Metodo di Metodo di Newton Newton

Metodo di Metodo di Newton Newton

di Pasquale Infantino VAdi Pasquale Infantino VA

In matematica e più specificamente In matematica e più specificamente in analisi numerica, il in analisi numerica, il metodo delle metodo delle tangenti tangenti, chiamato anche , chiamato anche metodo metodo di Newtondi Newton, è uno dei metodi per il , è uno dei metodi per il calcolo approssimato di una calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della soluzione di un'equazione della forma f(x)=0 forma f(x)=0

In matematica e più specificamente In matematica e più specificamente in analisi numerica, il in analisi numerica, il metodo delle metodo delle tangenti tangenti, chiamato anche , chiamato anche metodo metodo di Newtondi Newton, è uno dei metodi per il , è uno dei metodi per il calcolo approssimato di una calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della soluzione di un'equazione della forma f(x)=0 forma f(x)=0

Esso si applica dopo avere aver dimostrato Esso si applica dopo avere aver dimostrato che la funzione è definita e continua in un che la funzione è definita e continua in un intervallo [a;b], e che f(a) e f(b) sono intervallo [a;b], e che f(a) e f(b) sono discordi , che f ’’ (x) esista e che in (a;b) la discordi , che f ’’ (x) esista e che in (a;b) la funzione è sempre positiva o sempre funzione è sempre positiva o sempre negativa. negativa.

Sotto tali ipotesi l’ Sotto tali ipotesi l’

equazione deve equazione deve avere un'unica avere un'unica soluzione in (a;b). soluzione in (a;b).

Nel disegno accanto Nel disegno accanto la funzione la funzione y = f(x)y = f(x) attraversa l'asse attraversa l'asse delle delle xx vicino ad vicino ad xx00. . Del punto Del punto P0P0 dobbiamo essere in dobbiamo essere in grado di calcolare il grado di calcolare il valore della valore della funzione funzione f(xf(x00)) e e della derivata della derivata f'(xf'(x00))

Dal punto P0 si può ora tracciare la Dal punto P0 si può ora tracciare la tangente alla curva; tale tangente tangente alla curva; tale tangente incontrerà l'asse delle ascisse per un incontrerà l'asse delle ascisse per un valore di x che è la prima valore di x che è la prima approssimazione della soluzione approssimazione della soluzione cercata. cercata.

La tangente avrà per coefficiente angolare il La tangente avrà per coefficiente angolare il valore della derivata in P0, f'(xvalore della derivata in P0, f'(x00). Utilizzando ). Utilizzando l'equazione della retta generica (o fascio di l'equazione della retta generica (o fascio di rette) per P0: y-yrette) per P0: y-y00 = m(x-x = m(x-x00), sostituendo m ), sostituendo m con f'(xcon f'(x00) e imponendo y = 0 si ha: ) e imponendo y = 0 si ha:

yy00 = f'(x = f'(x00)(x-x)(x-x00) )

A questo punto si risolve rispetto alla x e A questo punto si risolve rispetto alla x e si ha con facili passaggi: si ha con facili passaggi:

x(x(00) = x() = x(00) –[y) –[y00/ f'(x/ f'(x00)] )] Ricordando che yRicordando che y00 = f(x = f(x00) si avrà:) si avrà: x = x(x = x(00) – [f(x) – [f(x00)/f'(x)/f'(x00)] )]

Il procedimento si può iterare, calcolando Il procedimento si può iterare, calcolando

il valore il valore y = f(x)y = f(x), tracciando la tangente , tracciando la tangente per questo nuovo punto e così via . per questo nuovo punto e così via . In generale, chiamando In generale, chiamando x(n) l'ennesima approssimazione e x(n+1) x(n) l'ennesima approssimazione e x(n+1) quella successiva si ha la classica formula quella successiva si ha la classica formula di Newton: di Newton:

x(n+1) = x(n) – [f(xx(n+1) = x(n) – [f(xnn)/f'(x)/f'(xnn)] )]

Il procedimento è convergente, nel Il procedimento è convergente, nel senso che fissato un margine di errore senso che fissato un margine di errore piccolo quanto si vuole, si troverà piccolo quanto si vuole, si troverà sempre una approssimazione per la sempre una approssimazione per la quale l'errore è minore di tale quale l'errore è minore di tale margine. Con l’ uso congiunto del margine. Con l’ uso congiunto del metodo delle tangenti e delle secanti metodo delle tangenti e delle secanti si determina un’ approssimazione per si determina un’ approssimazione per difetto e una per eccesso della difetto e una per eccesso della soluzione così si dispone un intervallo soluzione così si dispone un intervallo di indeterminazione e di sicura di indeterminazione e di sicura valutazione dell’ errorevalutazione dell’ errore

BibliografiaBibliografia

Nuovi elementi di matematica (Ghisetti e Corvi Nuovi elementi di matematica (Ghisetti e Corvi editori) editori)

http://www.liceofoscarini.it/didattic/numerici/http://www.liceofoscarini.it/didattic/numerici/equazioni/newton.htmlequazioni/newton.html