42510011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Modulo 2. Un modello algebrico per risolvere problemi: le equazioni.

Unità didattica 1: Le equazioni.Unità didattica 1: Le equazioni.Unità didattica 2: Risoluzione di problemiUnità didattica 2: Risoluzione di problemi.Competenze. Al termine del modulo lo studente sarà in grado di:• classificare un’equazione;• risolvere equazioni di primo grado e ad esse riconducibili;• risolvere problemi mediante equazioni.Descrittori.Al. Sa classificare un’equazione.A2. Sa riconoscere equazioni determinate, indeterminate, impossibili.B1. Sa applicare i principi di equivalenza.B2. Sa determinare il dominio di un’equazione.B3. Sa risolvere un’equazione numerica intera di primo grado.B4. Sa risolvere un’equazione numerica frazionaria.B6. Sa risolvere un’equazione di grado superiore al primo applicando la legge di annullamento del prodotto.C1. Sa costruire il modello algebrico di un problema.C2. Sa individuare le soluzioni del modello e del problema.

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Un po’ di storiaUn po’ di storia

“Riguardo alla risoluzione di un

problema relativo a numeri o

alle relazioni astratte tra

quantità, è necessario solo

tradurre il problema dal

proprio linguaggio al linguaggio

dell’algebra”. Newton

Isaac Newton

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Le equazioni di primo grado erano note sia ai matematici greci, sia ai matematici indiani che, probabilmente, le avevano apprese proprio dai greci e che crearono un linguaggio sincopato abbastanza avanzato.

Prima ancora dei greci altre civiltà molto più antiche avevano affrontato larisoluzione dei problemi che portavano ad equazioni.

Nelle tavolette babilonesi e nei papiri egiziani si trovano infatti numerosi esempi di queste equazioni con enunciati e soluzioni completamente privi diSimbolismo algebrico. Ad esempio il papiro di Rhind (1700 a. C. circa che si trova nel British Museum di Londra), noto anche come papiro di Ahmes (nome del suo autore), contiene una tavola per esprimere le frazioni con numeratore 2 e denominatore da 5 a 101 come somma di frazioni con numeratore 1 o frazioni unitarie.

Consideriamo il problema 25 in esso riportato:

“Una quantità sommata con la sua metà diventa 16”.

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L’incognita appare esplicitamente per la prima volta in Diofanto che la chiama “aritmos”, cioè numero incognito, e lo indica con il simbolo x, probabilmente perché questa “s” greca è la lettera finale del suo nome.

Per risolvere equazioni di primo grado in una incognita, Diofanto raggruppa in un membro tutti i termini contenenti l’incognita e nell’altro i termini noti, così ilproblema è ridotto ad eseguire una divisione o a cercareun quarto proporzionale.

Anche i matematici greci anteriori a Diofanto sapevano risolvere equazioni di primo e secondo grado ma affrontavano questi problemi geometricamente.

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Attraverso il commercio e i viaggi, intorno al

1100, gli europei vengono a contatto con gli

arabi e con i bizantini.

Tra questi europei, Leonardo Pisano (1170 -1250),

detto Fibonacci, visitò l’Algeria per imparare i

procedimenti aritmetici utilizzati dagliArabi.

Tra le sue opere, il “Liber Quadratorum”

presenta una certa analogia con il lavoro di

Diofanto.

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Dal problema al modelloDal problema al modello

Trova il numero tale che il suo doppio

diminuito di cinque sia uguale a quindici.

Indicando con x il numero si ottieneIndicando con x il numero si ottiene

2x – 5 = 152x – 5 = 15

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Un modello è una forma di Un modello è una forma di

rappresentazione semplificata della rappresentazione semplificata della

realtà. realtà.

2x – 5 = 15

È la formalizzazione in linguaggio algebrico del

problema dato.

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Numerose questioni relative all’algebra, alla geometria, alla fisica, alla chimica, … si traducono in equazioni.

““Pensa un numero, aggiungi 5 e moltiplica il risultato per 2. Pensa un numero, aggiungi 5 e moltiplica il risultato per 2. Che numero hai ottenuto?”Che numero hai ottenuto?”““Ho ottenuto 30”Ho ottenuto 30”““Allora il numero che hai pensato è 10”.Allora il numero che hai pensato è 10”.

Questo semplice giochino che ci è stato proposto tante volte si risolve mediante un’equazione

2(x + 5) = 30

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Si chiama equazione algebrica un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, in una o più variabili, che risulti verificata solo per particolari valori attribuiti alle variabili che in essa figurano.Un’equazione algebrica, in una sola variabile, si dirà di primo grado se la variabile che in essa figura è di primo grado.

La variabile x si chiama incognita dell’equazione.I particolari valori che attribuiti all’incognita soddisfano l’equazione, si chiamano soluzioni o radici dell’equazione stessa.

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In matematica una uguaglianza e‘ un uguale fra due enti.Esempi possono essere

1 + 1 = 2 125 + 250 = 375

a + a + 3a + 2a = 2a + 5a

Regola importante:Regola importante:se un'uguaglianza e' vera si comporta come una bilancia a piatti: quello che c'e' su un piatto deve variare come quello che c'e' sull'altro piatto altrimenti la bilancia non e' più in equilibrio e l'uguaglianza non e' più valida

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Una equazione generica di primo grado è del tipo:ax = b con a, b, x ax = b con a, b, x

Chiameremo 1° membro l’espressione posta a sinistra dell’uguale e 2° membro l’espressione a destra.

x – 1 + 2x = 3x - 1

1° membro1° membro 2° membro

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EquazioneEquazioneax = b con a,b,xax = b con a,b,x

Equazioni Equazioni determinatedeterminate

(una (una soluzione)soluzione)

ax = bax = b

EquazioniEquazioniindeterminateindeterminate

(infinite (infinite soluzioni)soluzioni)

0x = 00x = 0

EquazioniEquazioniimpossibiliimpossibili(nessuna (nessuna

soluzione)soluzione)

0x = b0x = b

Se l’equazione (di 1° grado) possiede una sola soluzione si dirà determinata; Se l’equazione (di 1° grado) possiede una sola soluzione si dirà determinata; se, invece, possiede infinite soluzioni si dirà indeterminata; infine, si dirà se, invece, possiede infinite soluzioni si dirà indeterminata; infine, si dirà

impossibile se non ammette soluzioni.impossibile se non ammette soluzioni.

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ClassificazioneClassificazioneEquazioni

RazionaliLe incognite non

compaiono sotto un segno di radice

IrrazionaliLe incognite compaiono sotto un segno di radice

NumericheOltre alle incognite non compaiono altre lettere

LetteraliOltre alle incognite

compaiono altre lettere

Interele incognite non compaiono in un

denominatore

FratteLe incognite compaiono anche nei denominatori

Grado di u

n’equazi

one

intera n

ella f

orma

P(x)=0:

È il grad

o del polin

omio

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EQUAZIONI EQUIVALENTIEQUAZIONI EQUIVALENTI

Diremo che due equazioni, di primo grado, sono equivalenti se ammettono la stessa soluzione

Per risolvere un’equazione è necessario applicare un procedimento risolutivo, occorre cioè conoscere i metodi che consentono di trasformare un’assegnata equazione in una nuova equazione ad essa equivalente ma di forma più semplice.A tale scopo è necessario applicare due importanti teoremi detti principi di equivalenza.

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Principio di addizionePrincipio di addizioneAddizionando ad ambo i membri di una equazione uno stesso numero o una medesima espressione algebrica in x si ottiene una equazione equivalente alla data

Esempio:8x – 6 = 7x + 4

Applicando il 1° principio, aggiungiamo ad ambo i membri l’espressione 6-7x

8x – 6 + 6 – 7x = 7x + 4 + 6 – 7x x = 10

Da tale principio ricaviamo:

Regola del trasporto:Regola del trasporto: in una equazione è sempre possibile trasportare un termine qualunque da un membro all’altro cambiandone il segno

Regola della cancellazione:Regola della cancellazione: se uno stesso termine figura nei due membri di una equazione, può essere eliminato

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Principio di moltiplicazione e divisionePrincipio di moltiplicazione e divisione

– Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una equazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione algebrica contenente l’incognita, si ottiene una equazione equivalente alla data

Esempio: 8x = -16

Applicando il 2° principio, dividendo ambo i membri per 80: 8x : 8 = – 16 : 8

x = – 2 Da tale principio ricaviamo:

– Regola del cambiamento di segno:Regola del cambiamento di segno: cambiando il segno a tutti i termini di una equazione se ne ottiene un’altra equivalente alla data

– Regola della soppressione dei denominatori numerici:Regola della soppressione dei denominatori numerici: per trasformare una equazione dotata di denominatori numerici in un’altra equivalente, priva di denominatori, si moltiplicano ambo i membri dell’equazione data per il m.c.m. dei suoi denominatori

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Come si risolve una equazione di ICome si risolve una equazione di I grado grado  

Equazione 1 

10 (x + 2) + 20 = 6 (x - 2) + 22 - x  

  Soluzione

10x+20+20 = 6x - 12 + 22 – x

10x + x - 6x = -12 + 22 - 20

5x = -30

5x/5 = -30/5

x = (-30)/5 = - 6 

Verifica

10 [(-6) + 2] + 20 = 6 [(-6) - 2] + 22 - (-6)

10 (-6 + 2) + 20 = 6 (-6 - 2) + 22 + 6

10 (-4) + 20 = 6 (-8) + 22 + 6  -40 + 20 = - 48 + 22 + 6

-20 = -26 +6

-20 = - 20 verificata 

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Equazione 2Equazione 2

4 (-3 – x) – 14 (x + 2) + 15 = - 15 – 8x

 Soluzione  -12 - 4x - 14x - 28 + 15 = - 15 - 8x

4x - 14x + 8x = - 15 + 12 + 28 - 15

-10x = + 10

-10x/(-10) = + 10/(-10)

x = (-10)/(10) x = -1

Verifica

4 [-3 - (-1)] - 14 [(-1) + 2] + 15 = - 15 - 8(-1) 4 (-3 +1) - 14 (-1 + 2) + 15 = - 15 + 8 4 (-2) - 14 (1) + 15 = - 7

-8 - 14 + 15 = - 7

-7 = - 7 verificata 

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Vediamo ora qualche esempio di risoluzione di un’equazione di IVediamo ora qualche esempio di risoluzione di un’equazione di I grado indeterminata: grado indeterminata:

Equazione 3

4 ∙ (x – 5)² = (2x – 10)²

Soluzione4 ∙ (x – 5)² = (2x – 10)²4 ∙(x² - 10x + 25) = 4x² - 40x + 100  4x² - 40x + 100 = 4x² - 40x + 100 identità verificata per qualsiasi valore attribuito alla x oppure riprendendo da  4x² - 40x + 100 = 4x² - 40x + 100

 e applicando la regola dell’elisione si ottiene 

0 = 0  quindi, anche in questo caso, indipendentemente dal valore attribuito all’incognita l’equazione è sempre verificata

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Equazione 4

x – 1 + 5 ∙ (x – 3) + (-2)² = 6 ∙ (x – 2)

 

SoluzioneSoluzione

x – 1 + 5 ∙ (x – 3) + (-2)² = 6 ∙ (x – 2) 

x – 1 + 5x – 15 + 4 = 6x – 12 

x + 5x – 6x = -12 + 1 + 15 – 4  

0 = 0  

anche in questo caso l’equazione è soddisfatta indipendentemente dal valore attribuito alla x, cioè è soddisfatta da qualsiasi valore di x, dunque l’equazione è indeterminata

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Esempio di risoluzione di un’equazione di IEsempio di risoluzione di un’equazione di I grado impossibile grado impossibile 

Equazione 5

(5x – 2)² + (5x +2)² = 50 ∙ (x + 2) ∙ (x –2)

  Soluzione

(5x – 2)² + (5x +2)² = 50 ∙ (x + 2) ∙ (x –2) 

25x² – 20x + 4 + 25x² + 20x + 4 = 50 ∙ (x² - 4) 

50x² + 8 = 50x² - 200  

8 = - 200  risulta dunque che l’equazione non è mai soddisfatta indipendentemente dal valore attribuito alla x, cioè nessun valore dato alla x è soluzione dell’equazione. L’equazione è impossibile

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Si narra che sulla tomba del celebre matematico Diofanto fosse

scolpita la seguente iscrizione:

• “Qui Diofanto ha la sua tomba che a te rivela con l’aritmetica

quanti anni egli visse. Egli passò un sesto della sua vita

nell’infanzia, un dodicesimo nell’adolescenza, un settimo nella

giovinezza. Poi si ammogliò e dopo 5 anni ebbe un figlio che visse

la metà della vita del padre, il padre gli sopravvisse ancora 4 anni

mitigando il suo dolore con lo studio dell’ aritmetica”.

• A che età morì Diofanto?

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Dunque, dalla lettura del testo ciò che si vuole determinare è l’età del nostro matematico Diofanto. Questo numero per ora sconosciuto noi lo chiameremo “incognita” che in latino significa proprio “cosa non conosciuta” e lo indicheremo con la lettera “x”. Deduciamo che: VITA DI DIOFANTO = PERIODO INFANZIA + PERIODO ADOLESCENZA + PERIODO GIOVINEZZA + PERIODO SPOSATO SENZA FIGLI + PERIODO PRIMA DELLA MORTE DEL FIGLIO + PERIODO DOPO MORTE FIGLIO

Allora se: x = ETA’ DI DIOFANTO abbiamo: PERIODO INFANZIA = 1/6 xPERIODO ADOLESCENZA = 1/12 xPERIODO GIOVINEZZA = 1/7 xPERIODO SPOSATO SENZA FIGLI = 5 (anni)PERIODO PRIMA MORTE FIGLIO = ½ xPERIODO DOPO MORTE FIGLIO = 4 (anni)

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La 1) può essere formulata matematicamente in questo modo:  2) x = 1/6 x + 1/12 x + 1/7 x + 5 + ½ x + 4  Abbiamo quindi schematizzato e rappresentato un problema reale in modo sintetico attraverso il linguaggio della matematica utilizzando, come si vede, uno strumento matematico come le equazioni algebriche di Iº grado. Dunque l’incognita che questo celebre aneddoto richiedeva coincide con l’eventuale soluzione della 2). Risoluzione:

x = 1/6 x + 1/12 x + 1/7 x + 5 + ½ x + 4

-5 – 4 = 1/6 x + 1/12 x + 1/7 x + ½ x - x m.c.m. (6,12,7,2,1) = 84

-9 = (14x + 7x + 12x + 42x – 84x)/ 84 -9 = -9x/84

-9/(-9/84) = (-9x/84)/(-9/84) x = 84

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Progetto DiGiScuola ex “CIPE scuola”

(Delibera CIPE 9 maggio 2003, N°17 puntoB)Introduzione di metodologie didattiche innovative

attraverso l'uso delle Tecnologie per l'Informazione e la Comunicazione

Autori

Antonella Colantoni Istituto Magistrale “I. Gonzaga” Chieti

Piero Carozza Istituto Magistrale “I. Gonzaga” Chieti

Tutor: Antonella Pellegrini