · ∇ω)(∇ω ⊗∇ρ)+

+ 2fρ4[|∇ω|2(Q∇ω ⊗∇ω)− (Q∇ω · ∇ω)(∇ω ⊗∇ω)] = 0(4.15)

Lo stesso procedimento si applica per calcolare ∂f(ψ)∂ψ e ∂f(∇ψ)

∂∇ψ , calcolandostavolta il valore del funzionale (4.4) dopo aver perturbato la variabileψ = ρeiω. Poiche in ψ compaiono due variabili, ρ e ω, si ricaveranno quattroequazioni, ciascuna associata ad una delle variazioni ∂f(ρ)

∂ρ , ∂f(∇ρ)∂∇ρ , ∂f(ω)

∂ω e∂f(∇ω)∂∇ω . Si definisce innanzitutto la variabile perturbata

ψε = (ρ+ ερ1)ei(ω+εω1) (4.16)

da cui segue che

∇ψε = [(∇ρ+ ε∇ρ1) + i(∇ω + ε∇ω1)(ρ+ ερ1)]ei(ω+εω1) (4.17)

44


Si avra quindi

|ψε|2 = ψεψε

= ρ2 + 2ερρ1 + o(ε)

|ψε|4 = ρ4 + 4ερ3ρ1 + o(ε)

|∇ψε|2 = ∇ψε · ∇ψε= |∇ω|2ρ2 + |∇ρ|2 + 2ε(ρρ1|∇ω|2 + ρ2∇ω ·∇ω1 +∇ρ·∇ρ1) + o(ε)

|∇ψε|4 = |∇ω|4ρ4 + |∇ρ|4 + 2|∇ω|2|∇ρ|2ρ2+

+ 4ε(ρρ1|∇ρ|2|∇ω|2 + ρ2|∇ρ|2∇ω ·∇ω1 + |∇ρ|2∇ρ·∇ρ1)+

+ 4ε(ρ3ρ1|∇ω|4 + ρ4|∇ω|2∇ω ·∇ω1 + ρ2|∇ω|2∇ρ·∇ρ1) + o(ε)(4.18)

Analogamente a quanto fatto prima, bisognera calcolare il valore del fun-zionale nella variabile perturbata ψε. Poiche quest’ultima ha due gradi diliberta (ρ e ω), compariranno dei termini proporzionali a ω1, ∇ω1, ρ1 e ∇ρ1.In particolare, al primo ordine in ε, si dovrebbe ottenere un’espressione deltipo

Fε(Q, ψε,∇ψε) = F(Q, ψ,∇ψ) + ε

∫B

∂f(ψ,∇ψ)

∂ρ· ρ1 +

∂f(ψ,∇ψ)∂∇ρ

[∇ρ1] + o(ε)dx+

ε

∫B

∂f(ψ,∇ψ)

∂ω· ω1 +

∂f(ψ,∇ψ)∂∇ω

[∇ω1] + o(ε)dx

(4.19)

Integrando per parti per eliminare ∇ρ1 e ∇ω1 si ottengono le equazioni diEulero-Lagrange:

∂f(ψ,∇ψ)∂ρ

− div(∂f(ψ,∇ψ)

∂∇ρ

)= 0

∂f(ψ,∇ψ)∂ω

− div(∂f(ψ,∇ψ)∂∇ω

)= 0

(4.20)

che vanno risolte assieme alle condizioni sui termini di bordo:∫∂B

∂f(ψ,∇ψ)∂∇ρ

· ν = 0∫∂B

∂f(ψ,∇ψ)∂∇ω

· ν = 0(4.21)

in cui ν rappresenta la normale uscente. Con procedimento analogo al calcoloprecedente si arrivano a determinare le quantita ∂f

∂ρ , ∂f∂ω , ∂f

∂∇ρ , ∂f∂∇ω , la cui

espressione risulta molto complessa. Per questo motivo ci si pone in unasituazione semplificata, in modo che alcuni termini risultino di piu facileanalisi.

45


46

Capitolo 5

Esempio di transizione diFreedericksz in unageometria particolare

Nel capitolo 3 sono stati esposti alcuni esempi del fenomeno della transizionedi Freedericksz nel caso di cristalli liquidi nematici. In questo capitolo sianalizza un ulteriore esempio di questo evento ma si considera un materialedi tipo smettico, quindi si sfruttano i risultati teorici del capitolo 4, e ci sipone in un contesto semplificato. L’approccio utilizzato e quello di ottenere leconfigurazioni di equilibrio del funzionale (4.4) e individuare le possibili causedi instabilita, individuabili in condizioni su alcuni parametri dipendenti dallatemperatura. Sara quindi la temperatura il fattore che innesca la transizionedi Freedericksz.

5.1 Geometria ed equazioni di equilibrio

Si definisce quindi la geometria semplificata che verra studiata: si consideri unsistema di coordinate cartesiane (o, e1, e2, e3). Lo studio effettuato riguardaun cristallo liquido in fase smettica-C, che occupa una porzione di spazio Bdefinita da

B = p = o+ xe1 + ye2 + ze3|x, y ∈ (0, L), z ∈ (−d/2, d/2), (5.1)

che rappresenta uno strato di spessore d racchiuso tra i due piani paralleliS+ ed S−

S+ = p = o+ xe1 + ye2 +d

2e3|x, y ∈ (0, L)

S− = p = o+ xe1 + ye2 −d

2e3|x, y ∈ (0, L)

(5.2)

Si ipotizza che inizialmente la sostanza sia costituita da molecole orientateparallelamente ai due piani, e gli strati smettici risultino piani e paralleli tra

47

Geometria ed equazioni di equilibrio

loro. Si vuole indagare quale sia la reazione della sostanza ad una variazionedi temperatura, che nel funzionale dell’energia si manifesta in una variazionedel coefficiente f = f(T ).Data questa particolare geometria si ipotizza che le soluzioni abbiano laseguente forma:

ω(x, y, z) = αy + β(z) (5.3)

con

α = α(z), β = β(z), ρ = ρ(z) Q =

q1 0 00 q2 q23

0 q23 q3

(5.4)

con q1(z) + q2(z) + q3(z) = 1.Si procede inserendo questa soluzione particolare nell’espressione del fun-zionale (4.4), da cui si ricaveranno poi le equazioni di Eulero Lagrange delcaso in esame. Nel nostro caso si ricavano le seguenti quantita:

tr(Q2) = q21 + q22 + q23 + q223

tr(Q3) = q31 + q32 + q33 + 3q223(q2 + q3)

tr(Q4) = q41 + (q22 + q223)2 + (q23 + q223)2 + 2q223(q2 + q3)2

|ψ|2 = ρ2

|ψ|4 = ρ4

∇ψ =

00ρ′

ei(αy+β(z)) + iρei(αy+β(z))

0α

α′y + β′(z)

|∇ψ|2 = ρ′2 + ρ2(α2 + (α′y + β′(z))2)

|∇Q|2 = q′21 + q′22 + q′23 + 2q′223

Q∇ψ · ∇ψ = ρ′2q3 + ρ2[α2q2 + 2αq23(α′y + β′(z)) + q3(α′y + β′(z))2]

χ =

q23ρ′2

00

+ iαρρz

q2 + q300

+ ρ2

α(α′y + β′(z))(q2 − q3)− α2q23 + q23(α′y + β′(z))2

00

χ · χ = q223ρ′4 + α2ρ2ρ′2(q2 + q3)2 + ρ4[α(α′y + β′(z))(q2 − q3)− α2q23 + q23(α′y + β′(z))2]2+

+ 2ρ2q23ρ′2(α(α′y + β′(z))(q2 − q3)− α2q23 + q23(α′y + β′(z))2)

(5.5)

48


In prima analisi si lavorera utilizzando le ulteriori semplificazioni:

q2 = q3 = q

q23 = 0β = 0

(5.6)

Considerando inoltre ρ(z) = ρ0 e α(z) = α0, l’espressione di F nella (4.4)diventa

F(Q, ψ,∇ψ) =∫ d/2

−d/2g(q, α, ρ)dx = g(q, α, ρ) (5.7)

in cui si e tenuto conto che tutti i parametri sono costanti, la misura deldominio e unitaria e g e definita da

g(q, α, ρ) =6aq2 + 6bq3 + 18cq4 + b1ρ20α

20+

+ b2ρ40α

40 + aρ2

0 + cρ40 − bρ2

0q2 + eρ2

0α2q

(5.8)

Si suppone che le costanti a, b e c abbiano un andamento del tipo 1κ2 con

κ << 1. Questo significa che, in tutte le equazioni dove compaiono, a, be c sono dominanti. Applicare questo vincolo equivale a dire quindi cheper minimizzare il funzionale (5.7) si minimizzera innanzitutto atr(Q2) −btr(Q3) + ctr(Q4). Derivando il contributo dominante rispetto a q si ottieneche, se a ≤ 3

32b2

c , accanto alla soluzione banale q = 0 esiste una coppia disoluzioni:

q± =−3b±

√3(3b2 − 32ac)24c

(5.9)

Ottenuti i valori di q e possibile minimizzare g rispetto alle variabili α20ρ

20 e

ρ20, ottenendo

α20ρ

20 = −b1 + eq

2b2(5.10)

e

ρ20 =

6bq2 − a2c

(5.11)

A questo punto si introduce una perturbazione lineare delle variabili utilizzate,che verranno sostituite nel funzionale analizzato. L’obiettivo e quello diottenere un funzionale di energia perturbato, individuare qual e il primoordine significativo e ricavare delle nuove equazioni di Eulero-Lagrange, lacui soluzione portera ad un calcolo piu preciso della soluzione cercata. Inparticolare si fissa un parametro ε > 0 e si perturbano al primo ordine le

49


variabili del problema rispetto ai valori gia ottenuti:

α = α0 + εα1(z)β = εβ1(z)ρ = ρ0 + ερ1(z)q23 = εq231(z)q2 = q + εq21(z)q3 = q + εq31(z)

(5.12)

Si sceglie a questo punto di non lavorare con le (5.12) ma effettuandoun cambio di variabile si introducono nuove funzioni, che diventeranno lenuove incognite, allo scopo di interpretare meglio la fisica del fenomeno. Inparticolare si cerca di determinare l’angolo θ(z) formato dal direttore n e ipiani che delimitano il dominio, e l’angolo φ(z) che indica quanto e inclinatala normale ai piani smettici ∇ω con i piani che racchiudono B. Se si risolveil problema rispetto a queste nuove quantita si puo capire in che modo sidispongono i piani e come si dispongono le molecole. Si effettuano quindi leseguenti sostituzioni:

α(z) = k(z)cos(φ(z))β(z) = k(z)zsin(φ(z))q231(z) = s0sin(θ(z))cos(θ(z))

q21(z) = s0

[cos(θ(z))2 − 1

3

]q31(z) = s0

[sin(θ(z))2 − 1

3

]q11(z) = −q21(z)− q31(z)

(5.13)

Perturbando in ε > 0 al prim’ordine si avra:

k(z) = k0 + εk1(z)φ(z) = εφ1(z)ρ(z) = ρ0 + ερ1(z)θ(z) = εθ1(z)

(5.14)

Al fine di ottenere un’equazione differenziale ordinaria e non alle derivateparziali si sceglie

k1(z) = −k0ρ1(z)ρ0

ρ1(z) = 0 (5.15)

La conseguenza e che φ1 puo essere diverso da 0 purche sia costante, φ1(z) =φ10, in quanto |∇ψ|2 e invariante sotto rotazione dei piani. Il valore di afissa il minimo assoluto in s0. Per ottenere un minimo assoluto deve valereb < 2cs0. Fissare il valore degli invarianti di Q attraverso questo potenziale

50


lascia come unico grado di liberta la rotazione del direttore, che al prim’ordinee q231 = θ(z). Utilizzando le sostituzioni

a =16s0(3b− 4cs0) a =

23bs20 − 2ρ2

0c b1 = −2b2k20r

20 (5.16)

si ottiene che il primo termine non nullo nello sviluppo di (??) e il coefficientedel secondo ordine in ε, che risulta della forma

h(θ1(z), θ′1(z), φ1) = k20ρ

20s0(−e+ fk2

0ρ20s0)φ2

10 − 2k20ρ

20s0(−e+ fk2

0ρ20s0)φ10θ1(z)+

+ k20ρ

20s0(−e+ fk2

0ρ20s0)θ1(z)2 +Ks20θ

′1(z)2

(5.17)

Si cerca quindi ora il minimo di (5.17) ricavando l’equazione di Eulero-Lagrange in θ1(z) che risulta:

d

dz

(∂h

∂θ′(z)

)− ∂h

∂θ(z)= 0 (5.18)

in cui le quantita da calcolare sono:

∂h

∂θ′(z)= 2Ks20θ

′(z)

∂h

∂θ(z)= −2k2

0ρ20s0(−e+ fk2

0ρ20s0)φ10 + 2k2

0ρ20s0(−e+ fk2

0ρ20s0)θ1(z).

(5.19)

Il risultato finale si ottiene risolvendo l’equazione

2Ks20θ′′(z) + 2k2

0ρ20s0(−e+ fk2

0ρ20s0)φ10 − 2k2

0ρ20s0(−e+ fk2

0ρ20s0)θ1(z) = 0

(5.20)

A questo punto e utile effettuare alcuni raccoglimenti in modo da adimen-sionalizzare il problema e isolare alcuni parametri significativi, per studiarecome evolve il sistema al variare di essi.Innanzitutto si riscrive la (5.20) nel modo seguente

Ks0θ′′1 −Aθ1 = B(φ10) (5.21)

dove, i parametri A e B sono

A = k20ρ

20(−e+ fk2

0ρ20s0) (5.22)

B(φ10) = −k20ρ

2(−e+ fk20ρ

20s0)φ10 = −Aφ10 (5.23)

Le condizioni al bordo sono di tipo Dirichlet omogenee, le molecole cioe sonovincolate a disporsi parallelamente ai piani:

θ1(−d/2) = 0θ1(d/2) = 0

(5.24)

51


La forma della soluzione dipendera dal segno della costante A. Ci sara quindiuna prima condizione su un parametro, per cui si distingueranno due diversesituazioni. Si cercano soluzioni dell’omogenea del tipo

θ1(z) = ceλz (5.25)

che porta a

λ1,2 = ±√

A

Ks0(5.26)

Si distinguono quindi subito due diversi casi al variare del segno di A:

• A > 0La soluzione avra la forma

θ1(z) = C1e

√AKs0

z+ C2e

−√

AKs0

z+ φ10 (5.27)

Le condizioni al bordo permettono di calcolare le costanti:C1e

−λd2 + C2e

λ d2 = −φ10

C1eλd2 + C2e

−λ d2 = −φ10

(5.28)

che risultano

C1 = C2 = − φ10

2sinh(λd2

) (5.29)

nel caso in cui λd2 6= 0. Se λd

2 = 0 comparira una costante indetermina-ta(quindi le soluzioni sono infinite) e risultera

C1 = C C2 = −C − φ (5.30)

• A < 0:I valori di λ1,2 sono complessi:

λ1,2 = ±i√− A

Ks0(5.31)

quindi, indicando con λ =√− AKs0

la soluzione sara della forma

θ1(z) = C1cos (λz) + C2sin (λz) + φ10 (5.32)

con le condizioni al bordo (5.24) che portano al sistemaC1cos

(λd2

)− C2sin

(λd2

)= −φ10

C1cos(λd2

)+ C2sin

(λd2

)= −φ10

(5.33)

52

Minimizzazione in φ10

Il sistema ammette un’unica soluzione(e di coseguenza le costanti sonounivocamente determinate) se

det[cos(λd2

)−sin

(λd2

)cos(λd2

)sin(λd2

) ] 6= 0 (5.34)

cioe sin(λd) 6= 0, quindi d 6= mπλ , m ∈ Z.

Le costanti in tal caso risulteranno:

C1 = − φ10

cos(λd2

) , C2 = 0 (5.35)

Nel caso d = mπλ la matrice dei coefficienti ha rango 1, e puo ammettere

infinite soluzioni o nessuna. Applicando il teorema di Rouche Capelli, siconsidera la matrice completa contenete i termini noti. Si distinguonoinnanzitutti due casi:

– d = mπλ con m = 0, 2, 4...:

il sistema ammette infinite soluzioni per qualsiasi valore di φ10,con

C1 = −φ10, C2 = C (5.36)

– d = mπλ con m = 1, 3, 5...:

il sistema ammette infinite soluzioni se φ10 = 0, con

C1 = C, C2 = 0. (5.37)

Per altri valori di φ il sistema e impossibile

La condizione su A permette di individuare un valore critico del parametrof che e il punto limite tra due casi, uno in cui puo generarsi un’instabilita,uno in cui l’equilibrio e univocamente determinato e risulta sempre stabile.A questo valore corrispondera una particolare temperatura Tcr che dipendeda come e definita la funzione f(T ).Si ottiene:

• A > 0 se f > ek2ρ2s0

= fcr

• A < 0 se f < ek2ρ2s0

= fcr

cioe fcr e il valore al di sotto del quale si genera un’instabilita.

5.2 Minimizzazione in φ10

Una volta identificata l’espressione di θ1(z) che minimizza (5.17), restada identificare il valore di φ10 corrispondente. Questo corrisponde a una

53


funzione(in questo caso un valore costante) che renda minima l’energia intale configurazione. Si inserisce la soluzione trovata nel funzionale:

h(θ1,min(z), θ′1,min(z), φ10) = s0A(φ10 − θ1(z))2 +Ks20θ′1(z)2 (5.38)

dove A e definita in (5.22).L’analisi verra effettuata per entrambi i tipi di soluzione ricavati nella sezioneprecedente:

• A > 0 (5.27):

θ1,min(z) = C1eλz + C2e

−λz + φ10 (5.39)

con C1 e C2 definite in (5.29), λ =√

AKs0

C1 = C2 = − φ10

2sinh(λd2

) = φ10D, con D = − 12sinh

(λd2

) (5.40)

Procedendo con i calcoli si ottiene

F =∫ d/2

−d/2h(θ1,min(z), θ′1,min(z), φ10)dz

= s0

∫ 1/2

−1/2

[Ks0λ

2φ210D

2(e2λdz + e−2λdz − 2

)]d · dz+

+ s0

∫ 1/2

−1/2

[Aφ2

10D2(e2λdz + e−2λdz + 2

)]d · dz.

(5.41)

Per rendere il problema adimensionale si e effettuata la sostituzionez = z

d . Integrando si ottiene:

F = 2As0φ210D

2

(1λ

sinh(λd) + d

)(5.42)

A questo punto si e giunti ad un’espressione funzione di φ10 da mini-mizzare risolvendo

∂F(θ1(z), θ′1(z), φ10)∂φ10

= 0 (5.43)

che porta aφ10 = 0 (5.44)

In questo caso dunque si ottiene una configurazione immutata rispetto aquella di partenza, in cui cioe il sistema tende naturalmente a rimanerein uno stato di equilibrio stabile costituito da molecole parallele ai pianiS+ ed S−, organizzate in una struttura smettica in cui i piani smetticisono paralleli tra loro, in quanto l’inclinazione rispetto ai bordi deldominio e nulla.

54


• A < 0 (5.32):Questo e il caso in cui avverra qualcosa di piu interessante. Si ricordal’espressione di θ1(z)

θ1,min(z) = C1cos(λz) + C2sin(λz) + φ10 (5.45)

con λ =√− Aks0

, e nel caso d 6= mπλ C1 e C2 definite come

C1 = − φ10

cos(λd2

) = φ10D, con D = − 1cos(λd2

)C2 = 0

(5.46)

Sostituendo in (5.38) risulta

F =∫ d/2

−d/2h(θ1,min(z), θ′1,min(z), φ10)dz

= φ210D

2 s0A

2λC2

1sin(λd)

(5.47)

Minimizzando F nella variabile φ10 si ottiene che il valore ottimaleper φ10 e 0. Se la soluzione non e univocamente definita, ma esistonoinfinite soluzioni (ovvero d = 2mπ

λ ) il valore dell’energa risulta nullo.

Resta ora da valutare quale sia la natura dei punti estremanti cosı calcolati,ovvero se si tratta di minimi o di massimi. Per stabilirlo si ricorre al calcolodella variazione seconda di F , e si valuta la sua positivita. L’obiettivo eanalizzare se ci sono particolari condizioni per cui le soluzioni trovate nonsiano minimanti e se in questi particolari casi nascano nuovi equilibri stabili.Data v ∈ C1

0([−d/2, d/2]), si definisce variazione seconda di F in θ1(z) laquantita

δ2F =∫ d/2

−d/2

[hθ′1θ′1v

′2(z) + 2hθ1θ′1v(z)v′(z) + hθθv2]dz (5.48)

Il risultato analitico di cui si fara uso e che se θ1(z) minimizza h(θ1(z), θ′1(z)),allora ∀v ∈ C1

0 ([−d/2, d/2])δ2F ≥ 0 (5.49)

Nel nostro caso

hθ′1θ′1(θ1(z), θ′1(z), φ10) = 2ks20hθ1θ1(θ1(z), θ′1(z), φ10) = 2s0Ahθ1θ′1(θ1(z), θ′1(z), φ10) = 0

(5.50)

Quindi la disequazione variazionale da verificare e∫ 1/2

−1/2

[ks0d2

v′(z)2 +Av(z)2]d · dz ≥ 0 ∀v(z) ∈ C1

0 ([−1/2, 1/2]) (5.51)

55

Studio della biforcazione

Quando A > 0 non si riscontrano problemi e la disuguaglianza e sempre valida.Nel caso in cui A sia negativo, ricordando che λ =

√− AKs0

e utilizzandov(z) = sin(πz) si ottiene

π2 − λ2d2 ≥ 0 (5.52)

La condizione su λd e quindi −π ≤ λd ≤ π.

5.3 Studio della biforcazione

A questo punto e chiaro che in un intorno di π avverra un cambiamento nellanatura dell’equilibrio precedentemente ricavato. Si definisce quindi

η = λd =√− A

Ks0d (5.53)

Il parametro η costituisce il parametro di bifocazione, in quanto una piccolavariazione rispetto al suo valore critico rende θ = 0 un equilibrio instabile,con la conseguente nascita di un nuovo equilibrio stabile. L’obiettivo diquesta sezione e studiare le nuove configurazioni di equilibrio in prossimitadi η = π.L’articolo [[4]] propone due diversi metodi per analizzare questo tipo di proble-ma. Il primo passo e ricavare le equazioni di Eulero-Lagrange per il funzionale(4.4) rispetto alla variabile θ. Il problema si formalizza considerando unaformulazione generale di F :

F [θ, θ′|η] =∫ 1/2

−1/2L(θ(z), θ′(z)|η)dz+

+W+f(θ(−1/2)) +W−f(θ(1/2))

(5.54)

in cui W± sono due costanti positive e f una funzione regolare pari, cheammette un minimo locale in θ = 0 ed e strettamente convessa attorno aquesto punto. Nel nostro caso L(θ(z), θ′(z)|η) e definita da

L(θ(z), θ′(z)|η) =29cs40 +

23as20 −

29bs30 + aρ2 + cρ4 + b1k

2ρ2 + b2k4ρ4+

− 23bρ2s20 +

23Ks20d2

ζ+

+Ks20d2

(θ′2 − α2sin2(φ− θ) + α2sin4(φ− θ)− ζsin4(φ− θ)

)(5.55)

dove

ζ = ek2ρ2 d2

Ks0(5.56)

56


Le equazioni di Eulero-Lagrange per (5.54) si ottengono calcolando la suavariazione prima e uguagliandola a zero:

δF [θ(z), θ′(z)|η]ϕ =∂F∂ε

[θ + εϕ, θ′ + εϕ′|η]∣∣∣∣ε=0

= 0 (5.57)

Il passaggio successivo proposto e considerare una piccola perturbazione dellevariabili in esame θ(z) e φ(z), a partire dai valori ottenuti al passo precedente,definite in questo modo:

θ(z) = εθ1(z) + ε2θ2(z)

φ(z) = εφ1(z) + ε2φ2(z)(5.58)

A differenza di quanto fatto prima il valore di ε non e semplicemente unaquantita piccola: la sua espressione ora e infatti nota e dipende dal parametroη:

ε =√η − π (5.59)

Anche η viene perturbato in un intorno del suo valore critico nel seguentemodo:

η = π + ε2 (5.60)

Inserendo (5.60) e (5.58) nell’espressione (5.55) si ottiene il funzionaleperturbato

L(θ, θ′|ε) =29cs40 +

23as20 −

29bs30 + aρ2 + cρ4 + b1k

2ρ2 + b2k4ρ4+

− 23bρ2s20 +

23ζKs20d2

+Ks20d2

(ε2θ′21 + ε4θ′22 + 2ε3θ′1θ′2 + o(ε4))+

− Ks20d2

(π2 + 2πε2 + ε4)(ε2γ2

1 + 2ε3γ1γ2 + ε4γ22 −

13ε4γ4

1 + o(ε6))

+

− Ks20d2

(π2 + 2πε2 + ε4)(−4

3ε5γ3

1γ2 +190ε6γ6

1 − 2ε6γ21γ

22 + o(ε6)

)+Ks20d2

(π2 + 2πε2 + ε4 − ζ)(ε4γ4

1 + 4ε5γ31γ2 + 2ε6γ2

1γ22 −

23ε6γ6

1 + o(ε6))

dove si sono indicate con γ1 e γ2 le quantita

γ1 = φ1 − θ1, γ2 = φ2 − θ2 (5.61)

Il primo ordine significativo e il secondo, ed e in questo caso che si cercherail corrispondente valore minimante. Il coefficiente proporzionale ad ε2 e

Lε2 =Ks20d2

(θ′21 − π2θ2

1 − π2φ21 + 2π2φ1θ1

)la cui equazione di Eulero-Lagrange e

θ′′1 + π2θ1 − π2φ1 = 0.

57


La soluzione e calcolabile analiticamente e risulta della forma

θ1(z) = Ccos (πz) + c2sin (πz) + φ1 (5.62)

con C costante indeterminata e C1 ricavabile dal sistema−C1 + φ1 = 0C1 + φ1 = 0

Il sistema ammette soluzione solo se φ1 = 0. In tal caso C1 = 0 e

θ1(z) = Ccos (πz) . (5.63)

Si e quindi ottenuta l’espressione di θ(z) a meno di una costante di inte-grazione. Si segue quindi il procedimento proposto in [] per rimuovere taleindeterminatezza.L’approccio utilizzato e quello di sviluppare i calcoli per ottenere ordini diapprossimazione piu elevati e applicare opportune condizioni di compatibilita.Si prende in esame quindi il coefficiente relativo al terzo ordine in cui leincognite sono θ2, φ2 e C:

Lε3 = 2Ks20d2

(θ′1θ′2 − π2γ1γ2

). (5.64)

La corrispondente equazione di Eulero-Lagrange rispetto θ2 e

θ′′1 + π2(θ1 − φ1) = 0 (5.65)

che risulta uguale a quella ottenuta al primo ordine. Non sono state apportateinformazioni utili per il calcolo di C quindi bisogna procedere con ordinisuperiori. Al quarto ordine invece si ha

Lε4 =Ks20d2

[θ′22 − π2

(γ2

2 −13γ4

1

)− 2πγ2

1 + (π2 − ζ)γ41

]La corrispondente equazione di Eulero-Lagrange e

θ′′2 + π2(θ2 − φ2) = 0

Poiche θ1 non compare, non e possibile determinare la costante C, e θ2 saradella forma

θ2(z) = C2cos (πz) . (5.66)

con C2 ulteriore costante indeterminata. Sono necessari ordini piu elevati,quindi le perturbazioni da utilizzare sono

θ(z) = εθ1(z) + ε2θ2(z) + ε3θ3(z)

φ(z) = εφ1(z) + ε2φ2(z) + ε3φ3(z)(5.67)

58


analogamente si definisceγ3 = φ3 − θ3 (5.68)

e il funzionale diventa

L(θ, θ′|ε) =29cs40 +

23as20 −

29bs30 + aρ2 + cρ4 + b1k

2ρ2 + b2k4ρ4+

− 23bρ2s20 +

23ζKs20d2

+

+Ks20d2

(ε2θ′21 + ε4θ′22 + ε6θ′23 + 2ε5θ′2θ

′3 + 2ε3θ′1θ

′2 + 2ε4θ1θ3 + o(ε6)

)+

− Ks20d2

(π2 + 2πε2 + ε4)(ε2γ2

1 + 2ε3γ1γ2 −13ε4γ4

1 + ε4γ22 + o(ε6)

)− Ks20

d2(π2 + 2πε2 + ε4)

(2ε4γ1γ3 −

43ε5γ3

1γ2 + 2ε5γ2γ3 + o(ε6))

+

− Ks20d2

(π2 + 2πε2 + ε4)(−2ε6γ2

1γ22 −

43ε6γ3γ

31 + ε6γ2

3 + o(ε6))

+Ks20d2

(π2 + 2πε2 + ε4 − ζ)(ε4γ4

1 + 4ε6γ21γ

22 + 4ε5γ3

1γ2 + o(ε6))

+Ks20d2

(π2 + 2πε2 + ε4 − ζ)(−2

3ε6γ6

1 + 2ε6γ21γ

22 + 4ε6γ3

1γ3 + o(ε6))

Anche il quinto ordine e ininfluente in quanto non compare θ1(z). Il sesto equello corretto, infatti risulta

gε6 =Ks20d2

[θ′23 − π2

(−2γ2

1γ22 −

43γ3γ

31 + γ2

3

)− 2π

(−1

3γ4

1 + γ22 + 2γ1γ3

)− γ2

1

]+Ks20d2

[2(π2 − ζ)

(2γ2

1γ22 −

13γ6

1 + γ21γ

22 + 2γ3

1γ3

)+ 2πγ4

1

]L’equazione di Eulero-Lagrange diventa

θ′′3 + π2(θ3 − φ3)− 2πCcos(πz) +(

83π2 − 2ζ

)C3cos3(πz) = 0

Si raggruppano alcuni coefficienti per ottenere una formulazione piu semplice,quindi si introduce il parametro G = −

(83π

2 − 2ζ), per cui la (5.3) diventa

θ′′3 + π2θ3 = π2φ3 + 2πCcos(πz) +34GC3cos(πz) +

14GC3cos(3πz).

Introducendo ulteriormente M = 2πC + 34GC

3

θ′′3 + π2θ3 = π2φ3 +Mcos(πz) +14GC3cos(3πz) (5.69)

la cui soluzione, dipendente da C, e

θ3 = C3cos(πz) +C4sin(πz) +φ3 +M

πzsin(πz)− 1

32π2GC3cos(3πz) (5.70)

59


Imponendo le condizioni al bordoθ3(−1/2) = 0θ3(1/2) = 0

(5.71)

si ottiene il sistema −C4 + φ3 + M

2π = 0C4 + φ3 + M

2π = 0(5.72)

che risulta risolvibile solo se

φ3 +M

2π= 0 (5.73)

cioe

φ3 + C +3

8πGC3 = 0 (5.74)

In tal caso C4 = 0 e la costante C3 rimane indeterminata. Abbiamoquindi ottenuto le espressioni per θ e φ che risultano

θ(z) = εCcos(πz) + ε2C2cos(πz)+

+ ε3(C3cos(πz)− C − 3

8πGC3 +

M

πzsin(πz)− 1

32π2GC3cos(3πz)

)φ(z) = −ε3

(C +

38πGC3

)(5.75)

in cui C, C2 e C3 sono costanti indeterminate. Le soluzioni che minimizzanoil funzionale (4.4) sono pertanto infinite, si dovra scegliere quella che rendeminimo il valore dell’energia. Per fare questo si calcola l’energia della config-urazione perturbata inserendo le espressioni (5.75) in (4.4). Al secondo e alterzo ordine si elidono tutti i termini. Il primo ordine significativo e quindiil quarto, in cui le costanti C2 e C3 si semplificano e rimane un’espressionepolinomiale di quarto grado in C da minimizzare. In particolare risulta

F(C) =29cds40 +

23ads20 −

29dbs30 + adρ2 + cdρ4 + b1dk

2ρ2 + b2dk4ρ4+

− 23bdρ2s20 +

23Ks20dζ +

Ks20d

(−4πC2 − 27

16GC4

)(5.76)

Osservando i termini di energia che dipendono da C si deduce che affincheF(C) sia limitata dal basso e necessario richiedere

G < 0 (5.77)

60


che comporta imporre una condizione su e:

e <4Ks0

3k2ρ2d2π2 (5.78)

Minimizzando (5.76) in C si ottiene l’equazione

8πC +274GC3 = 0 (5.79)

che porta alla soluzione banale C = 0 e a due soluzioni C±

C± = ±163

√π

4π2 − 3ζ(5.80)

che corrispondono ad uguali valori di energia. La (5.77) garantisce la positivitadella quantita sotto radice. In corrispondenza di C± si trovano i due valoriφ∓3

φ∓3 = ∓2027

√π

4π2 − 3ζ(5.81)

Combinando la (5.78) con

f <e

k2ρ2s0= fcr (5.82)

si ottiene il valore di fcr, pari a

fcr =4K

3k4ρ4d2π2 (5.83)

61


62

Capitolo 6

Risultati

Si presenta ora una panoramica dei risultati ottenuti, mettendo in evidenzail ruolo dei parametri introdotti. Innanzitutto la prima osservazione da fare esul valore critico del parametro f : questo infatti e un punto di distinzione trail caso in cui F ammetta come unica funzione minimante θ = 0, situazionein cui l’equilibrio risulta sempre stabile, e il caso in cui accanto alla soluzioneθ = 0 si generano due nuove configurazioni, che costituiscono due equilibristabili con pari grado di energia, e rendono la soluzione banale instabile.Come gia detto, θ(z) rappresenta l’angolo di inclinazione dell’asse direttoren rispetto ai due piani paralleli che delimitano il dominio in esame. θ(z) = 0corrisponde dunque alla condizione per cui le molecole della sostanza sonotutte allineate e dirette parallelamente ai piani, come prescritto al bordo.Questa situazione rappresenta una condizione di equilibrio stabile finchenon intervengono azioni esterne a modificarne l’assetto. Le azioni esternepotrebbero essere un campo magnetico o elettrico imposto, un cambiamentodi condizioni al bordo, non piu omogenee ma che prescrivano che n formi unangolo θ0 con le lamine, oppure un aumento della temperatura. I primi duecasi sono stati descritti nel capitolo 3, nel caso di cristalli liquidi nematici,mentre nel seguito si analizzera l’ultima situazione. In tutti gli esempi quelloche avviene e il fenomeno della transizione di Freedericksz, in cui lo stato diquiete oltre un certo valore critico di un parametro cambia la sua natura ediventa equilibrio instabile.La variazione di temperatura si manifesta nella variazione del parametro f ,che e funzione di T . Proprio questo parametro infatti e il responsabile delcambiamento da equilibrio stabile a instabile della soluzione θ = 0. Comericavato nel paragrafo precedente, infatti, per

f < fcr =e

k2ρ2s0= fcr (6.1)

il minimo del funzionale F e una combinazione di esponenziali, in cui lecostanti di integrazione dipendono da φ, variabile che rappresenta l’angolo tran e la normale ai piani smettici. Si ottiene che, se le costanti di integrazione

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Capitolo 6. Risultati

sono univocamente determinate, φmin = 0 e θmin = 0.Per f > fcr la soluzione assume la forma di una combinazione di seni e coseni,e anche in questo caso, a parte casi particolari, si ottiene che il θ = 0 e φ = 0sono punti estremanti. Per valutare la natura di tali soluzioni si e analizzatala variazione seconda; si e isolato un nuovo parametro, η =

√− Aks0d e si

e ottenuto che per f > fcr non ci sono vincoli per cui la soluzione banalee sempre equilibrio stabile, mentre per f < fcr deve essere soddisfatta lacondizione

η > π (6.2)

In questo caso infatti θ = 0 diventera un massimo.Per comprendere l’evoluzione del sistema in un intorno di η = π si e effettuatala perturbazione

η = π + ε2 (6.3)

Perturbando opportunamente anche θ(z) e φ si e ottenuta un’espressione perciascuna delle due variabili, rispettivamente al primo e al terzo ordine. Si eottenuta una nuova condizione sul parametro e che indica qual e il valore incui avviene la biforcazione. In particolare per

e <4Ks0

3k2ρ2d2π2 (6.4)

la funzione F e limitata dal basso, ammette tre punti estremanti, di cuiuno corrispondente alla configurazione θ = 0 e φ = 0, equivalente ad averemolecole parallele ai bordi del dominio e piani smettici perpendicolari adessi, e corrisponde ad un massimo relativo; le altre due corrispondono a dueconfigurazioni speculari, a cui e associato lo stesso valore di energia. In questidue ultimi casi θ(z) assume la forma

θ(z) = C±cos(πz) (6.5)

cui corrispondono due valori φ∓, stavolta non nulli, quindi la normale ai pianismettici non e parallela ad S+ ed S−. Si assiste dunque ad una deformazioneche provoca una variazione nella posizione dei pani. Se si considera adesempio la configurazione sul bordo inferiore del dominio, cioe in z = −1/2,si osserva che le molecole sono inclinate di un angolo θ± = −C±, positivonel caso θ− e negativo nel caso θ+; contemporaneamente gli strati smetticihanno variato la loro inclinazione, passando dal caso ∇ω ‖ e1 al caso in cui∇ω forma un angolo rispettivamente φ+(positivo) e φ−(negativo).Date le approssimazioni fatte gli strati smettici sono dei piani, e poiche φe costante questi piani sono paralleli. Il valore critico η = π rappresenta ilpunto di biforcazione tra i due possibili scenari.Si puo notare in figura 6.1 che al variare di e la forma della curva cherappresenta l’energia in funzione di C (costante da cui dipende l’andamentodi θ), cambia notevolmente: se e ≥ ecr non esiste un limite dal basso, per cui

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Fig. 6.1: Profilo di F(C) al variare di e. Al di sotto di ecr esistono due valori C±corrispondenti a due minimanti θ±.

il θmin ideale teoricamente sarebbe infinito. Per e < ecr invece sono presentidue minimi in corispondenza di C±, mentre C = 0 e un massimo relativo. Infigura 6.2 si riporta l’andamento di θ al variare di η = η/π. In corrispondenzadi η = 1 avviene la biforcazione: θ = 0 diventa instabile e cede il posto aduna nuova soluzione. Questa e stata ricavata tramite una perturbazione alprimo ordine in ε =

√η − π, per cui il profilo sara parabolico. Il calcolo

spinto ad ordini successivi porterebbe a determinare il comportamento di θlontano dal punto di biforcazione. Si e plottato il caso in cui C > 0 e perz = 1/2

Fig. 6.2: Andamento di θ in funzione di η = η/π. In η = 1 avviene la biforcazione.

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Capitolo 7

Conclusioni

In questo lavoro e stato presentato un caso particolare di transizione diFreedericksz conseguente ad una variazione di temperatura. Si e analizzatoun problema in una geometria semplice che ha permesso di rendere agevolidei calcoli complessi, in e comunque risultato visibile il fenomeno in analisi.Si e presa in considerazione una sostanza di tipo smettico, quindi e statoutilizzato un modello teorico che spiegasse il comportamento anche di questotipo di sostanze, estensione cioe della teoria classica di Frank che si occupaesclusivamente di sostanze nematiche.Si sono effettuate alcune ipotesi sulle grandezze in esame, in particolare sie supposto che l’ampiezza di modulazione di densita fosse costante e chegli strati smettici fossero dei piani. Il materiale si trova inizialmente in unostato in cui il direttore n delle molecole e ovunque parallelo ai piani chedelimitano il dominio, mentre gli strati smettici sono disposti verticalmente;questo e uno stato di equilibrio stabile. Si e ipotizzato di somministrareuna variazione di temperatura e si e ricavato che al di sotto di un valorecritico del parametro f presente nell’espressione del funzionale di energia, checorrispondera ad un particolare valore di temperatura, le molecole tendonoad inclinarsi rispetto l’asse x e l’angolo ha un’espressione che dipende daz, quindi dalla posizione nel dominio. Contemporaneamente anche i pianismettici, pur rimanendo paralleli tra loro, si spostano dalla loro posizioneoriginale. Sono state ricavate due possibili configurazioni di questo tipo, unasimmetrica rispetto all’altra, che risultano equivalenti poiche hanno lo stessocontenuto energetico.Quanto fatto in questo lavoro rappresenta un primo passo per l’analisi delfenomeno: e possibile infatti effettuare la stessa analisi eliminando l’ipotesiche gli strati smettici siano piani. In piu qui si e determinato il nuovoequilibrio stabile effettuando un’analisi perturbativa in prossimita del puntodi biforcazione arrestandosi al primo ordine. Procedendo con ordini successivie possibile ricavare una soluzione che spieghi cosa avviene lontano dallabiforcazione. Per quest’ultimo punto sarebbe necessario utilizzare metodi

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Capitolo 7. Conclusioni

numerici.

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Bibliografia

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[5] S. Turzi, Distortion-induced effects in nematic liquid crystals, Ph.D.Thesis, Politecnico di Milano

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