MICROECONOMIA

Produzione e costi

Enrico SaltariUniversità di Roma “La Sapienza”

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LE SCELTE DELL’IMPRESA

ALTERNATIVE DISPONIBILI CRITERIODI SCELTA

VINCOLO MERCATO(FORME DI MERCATO)

→ RICAVI

VINCOLO TECNOL.(COME PRODURRE)

→ COSTI

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭→ MAX PROF.

(QUANTO PRODURRE)

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La determinazione dei costi

1. Il criterio: LA MINIMIZAZIONE DEI COSTI. Per ogni data quantità prodotta icosti vengono determinati in modo tale che risultino minimi, cioè al livello più bassopossibile. I costi debbono essere minimi affinché l’impresa massimizzi il profitto.

2. La procedura. I costi totali sono dati dalla somma dei costi sostenuti per l’impiegodi ciascun input. A loro volta, questi costi sono dati dal prezzo unitario di ciascunfattore per la quantità impiegata del fattore. Tre passi

(a) Partiamo dalla funzione di produzione (il vincolo tecnologico): essa ci dice qualè la combinazione più efficiente dal punto di vista tecnologico (che impiega laminore quantità di input) per produrre una data quantità di prodotto. Isoquanto.

(b) Dati i prezzi degli input, la combinazione dei due input che comporta il costototale più basso è quella per cui i costi marginali dei due fattori sono uguali.

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(c) Una volta determinate le quantità impiegate degli input, il costo totale è dato dalprodotto della quantità impiegata di ciascun fattore per il prezzo corrispondente.

La funzione della produzione

• Esamineremo in che modo opera il vincolo tecnologico e come esso influenza i costidi produzione

• Il vincolo tecnologico descrive come viene attuata la produzione. Esso è descrittodall’insieme dei modi mediante cui beni e servizi vengono combinati seguendo certeleggi tecniche per ottenere altri beni o servizi. I beni o servizi che entrano nel processoproduttivo vengono detti input o fattori della produzione. Il risultato del processoproduttivo viene detto prodotto o output.

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• Un modo sintetico per descrivere la tecnologia a disposizione delle imprese è la funzio-ne della produzione. Supponiamo per semplicità che vi siano due soli input, diciamoil lavoro N e le macchine M, e un solo output, la cui quantità indicheremo con Q.

• Input e output vengono misurati in termini di flussi, vale a dire un certo numero di oredi lavoro alla settimana e un certo numero di ore macchina alla settimana produconouna certa quantità di prodotto alla settimana.

• La funzione della produzione descrive in che modo macchine e lavoro possono esserecombinati per ottenere la massima quantità di prodotto

Q = f (N,M)

Si noti che la funzione della produzione prende in considerazione solo le combinazioniefficienti da un punto di vista tecnico, ovvero quelle che danno luogo alla massimaquantità di prodotto.

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• Un esempio di funzione di produzione è

Q =√NM

L’isoquanto

• L’isoquanto descrive la funzione di produzione supponendo che la quantità di prodottosia costante. Esso è quindi dato l’insieme delle combinazioni dei due input che dannoluogo alla stessa quantità di prodotto. Per esempio, per Q = 10

N M ∆N ∆M SMaST1 1002 50 1 −50 503 33 1 −17 174 25 1 −8 85 20 1 −5 5

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• Ciascun isoquanto presenta perciò due caratteristiche importanti:

1. Decrescenza. Quando l’impiego di un input aumenta, l’impiego dell’altro diminuisce.Se infatti gli input sono impiegati in modo efficiente, l’aumento dell’impiego di en-trambi gli input produrrebbe un aumento della quantità di prodotto. Graficamente,l’isoquanto ha pendenza negativa.

2. Convessità. A mano a mano che l’impiego di un input aumenta, l’impiego dell’altronon solo diminuisce ma diminuisce in modo decrescente. La pendenza dell’isoquanto siriduce in valore assoluto, e quindi l’isoquanto è convesso. Il valore di questa pendenzaè il saggio marginale di sostituzione tecnica

SMaST = −∆M

∆N

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• Il valore del SMaST dipende a sua volta dal prodotto marginale dei due input.Il prodotto marginale di N è l’incremento di prodotto che si ha quando l’impiego dilavoro aumenta di ∆N unità mentre l’impiego di M viene mantenuto costante

PMaN =∆Q

∆N

Esempio: se l’impiego di M viene mantenuto costante 100 e N viene aumentato da1 a 1.1 (la variazione percentuale dell’input deve essere “piccola” rispetto al livello dipartenza), Q passa da

√1× 100 = 10 a

√1.1× 100 ≈ 10.5. Il PMaN è perciò

pari a ∆Q∆N = 0.5

0.1 = 5.

• Formalmente, il prodotto marginale di un input è la derivata parziale della funzionedi produzione rispetto all’input considerato.

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Esercizio

Data la funzione di produzione Q =√MN, calcolate il prodotto marginale del lavoro

per M = 100 e Q = 10. Qual è il rapporto tra i prodotti marginali?

Risposta. Il prodotto marginale del lavoro è

PMaN =∂Q

∂N=1

2

1√MN

M =1

2

M

Q

da cui sostituendo otteniamo

PMaN =1

2

M

Q=100

20= 5

Allo stesso modo il prodotto marginale delle macchine è

PMaM =1

2

N

Q=1

209

Il rapporto tra i prodotti marginali è

PMaN

PMaM=

12MQ12NQ

=M

N= 100

Il lavoro è 100 volte più produttivo delle macchine. Perciò, se si impiega un lavoratore inmeno occorre impiegare 100 macchine in più affinché la quantità prodotta non vari.

• Il SMaST viene misurato lungo un dato isoquanto, con un dato Q. Se aumentiamol’impiego diN di∆N unità, di quanto dovrà diminuire l’impiego diM affinchéQ nonvari? Quando N aumenta, Q aumenta di PMaN ×∆N. Perciò M deve diminuirein modo tale che

PMaM ×∆M + PMaN ×∆N = 0→PMaM × (−∆M) = PMaN ×∆N →

−∆M

∆N=

PMaN

PMaM10

Nell’esempio di prima la riduzione dell’impiego delle macchine di 1 unità comportauna riduzione del prodotto marginale delle macchine di

PMaM =∆Q

∆M=

√99−

√100

1= − 1

20= −0.05

Poiché PMaNPMaM = 5

0.05 = 100, l’impiego delle macchine deve ridursi di ∆M =

−PMaNPMaM∆N = −100× .1 = −10 unità. Si noti che:

• Il prodotto rimane invariato con i nuovi livelli degli input, Q =√1.1× 90 ' 10;

• Il prodotto marginale è la derivata (parziale) di Q rispetto all’input considerato. Nel-l’esempio, ciò implica che PMaN

PMaM =M/N = 100/1 = 100. Con i valori calcolati siha ∆M

∆N = 10/.1 = 100.

11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

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L’isocosto

• Quale tra le diverse combinazioni di fattori che danno luogo ad un dato prodottoverrà utilizzata? Questo dipende dal costo dei fattori. Poiché l’obiettivo dell’impresaè di massimizzare il profitto, è chiaro che l’impresa sceglierà la combinazione cheminimizza il costo.

• Il costo CT di una combinazione di M e N è

CT = PmM +WN

con W che rappresenta il salario (per esempio mensile) e Pm il costo d’uso dellemacchine (al mese).

Supponiamo che l’impresa non possa influenzare il prezzo dei fattori. Allora per ogni datoCT, l’equazione prima scritta ci dice quali sono le combinazioni di fattori che comportano

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lo stesso costo CT

M =CT

Pm− W

PmN

La tecnica nel lungo periodo

• Supponiamo che l’impresa possa scegliere l’impiego di tutti i fattori della produzio-ne. Questa situazione viene detta di lungo periodo perché in genere la variazionedell’impiego di alcuni input (come le macchine) richiede un lasso di tempo più lungoche non la variazione di altri input (come il lavoro).

• Data una certa quantità da produrre, l’impresa sceglierà la combinazione di fattoriche richiede un costo più basso. Graficamente, ciò comporta che la combinazione di

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minimo costo è caratterizzata dalla tangenza tra isoquanto e isocosto

SMaST =W/Pm

Siccome SMaST = PMaNPMaM, possiamo anche scrivere la condizione di<tangenza

comePMaN

PMaM=

W

Pm→ W

PMaN=

Pm

PMaM

Poiché ciascun rapporto indica il costo marginale derivante dall’impiego dei due fattori,la condizione di tangenza ci dice che deve esserci uguaglianza tra i costi marginaledei due fattori.

Esercizio

Supponendo che i prezzi dei due input siano W = 25 e Pm = 1, rappresentate gliisocosti corrispondenti ai seguenti tre livelli del costo totale: 60, 100, 145. Se l’impresa

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deve produrre una quantità di prodotto pari a 10, qual è la combinazione ottimale deidue input con la funzione di produzione Q =

√MN? Qual è il livello del costo totale

corrispondente?

Risposta. Utilizzando la condizione di tangenza, otteniamo

W

Pm=

PMaN

PMaM=⇒ 25 =

M

N=⇒M = 25N

Sostituendo nella funzione di produzione, si ha 10 =√25N2, e perciò N = 2. Di

conseguenza, M = 50. Il costo totale di produzione è CT = 25 · 2 + 1 · 50 = 100.

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

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• Se per esempio fosse CMaN > CMaM, converrebbe ridurre l’impiego di lavoro afavore delle macchine perché è più costoso incrementare il prodotto mediante il lavoroche non mediante le macchine. Quando vi è uguaglianza tra i costi marginale, allorasi dice che vi è efficienza economica.

• Supponiamo che la combinazione efficiente sia M0 e N0. Il costo di questa com-binazione sarà CT0 = PmM0 + WN0, mentre il prodotto ottenuto sarà Q0 =f (M0, N0) . Dunque, al prodotto Q0 corrisponde il costo CT0. Questo è un primopunto della funzione di costo. Ripetendo lo stesso procedimento per altri valori di Q,otteniamo l’intera funzione di costo di lungo periodo

Le funzioni di costo nel lungo periodo

• Indicheremo la funzione di costo così ottenuta con CTl = C (Q) . Gli andamenticaratteristici della curva di costo nel lungo periodo dipendono dai rendimenti di scala.

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• I rendimenti di scala vengono definiti in base alla proporzione in cui varia l’outputquando l’impiego di entrambi gli input viene aumentato. Essi possono essere:

1. Costanti, se quando l’impiego degli input viene aumentato in una data proporzione,anche l’output aumenta nella stessa proporzione. Esempio: Q =

√NM. Inizialmen-

te, N = 20 e M = 5, sicché Q = 10. Se gli input raddoppiano, anche l’outputraddoppia.

2. Crescenti, se quando l’impiego degli input viene aumentato in una data proporzione,l’output aumenta in una proporzione maggiore. Esempio: Q = NM. Inizialmente,N = 20 e M = 5, sicché Q = 100. Se gli input raddoppiano, l’output quadruplica.

3. Decrescenti, se quando l’impiego degli input viene aumentato in una data proporzione,l’output aumenta in una proporzione minore. Esempio: Q = 3√NM. Inizialmente,N = 20 e M = 5, sicché Q = 4.64. Se gli input raddoppiano, l’output meno cheraddoppia (passa a 5.85).

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• Se i rendimenti di scala sono costanti, allora i costi aumentano nella stessa proporzionedella quantità prodotta. Se per esempio vogliamo raddoppiare la quantità prodotta,dobbiamo raddoppiare l’impiego degli input. Se i prezzi degli input sono fissi, alloraanche il costo raddoppia. Se invece i rendimenti di scala sono decrescenti, il costoaumenta più che in proporzione della quantità prodotta. Per raddoppiare la quantitàprodotta, questa volta abbiamo infatti bisogno di più che raddoppiare gli input, e ciòimplica che il costo aumenta più velocemente della quantità. Se infine i rendimentidi scala sono crescenti, il costo totale aumenta meno velocemente della quantità.

• Graficamente, nel piano (Q,CT ) nel caso di rendimenti di scala costanti il costototale è una retta; se i rendimenti sono crescenti (decrescenti) è una curva concava(convessa). Naturalmente, sono possibili andamenti misti della curva di costo.

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Esercizio

Supponete che i prezzi dei due input siano W = 25 e Pm = 1 e che la funzione diproduzione sia Q =

√MN. Ricavate la funzione del costo totale.

Risposta. Abbiamo visto in precedenza che in questo caso la combinazione ottimale deidue input è data da

W

Pm=

PMaN

PMaM=⇒ 25 =

M

N=⇒M = 25N

Perciò, il costo totale è dato da

CT = PmM +WN =M + 25N = 50N

Se facciamo la stessa sostituzione nella funzione di produzione, otteniamo

Q =√MN =

√25N ·N = 5N

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da cui ricaviamo che

N =Q

5

Sostituendo nella funzione del costo totale, si ricava infine

CT = 50N = 50Q

5= 10Q

Si noti che la funzione del costo totale è lineare nella quantità prodotta (perché?).

Esercizio

Supponete che i prezzi dei due input siano W = 25 e Pm = 1 ma che ora la funzione diproduzione siaQ = 4√MN. Ricavate la funzione del costo totale.

hRisposta: CT = 10Q2

i22

• Questi diversi andamenti delle curve di costo possono essere caratterizzati dal costomarginale, definito come CMal = ∆CTl/∆Q, e dal costo medio, definito comeCMel = CTl/Q. Entrambi questi costi sono ricavati dal costo totale. Tra i dueesiste una semplice relazione: se CMal > CMel, allora il costo medio è crescente,e viceversa. Il motivo è che il costo medio è crescente se l’ultimo elemento che va adaggiungersi è maggiore della media.

• Se il costo medio è decrescente, si dice che vi sono delle economie di scala. A manoa mano che aumenta la scala della produzione il costo medio diminuisce. Se invece ilcosto medio aumenta, si dice che vi sono delle diseconomie di scala.

• All’origine dei vari tipi di economie (e dei rendimenti) di scala si trova l’indivisibilità omeno degli input. Se gli input sono perfettamente divisibili, allora è sempre possibilereplicare esattamente la combinazione esistente degli input. Se vogliamo raddoppiarel’output, è sufficiente raddoppiare gli input. In questo caso il costo medio è costante.

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• Se questo non è possibile è perché vi sono indivisibilità: non è possibile suddividerel’impiego di qualche input perché questo può essere impiegato solo se il prodotto haraggiunto una certa dimensione. Prima di questa quantità il costo medio diminuiscefino a raggiungere un minimo quando la scala produttiva è ottimale.

• Le diseconomie di scala sono invece dovute alla presenza di qualche fattore quasi fissoil cui impiego non può essere aumentato nemmeno nel lungo periodo (come la capacitàmanageriale). Un fattore viene definito quasi fisso se l’impresa deve utilizzarlo in unacerta quantità solo se produce. La presenza di questo fattore conduce a diseconomiedi scala, e quindi a costi medi crescenti.

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La quantità prodotta nel lungo periodo

• Poiché l’obiettivo dell’impresa è di massimizzare il profitto, la quantità prodotta sitrova in corrispondenza dell’uguaglianza tra ricavo marginale e costo marginale

RMa = CMal → Q∗

• Questa condizione non è in sé sufficiente a indurre l’impresa a produrre Q∗. Questaquantità implica infatti la costruzione di un dato impianto (siamo nel lungo periodo).Affinché l’impianto sia costruito, e quindi Q∗ > 0, occorre che l’impresa non sia inperdita

RT − CTl = PQ− CMelQ = Q (P − CMel)

Occorre perciò che il prezzo sia maggiore del costo medio

P ≥ CMel

Se questa condizione non è soddisfatta, l’impresa non costruisce l’impianto (nonproduce) oppure, se già produce, chiude l’impianto.

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Esercizio

Supponete che la funzione del costo totale di un’impresa in concorrenza perfetta sia CT =10Q2 e che il prezzo del prodotto sia P = 40. Individuate la quantità prodotta e verificatese è soddisfatta la condizione riguardante il costo medio di lungo periodo.

Risposta. Il costo marginale è CMal = 20Q. Uguagliando il costo marginale al prezzo,20Q = 40, si ottiene che Q∗ = 2. Il costo medio di lungo periodo è CMel = 10Q. Sela quantità prodotta è pari a 2, si ha CMel = 20 — che è minore del prezzo sicché lacondizione media è soddisfatta.

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Il breve periodo

• Nel breve periodo, per definizione, la dimensione dell’impianto è data, è dato cioè illivello diM. M rappresenta il fattore fisso. Di conseguenza, il costo di questo fattore,PmM, rappresenta il costo fisso

• L’aumento del prodotto può perciò essere ottenuto soltanto aumentando l’impiego diN. In queste condizioni è naturale assumere che successivi incrementi nell’impiego diN diano luogo ad aumenti di Q via via minori, e che quindi il prodotto marginale siadecrescente

• Ciò implica che il costo variabile cresca più rapidamente della quantità prodotta.Infatti:

— Un prodotto marginale del lavoro decrescente implica cheW/PMaN sia crescen-te, ovvero che sia crescente il costo marginale.

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— Un costo marginale crescente implica che l’incremento del costo variabile siamaggiore della quantità prodotta

• Può darsi che all’inizio prevalgano produttività marginali crescenti. Se l’impianto èindivisibile, e quindi si combina con N in modo ottimale solo quando l’impiego di Nha raggiunto certi livelli, allora quando N è basso il prodotto marginale può risultarecrescente. In questo caso, almeno in un primo tratto, il costo marginale è decrescentee il costo totale sale più lentamente della quantità prodotta. Prima o poi però, proprioperché uno dei fattori è impiegato in quantità data, prevarrà la produttività marginaledecrescente e il costo marginale sarà crescente.

• Esempio: Q =√MN. In questo caso, dato M = M, PMaN = M/

³2√MN

´.

Poiché il costo totale è

CT = PmM +WN

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e M è dato, il costo fisso sarà CF = PmM . Risolvendo la funzione di produzione

rispetto a N = Q2

M , possiamo calcolare il costo variabile CV = WN = WQ2

M .

Perciò,

CT = CF +W

MQ2

La quantità prodotta nel breve periodo

• Data la massimizzazione del profitto, anche nel breve periodo deve valere la condizionemarginale

RMa = CMa→ Q∗

• La condizione media si riferisce anche qui alla situazione in cui è conveniente produrre,Q∗ > 0. Siccome nel breve periodo l’impianto è dato, può darsi che sia conveniente

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produrre anche se comporta perdite perché in tal modo vengono almeno in partecoperti i costi fissi. Infatti

RT − CT = PQ− CVMe×Q− CF

= Q (P − CVMe)− CF

Il problema si pone solo se l’impresa è in perdita. Due casi in cui l’impresa è in perdita:

1. P ≤ CVMe, in tal caso conviene porre Q = 0, perché con Q > 0 la perdita sarebbemaggiore;

2. P > CVMe, in tal caso conviene porre Q > 0. La produzione riduce almeno inparte le perdite dovute a CF.

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Esercizio

Supponete che la funzione del costo totale di un’impresa in concorrenza perfetta sia CT =5 + 5Q2. Se il prezzo del prodotto è P = 10, .all0impresa conviene o meno continuarea produrre. E se il prezzo diviene P = 5? Individuate la quantità prodotta nei due casie verificate se è soddisfatta la condizione riguardante il costo variabile medio di breveperiodo.

Risposta. Il costo marginale è CMa = 10Q. Uguagliando il costo marginale al prezzo,10Q = 10, si ottiene che Q∗ = 1. Il costo variabile medio è CVMe = 5Q. Se la quantitàprodotta è pari a 1, si ha CVMe = 5 — che è minore del prezzo sicché la condizionemedia è soddisfatta. Se invece P = 5 ...

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