Lezione 10Equazioni del campo Equazioni del campo

elettromagnetico e onde elettromagnetico e onde elettromagneticheelettromagnetiche

(sintesi slides)

Questa “sintesi” fa riferimento alla lezione 10 “Equazioni del campo elettromagnetico e onde elettromagnetiche” del corso online di Fisica II

accessibile, previa iscrizione, da http://federica.eu/c/fisica_ii

La sintesi è riferita agliargomenti in programma per corso di

Fisica Generale 2Ingegneria Biomedica (A-O) 2016/2017

(Docente F. Bloisi)

Fonte immagini di “copertina”: “A Student’s Guide to Maxwell’s Equations” e wikimedia commons <http://www.danfleisch.com/maxwell/> <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:James_Clerk_Maxwell.png>

Se non indicato diversamente, le immagini presenti nelle slides sono tratte dalle slidesdel corso online citato sopra <http://federica.eu/c/fisica_ii>

Lezione 10Equazioni del campo e.m.

e onde e.m.

Unità 1 (slides 1..14)Le equazioni di Maxwell

Unità 2 (slides 15..25)Proprietà generali del campo elettromagnetico

Unità 3 (slides 26..46)Le onde elettromagnetiche

Slide Titolo

1 Introduzione video

2 Esempio di violazione della legge di Ampère

3 Correnti non stazionarie e teorema di Ampère-Maxwell

4,5 La corrente di spostamento

6,7 Le equazioni di Maxwell nel vuoto

8 Equazioni di Maxwell nei mezzi materiali -

9 Potenziali elettromagnetici in elettrodinamica

10 Equazioni di Maxwell per i potenziali elettromagnetici

11 Invarianza di gauge dei potenziali elettrodinamici

12 Gauge di Lorenz e gauge di Coulomb

13 Equazione di D’Alembert non omogenea e sua soluzione

14 Interpretazione fisica della formula del potenziale ritardato

Unità 1 (slides 1..14)Le equazioni di Maxwell

– – N

ON

IN

PR

OG

RA

MM

A –

NO

N I

N P

RO

GR

AM

MA

–

Esempio di violazione della legge di Ampère(slide 2)

● Riprendiamo la definizione di “corrente concatenata” con una linea chiusa (necessaria per il teorema della circuitazione di Ampere)– La corrente che attraversa la superficie è concatenata con la curva

, “bordo” della superficie

● È sempre possibile decidere se una corrente è concatenata o meno con una linea chiusa?– Consideriamo un circuito RC

intorno alfilo percorso da corrente

c’è campo magnetico

γ=∂ΣΣ

I conc.≠0 su Σ1

Iconc.=0 su Σ2∫γ

B⋅d l ≠0

la corrente nel filoè concatenata o meno

con la linea chiusa?

Correnti non stazionariee teorema di Ampère-Maxwell

(slide 3)

rot B=μ0 J ∇×B=μ0 J∮ B⋅d l=μ0 I conc.

● Non siamo in condizioni stazionarie– Nal circuito RC in fase di carica la corrente decresce esponenzialmente

– Anche se utilizzaimoo un generatore di corrente, la carica sulle armature del condensatore non è costante

● Il “teorema della circuitazione di Ampere” e

è valido solo in condizioni stazionarie– usare il Teorema di Ampere solo

in condizioni stazionarie?

– modificare il Teorema di Ampereper estenderne la validità al casonon stazionario?

La corrente di spostamento(slides 4, 5)

● Superficie S1 (attraversata dal filo)

– È attraversata da cariche

c’è “corrente concatenata”

– il campo B è generato dalla corrente

● Superficie S2 (nello spazio tra le armature)

– non è attraversata da cariche

la “corrente di conduzione” è nulla

– è “attraversata” da un campo elettrico

il flusso del campo elettrico varia nel tempo

– il campo B è generato dal flusso di E variabile nel tempo

Fonte figura: wikimedia commons <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Corrente_di_spostamento.png>

∮ B⋅d l=μ0 I conc.

∮ B⋅d l=μ0(ε0

d ΦE

d t )Cosa accadrà quando il condensatore

si sarà caricato?

Corrente di spostamento

La corrente di spostamento(slides 4, 5)

∮ B⋅d l=μ0 I conc. ∮ B⋅d l=μ0(ε0

d ΦE

d t )Iconc.=∬ J⋅uN d Σ

∮ B⋅d l=μ0∬ J⋅uN d Σ

ΦE=∬ E⋅uN dΣ

∮ B⋅d l=μ0(ε0dd t

∬ E⋅uN d Σ)

∮ B⋅d l=μ0∬(ε0∂ E∂ t )⋅uN d Σ

∮ B⋅d l=μ0∬(J+ε0∂ E∂ t )⋅uN d Σ

Teorema (della circuitazione)di Ampere-Maxwell

Teorema (della circuitazione)di Ampere

densità dicorrente di spostamento

Le equazioni di Maxwell nel vuoto(slides 6, 7)

● In condizioni stazionarie

In condizioni non stazionarie

rot E=0 rot B=μ0 J

div E=ρε0

div B=0

rot E=−∂ Bd t

rot B=μ0( J+ε0∂ Ed t )

div E=ρε0

div B=0

Teorema diAmpere-Maxwell

Legge diFaraday-Neumann-Lentz

formulazionedifferenziale

Le equazioni di Maxwell nel vuoto(slides 6, 7)

● In condizioni stazionarie

In condizioni non stazionarie

∮ E⋅d l=0 ∮ B⋅d l=∬μ0 J⋅uN d Σ

∯ E⋅uN d Σ=1ε0∭ρdV ∯ B⋅uN d Σ=0

nota: Σ=∂Vγ=∂Σ

∮ E⋅d l=−∂

d t∬ B⋅uN d Σ ∮ E⋅d l=μ0∬(J+ε0

∂ Ed t )⋅uN d Σ

∯ E⋅uN d Σ=1ε0∭ρdV ∯ B⋅uN d Σ=0

Teorema diAmpere-Maxwell

Legge diFaraday-Neumann-Lentz

formulazioneintegrale

Slide Titolo

15 Introduzione video

16,17 Conservazione locale dell’energia elettromagnetica

18,19 Vettore di Poynting e sue applicazioni

20 Conservazione della quantità di moto e campo e.m.

21 Quantità di moto del campo elettromagnetico

22 Il paradosso di Feynmann

23 Momento angolare del campo elettromagnetico

24 Contributo elettromagnetico alla leggi di conservazione

25 Leggi di conservazione del campo elettromagnetico nella materia

- -

Unità 2 (slides 15..25)Proprietà generali del campo elettromagnetico

– – N

ON

IN

PR

OG

RA

MM

A –

NO

N I

N P

RO

GR

AM

MA

–

Conservazione localedell’energia elettromagnetica

(slides 16, 17)

wE=12ε0|E|

2

wB=1

2μ0

|B|2

we.m.=wE+wB

pJ=E⋅J

vettore di Poynting

S=E×Bμ0

si dimostra che

− ∂∂ t (( 1

2ε0|E|

2)+( 12μ0

|B|2)) = E⋅J + div ( E×B

μ0 )

L’energia elettromagneticadiminuisce

“irraggiata”(onde e.m.)

“dissipata”(effetto Joule)

−∂we.m.

∂ t= pJ + div S

= +

perché oppure

[ S ]=J /m2 s=W /m2

Vettore di Poynting e sue applicazioni(slides 18, 19)

E : Campo elettrico (rosso)H : Campo Magnetico (verde)S : Vettore di Poynting (blu)

Fonte figura: wikimedia commons <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Poynting_vectors_of_DC_circuit.svg>

S=E×Bμ0

nel vuotoB=μ0 H

resistoregeneratore

Vettore di Poynting e sue applicazioni(slides 18, 19)

Fonte figura: The Feynman Lectures on Physics (modificata)<http://feynmanlectures.caltech.edu/II_27.html> <http://feynmanlectures.caltech.edu/img/FLP_II/f27-03/f27-03_tc_big.svgz>

E : Campo elettrico (rosso)H : Campo di Induzione Magnetica (verde)S : Vettore di Poynting (blu)

S=E×Bμ0

condensatore(in fase di carica)

Slide Titolo

26-Introduzione video

27-Equazioni di Maxwell omogenee: le onde elettromagnetiche

28..30-Onde e.m. piane

31-Onde e.m. sinusoidali: frequenza e lunghezza d’onda

32-Polarizzazione delle onde e.m. piane

33-Energia e intensità delle onde e.m. piane

34-Quantità di moto delle onde e.m. e pressione di radiazione --

35-Pacchetti di onde e impulsi

36-Velocità di fase e velocità di gruppo

37..39-Onde e.m. nei dielettrici

40,41-Onde e.m. nei conduttori

42,43-Onde elettromagnetiche sferiche

44-Emissione di radiazione e.m. da un dipolo oscillante

45-Potenza irradiata da un dipolo oscillante

46-Radiazione e.m. emessa da una carica in moto accelerato

Unità 3 (slides 26..46)Le onde elettromagnetiche

– – N

ON

IN

PR

OG

RA

MM

A –

NO

N I

N P

RO

GR

AM

MA

–

– – NON IN PROGRAMMA –NON IN PROGRAMMA –

Le equazioni di Maxwell= riepilogo =

● In elettrostatica

le "sorgenti" del campo elettrico sono le cariche elettriche (ferme)

● In magnetostatica

le "sorgenti" del campo di induzione magnetica sono le correnti elettriche (stazionarie)

div E= ρε0

rot E=0

div B=0

rot B=μ0 J

Le equazioni di Maxwell= riepilogo =

●

agiscono come "sorgenti" del campo elettrico anche i campi di induzione magnetica variabili nel tempo

●

agiscono come "sorgenti" del campo di induzione magnetica anche i campi elettrici variabili nel tempo

div E= ρε0

rot E=−∂ B∂ t

div B=0

rot B=μ0( J+ε0∂ E∂ t )

● In condizioni non stazionarie (elettromagnetismo)

Le equazioni di Maxwell= riepilogo =

●

●

div E=0

rot E=−∂ B∂ t

div B=0

rot B=μ0ε0∂ E∂ t

● In "assenza di sorgenti" (cariche e correnti)

il campo di induzione magnetica (non costante) agisce come sorgente del campo elettrico edil campo elettrico (non costante) agisce come sorgente del campo di induzione magnetica

Le equazioni di Maxwell= riepilogo =

●

●● Dal punto di vista matematico possiamo dire chele equazioni di Maxwell prevedono soluzioni non le equazioni di Maxwell prevedono soluzioni non nulle anche in assenza di cariche e correntinulle anche in assenza di cariche e correnti

● Dal punto di vista fisico possiamo dire che i campi elettromagnetici possono esistere in i campi elettromagnetici possono esistere in regioni lontane (spazialmente e temporalmente) regioni lontane (spazialmente e temporalmente) dalle cariche e correnti che li hanno generatodalle cariche e correnti che li hanno generato

Esempio: il cielo stellato

Dalle equazioni di Maxwellall'equazione delle onde

● Le equazioni di Maxwell relative alla divergenza (ovvero, nella forma integrale, al flusso) lasciano "separati" il campo elettrico ed il campo di induzione magnetica

div E=0 div B=0

Dalle equazioni di Maxwellall'equazione delle onde

● Le equazioni di Maxwell relative al rotore (ovvero, nella forma integrale, alla circuitazione) "mescolano" il campo elettrico ed il campo di induzione magnetica

cerchiamo di "separare" i due campi

rot E=−∂ B∂ t

rot B=μ0ε0∂ E∂ t

rot E=−∂ B∂ t

rot B=μ0ε0∂ E∂ t

div E=0 div B=0

Consideriamo le eq. di Maxwell in assenza di sorgenti

∂E z∂ y

−∂ E y∂ z

=−∂B x∂ t

∂E x∂ z

−∂E z∂ x

=−∂ B y∂ t

∂E y∂ x

−∂E x∂ y

=−∂B z∂ t

∂B z∂ y

−∂B y∂ z

=ε0μ0∂ E x∂ t

∂B x∂ z

−∂ B z∂ x

=ε0μ0∂E y∂ t

∂B y∂ x

−∂ Bx∂ y

=ε0μ0∂ E z∂ t

∂E x∂ x

+∂E y∂ y

+∂E z∂ z

=0∂B x∂ x

+∂ B y∂ y

+∂B z∂ z

=0

Consideriamo le eq. di Maxwell in assenza di sorgentiesplicitiamo gli operatorfi differenziali

∂E z∂ y

−∂ E y∂ z

=−∂B x∂ t

∂E x∂ z

−∂E z∂ x

=−∂ B y∂ t

∂E y∂ x

−∂E x∂ y

=−∂B z∂ t

∂B z∂ y

−∂B y∂ z

=ε0μ0∂ E x∂ t

∂B x∂ z

−∂ B z∂ x

=ε0μ0∂E y∂ t

∂B y∂ x

−∂ Bx∂ y

=ε0μ0∂ E z∂ t

∂E x∂ x

+∂E y∂ y

+∂E z∂ z

=0∂B x∂ x

+∂ B y∂ y

+∂B z∂ z

=0

Consideriamo le eq. di Maxwell in assenza di sorgentiesplicitiamo gli operatorfi differenziali

e, per semplicità, consideriamo onde piane( E

y=cost, E

z=cost, B

y=cost, B

z=cost )

otteniamo

0=−∂ B x∂ t

−∂ E z∂ x

=−∂ B y∂ t

∂E y∂ x

=−∂ Bz∂ t

0=ε0μ0∂ E x∂ t

−∂ B z∂ x

=ε0μ0∂E y∂ t

∂B y∂ x

=ε0μ0∂E z∂ t

∂E x∂ x

=0∂B x∂ x

=0

0=−∂ B x∂ t

−∂ E z∂ x

=−∂ B y∂ t

∂E y∂ x

=−∂ Bz∂ t

0=ε0μ0∂ E x∂ t

−∂ B z∂ x

=ε0μ0∂E y∂ t

∂B y∂ x

=ε0μ0∂E z∂ t

∂E x∂ x

=0∂B x∂ x

=0

Prendiamo in considerazionesolo le equazioni che contengono

la componente y del campo elettrico: Ey

∂E y∂ x

=−∂ Bz∂ t

−∂ B z∂ x

=ε0μ0∂E y∂ t

∂∂ x

∂∂ t

∂2E y∂ x2 =−

∂2B z∂ x∂ t

−∂2 Bz∂ t ∂ x

=ε0μ0∂2E y∂ t 2

∂2E y∂ x2 =ε0μ0

∂2 E y∂ t2

con qualche passaggio possiamo ottenereun'equazione che contiene solo E

y

Dalle equazioni di Maxwellall'equazione delle onde

● Le componenti "trasversali" (y e z) del campo elettrico e del campo di induzione magnetica devono rispettare l'equazione delle onde (piane)

∂2E y∂ x2 =ε0μ0

∂2 E y∂ t2

∂2E z∂ x2 =ε0μ0

∂2E z∂ t2

∂2B y∂ x2 =ε0μ0

∂2B y∂ t 2

∂2B z∂ x2 =ε0μ0

∂2 Bz∂ t 2

1c2=ε0μ0 ⇒ c= 1

√ε0μ0

=2.998 108 m /s

Le equazioni di Maxwelle le onde elettromagnetiche

●

●● I campi elettromagnetici possono esistere in I campi elettromagnetici possono esistere in regioni lontane (spazialmente e temporalmente) regioni lontane (spazialmente e temporalmente) dalle cariche e correnti che li hanno generatodalle cariche e correnti che li hanno generato

● Tali campi si comportano come onde (onde Tali campi si comportano come onde (onde elettromagnetiche) che si propagano con velocitàelettromagnetiche) che si propagano con velocità

● Le onde elettromagnetiche sono trasversaliLe onde elettromagnetiche sono trasversali

c= 1√ε0μ0

=2.998 108 m /s (nel vuoto)

v= c√εrμr

<c (nella materia)

0=−∂ B x∂ t

−∂ E z∂ x

=−∂ B y∂ t

∂E y∂ x

=−∂ Bz∂ t

0=ε0μ0∂ E x∂ t

−∂ B z∂ x

=ε0μ0∂E y∂ t

∂B y∂ x

=ε0μ0∂E z∂ t

∂E x∂ x

=0∂B x∂ x

=0

consideriamo orale equazioni che contengono E

x

(oppure quelle che contengono Bx)

∂E x∂ x

=0

0=ε0μ0∂E x∂ t

consideriamo orale equazioni che contengono E

x (oppure B

x)

∂B x∂ x

=0

0=−∂ Bx∂ t

Ex è costante

ed uniformeB

x è costante

ed uniforme

Le onde elettromagnetiche pianesono "trasversali"

∂E z∂ y

−∂ E y∂ z

=−∂B x∂ t

∂E x∂ z

−∂E z∂ x

=−∂ B y∂ t

∂E y∂ x

−∂E x∂ y

=−∂B z∂ t

∂B z∂ y

−∂B y∂ z

=ε0μ0∂ E x∂ t

∂B x∂ z

−∂ B z∂ x

=ε0μ0∂E y∂ t

∂B y∂ x

−∂ Bx∂ y

=ε0μ0∂ E z∂ t

∂E x∂ x

+∂E y∂ y

+∂E z∂ z

=0∂B x∂ x

+∂ B y∂ y

+∂B z∂ z

=0

Dalle eq. di Maxwell per le onde piane

∂E z∂ y

−∂ E y∂ z

=−∂B x∂ t

∂E x∂ z

−∂E z∂ x

=−∂ B y∂ t

∂E y∂ x

−∂E x∂ y

=−∂B z∂ t

∂B z∂ y

−∂B y∂ z

=ε0μ0∂ E x∂ t

∂B x∂ z

−∂ B z∂ x

=ε0μ0∂E y∂ t

∂B y∂ x

−∂ Bx∂ y

=ε0μ0∂ E z∂ t

∂E x∂ x

+∂E y∂ y

+∂E z∂ z

=0∂B x∂ x

+∂ B y∂ y

+∂B z∂ z

=0

Dalle eq. di Maxwell per le onde pianeeliminiamo i termini "longitudinali" (E

x e B

x)

∂E z∂ y

−∂ E y∂ z

=−∂B x∂ t

∂E x∂ z

−∂E z∂ x

=−∂ B y∂ t

∂E y∂ x

−∂E x∂ y

=−∂B z∂ t

∂B z∂ y

−∂B y∂ z

=ε0μ0∂ E x∂ t

∂B x∂ z

−∂ B z∂ x

=ε0μ0∂E y∂ t

∂B y∂ x

−∂ Bx∂ y

=ε0μ0∂ E z∂ t

∂E x∂ x

+∂E y∂ y

+∂E z∂ z

=0∂B x∂ x

+∂ B y∂ y

+∂B z∂ z

=0

Dalle eq. di Maxwell per le onde pianeeliminiamo i termini "longitudinali" (E

x e B

x)

e consideriamo un'onda polarizzata lungo y (Ez=0)

0=−∂ B y∂ t

∂E y∂ x

=−∂ Bz∂ t

−∂ B z∂ x

=ε0μ0∂E y∂ t

∂B y∂ x

=0

otteniamo(onda trasversale

linearmente polarizzata lungo y)

0=−∂ B y∂ t

∂E y∂ x

=−∂ Bz∂ t

−∂ B z∂ x

=ε0μ0∂E y∂ t

∂B y∂ x

=0

Da queste due equazionideduciamo che la componente B

y

non contribuisce alla propagazionedell'onda elettromagnetica

per cui possiamo considerarla nulla

In maniera analogafacendo l'ipotesi (non restrittiva) di

onda polarizzata linearmente lungo z(il campo elettrico ha la componente E

y=0)

deduciamo che la componente Bz

non contribuisce alla propagazionedell'onda elettromagnetica

per cui possiamo considerarla nullaossia

Nelle onde elettromagnetiche pianei campi E e B sono ortogonali tra loro

Le equazioni di Maxwelle le onde elettromagnetiche

●

●● Nelle onde elettromagnetiche piane i campi E e BNelle onde elettromagnetiche piane i campi E e B● sono ortogonali alla direzone di propagazione (onde sono ortogonali alla direzone di propagazione (onde

trasversali)trasversali)● sono ortogonali tra lorosono ortogonali tra loro

Nelle onde elettromagnetiche pianei vettori E, B e v

costituiscono una terna levogira.

0=−∂ B y∂ t

∂E y∂ x

=−∂ Bz∂ t

−∂ B z∂ x

=ε0μ0∂E y∂ t

∂B y∂ x

=0

Ritorniamo un po' indietro(onda trasversale

linearmente polarizzata lungo y)

∂E y∂ x

=−∂ Bz∂ t

−∂ B z∂ x

=ε0μ0∂E y∂ t

Ritorniamo un po' indietro(onda trasversale

linearmente polarizzata lungo y)restano solo

∂E y∂ x

=−∂ Bz∂ t

−∂ B z∂ x

=ε0μ0∂E y∂ t

Per un'onda piana polarizzata linearmente lungo y le equazioni di Maxwell si riducono a

poiché● E

x=0 (onda trasversale che si propaga lungo x)

● Ez=0 (onda polarizzata lungo y)

● Bx=0 (onda trasversale che si propaga lungo x)

● By=0 (onda polarizzata lungo y)

(Nota: la direzione di polarizzazione è quella del campo elettrico!)

Per ricavare ulteriori informazioni sui campi elettromagnetici di un'onda consideriamo

un'onda armonicapolarizzata linearmente lungo y

ossia

E y ( x , t )=E0sin (k E x−ωE t+φE)B z ( x , t )=B0 sin (k B x−ωB t+φB)

● E0 : ampiezza del campo elettrico

● B0 : ampiezza del campo di induzione magnetica

● : velocità di propagazioneωE

k E=

ωB

k B=c

Facendo le derivate e sostituendole nell'equazione di Maxwell

∂E y∂ x

=+k E E0 cos (k E x−ωE t+φE )

∂B z∂ t

=−ωB B0 cos (k B x−ωB t+φB)

∂E y∂ x

=−∂ Bz∂ t

k E E 0 cos (k E x−ωE t+φE )=ωBB0 cos (k B x−ωB t+φB)

Da questa relazione

ricaviamo

k E E 0 cos (k E x−ωE t+φE )=ωBB0 cos (k B x−ωB t+φB)

k E E 0=ωB B0 ⇒E0

B0=

ωB

k E=ωk=c

k B=k E=kωB=ωE=ωφB=φE=φ

L'onda "elettrica" e l'onda "magnetica" hanno la stessa lunghezza d'onda, la stessa frequenza, la stessa fase

ed ampiezze proporzionali

wE=12ε0E0

2= 12μ0

ε0μ0 E02= 1

2μ0

1c2 E0

2= 12μ0

E0 B0

c

wB=1

2μ0B0

2= 12μ0

B0E 0

cwE=wB

La densità di energia associata al campo elettrico è uguale alla densità di energia

associata al campo di induzione magneticaInfatti essendo

si ricavaE0=c B0

we.m.=wE+wB=1cE0 B0

μ0

Le equazioni di Maxwelle le onde elettromagnetiche

●

●● Nelle onde elettromagnetiche armonicheNelle onde elettromagnetiche armoniche● le ampiezze dei campi E e B sono proporzionali e la le ampiezze dei campi E e B sono proporzionali e la

costante di proporzionalità è pari alla velocità di costante di proporzionalità è pari alla velocità di propagazione dell'ondapropagazione dell'onda

● i vettori E, B e c costituiscono una terna levogirai vettori E, B e c costituiscono una terna levogira

● l'energia trasportata dall'onda è associata per metà al l'energia trasportata dall'onda è associata per metà al campo elettrico e per metà al campo di induzione campo elettrico e per metà al campo di induzione magneticamagnetica

E= B× c

we.m.=1cE 0B0

μ0

esempio dionda elettromagnetica

armonica (sinusoidale/cosinusoidale)piana (direzione di propagazione x)

trasversale (componenti y, z)linearmente polarizzata (direzione di polarizzazione z)

E : Campo elettrico (blu)B : Campo di Induzione Magnetica (rosso)v : velocità di propagazione (nero)

Fonte figura: wikimedia commons <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Onde_electromagnetique.svg>

E=B× c

z

x

y

E

v

B

esempio dionda elettromagnetica

armonica (sinusoidale/cosinusoidale)piana (direzione di propagazione x)

trasversale (componenti y, z)NON polarizzata (direzione ortogonale ad x)

Fonte figura: wikimedia commons <http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wire-grid-polarizer.svg>

– – Fine Lezione 10 –Fine Lezione 10 –