Modelli di Stima RischioMercato 2008 - Sapienza · cosiddetto metodo “a blocchi” (building...

1

UNA NUOVA MISURA DI RISCHIO IL VALUE-AT-RISK:

MODELLI DI STIMA DEL RISCHIO DI MERCATO

prof.ssa Annalisa Di Clemente

Dispense didattiche di “Economia dei mercati monetari e finanziari”

Facoltà di Scienze PoliticheUniversità di Roma “La Sapienza”

a.a. 2008-2009

2

DEFINIZIONE REGOLAMENTARE DI RISCHIO DI MERCATO

- CON L’ESPRESSIONE “RISCHIO DI MERCATO” SI INTENDE LA PERDITADI VALORE DELLE POSIZIONI CREDITORIE (LONG) E DEBITORIE (SHORT) DEL PORTAFOGLIO NON IMMOBILIZZATO, OSSIA DI NEGOZIAZIONE O DI TESORERIA, DI UN’IMPRESA D’INVESTIMENTO E/O DI UN ENTE CREDITIZIO DERIVANTE DA FLUTTUAZIONE AVVERSE DEI FATTORI DI MERCATO RILEVANTI Fj (con j =1, …, M).

- PER PORTAFOGLIO NON IMMOBILIZZATO (TRADING BOOK) S’INTENDONO LE POSIZIONI IN TITOLI E RELATIVI DERIVATI ASSUNTE IN UN’OTTICA DI BREVE PERIODO CON FINALITA’ DI SPECULAZIONE (POSIZIONI ASSUNTE IN NOME E IN CONTO PROPRIO) O DI SODDISFAZIONE DI ESIGENZE DI NEGOZIAZIONE DELLA CLIENTELA (POSIZIONI ASSUNTE IN NOME E IN CONTO TERZI).

- CON FATTORI DI MERCATO RILEVANTI S’INTENDONO: PREZZI AZIONARI, TASSI DI INTERESSE, TASSI DI CAMBIO, PREZZO MERCI, E VOLATILITA’ DI TALI VARIABILI.

3

TIPOLOGIE REGOLAMENTARI DI RISCHIO DI MERCATO

LA DIRETTIVA COMUNITARIA 93/6 DEL MARZO 1993 (CAD) SULL’ADEGUATEZZA PATRIMONIALE DELLE IMPRESE D’INVESTIMENTO E DEGLI ENTI CREDITIZI (ISTITUZIONI) AL FINE DI CALCOLARE I REQUISITI MINIMI PATRIMONIALI A COPERTURA DEL RISCHIO DI MERCATO DELLE ISTITUZIONI, ATTRAVERSO IL COSIDDETTO METODO “A BLOCCHI” (BUILDING BLOCK APPROACH), ARTICOLA IL RISCHIO DI MERCATO IN CINQUE DISTINTE TIPOLOGIE:

• RISCHIO DI POSIZIONE

• RISCHIO DI REGOLAMENTO

• RISCHIO DI CONTROPARTE

• RISCHIO DI CAMBIO

• RISCHIO DI CONCENTRAZIONE

4

TIPOLOGIE REGOLAMENTARI DI RISCHIO DI MERCATO

- CON RISCHIO DI POSIZIONE S’INTENDE IL RISCHIO CHE SORGE DA FLUTTUAZIONI INDESIDERATE DEI VALORI (DI MERCATO) DEGLI STRUMENTI FINANZIARI LEGATE A FATTORI ATTINENTI SIA AL GENERALE ANDAMENTO DEI MERCATI (RISCHIO GENERICO) CHE ALLA PARTICOLARE SITUAZIONE DELL’EMITTENTE (RISCHIO SPECIFICO).

- IL RISCHIO DI REGOLAMENTO SI DETERMINA QUALORA LA CONTROPARTE, DOPO LA SCADENZA DEL CONTRATTO, NON ADEMPIA AL PROPRIO OBBLIGO DI CONSEGNA DEI TITOLI E/O DEGLI IMPORTI DI DENARO DOVUTI.

- IL RISCHIO DI CONTROPARTE ATTIENE ALL’EVENTUALITA’ CHE LA CONTROPARTE NON ADEMPIA AI PROPRI OBBLIGHI CONTRATTUALI ALLA SCADENZA (TALE RISCHIO GRAVA SUI TITOLI DERIVATI NEGOZIATI SUI MERCATI OTC).

- IL RISCHIO DI CAMBIO RAPPRESENTA LA POSSIBILITA’ DI SUBIRE PERDITE IN SEGUITO AD AVVERSE VARIAZIONI DEI CORSI DELLE VALUTE. (TALE RISCHIO VIENE CALCOLATO IN RIFERIMENTO ALL’INTERO BILANCIO DELL’ISTITUZIONE).

- IL RISCHIO DI CONCENTRAZIONE RIGUARDA PORTAFOGLI COMPOSTI DA UNA QUOTA ELEVATA DI TITOLI EMESSI DALLO STESSO EMITTENTE O DA GRUPPI EMITTENTI COLLEGATI.

5

CONTESTO STORICO

I RISCHI DI MERCATO HANNO ASSUNTO NELL’AMBITO DEI MERCATI FINANZIARI INTERNAZIONALI UNA RILEVANZA CRESCENTE A PARTIRE DAGLI ANNI ’80 IN SEGUITO A TRE FENOMENI RILEVANTI:

- IL PROCESSO DI TITOLARIZZAZIONE O CARTOLARIZZAZIONE.

- LA PROGRESSIVA CRESCITA DEI MERCATI DERIVATI.

- L’AUMENTO DELLA VOLATILITA’ DEI MERCATI FINANZIARI IMPUTABILE

ALLA PROGRESSIVA INTERNAZIONALIZZAZIONE DEGLI STESSI.

EFFETTI: AFFINAMENTO DELLE TECNICHE DI MISURAZIONE AL MERCATO

(MARKING TO MARKET) DELLE SINGOLE POSIZIONI DETENUTE DAGLI INTERMEDIARI

FINANZIARI; EVIDENZIAZIONE DEI PROFITTI E DELLE PERDITE CONNESSI ALLE

VARIAZIONI DI BREVE PERIODO DELLE CONDIZIONI DI MERCATO; ABBANDONO

DELL’APPROCCIO TRADIZIONALE ALLA MISURAZIONE DEL RISCHIO DI MERCATO

BASATO SUI VALORI NOMINALI DELLE SINGOLE POSIZIONI; ADOZIONE DELLE MISURE

DI SENSITIVITA’.

6

CONTESTO STORICO

MISURE DI SENSITIVITA’:

- BETA (AZIONI)

- DURATION; DURATION MODIFICATA E CONVEXITY (OBBLIGAZIONI)

- GRECHE: DELTA, GAMMA, VEGA, THETA E RHO (DERIVATI).

LIMITI: L’UTILIZZO DI LINGUAGGI DIFFERENTI IMPEDISCE DI CONFRONTARE RISCHI ASSUNTI IN DIVERSE AREE DI ATTIVITA’ DI NEGOZIAZIONE E DI AGGREGARE FRA LORO I RISCHI DI POSIZIONI DIVERSE. CIO’ OSTACOLA LA COMUNICAZIONE ORIZZONTALE (TRA DIVERSE CATEGORIE DI OPERATORI) E QUELLA VERTICALE (NEI CONFRONTI DEL MANAGEMENT DELLA BANCA).

ESIGENZA: OTTENERE UNA MISURA DEL RISCHIO COMPLESSIVO ASSUNTO DALL’ISTITUZIONE ATTRAVERSO UNA MISURA DI RISCHIO OMOGENEA: VALUE-AT-RISK (VaR) O CAPITAL-AT-RISK (CaR) VALORE A RISCHIO O CAPITALE A RISCHIO DELL’ISTITUZIONE IN SEGUITO A FLUTTUAZIONI AVVERSE DEI FATTORI DI MERCATO RILEVANTI PER LE POSIZIONI ASSUNTE NEL TRADING BOOK.

7

DEFINIZIONE DI VALUE-AT-RISK

PER DEFINIRE CORRETTAMENTE IL VALORE A RISCHIO OCCORRE FARE RIFERIMENTO A QUATTRO ELEMENTI FONDAMENTALI:

- LA MASSIMA PERDITA POTENZIALE (ML) CHE UNA POSIZIONE O UN PORTAFOGLIO DI POSIZIONI PUO’ SUBIRE.- UN CERTO LIVELLO DI CONFIDENZA O DI PROBABILITA’ DI ACCADIMENTO DELLA ML.- UN DETERMINATO ORIZZONTE TEMPORALE.- LA PERDITA ATTESA SULLA POSIZIONE O SUL PORTAFOGLIO (EL).

- IL VaR ESPRIME QUINDI LA VARIABILITA’ DELLA PERDITA ATTORNO AL VALORE ATTESO. IN ALTRI TERMINI ESPRIME LA DISTANZA O LA DIFFERENZA TRA LA MASSIMA PERDITA, CALCOLATA IN CORRISPONDENZA DI UN CERTO LIVELLO DI CONFIDENZA c ALL’INTERNO DI UN PRECISO ORIZZONTE TEMPORALE t, E LA PERDITA ATTESA ASSOCIATA ALLA SINGOLA POSIZIONE O ALL’INTERO TRADING BOOK DEL’ISTITUZIONE. - IL VaR E’ ESPRESSO IN TERMINI MONETARI.

8

DEFINIZIONE DI VALUE-AT-RISK

IL VaR(c) E’ QUINDI LA DIFFERENZA TRA ML(c) ED EL CACOLATA SU UN PRECISO ORIZZONTE TEMPORALE PARI A t:

VaR(c) = ML(c)−EL

- ML(c) E’ LA MASSIMA PERDITA POTENZIALE CHE UNA POSIZIONE O UN PORTAFOGLIO DI POSIZIONI PUO’ SUBIRE IN CORRISPONDENZA DI UN LIVELLO DI

CONFIDENZA O DI PROBABILITA’ c DOVE 95%≤c≤99,9% ALL’INTERNO DI UN ORIZZONTE TEMPORALE t = 1 GIORNO, 7 GIORNI, 10 GIORNI, 15 GIORNI, ECC.

- EL E’ LA PERDITA ATTESA (MEDIA) REGISTRATA DALL’ATTIVITA’ FINANZIARIA O DAL PORTAFOGLIO NELL’ARCO TEMPORALE PRESCELTO.

DATA TALE DEFINIZIONE DI TIPO PROBABILISTICO DI VaR, ESISTE QUINDI UNA

PROBABILITA’ PARI AD 1−c DI INCORRERE IN UNA PERDITA’ MAGGIORE DEL VaRSTESSO ALL’INTERNO DELL’ORIZZONTE TEMPORALE DI RIFERIMENTO.

ANALITICAMENTE: Pr(L>VaR) = 1−c.

9

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA TRADIZIONALE DI VALUE-AT-RISK

µ

σ

RR*

5%

Pr [ *] .ob R R< = 0 05

Pr [ *] Pr [ ( * ) / ]ob R R ob Z R< = < −µ σ

R* .= −µ σ165

VaR = VM (µ - R*) = 1,65 σ VM

10

MODELLI DI STIMA DEL VALUE-AT-RISK

- MODELLI PARAMETRICI o ANALITICI o VARIANZA-COVARIANZA.- MODELLI BASATI SULLE SIMULAZIONI (STORICA E MONTE CARLO).- MODELLI “SEMIPARAMETRICI”: SIMULAZIONE + EVT (EXTREME VALUE THEORY) E MODELLI IBRIDI: VARIANZA-COVARIANZA + HS.

PECULIARITA’ DEI MODELLI VARIANZA-COVARIANZA:

- IL RISCHIO E’ MISURATO COME FUNZIONE DELLA VOLATILITA’ O DELLE POSIZIONI STESSE (MODELLO ASSET NORMAL) O DEI FATTORI DI RISCHIO RILEVANTI (MODELLO DELTA-NORMAL) E DELLE CORRELAZIONI TRA I FATTORI DI RISCHIO.- LA DETERMINAZIONE DEL LIVELLO DI CONFIDENZA DESIDERATO, E QUINDI IL CALCOLO DEL CORRISPONDENTE PERCENTILE, E’ SUBORDINATO ALL’IPOTESI DI DISTRIBUZIONE NORMALE DEI RENDIMENTI DELLE ATTIVITA’ O DEI FATTORI DI RISCHIO DI MERCATO.

11

PECULIARITA’ DEI MODELLI BASATI SU SIMULAZIONI

- IL RISCHIO DELL’ATTIVITA’ O DEL PORTAFOGLIO DI ATTIVITA’, INTESO COME VARIAZIONE DEL VALORE DI MERCATO DI QUESTE ULTIME, E’ STIMATO FACENDO RIFERIMENTO AD UNA LOGICA DI FULL-VALUATION: LA PERDITA POTENZIALE SULLA POSIZIONE E’ CALCOLATA RIVALUTANDO L’ATTIVITA’ O IL PORTAFOGLIO, A FRONTE DI VARIAZIONI SIMULATE DEI FATTORI DI MERCATO, ATTRAVERSO APPROPRIATI MODELLI DI PRICING SENZA RICORRERE (COME NEI MODELLI DI STIMA PARAMETRICI) AI COEFFICIENTI DI SENSITIVITA’ DELLE POSIZIONI ALLE VARIAZIONI DI VALORE DEI FATTORI DI RISCHIO RILEVANTI.

- LA DETERMINAZIONE DEL LIVELLO DI CONFIDENZA DESIDERATO, E QUINDI IL CALCOLO DEL CORRISPONDENTE PERCENTILE, E’ OTTENUTO SEMPLICEMENTE “TAGLIANDO” LA DISTRIBUZIONE P&L EFFETTIVA OTTENUTA TRAMITE SIMULAZIONE IN MODO DA ISOLARE IL PERCENTILE DESIDERATO.

- LA STIMA DEL RISCHIO, INTESO COME PERDITA MASSIMA POTENZIALE, E’ PIU’ PRECISA MA ANCHE PIU’ ONEROSA.

12

PECULIARITA’ DEI MODELLI SEMIPARAMETRICI

- UNA PIU’ RECENTE CATEGORIA DI MODELLI DI STIMA DEL VaR E’ STATA MUTUATA DALLE SCIENZE ASSICURATIVE.

- LA EXTREME VALUE THEORY (EVT) SI RIVELA PREZIOSA QUANDO SIAMO INTERESSATI ALLO STUDIO DELLA CODA DELLA DISTRIBUZIONE P&L DI UNA POSIZIONE O DI UN PORTAFOGLIO, OSSIA QUANDO VOGLIAMO STIMARE EFFICACEMENTE LE MISURE “ESTREME” DI RISCHIO.

- IN PARTICOLARE, LA EVT IPOTIZZA CHE LA CODA DELLA DISTRIBUZIONE P&L, O MEGLIO GLI SCARTI TRA I RENDIMENTI DI CODA ED UN CERTO VALORE SOGLIA, SI DISTRIBUISCA COME UNA PARETO GENERALIZZATA ANCHE QUANDO I DATI DISPONIBILI (SCARSI) NON CONSENTONO DI FARE IPOTESI SULLA DISTRIBUZIONE SOTTOSTANTE.

- I MODELLI SEMIPARAMETRICI STIMANO QUINDI LA PARTE CENTRALE DELLA DISTRIBUZIONE P&L, TRAMITE SIMULAZIONE STORICA O MONTE CARLO OPPURE UNA DISTRIBUZIONE NORMALE, MENTRE PER I VALORI ESTREMI O LE “ECCEDENZE” DI CODA UTILIZZANO UNA DISTRIBUZIONE PARETO GENERALIZZATA (GPD).

13

SCELTA DEL LIVELLO DI CONFIDENZA

- IL LIVELLO DI CONFIDENZA O IL PERCENTILE SCELTO PER LA STIMA DEL RISCHIO E’ FUNZIONE DEL GRADO DI AVVERSIONE AL RISCHIODELL’ISTITUZIONE.

- IL LIVELLO DI CONFIDENZA SCELTO ESPRIME QUINDI IL GRADO DI PROTEZIONECHE L’ISTITUZIONE VUOLE AVERE CONTRO MOVIMENTI AVVERSI ED “ESTREMI” DEI FATTORI DI MERCATO RILEVANTI.

- NEL CASO DEI MODELLI VARIANZA-COVARIANZA LA SCELTA DEL LIVELLO DI CONFIDENZA, CORRISPONDENTE AD UN PRECISO PERCENTILE DELLA DISTRIBUZIONE P&L DELLA POSIZIONE, SI TRADUCE NELLA SCELTA DI UNDETERMINATO MULTIPLO α DELLA VOLATILITA’ σ DEI FATTORI O DELLA POSIZIONE STESSA.

- LA NECESSITA’ DI MOLTIPLICARE LA TRADIZIONALE MISURA DI RISCHIO DELLA VARIANZA O DEV. ST. PER UN MULTIPLO α, CORRISPONDENTE AL GRADO DI AVVERSIONE AL RISCHIO DELL’ISTITUZIONE, SORGE DALL’ESIGENZA DI STIMARE LA POSSIBILE PERDITA MASSIMA O LA COSIDDETTA PERDITA “ANORMALE”.

- MAGGIORE E’ IL GRADO DI AVVERSIONE AL RISCHIO DELL’ISTITUZIONE, MAGGIORE E’ IL LIVELLO DI CONFIDENZA SCELTO, MAGGIORE E’ IL MULTIPLO αCORRISPONDENTE, MAGGIORE E’ IL VaR, MAGGIORE E’ IL CAPITALE DETENUTO A FINI DI COPERTURA O DI “CUSCINETTO”, MINORE E’ QUINDI IL COSTO DEL CAPITALE AZIONARIO, MINORI SONO LE ASPETTATIVE DI RENDIMENTO DEGLI AZIONISTI, MENO RISCHIOSA E’ L’ISTITUZIONE.

14

GRADO DI AVVERSIONE AL RISCHIO ED IPOTESI DI DISTRIBUZIONE NORMALE DEI RENDIMENTI

- QUALORA SI VOGLIA STABILIRE IL GRADO DI PROTEZIONE AL RISCHIODECIDENDO, SECONDO UN CRITERIO DI TIPO PROBABILISTICO, LA PERCENTUALE DI POSSIBILITA’ CHE SI INTENDE COPRIRE, LA SOLUZIONE PIU’ SEMPLICE E’ QUELLA DI RICORRERE ALL’IPOTESI DI DISTRIBUZIONE NORMALE DEI RENDIMENTI LOGARITMICI.

- IN PARTICOLARE, I MODELLI VARIANZA-COVARIANZA DI FONDANO SULL’IPOTESI CHE I PREZZI SIANO DISTRIBUITI SECONDO UNA LOG-NORMALE, IN MODO CHE I RENDIMENTI LOGARITMICI RELATIVI AL PERIODO (t−1,t) SIANO DISTRIBUITI SECONDO UNA NORMALE:

- LA DISTRIBUZIONE NORMALE E’ AMPIAMENTE UTILIZZATA PER DESCRIVE IL MOVIMENTO DI VARIABILI CASUALI, QUALI I RENDIMENTI FINANZIARI, DATA LA NECESSITA’ DI CONOSCERE DUE SOLI PARAMETRI: MEDIA (µ) E VARIANZA (σ2)

11

ln−−

≈

=

t

t

t

tt P

PPPR ∆

15


f(x) = ( )

−

− 222

1exp2

1 µσπσ

x

DOVE f(x) RAPPRESENTA LA FUNZIONE DI DENSITA’ DI PROBABILITA’ DELLA NORMALE N(µ, σ2) CON MEDIA µ E VARIANZA σ2. NEL NOSTRO CASO LA V.C. X E’IL RENDIMENTO FINANZIARIO R CHE IPOTIZZIAMO SI DISTRIBUISCA COME UNA NORMALE: R ∼ N(µ, σ2).

- LA FUNZIONE DI DENSITA’ PUO’ ESSERE UTILIZZATA PER CALCOLARE LA PROBABILITA’ CHE LA VARIABILE CONSIDERATA R ASSUMA UN VALORE COMPRESO IN UN DATO INTERVALLO ATTORNO AL VALORE MEDIO. A TALE FINE E’ SUFFICIENTE RICORRERE AL CALCOLO DELL’INTEGRALE DELLA FUNZIONE IN CORRISPONDENZA DELL’INTERVALLO CONSIDERATO.

- ES. LA PROBABILITA’ CHE IL RENDIMENTO (DI UN FATTORE DI RISCHIO O DI UNA POSIZIONE) SI MANTENGA ALL’INTERNO DI UN INTERVALLO DI CONFIDENZA CON ESTREMI (µ−σ) E (µ+σ) E’ PARI A CIRCA IL 68%. CONSEGUENTEMENTE RIMANE UN 32% DI PROBABILITA’ CHE IL RENDIMENTO CADA AL DI FUORI DELL’INTERVALLO SELEZIONATO.

16


( )

−

− 222

1exp2

1 µσπσ

x

ES. LA PROBABILITA’ CHE IL RENDIMENTO (DI UN FATTORE DI RISCHIO O DI UNA POSIZIONE) SI MANTENGA ALL’INTERNO DI UN INTERVALLO DI CONFIDENZA CON ESTREMI (µ−2σ) E (µ+2σ) E’ PARI A CIRCA IL 95%. RIMANE IN QUESTO CASO UN 5% DI PROBABILITA’ CHE IL RENDIMENTO CADA AL DI FUORI DELL’INTERVALLO CONSIDERATO.

- CALCOLARE LA MASSIMA PERDITA POTENZIALE IN CORRISPONDENZA DI UNLIVELLO DI PROBABILITA’ c PARI AL 95% VUOL DIRE CALCOLARE IL 5°PERCENTILE DELLA DISTRIBUZIONE P&L DELLA POSIZIONE (PROFITTI=REND.POSITIVI E PERDITE=REND.NEGATIVI). DATA L’IPOTESI DI NORMALITA’ DEI RENDIMENTI, CIO’ EQUIVALE AD UTILIZZARE UN MULTIPLO α=1,645.

∫+

−

σµ

σµ

%26,686826,0 ==dx

17

LIVELLO DI CONFIDENZA E MULTIPLO DELLA DEV.ST.

c=95% α=1,645

c=97% α=1,881

c=98% α=2,054

c=99%* α=2,326

c=99,5% α=2,576

c=99,9% α=3,090

*LE AUTORITA’ CONSENTONO IL CALCOLO DEI REQUISITI MINIMI PATRIMONIALI A COPERTURA DEL RISCHIO DI MERCATO ATTRAVERSO UNA STIMA DEL VaR IN CORRISPONDENZA DI UN LIVELLO DI CONFIDENZA DEL 99% TRAMITE MODELLI INTERNI VALIDATI.

VA OSSERVATO COME L’APPROCCIO VARIANZE-COVARIANZE SIA SPESSO UTILIZZATO IPOTIZZANDO UNA DISTRIBUZIONE NORMALE CON MEDIA NULLA DEI RENDIMENTI.

TALE IPOTESI E’ GIUSTIFICATA: DALL’ORIZZONTE TEMPORALE BREVE DELL’ATTIVITA’ DI NEGOZIAZIONE E DALL’EVIDENZA EMPIRICA CHE MOSTRA COME, CON RIFERIMENTO A ORIZZONTI TEMPORALI GIORNALIERI, LA MIGLIORE PREVISIONE DEL RENDIMENTO FUTURO E’ RAPPRESENTATA NON DAL RENDIMENTO STORICO MA DA UN RENDIMENTO NULLO.

SOTTO TALE IPOTESI (µ=0): VaRc = MLc

18

SCELTA DELL’ORIZZONTE TEMPORALE

- SU QUALE ORIZZONTE TEMPORALE OCCORRE CALCOLARE LA MASSIMA PERDITA POTENZIALE O IL RISCHIO DI MERCATO DELLA POSIZIONE?

- LE AUTORITA’ DI REGOLAMENTAZIONE RICHIEDONO UNA STIMA DEL RISCHIO DI MERCATO DEL TRADING BOOK, SIA PER I MODELLI INTERNI CHE PER IL METODO BUILDING BLOCK, SU UN ORIZZONTE TEMPORALE DI DUE SETTIMANE (10 GIORNI LAVORATIVI) CON FREQUENZA GIORNALIERA.

- TUTTAVIA, A FINI DI GESTIONE INTERNA, PUO’ ESSERE OPPORTUNO CALCOLARE IL VaRSU UN ORIZZONTE TEMPORALE DIVERSO, ES. 1 GIORNO O 1 MESE (22 GIORNI).

- A PARITA’ DI CONDIZIONI, PIU’ ESTESO E’ L’ORIZZONTE TEMPORALE MAGGIORE E’ LA STIMA DEL RISCHIO CHE NE CONSEGUE E MAGGIORI SONO I REQUISITI MINIMI DI CAPITALE E COPERTURA.

- QUALI FATTORI VANNO PRESI IN CONSIDERAZIONE PER LA SCELTA DEL CORRETTO HOLDING PERIOD?

- FATTORE OGGETTIVO: IL GRADO DI LIQUIDITA’ DEL MERCATO DI RIFERIMENTO DELLA POSIZIONE.

- FATTORE OGGETTIVO: LA DIMENSIONE DELLA POSIZIONE.

- FATTORE SOGGETTIVO: TIPOLOGIA DI POSIZIONE SULL’ATTIVITA’ FINANZIARIA, SE D’INVESTIMENTO (ORIZZONTE TEMPORALE LUNGO) O DI SPECULAZIONE (ORIZZONTE BREVE) DA PARTE DELL’ISTITUZIONE.

19

ORIZZONTE TEMPORALE E STIMA DELLA VOLATILITA’

- POICHE’ LA STIMA DELLA VOLATILITA’ SU ORIZZONTI TEMPORALI SUPERIORI A POCHI GIORNI E’ RESA DIFFICILE SIA DALLA CARENZA DEI DATI CHE DALLA SCARSA SIGNIFICATIVITA’ DEGLI STESSI (SE TROPPO LONTALI RISPETTO ALLA VARIABILE FUTURA CHE SI VUOLE STIMARE) SI RICORRE ALLA VOLATILITA’ GIORNALIERA E ALLA FORMULA DELLA “RADICE QUADRATA DEL TEMPO”.

- ANALITICAMENTE:

DOVE:

- σG INDICA LA VOLATILITA’ GIORNALIERA

- σT INDICA LA VOLATILITA’ RELATIVA AL PERIODO T.

- T INDICA IL NUMERO DEI GIORNI CONTENUTI NEL PERIODO T.

ES. LA VOLATILITA’ CALCOLATA SU UN PERIODO T = 2 SETTIMANE =10 GIORNI E’ OTTENUTA:

ES. LA VOLATILITA’ MENSILE, OSSIA CALCOLATA SU UN PERIODO T = 22 GIORNI, E’ OTTENUTA:

TGT ⋅=σσ

1010 ⋅= Gσσ

22⋅= GM σσ

20

STIMA DEL VaR ATTRAVERSO I MODELLI PARAMETRICI

- MODELLO ASSET-NORMAL- MODELLO DELTA-NORMAL- MODELLO DELTA-GAMMA NORMAL- MODELLO PORTFOLIO NORMAL

- IL MODELLO ASSET-NORMAL, SEGUITO DALLA BANCA COMMERCIALE J.P.MORGAN CON LA BANCA DATI RISKMETRICSTM, PARTE DALL’IPOTESI CHE I RENDIMENTI DELLE SINGOLE POSIZIONI, E NON DEI FATTORI DI RISCHIO, SIANO DISTRIBUITI NORMALMENTE.- IN ALCUNI CASI TALE DIFFERENZA NON ESISTE: ES. POSIZIONE IN CAMBI, DOVE IL RENDIMENTO DELLA POSIZIONE E RENDIMENTO DEL FATTORE COINCIDONO.- IN ALTRI CASI ESISTE DIFFERENZA: ES. POSIZIONE SU UN COUPON-BOND, DOVE IL RENDIMENTO DEL FATTORE (LE VARIAZIONI DEL TASSO D’INTERESSE RILEVANTE) NON COINCIDE CON IL RENDIMENTO DELLA POSIZIONE (VARIAZIONE DEL PREZZO DEL COUPON BOND). - PER IL CALCOLO DEL VaR SI UTILIZZA LA DEV.ST. DEI RENDIMENTI DELLA POSIZIONE E NEL CASO DI VaR DI PORTAFOGLIO ANCHE LA MATRICE DEI COEFFICIENTI DI CORRELAZIONE TRA LE ATTIVITA’ IN PORTAFOGLIO.

21

STIMA DEL VaR ATTRAVERSO IL MODELLO ASSET NORMAL

- ANALITICAMENTE:

DOVE:DOVE:- VMi è IL VALORE DI MERCATO DELL’ATTIVITA’ i=1,…,N.

- σi è LA DEV.ST. O VOLATILITA’ DEI RENDIMENTI DELL’ATTIVITA’ i.

- σi,j è LA COVARIANZA DEI RENDIMENTI TRA L’ATTIVITA’ i e j.

- VMT è IL VETTORE RIGA COMPOSTO DA N ELEMENTI PARI AI VALORI DI MERCATO DI CIASCUNA ATTIVITA’ i COMPRESA NEL PORTAFOGLIO.

- Σ è LA MATRICE (NxN) VARIANZA-COVARIANZA DI MARKOWITZ OSSIA DEI RENDIMENTI DELLE ATTIVITA’ IN PORTAFOGLIO.

∑

∑ ∑

⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

= =

asset

Tpf

N

i

N

ji,jjipf

iii

VMVMVaR

σVMVMαVaR

VMVaR

α

σα

1 1

22

STIMA DEL VaR ATTRAVERSO IL MODELLO ASSET NORMAL

- ESEMPIO: VaR DI PORTAFOGLIO COMPOSTO DA N=3 AZIONI:

DOVE:DOVE:

VaRVaR

VMVM

Casset

T

asset

T

⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅=

∑

pf

pf

pf

VaR

VaR

VMVMVMVMVMVMVMVMVMαVaR

α

ρσσρσσρσσσσσ 3,232323,131312,1212123

23

22

22

21

21 222

[ ]

=

⋅⋅=⋅⋅=

⋅⋅==

=

=

1 1

1

3,21,3

2,31,2

1,31,2

333

222

111

232313

322212

312121

321

ρρρρρρ

σασα

σα

C

VaR

VM

Σasset

T

VMVaRVMVaRVMVaR

σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ

VM VMVM

,,

,,

,,

23

STIMA DEL VaR DI UNA POSIZIONE TRAMITE MODELLO DELTA NORMAL

- 1° CASO: POSIZIONE SOGGETTA AD 1 SOLO FATTORE DI RISCHIO z.

- 2° CASO: POSIZIONE SOGGETTA A 2 FATTORI DI RISCHIO z, q

ANALITICAMENTE:

DOVE:DOVE:- z e q SONO 2 FATTORI DI RISCHIO DI MERCATO RILEVANTI PER i.- δi,z E’ IL COEFFICIENTE DI SENSITIVITA’ DI i AL FATTORE z.- δi,q E’ IL COEFFICIENTE DI SENSITIVITA’ DI i AL FATTORE q- VMi è IL VALORE DI MERCATO DELL’ATTIVITA’ i.- σz è LA DEV.ST. O VOLATILITA’ DEI RENDIMENTI DEL FATTORE z.- σq è LA DEV.ST. O VOLATILITA’ DEI RENDIMENTI DEL FATTORE q.- σz,q è LA COVARIANZA DEI RENDIMENTI TRA I FATTORI DI RISCHIO z E q.

qziqizqiqzizi

M

z

M

qqziqizii

zizii

VMVMVaR

VMVaR

,2222

1 1, 2 σδδσδσδασδδα

σδα

++⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

∑∑= =

24

STIMA DEL VaR DI UNA POSIZIONE: MODELLO DELTA NORMAL

- NEL CASO DI UNA POSIZIONE SU UN COUPON-BOND, IL COEFFICIENTE DI SENSITIVITA’ δ UTILIZZATO E’ LA DURATION MODIFICATA DEL BOND.

- ESEMPIO:

-DATI NECESSARI:

- VALORE DI MERCATO DEL BTp DECENNALE: PREZZO TEL QUEL (CORSO SECCO DEL BOND + % DI VALORE DELLE CEDOLE MATURATE FINO A QUEL MOMENTO): 120.000 EURO.- T = 10 ANNI.- DURATION MODIFICATA : 6.- FATTORE DI RISCHIO RILEVANTE: TASSO D’INTERESSE DECENNALE.- ORIZZONTE TEMPORALE: 1 GIORNO.- STIMA DELLA VOLATILITA’ GIORNALIERA DEL TASSO DECENNALE: σtasso i = 0,15%- LIVELLO DI CONFIDENZA: 99%. MUTIPLO DELLA VOLATILITA’: α = 2,326.

tassoiBTpBTp RDVMVaR σα ⋅+⋅⋅= )1/(

25

STIMA DEL VaR DI UNA POSIZIONE: MODELLO DELTA NORMAL

- CALCOLO SEMPLIFICATO DEL VaR GIORNALIERO AD UN LIVELLO DI CONFIDENZA DL 99% RELATIVO AD UNA POSIZIONE SU UN COUPON BOND.

- ESEMPIO:

- SIGNIFICATO DELLA STIMA:

- SU UNA POSIZIONE DAL VALORE DI MERCATO DI 120.000 EURO, POTREI REGISTRARE CON UN LIVELLO DI PROBABILITA’ DEL 99% UNA PERDITA MASSIMA GIORNALIERA PARI A 2.512,08 EURO. - RIMANE UNA PROBABILITA’ DELL’1% DI INCORRERE IN UNA PERDITA MONETARIA MASSIMA GIORNALIERA SUPERIORE A QUELLA STIMATA DALLA MISURA DEL VaR.- SO CHE IN 1 CASO SU 100 POSSO INCORRERE IN UNA PERDITA MASSIMA SUPERIORE A 2.512,08 EURO, MA NON CONOSCO L’AMMONTARE PRECISO DI QUESTA EVENTUALE “INGENTE” PERDITA MONETARIA GIORNALIERA.

euroeuroVaR BTp 08,512.20015,06 000.120326,2%99 =⋅⋅⋅=

26

STIMA DEL VaR ATTRAVERSO IL MODELLO DELTA NORMAL

- A RIGORE NEL CASO DI UNA POSIZIONE SU UN COUPON-BOND, LA POSIZIONE VA SCOMPOSTA NELLE RELATIVE COMPONENTI ELEMENTARI CHE RISULTANO LEGATE, IN TERMINI DI SENSITIVITA’, OGNUNA ALLE VARIAZIONI DI UNO SPECIFICO FATTORE DI RISCHIO DI MERCATO. IL COUPON BOND VA QUINDI SCOMPOSTO NEI SUOI CASH FLOW (CEDOLE + VALORE DI RIMBORSO) E NELLA NELLA STIMA DEL SUO VaR SI PRENDE IN CONSIDERAZIONE LA VOLATILITA’ DEI NODI DELLA TERM STRUCTURE.

- ESEMPIO:- IL COUPON BOND PREVEDE DUE CASH FLOW CON VALORE ATTUALE PARI RISPETTIVAMENTE A 100 EURO DOPO 1 MESE E 200 EURO DOPO 2 MESI ALLA DATA DEL CALCOLO DEL VaR.- IL RENDIMENTO ATTESO DEL BOND, SCOMPOSTO NEI SUOI DUE FLUSSI ATTESI, PUO’ ESSERE COSI’ CALCOLATO:

DOVE:- R1mese : RENDIMENTO DEL TASSO D’INTERESSE AD 1 MESE.

- R2mesi : RENDIMENTO DEL TASSO D’INTERESSE A 2 MESI.

mesimeseRRRE Bond 21 3

231)( +=

27


- IN QUESTO CASO, IL VaR DEL COUPON-BOND VIENE CALCOLATO COME VaRDEL PORTAFOGLIO COMPOSTO DA DUE STRUMENTI DIVERSI, CORRISPONDENTI AI DUE DIVERSI CASH FLOW DEL BOND.

DOVE:- σ1mese : VOLATILITA’ DEL RENDIMENTO DEL TASSO D’INTERESSE AD 1 MESE.

- σ2mese : VOLATILITA’ DEL RENDIMENTO DEL TASSO D’INTERESSE A 2 MESI.

- σ1m,2m: COVARIANZA DEI RENDIMENTI DEI TASSI AD 1 MESE E A 2 MESI.

- σ1m,2m = σ1mese .σ2mese .ρ1m,2m

- ρ1m,2m: COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE TRA IL TASSO AD 1 MESE E A 2 MESI.

- α : E’ IL MULTIPLO CORRISPONDENTE AL LIVELLO DI CONFIDENZA UTILIZZATO.

mmmesimesemesimese iiiiiibondbond VMVaR212121 ,

22

94

94

91 ρσσσσα ⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅=

28


- IN QUESTO CASO, STIMIAMO IL VaR DI UNA POSIZIONE A PRONTI SU UNA VALUTA ESTERA ($USA) DEL VALORE DI 95 USD.

- DATI NECESSARI:

- FATTORE DI RISCHIO: TASSO DI CAMBIO EURO/USD: 0,95.

- VM DELLA POSIZIONE IN VALUTA DOMESTICA: 100 EURO = 95/0,95.

- VOLATILITA’ GIORNALIERA DEL TASSO DI CAMBIO EURO/DOLLARO: 1,056%

- MULTIPLO CORRISPONDENTE AL LIVELLO DI CONFIDENZA SCELTO.

DOVE:

- σCa : VOLATILITA’ DEL TASSO DI CAMBIO EURO/USD (DATI RISKMETRICS).

- α = 3,090 E’ IL MULTIPLO CORRISPONDENTE AD UN LIVELLO DI PR. = 99,90%.

- VMi : VALORE DI MERCATO DELLA POSIZIONE IN VALUTA DOMESTICA = 100 EURO.

- COEFF.DI SENSITIVITA’ DELLA POSIZIONE AL SUO FATTORE DI RISCHIO: δ=1.

euroeuroVMVaR CaiCa 26,301056,0100090,3%90,99 =⋅⋅=⋅⋅= σα

29

STIMA DEL VaR DI PORTAFOGLIO: MODELLO DELTA NORMAL

- IN QUESTO CASO, STIMIAMO IL VaR DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA DUE POSIZIONI: UNO ZERO-COUPON ESTERO AD UN ANNO DENOMINATO IN DOLLARI AMERICANI E UNA OPTION SULLA STESSA VALUTA ESTERA (USD).

-DATI NECESSARI:

- FATTORI DI RISCHIO RILEVANTI: Ca USD/EURO; TASSO DI RENDIMENTO AD 1 ANNO.

- COEFFICIENTI DI SENSITIVITA’ AI FATTORI DI RISCHIO.

- VOLATILITA’ DEI FATTORI DI RISCHIO.

- MULTIPLO CORRISPONDENTE AL LIVELLO DI CONFIDENZA SCELTO.

- α = 2,326 E’ IL MULTIPLO CORRISPONDENTE AD UN LIVELLO DI PR. = 99%.

-σ2Ca : VOLATILITA’ DEL RENDIMENTO DEL TASSO DI CAMBIO USD/EURO.

-DELTA: COEFF. DI SENS. DELLA OPTION AL SUO FATTORE DI RISCHIO (Ca).

- σ1anno,Ca : COVARIANZA DEI RENDIMENTI DEI DUE FATTORI DI RISCHIO RILEVANTI.- VMpf : VALORE DI MERCATO DEL PPORTAFOGLIO.

CaiCaipfpf annoannoDELTADELTAVMVaR

,222

11)1(2)1(%99 σσσα ⋅+⋅+⋅++⋅⋅=

30


-IL VaR DI PORTAFOGLIO E’ OTTENUTO DALLA SCOMPOSIZIONE DEL RENDIMENTO DEL PORTAFOGLIO NEI RENDIMENTI DELLE DUE POSIZIONI A LORO VOLTA MODELLIZZATI ATTRAVERSO L’APPROSSIMAZIONE DELTA.

- ANALITICAMENTE:

EUROUSD

EUROUSD

EUROUSD

RannoEUROUSDRannopfpf

RannoRannopf

EUROUSDanno

EUROUSD

EUROUSDannopf

EUROUSDoption

EUROUSDannocouponzero

DELTADELTAVMVaR

DELTADELTA

DELTARRRDELTARRR

RDELTAR

RRR

,1222

1

,1222

12

11

1

)1(2)1(

)1(2)1(

)1(

σσσα

σσσσ

⋅+⋅+⋅++⋅⋅=

⋅+⋅+⋅++=

+⋅+=⋅++=

⋅=

+=−

31

STIMA DEL VaR AZIONARIO ATTRAVERSO MODELLO DELTA NORMAL

- IL VaR DI UNA POSIZIONE AZIONARIA E’ OTTENUTO ATTRAVERSO INDIVIDUAZIONE DEI FATTORI DI RISCHIO DI MERCATO RILEVANTI E DEI RISPETTIVI COEFFICIENTI DI SENSITIVITA’.

- FATTORI DI RISCHIO: INDICE DEL MERCATO AZIONARIO IN CUI E’ NEGOZIATO IL TITOLO E TASSO DI CAMBIO (SE L’AZIONE E’ DENOMINATA IN VALUTA ESTERA).

- COEFFICIENTI DI SENSITIVITA’: δi,mercato=BETA DEL TITOLO i; δi,Ca = 1.

- ES. CALCOLO DEL VaR DI UNA AZIONE DENOMINATA IN VALUTA ESTERA:

-ES. CALCOLO DEL VaR DI UNA AZIONE DENOMINATA IN VALUTA DOMESTICA:

-DOVE:

- βazione= COVazione, mercato/VARmercato = ρi,M.σi.σM/σ2M.

- βM = 1; βazione>1; βazione<1; βazione=1.

CamercatoazioneCamercatoazioneazioneazione VMVaR ,222 2576,2%50,99 σβσσβ ⋅⋅++⋅⋅⋅=

mercatoazioneazioneazione VMVaR σβ ⋅⋅⋅= 576,2%50,99

32

STIME DEL VaR DI UN PORTAFOGLIO AZIONARIO

- IL VaR DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA N TITOLI AZIONARI SOGGETTI AL SOLO RISCHIO SISTEMATICO PUO’ ESSERE CALCOLATO SEGUENDO LA METODOLOGIA DEL MAPPING COME SEGUE:

- IL VaR DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA N TITOLI AZIONARI PUO’ ESSERE CALCOLATO ANCHE RICORRENDO AI VaR (CALCOLATI CON ASSET NORMAL MODEL) DEI SINGOLI TITOLI COME SEGUE:

-DOVE:

- ρi,j E’ IL COEFF.DI CORR. DEI RENDIMENTI DEI TITOLI AZIONARI i E j.

-

-

mercato

N

iiipf VMVaR σβα ⋅

⋅⋅= ∑

=1

∑∑= =

⋅⋅=N

i

N

jjijipf VaRVaRVaR

1 1,ρ

iii VMVaR σα ⋅⋅=

jjj VMVaR σα ⋅⋅=

33

STIMA DEL VaR DI PORTAFOGLIO ATTRAVERSO MAPPING

- IL VaR DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA N TITOLI AZIONARI ESPOSTI AD UNSOLO FATTORE DI RISCHIO PUO’ QUINDI ESSERE CALCOLATO SEGUENDO LA METODOLOGIA DEL MAPPING COME SEGUE:

- L’ESPRESSIONE SOPRA DERIVA DALL’EQUAZIONE SOTTO:

- QUINDI, NEL CASO DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA N AZIONI, CALCOLIAMO IL VALORE DI MERCATO DELLA “POSIZIONE VIRTUALE” DI CIASCUNA AZIONE NEL MERCATO DI RIFERIMENTO MOLTIPLICANDO IL SUO PREZZO PER IL RISPETTIVO BETA E UTILIZZIAMO LA VOLATILITA’ DELL’UNICO FATTORE DI RISCHIOCONSIDERATO (QUELLO GENERICO O SISTEMATICO O NON ELIMINABILE TRAMITE DIVERSIFICAZIONE).

mercato

N


⋅⋅= ∑

=1

22

1mercato

N


⋅⋅= ∑=

34

CONFRONTO TRA DUE DIVERSE STIME DEL VaR DI PORTAFOGLIO AZIONARIO

- DATI NECESSARI:- UN SOLO FATTORE DI MERCATO: RENDIMENTO INDICE AZIONARIO (MIBTEL o S&PMIB).

- VM1 = 10 (Ml. di Euro); VM2 = 15 (Ml. di Euro); VM3 = 20 (Ml. di Euro); VMpf = 45 (Ml. di Euro).

- BETA1=1,4. BETA2=1,2. BETA3 =0,8. BETApf =1,067.- POSIZIONE “MAPPATA”: VM1.BETA1=14 Euro. VM2.BETA2=18 Euro. VM3.BETA3=16 Euro.

VMpf.BETApf = 48 Euro.

- VOLATILITA’ DEL RENDIMENTO DELL’INDICE DI MERCATO: σmercato= 7%.- MATRICE DEI COEFFICIENTI DI CORRELAZIONE TRA I TITOLI IN PORTAFOGLIO:

ρ1,1 = 1 ρ1,2 = 0,5 ρ1,3 = 0,8

ρ2,1 = 0,5 ρ2,2 = 1 ρ2,3 = 0ρ3,1 = 0,8 ρ3,2 = 0 ρ3,3 = 1

- UN ESEMPIO NUMERICO:

mlEuroVARVaRVaRVaRVaRVaRVaRVaRVaRVaR

VaRVaRVaR

EuromlVMVaR

pf

N

i

N

jjijipf

mercato

N

iiipf

589,9222%99

%99

.817,707,048326,2%99

3,2323,1312,12123

22

21

1 1,

1

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=

=⋅⋅=

=⋅⋅=⋅

⋅⋅=

∑∑

∑

= =

=

ρρρ

ρ

σβα

35


- QUALORA DOVESSIMO STIMARE IL VaR DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA N TITOLI SOGGETTI AD M FATTORI DI RISCHIO DISTINTI, UTILIZZANDO L’APPROCCIO DELTA-NORMAL, L’ESPRESSIONE ANALITICA DIVENTA:

VaRpf =

DOVE:

- VMi è il valore di mercato della posizione i-esima del portafoglio (i = 1, …, N);- δiz è il coefficiente di sensitività della posizione i-esima al fattore di mercato z (con z = 1, …, M);- δiq è il coefficiente di sensitività della posizione i-esima al fattore di mercato q (con q = 1, …, M); - ρz,q è il coefficiente di correlazione tra i fattori di mercato, confrontati due a due. Se z ≠ q → (–1 ≤ ρz, q≤ 1); quando z = q → ρq, q= 1. Se z e q sono incorrelati ρz,q= 0.- σz e σq sono le volatilità (deviazione standard) dei rendimenti dei fattori di mercato confrontati due a due.

∑∑ ∑∑= = ==

⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

M

z

M

qq

N

iiqiqzz

N

iizi VMVM

1 1 1,

1σδρσδα

36

STIMA DEL VaR ATTRAVERSO MODELLO DELTA NORMAL

- ESEMPIO: STIMA DEL VaR DI UN PORTAFOGLIO FORMATO DA 2 ATTIVITA’RISCHIOSE I1 e I2 E SENSIBILE A 2 FATTORI DI RISCHIO DISTINTI: a, b. UTILIZZANDO L’APPROCCIO DELTA NORMAL OTTENIAMO:

- IN TERMINI MATRICIALI:

- VP : VETTORE DEI VALORI MAPPATI DELLE ATTIVITA’ IN PORTAFOGLIO.

- DOVE Σ E’ LA MATRICE (MxM) QUADRATA E SIMMETRICA DELLE VARIANZE E COVARIANZE

DEI RENDIMENTI DEI FATTORI DI RISCHIO RILEVANTI.

( ) ( )( ) ( )[ ]bbaabbaa

bbbbbaaaaapf VMVMVMVM

VMVMVMVMVMVMVMVMVaR

σρσδδδδσδδδδσδδδδ

α,22112211

22121

22

22

21

21

22121

22

22

21

21

222

⋅+⋅+⋅++⋅+++⋅++

⋅=

→→

∑⋅= VPVPVar fattori

T

pf αΤ

= =

→

= ∑ ∑

N

i

N

iiMiii

T

VMVMVP1 1

1,..., δδ

37

STIMA DEL VaR DI PORTAFOGLIO: MODELLO PORTFOLIO NORMAL

- LA METODOLOGIA PORTFOLIO-NORMAL STIMA IL VaR DI PORTAFOGLIO UTILIZZANDO LA VOLATILITA’ DEL RENDIMENTO DEL PORTAFOGLIO STESSOSENZA DOVERLO SCOMPORRE NELLE SUE COMPONENTI ELEMENTARI.

- ANALITICAMENTE:

Questo modello si basa sull’ipotesi che il rendimento del portafoglio sia distribuito normalmente. Tale assunzione risulta giustificata in uno dei seguenti casi:

Se il portafoglio è composto da un numero elevato di posizioni la cui distribuzione, al limite, tende ad una normale. E’ il caso di un portafoglio di crediti al consumo la cui distribuzione è tipicamente binomiale. L’insieme di un numero molto elevato di distribuzioni binomiali converge, infatti, ad una distribuzione normale.

Se i rendimenti del portafoglio sono effettivamente distribuiti normalmente e la composizione del portafoglio resta costante. Questo è difficilmente il caso di un portafoglio di negoziazione la cui composizione varia, per la sua stessa natura, in modo frequente.

Se il portafoglio è composto da un insieme di posizioni ognuna delle quali ècaratterizzata da una distribuzione normale del proprio rendimento.

VaRpf = pfpfVM σα ⋅⋅

38

STIMA DEL VaR ATTRAVERSO L’APPROCCIO DELTA-GAMMA NORMAL- QUANDO LA DIPENDENZA DEL VALORE DI UNA POSIZIONE DAI SUOI FATTORI DI RISCHIO NON E’ LINEARE, LA NORMALITA’ DELLA DISTRIBUZIONE DEI FATTORI DI RISCHIO NON IMPLICA LA NORMALITA’ DELLA DISTRIBUZIONE DEI RENDIMENTI DELLA POSIZIONE.

- AL FINE DI PRENDERE IN CONSIDERAZIONE LA NON LINEARITA’ DELLA RELAZIONE TRA VALORE DI MERCATO E FATTORE DI RISCHIO PUO’ UTILIZZARSI IL MODELLO DELTA-GAMMA NORMAL CHE AGGIUNGE AI COEFFICIENTI DI SENSITIVITA’ TRADIZIONALI, PROPRI DEL MODELLO DELTA-NORMAL, ALTRICOEFF. DI SENSITIVITA’ IN GRADO DI CONSIDERARE LA “CURVATURA” DELLA RELAZIONE TRA VALORE DELLA POSIZIONE E FATTORE DI RISCHIO RILEVANTE.

- LA NON LINEARITA’ DELLA RELAZIONE E’ VERA, IN PARTICOLARE, PER LE OBBLIGAZIONI E PER LE OPTION.

- PER LE OBBLIGAZIONI CON CEDOLE OCCORRE PRENDERE IN CONSIDERAZIONE OLTRE ALLA DURATION ANCHE LA CONVESSITA’, RISPETTIVAMENTE LA DERIVATA PRIMA E LA DERIVATA SECONDA DEL VALORE DEL BOND SUL FATTORE DI RISCHIO RILEVANTE (LE VARIAZIONI DEL RENDIMENTO DEL TASSO D’INTERESSE DIRIFERIMENTO).

- PER LE OPTION OCCORRE PRENDERE IN CONSIDERAZIONE OLTRE AL COEFFICIENTE DELTA ANCHE IL GAMMA, RISPETTIVAMENTE LA DERIVATA PRIMA E LA DERIVATA SECONDA DEL VALORE (PREZZO) DELL’OPTION SUL VALORE (PREZZO) DEL FATTORE DI RISCHIO PIU’ RILEVANTE (IL PREZZO DEL SOTTOSTANTE).

39

STIMA DEL VaR ATTRAVERSO L’APPROCCIO DELTA-GAMMA NORMAL

- QUINDI, LA VARIAZIONE DI VALORE DI UNA POSIZIONE SU UN BOND CHE PAGA CEDOLE O SU UNA OPTION, OSSIA LA PERDITA POTENZIALE SU TALE POSIZIONE ∆VMi , PUO’ ESPRIMERSI ANALITICAMENTE COME:

- L’EQUAZIONE SOPRA E’ OTTENUTA TRONCANDO LO SVILUPPO IN SERIE DI TAYLOR MAC LAURIN DELLA FUNZIONE VALORE DELLA POSIZIONE-FATTORE DI RISCHIO DI MERCATO AL SECONDO ORDINE E SOSTITUENDO AL VALORE DELLA DERIVATA PRIMA IL DELTA E AL VALORE DELLA DERIVATA SECONDA IL GAMMA.

- PUO’ OTTENERSI UNA MISURA DI VALORE A RISCHIO DELLA POSIZIONE SCOMPONENDO LA VOLATILITA’ DELLA POSIZIONE NEL MODO CHE SEGUE:

- PER UN COUPON-BOND

2

2RFRFVM i ∆γ∆δ∆ ⋅+⋅=

22 )(,2

22

)(

2

2

22

2

41

RRRRbondbond dRPd

dRdP

dRPd

dRdPVMVaR ∆∆∆∆ σσσα ⋅⋅+⋅

⋅+⋅

⋅⋅=

22 )(,2

)(

222

2 RFRFRFRFbondbond VMVaR ∆∆∆∆ σγδσγσδα ⋅⋅+⋅

+⋅⋅⋅=

40

STIMA DEL VaR ATTRAVERSO L’APPROCCIO DELTA-GAMMA NORMAL

- NEL CASO DI UNA OPZIONE CALL C=f(S), LA VARIAZIONE DI VALORE DELLA POSIZIONE, OSSIA LA PERDITA POTENZIALE SU TALE POSIZIONE, ∆C, A FRONTE DI PICCOLE VARIAZIONE DI S, ∆S, PUO’ ESPRIMERSI COME SEGUE:

- DOVE γ E’ LA DERIVATA SECONDA DEL PREZZO DELLA CALL RISPETTO AL PREZZO DELL’ATTIVITA’ SOTTOSTANTE, CALCOLATA AL MOMENTO DELLA STIMA DEL VaR DELL’OPTION. UTILIZZANDO L’APPROSSIMAZIONE DELTA-GAMMA, LA VARIANZA DELLA CALL E’ APPROSSIMATA DALLA SEGUENTE VARIANZA DI UNA SOMMA:

- POSSIAMO APPROSSIMARE IL VaR DELLA CALL IN CORRISPONDENZA DI UN LIVELLO DI CONFIDENZA ES. DEL 99% COME SEGUE:

2)(5,0)()( SSS-fSSfC ∆γ∆δ∆∆ ⋅+⋅=+=

[ ] [ ] [ ] ))(,cov()()()var()(41)var()()(var 2'''22''2' SSSfSfSSfSSfSSf ∆∆∆∆∆ ⋅⋅+⋅+⋅=+

))(,cov()var(41)var(326,2 2222 SSgammadeltaSgammaSdeltaVaRCall ∆∆∆∆ ⋅⋅+⋅+⋅⋅=

41

LIMITI DEI MODELLI PARAMETRICI

- IPOTESI DI INDIPENDENZA SERIALE DEI RENDIMENTI DEI FATTORI.

- IPOTESI DI STABILITA’ DELLA MATRICE VARIANZA-COVARIANZA.

- IPOTESI DI DISTRIBUZIONE NORMALE DEI RENDIMENTI DEI FATTORI.

- IPOTESI DI RELAZIONE LINEARE TRA VALORE DELLA POSIZIONE A RISCHIO E

FATTORE DI RISCHIO.

PREGI DEI MODELLI PARAMETRICI- VELOCITA’ COMPUTAZIONALE: GRAZIE ALL’UTILIZZO DEI COEFFICIENTI DI SENSITIVITA’ E ALL’IPOTESI DI DISTRIBUZIONE NORMALE LA STIMA DEL VaRDELL’INTERO PORTAFOGLIO DI TRADING DELL’ISTITUZIONE AVVIENE IN UN TEMPO MOLTO LIMITATO.- SEMPLICITA’ METODOLOGICA: NON SI RICHIE L’UTILIZZO DI MODELLI DI PRICING SOFISTICATI PER RIVALUTARE LE POSIZIONI A RISCHIO.- TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE: UN PORTAFOGLIO DI POSIZIONI NON DISTRIBUITE NORMALMENTE PUO’ APPROSSIMARE UNA DISTRIBUZIONE NORMALE SE LE POSIZIONI IN ESSO CONTENUTE O I FATTORI DI RISCHIORILEVANTI SONO SUFFICIENTEMENTE NUMEROSI E TRA LORO INDIPENDENTI.

42

EVIDENZA EMPIRICA DEI DATI FINANZIARI

- FENOMENO DELL’AUTOCORRELAZIONE SERIALE DEI RENDIMENTI GIORNALIERI NEL TEMPO SOPRATTUTTO A FRONTE DI SHOCK FINANZIARI.- FENOMENO DEL CLUSTERING: AD AMPI VALORI DEI RENDIMENTI SEGUONO ALTRETTANTI AMPI VALORI (E VICEVERSA), SEBBENE NON NECESSARIAMENTE DELLO STESSO SEGNO.- LE DISTRIBUZIONI EMPIRICHE DEI RENDIMENTI DEI FATTORI DI RISCHIO SI PRESENTANO PIU’ LEPTOCURTICHE RISPETTO ALLA NORMALE, OSSIA HANNO PICCHI PIU’ ALTI E CODE PIU’ SPESSE.- FENOMENO DELLE CODE GRASSE: LA PROBABILITA’ DI AVERE UN EVENTO DI CODA, OSSIA UNA PERDITA ESTREMA EFFETTIVA MAGGIORE DELLA PERDITAMASSIMA STIMATA DAL VaR, E’ PIU’ ALTA DI QUANTO PREDETTO DALLA DISTRIBUZIONE NORMALE. - FENOMENO DELLA VOLATILITA’ STOCASTICA, OSSIA LA VOLATILITA’ NON E’ COSTANTE NEL TEMPO MA VA STIMATA SULLA BASE DELLA VOLATILITA’ STORICA (MODELLI ARCH-GARCH).- LA DISTRIBUZIONE DEI TASSI DEL MERCATO MONETARIO, ESSENDO INFLUENZATI DALLA POLITICA MONETARIA, SEGUONO UN PERCORSO DISCREZIONALE E QUINDI NON CASUALE.

43

CALCOLO DEL REQUISITO MINIMO DI CAPITALE A COPERTURA DEL RISCHIO DI MERCATO UTILIZZANDO I MODELLI INTERNI DI STIMA DEL VaR

I MODELLI INTERNI DI STIMA DEL VaR DI MERCATO DEVONO RISPETTARE TALI REQUISITI REGOLAMENTARI DI NATURA QUANTITATIVA:

- IL VaR DI MERCATO VA STIMATO SU BASE GIORNALIERA.

- IL VaR VA CALCOLATO SU UN HOLDING PERIOD DI 2 SETTIMANE: 10 GIORNI LAVORATIVI.

- IL VaR VA CALCOLATO IN CORRISPONDENZA DI UN LIVELLO DI CONFIDENZADEL 99%.

- IL PERIODO STORICO PER LA STIMA DELLA VOLATILITA’ DEVE ESSERE ALMENO DI 1 ANNO.

- I DATI RELATIVI A VOLATILITA’ E CORRELAZIONI DEVONO ESSERE AGGIORNATI CON UNA FREQUENZA ALMENO TRIMESTRALE.

- IL VaR COMPLESSIVO DEVE ESSERE OTTENUTO SOMMANDO I VaR CONNESSI ALLE VARIE CATEGORIE DI FATTORI DI MERCATO, IPOTIZZANDO UNA CORRELAZIONE TRA LORO PERFETTA.

- I MODELLI DI STIMA DEL RISCHIO DEVONO COGLIERE I DIVERSI PROFILI DI RISCHIO DEI CONTRATTI D’OPZIONE (RISCHIO DELTA, GAMMA E VEGA).

44

CALCOLO DEL REQUISITO MINIMO DI CAPITALE A COPERTURA DEL RISCHIO DI MERCATO UTILIZZANDO I MODELLI INTERNI DI STIMA DEL VaR

IL COMITATO HA STABILITO CHE IL REQUISITO MINIMO DI CAPITALIZZAZIONE A COPERTURA DEI RISCHI DI MERCATO DEBBA ESSERE L’IMPORTO MAGGIORE TRA LA MISURA DEL VaR DEL GIORNO PRECEDENTE E LA MEDIA DEI VaR RELATIVI AI 60 GIORNI PRECEDENTI, QUEST’ULTIMA MOLTIPLICATA PER UN FATTORE MOLTIPLICATIVO (FM) STABILITO DALLE SINGOLE AUTORITA’ DI VIGILANZA NAZIONALI (MA COMUNQUE NON INFERIORE A 3). A QUESTO IMPORTO VA INOLTRE SOMMATO UN ULTERIORE REQUISITO DI CAPITALE A COPERTURA DEL RISCHIO SPECIFICO (RS), RISCHIO NON COLTO NEI MODELLI INTERNI DI STIMA DEL VaR.

ANALITICAMENTE:

DOVE:-minRCmrisk,t : è requisito minimo di capitale a copertura dei rischi di mercato nella loro componente generica e specifica calcolato giornalmente (es. il giorno t).-VaRt-1,10g.,99%: e’ il VaR del giorno prima (t-1) calcolato su un orizzonte temporale di 10 giorni lavorativi in corrispondenza di un livello di probabilita’ del 99%.- RS: requisito di capitalizzazione connesso al rischio specifico.- FM è inversamente proporzionale alla passata performance del modello VaR interno.

RSVaRFMVaRRCi

gitgttmrisk +

⋅⋅= ∑=

−−

60

1%99.,10,%99.,10,1, 60

1 ;maxmin

Modelli di Stima RischioMercato 2008 - Sapienza · cosiddetto metodo “a blocchi” (building...

Documents

Transcript of Modelli di Stima RischioMercato 2008 - Sapienza · cosiddetto metodo “a blocchi” (building...