L’iperbole: problemi ed equazioni - treccani.it · IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASSI DI...

L’iperbole: problemi ed equazioni

1

Bruna Cavallaro, Treccani Scuola

2 !"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%&

Tutto quello che sappiamo sull’equazione cartesiana dell’iperbole con centro O e fuochi sull’asse x

a, b, c sono legati dal teorema di Pitagora: a2 = b2 + c2

!

x2

a2"y2

b2=1

EQUAZIONE

!

Eccentricità e =ca

c > a

Asintoti

3 !"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%&

Elementi di simmetria dell’iperbole con centro O e fuochi sull’asse x

!

x2

a2"y2

b2=1

EQUAZIONE

Perciò l’iperbole è simmetrica rispetto: - all’asse y; - all’asse x; - all’origine O.

L’equazione rimane inalterata se: - cambio segno all’ascissa x; - cambio segno all’ordinata y; - cambio segno ad x e ad y.

Che cosa succede se opero una simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante, cioè se scambio x con y?

A, A’ vertici dell’iperbole

4 !"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%&

Equazione di iperbole con centro O e fuochi sull’asse y Scambio x con y ed ecco che cosa ottengo.

a, b, c sono legati dal teorema di Pitagora: c2 = a2 + b2

!

Eccentricità e =ca

c > a

!

y2

a2"x2

b2=1

EQUAZIONE

A, A’ vertici dell’iperbole

Attività 2. Equazione e grafico dell’iperbole

5 !"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%&

1%&2"*33/4%&%5(/67&8/&9"#22*&3%"7&8-8/.%6%&%&"/3*)(-"-&2"*:)-4/&3#&-;#%</*$-&-&9"%=.*&8-))>/2-":*)-?&@/(/8-6-(/&/$&9"#22/&8/&A&B&C&2-"3*$-D&%8&*9$/&9"#22*&(/-$-&8%6%&#$%&3.E-8%&8/&)%(*"*&8%&.*42)-6%"-?&

!"#$#%&'%()*+,%-)%$#(./0%%

Che cosa abbiamo trovato

6 !"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%&

7 !"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%&

Riconoscere equazioni di iperbole con fuochi, eccentricità ed asintoti

Una simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante scambia le ascisse con le ordinate e trasforma la curva C nella D.

Risolvere problemi

8 !"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%&

Risolvere problemi

9 !"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%&

Risolvere problemi

10 !"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%&

Come sono stati realizzati i grafici di iperbole di questa presentazione?

11 !"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%&

Con un software di geometria dinamica

Bruna Cavallaro, Treccani Scuola 12

Equazione e grafico di iperbole con un software di geometria dinamica

Animazione ‘Iperbole_Geogebra_Presenta2’

Disegnare un’iperbole di equazione data con un software di geometria dinamica

13 !"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%&


Iperbole: una curva tante equazioni

In questa lezione abbiamo ritrovato da un altro punto di vista l’equazione dell’iperbole: è proprio la stessa curva ottenuta alla fine di un lungo percorso che è cominciato alla scuola secondaria con lo studio della proporzionalità inversa. Ecco una mappa sintetica del percorso.

15

L’iperbole: una curva, tante equazioni

Bruna Cavallaro, Treccani Scuola


Rivediamo alcune tappe del percorso

Proporzionalità inversa e grafico di un ramo di iperbole

17 Bruna Cavallaro, Treccani Scuola

PROPORZIONALITÀ INVERSA x, y lati di rettangoli di area 16

Capillarità

PROPORZIONALITÀ INVERSA y altezza del liquido, x diametro del capillare

Rettangoli equivalenti

Funzioni e grafico di un’iperbole


PROPORZIONALITÀ INVERSA x, y lati di rettangoli di area 16

Legge: y = 16/x Dominio: l’insieme R0

+ Codominio: l’insieme R0

+

Equazione: y = 16/x Campo di esistenza della formula: l’insieme R0 dei numeri reali diversi da 0

GEOMETRIA ANALITICA Iperbole

Simmetrie e grafico di funzioni del tipo y = k/x


Con la simmetria rispetto ad O trovo che una funzione del tipo y = k/x ha per grafico un’iperbole con le caratteristiche indicate qui sotto.

!

y =kx

con k > 0

A’ e B’ simmetrici di A e B rispetto ad O

IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASINTOTI


Rotazioni attorno ad O e iperbole equilatera

Equazione x2 ! y2 = a2

A(a, 0) A’(!a, 0) Vertici

La curva è simmetrica rispetto a: - asse delle x; - asse delle y; - origine O.

AA’ asse trasverso

Asintoti d’equazione y = x , y = !x

IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASSI DI SIMMETRIA


Trasformare un’iperbole con una dilatazione

Dilato il piano Oxy

Iperbole equilatera con: - centro di simmetria O(0; 0); - assi di simmetria gli assi cartesiani; - asintoti y = x e y = -x; - equazione x2 - y2 = 1.

Iperbole che non è più equilatera, ma ha sempre centro O(0; 0) e gli assi cartesiani come assi di simmetria.

E l’equazione dell’iperbole e dei suoi asintoti?


Equazione dell’iperbole dopo la dilatazione

Daniela Valenti, Treccani Scuola 23

L’equazione di un’iperbole riferita agli assi di simmetria

Un’equazione del tipo

descrive un’iperbole con le caratteristiche indicate qui sotto.

!

x2

a2"y2

b2=1

‘Dimentico’ la dilatazione eseguita e gli apici nelle lettere per concludere che:

AA’ asse trasverso

Assi di simmetria gli assi cartesiani Centro O Vertici A(a, 0) e A’(-a,0)

Asintoti


Equazione dell’iperbole come luogo di punti

25 !"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%&

Tutto quello che sappiamo sull’equazione cartesiana dell’iperbole con centro O e fuochi sull’asse x

a, b, c sono legati dal teorema di Pitagora: a2 = b2 + c2

!

x2

a2"y2

b2=1

EQUAZIONE

!

Eccentricità e =ca

c > a

Asintoti


Iperbole nella realtà e nelle scienze L’iperbole è una curva molto ricca di proprietà, studiate già dagli antichi greci e perciò è diventata sempre più importante nella realtà e nelle scienze.

L’iperbole: problemi ed equazioni - treccani.it · IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASSI DI...

Documents

Transcript of L’iperbole: problemi ed equazioni - treccani.it · IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASSI DI...