Applicazioni nel campo dellingegneria dellapprossimazione di funzioni mediante sistemi fuzzy Arianna...

Applicazioni nel campo dell’ingegneria dell’approssimazione

di funzioni mediante sistemi fuzzy

Arianna Mencattini

Riunione Annuale delGRUPPO ELETTRONICA(GE 2002)

TRIESTE, 3-8 giugno 2002

Indice:

• Introduzione all’approssimazione di funzioni.

• Introduzione ai sistemi fuzzy come approssimatori di funzioni.

• Applicazione nel caso SISO: progetto di un DDS.

• Sistemi MISO: introduzione e confronti.

• Sistemi MISO: teoremi fondamentali.

• Applicazione nel caso MISO: modellizzazione di dispositivi.

• Conclusioni e sviluppi.

L’approssimazione di funzionimediante sistemi fuzzy

Approssimazione

di funzioni

Progettazione di un sistema fuzzy

con certe caratteristiche

Utilizzo di sistemi

fuzzy

Approssimazione di funzioni

mediante sistemi fuzzy

Sistemi fuzzy e sistemi neurali

Rispetto ai sistemi neurali i sistemi fuzzy presentano i seguenti vantaggi:

• Il sistema è facilmente implementabile (SW/HW)

• I sistemi fuzzy sono più robusti.

• La fase di apprendimento è “delicata” e “lunga” nei sistemi neurali

• Date certe caratteristiche di una funzione target f(x) trovare una funzione F(x), che rispetto a questa minimizzi una certa norma.

Cosa significa approssimare una funzione

)()( xfxF

• Si può inoltre imporre che la funzione F(x) goda di ulteriori caratteristiche, come la continuità delle derivate.

Perché approssimare una funzione? Caso 1)

• La funzione target può essere nota, ma difficile da implementare

Es. f(x)=log(tan(x))

Occorre utilizzare una Look Up Table, su cui memorizzare i campionidella funzione target.

Oppure si deve costruire una funzione approssimante in cui siano presenti solo operatori elementari.

x

f(x)

y0

x

f'(x)

0

dx

d

xy

y

0

0)(xfEs.

• La funzione target può essere nota, ma non gode di caratteristiche

di regolarità



Può essere utile costruire un’altra funzione approssimante che goda di proprietà di regolarità.

Funzione non regolare

Funzione regolare

Della funzione f(x) si conoscono alcuni campioni.

1

2

A1 A2 A3 A4

b1

b2

b3

b4

P1

P2

P3

P4

Si può costruire una funzione approssimante di tipo piecewise linear



Voglio che un certo sistema fuzzy implementi una funzione che passi per alcuni campioni dati mantenendo caratteristiche di regolarità.

PW non linear

PW linear

1

2

A1 A2 A3 A4

b1

b2

b3

b4

P1

P2

P3

P4

Sistemi fuzzy non normalizzati NNFS 1)

In letteratura si sono sempre usati sistemi fuzzy normalizzati (NFS).

Utilizzando sistemi fuzzy non normalizzati (NNFS) ho ulteriori parametri su cui agire per :

Migliorare l’approssimazione.

Imporre le derivate continue in certi punti.

k1

k2MFs

x

NNFS 2)

)()(

)()()()()(

11

111

iiii

iiiiiii xkxk

fxkfxkxF

Se ki ki+1

Fi(x) è una funzione razionale

)(

)()()()()(

1

11

ii

iiiii

fxfxxF

Se ki = ki+1

Fi(x) è una funzione polinomiale

Sistema fuzzy

Esempio 1: progetto di un DDS

DfREGISTER

fREGISTER

f TO ACONVERTER

D/ ACONVERTER

FILTER

ANALOGOUT

DIGITALOUT

PHASE ACCUMULATOR

SINE GENERATOR

• Schema di un DDS

Approssimazione di una funzione modificata

0.0 0.2 0.4 0 .6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

F'o ld

(1)#=0

F 'new (1)#=1

x

s in (x /2 )

sin (x /2 )+x

Y

X

=

=

Fourier coefficients for the fuzzy approximation

N

i

iiiiii

i

iiiiii

ii

i

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

i

i

ii

i

i

nn

CifFn

CiFn

CinF

T

FnSi

FnSi

nFT

nn

C

A

n

Cifn

D

B

D

An

D

B

D

A

n

nn

D

A

n

bb1

1

1

1

11

12

0,222

cos2

222cos2

2cos

2cos

4

02

cos2

cos4

2sin

2sin

)(

8

~

2sin

)(

8

2cos

4~2

n

n

n

nbn

Spettro della sinusoide fuzzy

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101140

130

120

110

100

90

80

dB

c

Spurious

Risultati e confronti

Method SFDR

Uncompressed memory -81.76 dBc

Modified Sunderland architecture

-73.59 dBc

Modified Nicholas architecture

-74.56 dBc

Taylor series approximation -73.28 dBc

CORDIC algorithm -73.32 dBc

NNFS approximation -81.60 dBc

Sistemi di tipo SISO vs. MISO 1)(single input multiple output vs. multiple input multiple output)

Un sistema con più ingressi presenta già da un punto di vistaanalitico alcune importanti differenze

La metodolgia dell’uso di MFs ad altezze variabili non può essere

più usata per imporre la continuità delle derivate.

Sistemi di tipo SISO vs.MISO 1)(single input multiple output vs. multiple input multiple output)

1

2

A1

A2

A3

A4

b1

b2

b3

b4

P1

P2

P3

P4

1

2

k1

k2 k

3

k4

Parametri liberi = n

Punti di discontinuità = n

E’ possibile imporre la continuitàdelle derivate attraverso le altezze

ki in modo diretto.

Parametri liberi = n+m

Punti di discontinuità =


y

x

kiki+1sj

sj+1

x

yj

i i+1

wjwj+1

vi+1

vi

AiBjBj+1

Ai+1

z

Non si può imporre la continuità delle derivate attraverso le altezze k e s in modo diretto.

Esempio: funzione target

Funzione fuzzy bilineare con MFs triangolari

Linee di discontinuità delle derivate parziali

Funzione fuzzy con MFs cubiche


Per imporre la continuità delle derivate occorre soddisfare le ipotesi del seguente

qCyxz ),(per garantire che 11 ,, jjii in

Ossia si ha che le funzioni

y

yxz

x

),( sono continue

per ogni 1- 1,0- 0 1-1,-min0

Teorema 1: Data la funzione fuzzy ],[],[:),( 11 mnyxz

con input MFs

)(

)(

1

1

ii

i xii kv

)(

)(11

1

1

ii

ixii kv

)(

)(

1

1

jj

j y

ii sw

)(

)(

111 jj

jy

ii sw

11 ,, jjii in

è sufficiente che

q )1,1min( .

Significato del Teorema 1

v i(x)

v i+1(x)

v'i(i) = v'i(i+1)

v'i+1(i+1) = v'i+1(i)

i i+1

ki+1ki

x

0

MFs di ingresso per la variabile x, =1

Condizione sulle derivate prime 011 iiii vvvv


i i+1

ki+1ki

x

v i(x) v i+1(x)

0 v'i(i+1)v'i+1(i)

v'i(i)v'i+1(i+1)

MFs di ingresso per la variabile x, =2

011 iiii vvvv

Aspetto della funzione fuzzy 3D

),(),(

),(),(),(

111

1

1

11

1

1

1

111

1

11

yxRww

w

vv

vyxR

ww

w

vv

v

yxRww

w

vv

vyxR

ww

w

vv

vyxz

ijjj

j

ii

iij

jj

j

ii

i

jijj

j

ii

iji

jj

j

ii

iij

dove

N

l

lN

k

klNj

ki

klNkjiji yxryxR

0 0

)()(),(

sono detti polinomi di Sugeno di ordine N, nelle due variabili x e y.

Sistemi di tipo SISO vs.MISO 2) Per imporre i valori delle derivate occorre soddisfare le ipotesi del seguente

qCyxz ),(una volta garantito che 11 ,, jjii inin

con i polinomi di Sugeno e con input MFs

)(

)(

1

1

ii

i xii kv

)(

)(11

1

1

ii

ixii kv

)(

)(

1

1

jj

j y

ii sw

)(

)(

111 jj

jy

ii sw

11 ,, jjii

),( yxR ji

scegliendoli come segue

yx

fr jiji

),(

!!

1

.

in

y

yxz

x

),(i valori delle derivate parziali ,,min0 allora si ha che

10 mjnijjii ,,1,,1,, 11

possono essere fissati attraverso i soli coefficienti jir

10

Teorema 2: Data la funzione fuzzy ],[],[:),( 11 mnyxz


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Sommario dei Teoremi1-2

Utilizzo di MFs polinomialidi grado M

Continuità delle derivate parziali

di ordine M-1

Imposizione dei valori delle derivate

della funzione fuzzy di ordine N

Utilizzo di Sugeno di ordine N

1MN

Sistemi di tipo MISOTeorema 3: Data una funzione target polinomiale e data una funzione fuzzy

come definita nei precedenti teoremi, questa ultima è in grado di approssimare con

errore nullo la funzione polinomiale. (La funzione razionale diventa polinomiale).

Teorema 4: Utilizzando risultati del Teorema 2 si ha che i polinomi ),( yxR jirappresentano la serie di Taylor di f(x) troncata all’N-esimo termine centrata

nel punto ),( ji

Teorema 5: La funzione fuzzy risulta essere la combinazione lineare delle

serie di Taylor troncate all’N-esimo termine, pesata con il prodotto delle

funzioni di appartenenza.

Significato dei Teoremi 3-4

Ottimizzazione del sistema fuzzy:uso delle altezze variabili

Le altezze variabili delle MFs possono infine essere usate per migliorare

Il comportamento del sistema fuzzy come approssimatore, utilizzando

un’opportuna norma.

Uso dell’algoritmo del gradiente per determinare la configurazione migliore

delle n+m altezze all’interno delle nm griglie.

Esempio 2: modellizzazione di dispositivi FET

Misure sul dispositivodi Ids, gm, gds,Cds, Cgd, Cds

Estrazione dei Parametri S

Estrazione del circuitoequivalente

Funzione parametrica

di Materka-Kacprzak

Costruzionedel modello

per la simulazione

Ottimizzazione dei parametri in base

alle misure

Modello finale

Regolarità della funzione di Materka: problematiche

Il modello di Materka non ha nessun legame con la fisica del dispositivo

e non gode di proprietà di regolarità nelle derivate seconde.

Non è possibile estrarre dal modello informazioni riguardanti il comportamento

delle derivate seconde e terze. Il modello non è significativo in questo senso.

Introduzione dei sistemi fuzzy nel campo della modellizzazione

1. Come viene approssimata la funzione di Materka da una sistema fuzzy?

2. E’ possibile migliorare le caratteristiche di regolarità del modello usando un sistema fuzzy?

Sistema fuzzy come modello : Ids

0 1 2 3 4 5 6-50

0

50

100

150

200

250

300

350

Vds [V]

Ids

[mA

]

0 1 2 3 4 5 6-50

0

50

100

150

200

250

300

350

Vds [V]

Ids

[mA

]

Materka

Fuzzy

Sistema fuzzy come modello : gds

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-100

0

100

200

300

400

500

600

700

Vds [V]

gds

[mS

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-100

0

100

200

300

400

500

600

700

Vds [V]

gds

[mS

]

Materka

Fuzzy

Sistema fuzzy come modello : gm

0 1 2 3 4 5 6

0

50

100

150

200

Vds [V]

gm [

mS

]

0 1 2 3 4 5 6

0

50

100

150

200

Vds [V]

gm [

mS

]

Materka

Fuzzy

Dalla funzione target alle misure

Nell’applicazione reale si hanno delle misure e non una funzione target

A partire dalle misure occorre costruire il modello fuzzy con certe caratteristiche di regolarità.

Nascono degli ulteriori problemi

Fenomeni dispersivi sulle misure

A seconda del punto di polarizzazione le misure effettuate muovendosi attorno al punto di lavoro a bassa frequenza risentono del cambio della temperatura e dei fenomeni di trappola.

Quando si vuole simulare il dispositivo ad alta frequenza questi stessifenomeni non intervengono, perché sono fenomeni con costanti di tempopiccole.

Discrepanza fra il modello costruito ed i risultati attesi, perché sono cambiate le condizioni di lavoro dalla fase di simulazione alla fase di misura.

Conclusioni

I sistemi fuzzy costituiscono una valida alternativa ai sistemi neuralie ad altri sistemi di approssimazione classici.

1. Perché si costruiscono direttamente senza fase di apprendimento.

2. Perché hanno una struttura semplice.

3. Perché si può facilmente imporre al modello fuzzy di godere di determinate caratteristiche di regolarità e di passaggio per punti

4. Perché la fase di ottimizzazione richiede pochi secondi.

Sviluppi Modifiche della norma usata nell’algoritmo di ottimizzazione, al fine di minimizzare eventualmente anche gli errori sulle derivate. (Norma di Sobolev)

Ottimizzazione della posizione dei punti di intersezione della griglia usata:uso dei Teoremi 3-5 sul legame della funzione fuzzy con la serie di Taylor.

Modellizzazione: implementazione di un algoritmo che elimini il contributodispersivo dalle misure utilizzate per costruire il modello fuzzy.

Modellizzazione: estrazione di informazioni riguardanti le derivate parziali seconde e terze della Ids dal modello fuzzy del dispositivo.

DDS: valutazione delle prestazioni del DDS in termini di area, consumo di potenza e frequenza massima raggiungibile.

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