Misure di impulso di particelle cariche

Una misura del raggio di curvatura fornisce quindi una misura dell’impulso della particella, ammesso che la carica della particella sia nota .

Deflessione a 180o. Spettrometro di massa (per velocita’ non relativistiche)

BvqF

sinqvBF

qBr mvqvB r

vm

2

qvBr

vmrmF

22

da cui

la forza di Lorentz avra’ modulo qvB e costituira’ la componente che provvede la accelerazione centripeta al moto della carica. Si avra’ :

qBrp ovvero: qBrpx

La deflessione delle particelle cariche in moto in campi magnetici “analizzatori” e’ il fenomeno che si sfrutta per misurare l’impulso delle particelle cariche.

Una particella carica in moto in un campo magnetico uniforme e costante nel tempo risente della forza di Lorentz . La traiettoria della particella in campo magnetico e’ un arco di circonferenza ed esiste una precisa relazione tra l’impulso e il raggio di curvatura della traiettoria.

kBB

ipp x

ˆ

ˆ

se e la forza di Lorentz sara’ nella direzione delle y negative

Classico utilizzo e’ la deflessione a 180o che si ha negli spettrometri di massa.

2

____

ABqBpx

2

____

ABr e

)'(

ddΔAB____

l’incertezza nella posizione di passaggio attraverso i diaframmi sara’ al massimo pari alla meta’ della dimensione dei diaframmi stessi

____

x ΔABqB

Δp

2

)'(22

ddqB

ΔABqB

Δp____

x

moltiplicando e dividendo per r il membro di sinistra della uguaglianza

)'(2

)'(2

ddr

pdd

r

qBr x 2

d')(dr

pΔp x

x quindi si ottiene :

xy

z

.B

x

y

z

x0

O

r

la misura di impulso si riconduce quindi ad una misura lungo la coordinata trasversa al moto. Ammesso che non vi siano altri contributi all’errore al di fuori della incertezza nella misura della posizione, dalla legge di propagazione degli errori si ha :

uno in A per determinare la posizione di ingresso della carica elettrica nella zona in cui e’presente il campo magnetico analizzatore, ed uno in B per determinare la posizione di uscita della carica . Il raggio di curvatura sara’ la meta della distanza AB di attraversamento dei due diaframmi

la misura di impulso si riconduce cosi’ alla misura del raggio di curvatura r.Per fare una misura dell’impulso con la migliore precisione possibile, nel caso di deflessione magnetica a 180o, bastera’ inserire due diaframmi

se 2d e 2d’ sono le larghezze dei due diaframmi l’incertezza nella misura del raggio di curvatura AB sara’ dunque dell’ordine di d + d’, ossia

m

qB

x

y

z

xA

O

r

vB A

π r π r m π mτ t t

p qB

il moto della carica si puo’ dividere in tre fasi : per t < tA la carica si muove di moto rettilineo uniformeper tA < t < tB la carica si muove lungo una traiettroria circolare di raggio r per t > tB la carica si muove di moto rettilineo uniforme, ma nel verso negativo lungo l’asse delle x

se non esistesse nessun effetto quantistico tra A e B l’elettrone descriverebbe un semicerchio perfetto e il tempo di volo sarebbe indipendente dall’impulso e sempre pari a :

per tA < t < tB

))(()()( Ax

ABx

A ttm

pxtt

m

pxtx per t > tB

( ) ( )

( ) cos ( )

A A

A

x t x r sen t t

y t r t t

( ) ( )xA A

px t x sen t t

qB

rty )(

per t < tA )()( Ax

A ttm

pxtx rty )( posto x( t=tA ) = xA

( ) cos ( )xA

py t t t

qB

B Aτ t t

x

2

) x(tx

Δp ABqB

p

B

x

____

x

se non esistesse nessun effetto quantistico, riducendo la dimensione dei due diaframmi si potrebbe ridurre arbitrariamente l’indeterminazione nella misura della componente x dell’impulso e contemporaneamente della posizione x della carica al tempo tB , momento in cui la carica esce dall’analizzatore e dunque momento in cui effettuare la misura di r , ossia di px.

Si potrebbe quindi pensare che la misura della posizione di uscita sia priva di incertezza dato che abbiamo assunto che non ci siano altre sorgenti di errore oltre all’errore sul raggio di curvatura, non vi sono incertezze nel tempo di volo e dunque : 0τ

))(()( Ax

A ttm

pxtx xptx )(ma se

se ne conclude che anche in una trattazione classica l’errore nella posizione di uscita non e’ nullo, ma risulta proporzionale all’errore nell’impulso e solo a questo dato che l’errore sul tempo di volo e’ nullo.

quindi entrambe le misure sono affette da errore e si potra’ scrivere

ma da un punto di vista classico basterebbe quindi ridurre l’errore sulla determinazione dell’ impulso per ridurre contemporaneamente anche l’errore sulla posizione.

( ) xx t p

pd

h

qB

m2

qBd

h

dp

h

qB

m

m

p

m

ptx

x

xxB

22)(

)'( 2

2)( dd

d

hd')(d

r

p

qBd

hptx x

xB

Ma all’ingresso al diaframma A la carica elettrica si presenta quantisticamente come un onda di lunghezza d’onda di De Broglie, pari a = h/p. Pertanto si avra’ diffrazione e conseguentemente sparpagliamento dell’onda oltre l’ostacolo. L’angolo che fa l’impulso con l’asse delle x e’ dell’ordine di sen ~ d = h/pd

Volendo conservare l’approssimazione dell’ottica geometrica si puo’ dire che la traiettoria dell’elettrone risulta ancora un arco di circonferenza, ma di lunghezza definita con una certa indeterminazione

L’istante di tempo in cui l’elettrone passera’ per B e’ quindi incerto e di qui l’incertezza nella posizione x.

L’indeterminazione in t , e’ dell’ordine di

pd

h

qB

m

pd

h

p

rm

mv

rm

v

r 2222

in conclusione :

)'

1()(d

dhptx xB

riducendo le dimensioni del diaframma di ingresso si peggiora la incertezza nelle misure