Misure. Introduzione al corso: - Concetto di misura e di misurazione - Perché si misura - Approcci...

MisureMisure

Introduzione al corso:- Concetto di misura e di misurazione- Perché si misura- Approcci ai problemi dell’ingegneria- Costi delle misure- Modello di misura- Misure dirette ed indirette

ALCUNE DEFINIZIONI PER COMINCIAREALCUNE DEFINIZIONI PER COMINCIARE

MisurazioneMisurazione: atto del misurare, uso di uno o : atto del misurare, uso di uno o più strumenti, la eventuale elaborazione più strumenti, la eventuale elaborazione matematica e la necessaria valutazione della matematica e la necessaria valutazione della qualità del risultatoqualità del risultato

MisuraMisura: è il risultato di una misurazione: è il risultato di una misurazione

ALCUNE DEFINIZIONI PER COMINCIAREALCUNE DEFINIZIONI PER COMINCIARE

ParametroParametro: ogni grandezza pertinente ad un : ogni grandezza pertinente ad un sistema alla quale è necessario assegnare sistema alla quale è necessario assegnare valori per descrivere il sistema stesso, la sua valori per descrivere il sistema stesso, la sua evoluzione e/o le sue interazioni con altri evoluzione e/o le sue interazioni con altri sistemi e con l’ambientesistemi e con l’ambiente

MisurandoMisurando: parametro sottoposto a : parametro sottoposto a misurazione e/o regolazione, valutato nello misurazione e/o regolazione, valutato nello stato assunto dal sistema al momento della stato assunto dal sistema al momento della misurazione stessamisurazione stessa

PERCHE’ SI M ISURAPERCHE’ SI M ISURA

a) determinazione quantitativa di una qualunque a) determinazione quantitativa di una qualunque proprietà di un oggettoproprietà di un oggetto

b) osservazione di un processo o di una b) osservazione di un processo o di una operazioneoperazione

c) controllo di un processo o di una operazionec) controllo di un processo o di una operazione

d) ricerca e convalida di una legge fisica e dei d) ricerca e convalida di una legge fisica e dei valori di costanti sperimentalivalori di costanti sperimentali

APPROCCI AI PROBLEMI DELL’INGEGNERIA:APPROCCI AI PROBLEMI DELL’INGEGNERIA:

Teorico:Teorico:

- assunzioni, semplificazioni- assunzioni, semplificazioni

- impiego di un modello - impiego di un modello matematicomatematico

- conclusioni approssimano il - conclusioni approssimano il problema realeproblema reale

- costi ridotti- costi ridotti

- risultati generali estendibili - risultati generali estendibili ad altri problemiad altri problemi

Sperimentale:Sperimentale:

- diretto sul sistema- diretto sul sistema

- descrive il comportamento - descrive il comportamento reale, senza approssimazioni, reale, senza approssimazioni, linearizzazioni ...linearizzazioni ...

- costi elevati- costi elevati

- risultati valgono per il - risultati valgono per il sistema consideratosistema considerato

IN REALTA’ I DUE APPROCCI SI COMPENETRANO E IN REALTA’ I DUE APPROCCI SI COMPENETRANO E SONO ENTRAMBI NECESSARISONO ENTRAMBI NECESSARI

Esecuzione di una misura è basata sulla definizione Esecuzione di una misura è basata sulla definizione di un MODELLO.di un MODELLO.

Es.: si vuole definire la lunghezza di un tavoloEs.: si vuole definire la lunghezza di un tavolo

Lunghezza=Distanza tra due piani tangenti al tavolo Lunghezza=Distanza tra due piani tangenti al tavolo valida solo se si accetta una schematizzazione valida solo se si accetta una schematizzazione come parallelepipedocome parallelepipedo

La misura ha bisogno di un MODELLO definito con La misura ha bisogno di un MODELLO definito con uno scopo.uno scopo.

Es.: verifica se il tavolo passa attraverso una porta. Es.: verifica se il tavolo passa attraverso una porta. Ha senso cercare la massima lunghezza.Ha senso cercare la massima lunghezza.

MODELLO più semplice: informazione più sinteticaMODELLO più semplice: informazione più sintetica

MODELLO più complesso: più vicino alla realtà MODELLO più complesso: più vicino alla realtà specificaspecifica

Misure dirette ed indirette 4.1 guidaMisure dirette ed indirette 4.1 guida

Y=f(X1,X2…)Y=f(X1,X2…)

COSTO DELLE MISURECOSTO DELLE MISURE

- Valutazione anche economica di una misura - Valutazione anche economica di una misura (compromesso tra costi e bisogno di conoscenza)(compromesso tra costi e bisogno di conoscenza)

- Un sistema di misura è necessario (pesi campione, - Un sistema di misura è necessario (pesi campione, campioni di lunghezza …)campioni di lunghezza …)

- Incidenza dei costi della misura: dal 6% (uovo) al 50 - Incidenza dei costi della misura: dal 6% (uovo) al 50 % (aereo militare)% (aereo militare)

- 10% della vita di una persona è dedicata a misure - 10% della vita di una persona è dedicata a misure “fatte in proprio” (pesi, temperature, benzina, “fatte in proprio” (pesi, temperature, benzina, consumo di acqua…)consumo di acqua…)

- costo per l’Italia del sistema misure introno al 5% - costo per l’Italia del sistema misure introno al 5% del PIL (100000 miliardi/anno) di cui 100 per del PIL (100000 miliardi/anno) di cui 100 per mantenere gli enti metrologici e di calibrazionemantenere gli enti metrologici e di calibrazione

- Misura- Incertezza- Sistema di misura

NOZIONI FONDAMENTALI SULLE MISURENOZIONI FONDAMENTALI SULLE MISURE

UNI 4546UNI 4546

DEFINIZIONI FONDAMENTALI:DEFINIZIONI FONDAMENTALI:

MisuraMisura: informazione costituita da un : informazione costituita da un NUMERONUMERO, una , una INCERTEZZAINCERTEZZA ed una ed una UNITA’ DI MISURAUNITA’ DI MISURA assegnata a assegnata a rappresentare un parametro in un determinato stato rappresentare un parametro in un determinato stato del sistemadel sistema

NUMERO:NUMERO: ovvio (pb. cifre significative)ovvio (pb. cifre significative)

INCERTEZZA : intorno limitato del valore di un INCERTEZZA : intorno limitato del valore di un parametro, corrispondente agli estremi della fascia parametro, corrispondente agli estremi della fascia di valori assegnatagli come misuradi valori assegnatagli come misura

UNITA’ DI MISURA: termine di riferimento adottato UNITA’ DI MISURA: termine di riferimento adottato per convenzione per confrontare una grandezza con per convenzione per confrontare una grandezza con altre della stessa specie.altre della stessa specie.

Ci si sofferma su Ci si sofferma su incertezza incertezza e su e su unità di misuraunità di misura..

Riferimenti: Riferimenti:

• VIM vocabolario internazionale delle misureVIM vocabolario internazionale delle misure

• GUIDE TO THE EXPRESSION OF UNCERTAINTYGUIDE TO THE EXPRESSION OF UNCERTAINTY

INCERTEZZAINCERTEZZA

Mi accingo ad eseguire una misura; osservo che:Mi accingo ad eseguire una misura; osservo che:

• la risposta degli strumenti con grandezze variabili la risposta degli strumenti con grandezze variabili nel tempo non è la stessa delle condizioni statichenel tempo non è la stessa delle condizioni statiche

• l’introduzione dello strumento perturba il l’introduzione dello strumento perturba il parametro che voglio misurareparametro che voglio misurare

• un collega ha cambiato la sonda dell’oscilloscopio un collega ha cambiato la sonda dell’oscilloscopio senza dire nientesenza dire niente

• il campione usato non è tarato da qualche meseil campione usato non è tarato da qualche mese

• la manopola dello strumento si è spostata sul suo la manopola dello strumento si è spostata sul suo albero perché una vite si è allentataalbero perché una vite si è allentata

INCERTEZZAINCERTEZZA

• si compie un errore nella lettura di uno strumento si compie un errore nella lettura di uno strumento analogicoanalogico

• la temperatura è variata: si è spostato il valore di la temperatura è variata: si è spostato il valore di zero di uno strumentozero di uno strumento

• la giornata è afosa, l’umidità influenza il la giornata è afosa, l’umidità influenza il comportamento degli strumenti, ma non so come né comportamento degli strumenti, ma non so come né quantoquanto

• la tensione di alimentazione variala tensione di alimentazione varia

• una macchina è stata messa in moto vicino al una macchina è stata messa in moto vicino al punto di misura producendo rumore punto di misura producendo rumore (UNI4546=disturbo incorrelato della grandezza che (UNI4546=disturbo incorrelato della grandezza che si misura) sia meccanico che elettromagneticosi misura) sia meccanico che elettromagnetico

• lo strumento ha un’uscita numerica, dunque si ha lo strumento ha un’uscita numerica, dunque si ha errore di quantizzazioneerrore di quantizzazione

• l’operatore è stanco ed ogni tanto commette errori l’operatore è stanco ed ogni tanto commette errori nel copiare i valori nel copiare i valori

• i componenti non sono di ottima qualitài componenti non sono di ottima qualità

Queste ed altre cause hanno effetti sul risultato Queste ed altre cause hanno effetti sul risultato della misura. della misura. L’incertezza è un indice della L’incertezza è un indice della approssimazione con cui è noto il risultato di una approssimazione con cui è noto il risultato di una misura (con cui si è identificato il misurando).misura (con cui si è identificato il misurando).

““L’incertezza è un numero associato al risultato di L’incertezza è un numero associato al risultato di una misurazione, che esprime la DISPERSIONE dei una misurazione, che esprime la DISPERSIONE dei valori che possono ragionevolmente essere valori che possono ragionevolmente essere attribuiti al misurandoattribuiti al misurando” (GUIDA... ISO 1995).” (GUIDA... ISO 1995).

E’ OBBLIGATORIO ESPRIMERE L’INCERTEZZA DI E’ OBBLIGATORIO ESPRIMERE L’INCERTEZZA DI MISURAMISURA

OSSERVAZIONI IMPORTANTI:OSSERVAZIONI IMPORTANTI:

- solo le definizioni hanno incertezza nulla- solo le definizioni hanno incertezza nulla

- l’incertezza di una misurazione non può essere - l’incertezza di una misurazione non può essere ridotta a piacimento: esistono dei limiti (economici e ridotta a piacimento: esistono dei limiti (economici e fisici) a questo processofisici) a questo processo

- spesso le prestazioni degli strumenti e dei - spesso le prestazioni degli strumenti e dei campioni sono esuberanti rispetto ai requisiti campioni sono esuberanti rispetto ai requisiti necessari per la misuranecessari per la misura

OSSERVAZIONE IMPORTANTE:OSSERVAZIONE IMPORTANTE:

L’L’ERROREERRORE è diverso dall’ è diverso dall’INCERTEZZAINCERTEZZA..

E’ necessario capire che cosa si intende per errore E’ necessario capire che cosa si intende per errore e la sua differenza rispetto all’incertezza. (2.2.4 della e la sua differenza rispetto all’incertezza. (2.2.4 della GUIDA ed Appendice D)GUIDA ed Appendice D)

ERRORE ED INCERTEZZAERRORE ED INCERTEZZA

“ “La definizione di incertezza fornita (dalla Guida) è La definizione di incertezza fornita (dalla Guida) è una definizione operazionale che si incentra sul una definizione operazionale che si incentra sul risultato di una misurazione; non è incompatibile risultato di una misurazione; non è incompatibile con altri concetti di incertezza di misura quali:con altri concetti di incertezza di misura quali:

- misura dell’- misura dell’erroreerrore possibile del valore stimato del possibile del valore stimato del misurando, rappresentato dal risultato di una misurando, rappresentato dal risultato di una misurazionemisurazione

- una stima che caratterizza il campo di valori entro - una stima che caratterizza il campo di valori entro cui giace cui giace il valore vero il valore vero di un misurando”di un misurando”

ERRORE ED INCERTEZZAERRORE ED INCERTEZZA

I concetti appena illustrati (ossia di errore e valore I concetti appena illustrati (ossia di errore e valore vero di una grandezza in contrasto con quello vero di una grandezza in contrasto con quello stimato) sono validi sul piano ideale, ma si stimato) sono validi sul piano ideale, ma si incentrano su entità inconoscibili.incentrano su entità inconoscibili.

L’L’incertezzaincertezza è dunque frutto di una è dunque frutto di una valutazionevalutazione, di , di una una stimastima, mentre , mentre

l’l’erroreerrore nonnon è in realtà è in realtà conoscibileconoscibile

Valore VERO Valore VERO (convenzionalmente)(convenzionalmente)

Riassumendo:Riassumendo:

Visione più datata (tollerata)Visione più datata (tollerata)

LetturaLettura

errore errore (non conoscibile)(non conoscibile)

Visione più attuale:Visione più attuale:

stimastima

incertezzaincertezza

NOTA BENENOTA BENE

Può accadere che il risultato di una misurazione Può accadere che il risultato di una misurazione (dopo correzione) pur avendo una elevata incertezza, (dopo correzione) pur avendo una elevata incertezza, disti dal valore del misurando di una quantità molto disti dal valore del misurando di una quantità molto piccola (ed abbia dunque valore trascurabile) piccola (ed abbia dunque valore trascurabile) ancorché inconoscibileancorché inconoscibile

INCERTEZZAINCERTEZZA ELEVATA (stimata)ELEVATA (stimata)

ERROREERRORE PICCOLO (ma non PICCOLO (ma non conosciuto)conosciuto)

LINEE FONDAMENTALI DELLA GUIDA...:LINEE FONDAMENTALI DELLA GUIDA...:

incertezza standard incertezza standard incertezza del risultato di una incertezza del risultato di una misurazione espressa come deviazione standard misurazione espressa come deviazione standard

incertezza standard combinataincertezza standard combinata incertezza standard incertezza standard del risultato di una misurazione quando il risultato è del risultato di una misurazione quando il risultato è ottenuto mediante i valori di un certo numero di ottenuto mediante i valori di un certo numero di altre grandezze, uguale alla radice quadrata positiva altre grandezze, uguale alla radice quadrata positiva di una somma di termini, che sono le varianze o le di una somma di termini, che sono le varianze o le covarianze di quelle grandezze pesate secondo la covarianze di quelle grandezze pesate secondo la variazione del risultato della misurazione al variare variazione del risultato della misurazione al variare di esse.di esse.

ESEMPIOESEMPIO


incertezza estesaincertezza estesa: grandezza che definisce, intorno l : grandezza che definisce, intorno l risultato di una misurazione, un intervallo che ci si risultato di una misurazione, un intervallo che ci si aspetta comprendere una frazione rilevante della aspetta comprendere una frazione rilevante della distribuzione di valori ragionevolmente attribuibili al distribuzione di valori ragionevolmente attribuibili al misurandomisurando

fattore di coperturafattore di copertura: numero che moltiplica la : numero che moltiplica la incertezza standard combinata in modo da ottenere incertezza standard combinata in modo da ottenere l’incertezza espansa.l’incertezza espansa.


-valutazione incertezza:-valutazione incertezza:

tipo Atipo A: incertezze che si prestano ad : incertezze che si prestano ad una valutazione statisticauna valutazione statistica

tipo Btipo B: incertezze descritte e valutate : incertezze descritte e valutate con altri metodi: esperienza con altri metodi: esperienza dell’operatore , esperimenti collaterali, dell’operatore , esperimenti collaterali, effetti noti di grandezze di influenzaeffetti noti di grandezze di influenza

ATTENZIONE !!!ATTENZIONE !!!

La classificazione mostrata (tipo A e tipo B) è La classificazione mostrata (tipo A e tipo B) è basata sul modo di valutazionebasata sul modo di valutazione e non sostituisce la e non sostituisce la distinzione in componenti distinzione in componenti aleatorie e sistematichealeatorie e sistematiche, , che riguarda l’origine del fenomeno che riguarda l’origine del fenomeno e non il modo di e non il modo di trattarlo. (Una correzione di effetto sistematico può trattarlo. (Una correzione di effetto sistematico può essere sia di tipo A che di tipo B).essere sia di tipo A che di tipo B).

La GUIDA afferma che tradizionalmente è per La GUIDA afferma che tradizionalmente è per l’errorel’errore che si parla di componenti aleatoria e che si parla di componenti aleatoria e sistematicasistematica

COMPONENTE ALEATORIACOMPONENTE ALEATORIA

variazioni non predicibili o casuali; la sua speranza variazioni non predicibili o casuali; la sua speranza matematica è zeromatematica è zero

Lo scarto tipo sperimentale (traduzione del termine Lo scarto tipo sperimentale (traduzione del termine più comune deviazione standard sperimentale) della più comune deviazione standard sperimentale) della media aritmetica di una serie di osservazioni NON è media aritmetica di una serie di osservazioni NON è l’errore aleatorio della media (non conoscibile) ma l’errore aleatorio della media (non conoscibile) ma una misura dell’incertezza della media dovuta agli una misura dell’incertezza della media dovuta agli effetti aleatori.effetti aleatori.

COMPONENTE SISTEMATICACOMPONENTE SISTEMATICA

effetto identificato di una grandezza su una effetto identificato di una grandezza su una misurazione.misurazione.Se di proporzioni significative rispetto Se di proporzioni significative rispetto all’accuratezza di una misurazione, può essere all’accuratezza di una misurazione, può essere compensato apportando una correzione. Si ipotizza compensato apportando una correzione. Si ipotizza che, a seguito della correzione, il valore di che, a seguito della correzione, il valore di aspettazione dell’errore generato da un effetto aspettazione dell’errore generato da un effetto sistematico sia zero.sistematico sia zero.L’incertezza di una correzione applicata al risultato L’incertezza di una correzione applicata al risultato di una misurazione per compensare un effetto di una misurazione per compensare un effetto sistematico non è l’errore sistematico (bias), ma una sistematico non è l’errore sistematico (bias), ma una misura dell’incertezza del risultato dovuta ad misura dell’incertezza del risultato dovuta ad imperfetta conoscenza del valore necessario per la imperfetta conoscenza del valore necessario per la correzione correzione

Nella guida la stima del misurando Y (maiuscolo) è Nella guida la stima del misurando Y (maiuscolo) è denotata con y (minuscolo).denotata con y (minuscolo).

Se vale la relazione tale per cui il misurando Y è Se vale la relazione tale per cui il misurando Y è determinato attraverso N grandezze Xdeterminato attraverso N grandezze X11, X, X22,...X,...XNN, ,

attraverso la relazioneattraverso la relazione

Y=f(XY=f(X11, X, X22, ... X, ... XNN))

la stima del misurando Y è y(la stima del misurando Y è y(stima di uscitastima di uscita) ) funzione delle N funzione delle N stime di ingresso stime di ingresso xx11,x,x22,...x,...xNN..

y=f(xy=f(x11,x,x22, ...X, ...XNN) )

INCERTEZZA DI TIPO AINCERTEZZA DI TIPO A

Modello Modello statisticostatistico

- sono considerate n osservazioni indipendenti qk - sono considerate n osservazioni indipendenti qk della grandezza q, eseguite nelle stesse condizioni della grandezza q, eseguite nelle stesse condizioni sperimentalisperimentali

- la stima del valore sperato è la media aritmetica - la stima del valore sperato è la media aritmetica delle osservazionidelle osservazioni

q n qkk

n

1

1qk=singola osservazioneqk=singola osservazione

n=numero delle osservazionin=numero delle osservazioni



- la varianza sperimentale s2, stima della varianza - la varianza sperimentale s2, stima della varianza 2, è data da:2, è data da:

s q n q qk kk

n2 1

1 1

2

- la sua radice quadrata è la deviazione standard - la sua radice quadrata è la deviazione standard (detta anche (detta anche scarto tipo sperimentalescarto tipo sperimentale))



- la miglior stima di , ossia la varianza - la miglior stima di , ossia la varianza della media, è data da:della media, è data da:

22

q n

ed è detta ed è detta scarto tipo sperimentale della mediascarto tipo sperimentale della media

Tale valore esprime quanto bene q stimi il valore Tale valore esprime quanto bene q stimi il valore atteso per q, e si può assumere come stima atteso per q, e si può assumere come stima dell’incertezza di qdell’incertezza di q

s qn

)q(s)q(s k

22


Sia data una grandezza XSia data una grandezza Xii determinata mediante n determinata mediante n

osservazioni ripetute Xosservazioni ripetute Xii,k, l’incertezza tipo u(x,k, l’incertezza tipo u(x ii) )

della sua stima xdella sua stima xii=X=Xii è u(x è u(xii)=s(X)=s(Xii), con s2(X), con s2(Xii) )

calcolato con l’espressione della pagina calcolato con l’espressione della pagina precedente.precedente.

Sebbene la grandezza primitiva fondamentale sia la Sebbene la grandezza primitiva fondamentale sia la varianza s2(q), lo scarto tipo s(q) è più conveniente varianza s2(q), lo scarto tipo s(q) è più conveniente nell’uso pratico in quanto ha la stessa dimensione nell’uso pratico in quanto ha la stessa dimensione di q ed il suo valore è più facilmente interpretabile di q ed il suo valore è più facilmente interpretabile che non quello della varianza.che non quello della varianza.

INCERTEZZA DI TIPO BINCERTEZZA DI TIPO B

- valutate non con la statistica, ma in qualsiasi altro - valutate non con la statistica, ma in qualsiasi altro modomodo

- si deve ipotizzare una opportuna distribuzione di - si deve ipotizzare una opportuna distribuzione di probabilità per ciascuna delle singole fonti di probabilità per ciascuna delle singole fonti di incertezza, per poter trattare assieme le incertezze incertezza, per poter trattare assieme le incertezze dovute a singole cause.dovute a singole cause.

- questa combinazione viene fatta (ma non sempre, - questa combinazione viene fatta (ma non sempre, può essere nota una distribuzione dei possibili può essere nota una distribuzione dei possibili valori del misurando) adottando per ogni fonte di valori del misurando) adottando per ogni fonte di incertezza una distribuzione di probabilità di tipo incertezza una distribuzione di probabilità di tipo rettangolare, con l’ipotesi che ‘ragionevolmente’ il rettangolare, con l’ipotesi che ‘ragionevolmente’ il valore del misurando sia compreso entro una valore del misurando sia compreso entro una fascia larga 2a. fascia larga 2a.

- per la scelta di a si mira ad un valore realistico e - per la scelta di a si mira ad un valore realistico e non semplicemente prudenziale.non semplicemente prudenziale.

- si possono stimare solo i limiti superiore ed - si possono stimare solo i limiti superiore ed inferiore per Xi, si può solo affermare che la inferiore per Xi, si può solo affermare che la probabilità che Xi giaccia all’interno dell’intervallo probabilità che Xi giaccia all’interno dell’intervallo compreso tra a- ed a + è uguale a 1.compreso tra a- ed a + è uguale a 1.

Se non esiste alcuna conoscenza specifica sui Se non esiste alcuna conoscenza specifica sui possibili valori di Xi entro l’intervallo, si può solo possibili valori di Xi entro l’intervallo, si può solo affermare che Xi può giacere in qualunque punto affermare che Xi può giacere in qualunque punto con uguale probabilità.con uguale probabilità.

a- a+Xi

- il valore Xi di aspettazione o speranza di X- il valore Xi di aspettazione o speranza di X ii, è il , è il

punto medio dell’intervallo , con punto medio dell’intervallo , con varianza associata: varianza associata:

a- a+Xi

u x a ai2 2 12 /

x a ai / 2

- se (a+ - a-), la differenza tra i limiti, è indicata con - se (a+ - a-), la differenza tra i limiti, è indicata con 2a, allora si ha:2a, allora si ha:

u x ai2 2 3 /

INCERTEZZA STANDARD PER VIA GRAFICAINCERTEZZA STANDARD PER VIA GRAFICA

Esempio:Esempio:XXii è una temperatura t, la sua distribuzione (non è una temperatura t, la sua distribuzione (non

nota) è normale; il valore sperato nota) è normale; il valore sperato t è 100°C e la t è 100°C e la deviazione standard è deviazione standard è =1.5°C. La funzione densità =1.5°C. La funzione densità di probabilità è:di probabilità è:

L’istogramma di pagina precedente riguarda n=20 L’istogramma di pagina precedente riguarda n=20 osservazioni tk della temperatura che si osservazioni tk della temperatura che si suppongono acquisite in maniera casuale dalla suppongono acquisite in maniera casuale dalla distribuzione sempre della pagina precedente.distribuzione sempre della pagina precedente.

L’intervallo di temperatura scelto per la costruzione L’intervallo di temperatura scelto per la costruzione dell’istogramma è di 1°Cdell’istogramma è di 1°C

22t 2texp

2

1)t(p

Media aritmeticaMedia aritmetica: t=100.145°C : t=100.145°C 100.14°C: si 100.14°C: si suppone che sia la miglior stima del valore atteso suppone che sia la miglior stima del valore atteso mt di t, sulla base dei dati disponibilimt di t, sulla base dei dati disponibili

Deviazione standard sperimentaleDeviazione standard sperimentale s(ts(tkk)=1.489°C)=1.489°C1.49°C; 1.49°C; la deviazione standard della la deviazione standard della

media media s(t), ossia l’incertezza standard u(t) della s(t), ossia l’incertezza standard u(t) della media t è media t è u t s t s t C Ck / . .20 0333 033

Le figure di pagina precedente rappresentano la Le figure di pagina precedente rappresentano la stima di una quantità Xstima di una quantità Xi i e la valutazione della e la valutazione della

incertezza della stima da una distribuzione nota a incertezza della stima da una distribuzione nota a priori, sulla scorta delle informazioni disponibili.priori, sulla scorta delle informazioni disponibili.

Anche in questo caso XAnche in questo caso Xii è una temperatura. è una temperatura.

Caso aCaso a: si sa poco su t, si può solo supporre che t : si sa poco su t, si può solo supporre che t sia descritta da una distribuzione di probabilità tale sia descritta da una distribuzione di probabilità tale per cui aper cui a--=96°C e a=96°C e a++=104°C.=104°C.

a a a C / 2 4

Funzione densità di probabilità di t: p(t)=1/2a,Funzione densità di probabilità di t: p(t)=1/2a, aa- - t t a a++ p(t)=0 altrove p(t)=0 altrove

La migliore stima di t è il suo valore atteso:La migliore stima di t è il suo valore atteso:

tt=(a=(a+++ a+ a--)/2=100°C)/2=100°C

L’incertezza standard della stima è:L’incertezza standard della stima è:

u a Ct / .3 23

La distribuzione rettangolare è considerata come La distribuzione rettangolare è considerata come valore di default quando non vi sono informazioni valore di default quando non vi sono informazioni disponibili sul tipo di distribuzione.disponibili sul tipo di distribuzione.

CASO B : Supponiamo ora che t possa essere descritta da una distribuzione triangolare simmetrica (fig.. b) caratterizzata dagli stessi valori di a del precedente caso :

a-= 96 °C ; a+= 104 °C

Avremo quindi

a a a C / 2 4

La funzione di densità di probabilità di t sarà :

altrimenti;0)t(p

at2aa;a)ta()t(p

2aata;a)at()t(p

2

2

La migliore stima di t è ancora il suo valore atteso :

tt=(a=(a+++ a+ a--)/2=100°C)/2=100°C

L’ incertezza standard della stima è:L’ incertezza standard della stima è:

C6.16/aut

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