Misura di diffusività termica

Impulso di calore

riscaldatore

Termocoppia differenziale (T)

Serbatoio di calore

Si misura l’andamento temporale della temperatura in un punto a distanza d dal riscaldatore in seguito ad un impulso di calore inviato all’estremità del campione.In pratica si misura come si propaga il flusso di calore nella sbarretta.

d

Termometro al platino

Equazione di diffusione

dttxdT

dxtxTd

D),(),(

2

2

Consideriamo una lamina unidimensionale.La temperatura di un punto x del campione è funzione del tempo e della distanza d dal riscaldatore a cui si trova il punto analizzato.Il suo valore nel tempo e nello spazio è regolato dall’equazione della diffusione del calore

T = temperatura

La soluzione dell’equazione nel caso di un impulso di durata infinitesima fornito ad una estremità di un campione di lunghezza infinita mantenuto a temperatura costante è data da:

Dtx

eDtA

txT 4

2

),(

Con D coefficiente di diffusione (espresso in m2/s in MKS)

0 20 40 60 80 1000

0.5

1

1.5

21.715

0

T .5 t( )

T 1 t( )

T 1.5 t( )

1000.11 t

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

21.716

0.016

T .5 t( )

T 1 t( )

T 1.5 t( )

200.02 t

Dtx

eDtSdc

QtxT 4

2

2),(

con Q calore fornito al sistema al tempo t=0 nel punto x=0, S sezione della sbarretta, d·c calore specifico per unità di volume

Tempi caratteristici dipendenti dal materiale e dalla distanza di misura 1-10 secondi

0 0.5 1 1.5 2 2.50.1

1

102.971

.1

T .5 t( ) t.5

T 1 t( ) t.5

T 1.5 t( ) t0.5

2.2670.1 1

t

Come posso ricavare il coefficiente di diffusione del materiale?

1) dall’espressione per T(x,t) il massimo si trova a

2) Se moltiplico T(x,t) per e ne faccio il logaritmo ottengo una retta in funzione di

la cui pendenza è

Dx

t2

2

t

t1

Dx4

2

Progetto di misura

L’esperienza può essere affrontata assemblando tre parti diverse che sono:

• Stesura del programma in labview che determina la forzante del sistema e acquisisce nel tempo la temperatura del serbatoio di calore e il segnale dalla termocoppia differenziale

• Realizzazione di alcuni circuiti elettronici: 1) amplificatore differenziale che legge il termometro al platino (temperatura del serbatoio di calore)2) amplificatore differenziale che legge la termocoppia differenziale (già presente nella scatola di interfaccia criostato-utente)3) Convertitore tensione-corrente che trasforma l’impulso di tensione mandato da labview in un segnale di potenza

• Analisi dati 1) Il vettore dati relativo alla temperatura del serbatoio di calore va analizzato per vedere se l’impulso al riscaldatore sul campione ha cambiato la temperatura di tutto il sistema.

Se no va convertito nella temperatura media del campione.

2) Il vettore dati relativo alla termocoppia differenziale contiene tutte le informazioni necessarie a ricavare la diffusività

Programma di acquisizione

LABVIEW

Input

Output

Input: Temperatura Serbatoio di Calore, Termocoppia differenzialeOutput: Impulso al riscaldatore

Il programma deve fornire un impulso di tensione di durata variabile (tipicamente 500 ms - 1 s) e acquisire due canali in ingresso; in uno si acquisirà l’uscita dell’amplificatore differenziale che legge il termometro al platino, nell’altro l’uscita dell’amplificatore differenziale che legge la termocoppia differenziale.

Rate di acquisizione: ~100 Hz

AlimentazionePlatino

Hardware:

Alimentazione termometro al platino: Rpt = 20÷120 Ohm corrente max 1mA

Lettura termometro al platino (temperatura del serbatoio di calore) :Amplificatore strumentale Guadagno??

Alimentazione riscaldatore (impulso):Segnale in uscita da Labview non è un segnale di potenza.Convertitore tensione-corrente

Lettura termocoppia differenziale (già costruito)

+

-

-

-

+

+

R1

R2

R3

Rf

RfR1

R2

V out

V1

V2

1213

221 VV

R

Rf

R

RVout

Analisi Dati

Il programma di analisi dati può essere fatto in tempo reale con labview o a posteriori con programmi scelti da voi (consigliato) .

Passi necessari:

1) Lettura dati salvati programma acquisizione

2) Filtro passa basso (segnale lentamente variabile nel tempo – vanno rimossi tutti i segnali spuri come 50Hz etc) può essere messo nel programma di acquisizione

3) Il tempo deve essere scalato all’inizio dell’impulso al riscaldatore (t-t0)

4) Primo metodo ricerca del massimo della curva e calcolo di D

5) Rimossi eventuali drift del segnale si moltiplica la curva per e se ne fa il logaritmo. Si grafica in funzione di e si fa il best fit della retta.

t

t1

Dall’intercetta della retta trovata con il metodo precedente è anche possibile ricavare il calore specifico per unità di volume.Per fare questo calcolo però bisogna conoscere la quantità di calore fornita attraverso il riscaldatore e assumere che tutto il calore fornito vada nella sbarretta e non si disperda per convezione, irraggiamento etc.

Dtx

eDtSdc

QtxT 4

2

2),(

specificocaloreitàconducibil

àDiffusivit

Conducibiltà termicaConducibiltà termica

PP

L

TT11 TT22

S

TT11> T> T22

potenza termica

S

P

L

TT

)( 21La differenza di temperatura che si instaura attraverso la sbarra per unità di lunghezza è proporzionale alla potenza fornita per unità di superficie

(W/m S

PJ 2

Q ) Densità di corrente termica o flusso termico

WsJ dt

dQP /

Se il materiale è omogeneo e la sezione costante il gradiente di temperatura è costante

L

TTJQ

21 (W/mK) conducibilità termica del materiale

materiale del termica resistenza (K/W) 1/W

materiale del termica aconduttanz (W/K) L

S

TTTTL

SP

L

TT

S

P

212121

x x+dx

dx

T1=T(x) T2=T(x+dx)=T(x)+(dT/dx)dx

SJQJQ=P/S JQ

I legge di Fourier nel caso unidimensionaledx

dTJ

dx

dxdxdT

L

TTJ

Q

Q

)/(21

T1-T2 -(dT/dx)dx

L dx

TkJQ

I legge di Fourier in forma vettoriale

Queste relazioni possono essere applicate nel caso di una sbarra di materiale omogeneo a sezione costante. Altrimenti è necessario scrivere una equazione equivalente che dipenda dalle proprietà puntuali.

La I legge di Fourier descrive le situazioni di flusso stazionario

JQ(x)= cost

II legge di Fourier : II legge di Fourier : trasporto di calore in condizioni non stazionarie

JQ1=JQ(x) JQ2=JQ(x+dx)=JQ(x)+(dJQ /dx)dx

x x+dx

xS

JQ1 JQ2

JQ1-JQ2=- (dJQ /dx)dx

Fourier di legge I dx

dTJ

xJJ

Q

QQ

)(

Vx

TV

x

T

xVxJ

xSxxJ

xSJSJP QQQQ

2

2

21 )()(

dt

dTVC

dt

CdT

dt

dQP vol

1)

2)

Eguagliando l’equazione 1) all’equazione 2) e dividendo per V

x S=V

x

TD

t

T2

2

s

m

mK

JmK

W

C

kD

vol

2

3

termica àdiffusivit C

D dovevol