Approssimazione di funzioni attraverso sistemi in logica fuzzy.

Aspetti teorici e applicativi.

Arianna Mencattini

Seminario - 25 settembre 2002

Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”Dipartimento di Ingegneria Elettronica

TOR VERGATA

Indice

• Introduzione ai sistemi fuzzy come approssimatori di funzioni.

• Caso SISO (Single Input Single Output)

• Caso MISO (Multiple Input Single Output)

• Teoremi fondamentali.

• Applicazioni

Fuzzy Systems

F[ x ]...

x1

x2

xn

.

.

.

y1

y2

ym

Parametri

• Legame diretto ingresso – uscita

• Possibilità di imporre dei vincoli sulla F[ ], grazie ai parametri liberi.

Casi Possibili

Applicazioni Possibili - 1

- Processamento di segnale: ad esempio s(x) è un segnale audio o un segnale immagine ed

F[ ] è un filtro

F[ ]s(x) y(x)=F[s(x)]

- Controlli:F[ ]

u(x)F(s)+

G(s)

Applicazioni Possibili - 2

- Modellistica:

F[ ]Set di Misure Modello

In questo caso la funzione target f è il legame fisico fra le variabili di ingresso e di uscita. In genere non è nota.

Struttura del sistema (SISO)

1 2 n

nb

1b

2b

1. Dominio di ingresso

2. Dominio di uscita

3. Set di punti campione noti

],[ 1 n ],[ 1 nbb

),(,),,( 11 nn bb

●

●

●

Struttura dello spazio di ingresso

x

iA1iA

iA

: Insieme fuzzy di ingresso Funzione di appartenenza (MF)

Struttura dello spazio di uscita

ib

: Insieme fuzzy di uscita Funzione di appartenenza (MF)

nb

1b

2b

y

x

Base di conoscenza

Antecedentedella regola

Conseguentedella regola

Fuzzificazione:

fase in cui si associano:

• un set di MF all’ingresso• un set di MF all’uscita

si definisce

• un insieme di regole

Inferenza: valutazione delle regole

Per un dato valore x occorre valutare le regole per costruire il valore di uscita

x

i i+1

INPUT RANGE

A1 A2 A3 A4

b1

b2

b3

b4Valutazione

regole

Defuzzificazione

Inferenza: valutazione degli antecedenti

If (x is A1 ) then (y = b1 )

If (x is A2 ) then (y = b2 )

If (x is A3 ) then (y = b3 )

0

v2

v3

Operatore di inferenza:MAX, Media pesata

32

33221

0

0

vv

bvbvby

Defuzzificazione

Per un dato valore x occorre valutare le regole per costruire il valore di uscita

x

i i+1

INPUT RANGE

A1 A2 A3 A4

b1

b2

b3

b4Valutazione

regole

Defuzzificazione

Valore di uscita

Espressione dell’uscita 1

1

2

1k2k

1k2k

Espressione dell’uscita 2

1

2 121 kk

121 kk

Sistemi di tipo Sugeno di ordine N

If (x is A1 ) then (y = b1 )

Se il conseguente è del tipo )(xPy N Sistema Sugeno di ordine N

Sistemi di tipo Sugeno di ordine N

Attraverso i coefficienti posso imporre ulteriori condizioni alla funzioneFuzzy F. Se il mio set di conoscenze è:

kia

n ,,1 ,)(),( 1 nff

Settando si ha che)(1ii dx

dfa

nn

nn

dx

df

dx

df

dx

dF

dx

dF

ffFF

,,,,

,,,,

11

11

)(),( 1 ndx

df

dx

df

Sistemi di tipo Sugeno di ordine N

),( 215.0 kkfx

2

1

)(1)( 12 xVxV

Osservazioni:

• è la serie di Taylor troncata all’ordine N di f(x) centrata in . • è la combinazione di polinomi di Taylor di ordine N centrati nei vertici della griglia, pesati con le funzioni peso V(x).

)(1 xPN 1

)(xy

Caso MISO (multiple input single output)

La trattazione è analoga al caso SISO, ma la struttura del sistema fuzzy diventa più complessa.

Le regole fuzzy diventano:

),(),()()( yxPyxzthenByandAxif Nijji

Occorre dare un valore all’operatore and (min, prodotto). La scelta delprodotto in questa applicazione è motivata dalla necessità di non ledere laregolarità della funzione F(x).

),()()(),()()(

),()()(),()()(),(

22222121

1212111111

yxPyWxVyxPyWxV

yxPyWxVyxPyWxVyxzNN

NN

Caso MISO (multiple input single output)

Esempio: funzione target

Funzione fuzzy bilineare

Linee di discontinuità delle derivate parziali

Funzione fuzzy con MFs cubiche

Confronto caso SISO e MISO

• Il numero di punti di non regolarità nel caso SISO è n. In questo caso è possibile utilizzare n parametri liberi (ad esempio le altezze k) per imporre la continuità delle derivate prime, senza dover complicare il sistema fuzzy con funzioni di appartenenza non triangolari.

• Nel caso MISO il numero di punti di non regolarità diventa , occorre quindi eliminare intrinsecamente la causa di detta non regolarità, ovvero soddisfare le ipotesi del Teorema 1.

• Nel caso MISO le altezze k possono essere usate per ottimizzare il comportamento della funzione F(x) come interpolatore, nell’intervallo aperto in base ad una norma scelta (sup, media etc.) ),( 1ii 1,,1 ni

Approssimazione SISO, legame con i polinomi di Taylor

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

)(21 xP

)(22 xP

N=1

N=2

1/(x2+1)

)(11 xP

)(12 xP

),(222 yxP

),(212 yxP

),(221 yxP

),(211 yxP

Approssimazione MISO, legame con i polinomi di Taylor

Applicazioni nel caso SISO: funzione log

Processamento

Immagini

y(x)=log(x)x

Se dove è una componente di rumore moltiplicativa ew è il segnale originario non corrotto da rumore, allora l’operatore logaritmorende il legame fra w e additivo e si ha .

wx 1 1

1 )log()log()log( 1 wx A questo punto il segnale modificato y=log(x) è filtrabile con un filtraggio classico,di tipo passa basso.

Si può facilmente dimostrare che il sistema fuzzy che implementa una funzione inversa si ottiene da quello che implementa la funzione diretta invertendo gli spazidi ingresso e di uscita, nel senso di intervalli considerati.

Applicazioni nel caso SISO: funzione log

Approssimazione della funzione log(x) con sistema fuzzy a 1 punto e altezze variabili.La curva della funzione obiettivo e quella della funzione approssimante sono indistinguibili.

Applicazioni nel caso SISO: funzione sin per l’implementazione di un DDS(Digital Direct Synthesizer)

Sistema fuzzy

DfREGISTER

fREGISTER

f TO ACONVERTER

D/ ACONVERTER

FILTER

ANALOGOUT

DIGITALOUT

PHASE ACCUMULATOR

SINE GENERATOR

• Schema di un DDS

Coefficienti di Fourier della funzione fuzzy

N

i

iiiiii

i

iiiiii

ii

i

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

i

i

ii

i

i

nn

CifFn

CiFn

CinF

T

FnSi

FnSi

nFT

nn

C

A

n

Cifn

D

B

D

An

D

B

D

A

n

nn

D

A

n

bb1

1

1

1

11

12

0,222

cos2

222cos2

2cos

2cos

4

02

cos2

cos4

2sin

2sin

)(

8

~

2sin

)(

8

2cos

4~2

n

n

n

nbn

Risultati intermedi

Approssimazione della funzione sin(x) con il nuovo metodo.

Spettro della sinusoide fuzzy

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101140

130

120

110

100

90

80

dB

c

Spurious

7 punti

Esempio 2: modellizzazione di dispositivi FET a grande segnale

Misure sul dispositivodei parametri S

Valutazionedei parassiti

Funzione parametrica

di Materka-Kacprzak

Estrazione del circuitoequivalente intrinseco

al variare della polarizzazione.

Necessità dell’interpolazione

al variaredella polarizzazione

Funzione fuzzy

Modello per la simulazione

a grande segnale

Sistema fuzzy come modello: Ids

0 1 2 3 4 5 6-50

0

50

100

150

200

250

300

350

Vds [V]

Ids

[mA

]

0 1 2 3 4 5 6-50

0

50

100

150

200

250

300

350

Vds [V]

Ids

[mA

]

Materka

Fuzzy

Sistema fuzzy come modello: gds

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-100

0

100

200

300

400

500

600

700

Vds [V]

gds

[mS

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-100

0

100

200

300

400

500

600

700

Vds [V]

gds

[mS

]

Materka

Fuzzy

Sistema fuzzy come modello: gm

0 1 2 3 4 5 6

0

50

100

150

200

Vds [V]

gm [

mS

]

0 1 2 3 4 5 6

0

50

100

150

200

Vds [V]

gm [

mS

]

Materka

Fuzzy

Bibliografia M. Salmeri, A. Mencattini, R. Rovatti, " Function Approximation Using Non Normalized SISO Fuzzy Systems", International Journal of Approximate Reasoning, IJAR, Elsevier, vol. 26, n. 3, April 2001.

A. Mencattini, M. Salmeri, " Performance Optimization of SISO Fuzzy Systems Used as Function Approximators", International Journal of Fuzzy Systems, vol. 4, n. 4, December 2002.

M. Salmeri, A. Mencattini, S. Bertazzoni, D. Di Giovenale, A. Salsano, " Sinusoidal Wave Synthesis Using Fuzzy Approximation", submitted to Trans. on Fuzzy Systems.

A. Mencattini, M. Salmeri, A. Salsano, " MISO Function Approximation with Derivative Constrains Using Sugeno Fuzzy Systems", submitted to Trans. on Fuzzy Systems.

A. Mencattini, M. Salmeri, A. Salsano, " Approximation Properties of Taylor Polynomial Fuzzy Systems", to be submitted to Trans. on Fuzzy Systems.