Il problema delle tangenti nelle opere e nelle lettere di...

Il problema delle tangenti nelle opere e nelle lettere diCartesio e Fermat

Andrea Raponi

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA �LA SAPIENZA�

FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE FISICHE E NATURALI

28 Aprile 2017

Andrea Raponi Tangenti in Cartesio e Fermat 28 Aprile 2017 1 / 26

I protagonisti

René Descartes(1596-1650)

Pierre de Fermat(1601-1665)


René Descartes

La Haye, 31 Marzo 1596

Laurea in Legge all'Università di Poiters(1616)

Entra a far parte dell'esercito del principeMaurizio d'Orange (1617)

Soggiorno in Olanda (1618-1623)

Ritorno in Francia (1623)

Trasferimento in Olanda (1623-1649)

Discours de la méthode pour bien conduiresa raison et chercher la vérité dans lessciences (1637)

Trasferimento a Stoccolma (1649-1650)


Pierre de Fermat

Beaumont-de-Lomagne, 17 Agosto 1601

Laurea in Legge all'Università di Orléans(1626)

Trasferimento a Bordeaux (1626-1630)Primi studi e prime ricerche nel campodella matematica

Ricostruzione e ripresa dell'opera Ad locosplanos et solidos isagoge di Apollonio(1629)

Consigliere presso il parlamento di Tolosa(1630-1665)


La Géométrie (1637)

Applicazione del suo pensiero �loso�co

Unica opera matematica di Cartesio dataalle stampe

Applicazione dell'algebra alla geometria

Algebra dei segmenti

Metodo generale e moderno per a�rontarei problemi


Il metodo delle tangenti di Cartesio

II Libro della Géométrie

[...] questo è il problema più utilee più generale, non solo fra quelliche conosco, ma addirittura fra<tutti> quelli che ho maidesiderato conoscere ingeometria.

Il calcolo della retta tangente passaattraverso la determinazione dellacirconferenza tangente


Intersezione curva-circonferenza

1. Si interseca la curva con una circonferenza{y = mx2

x2 + (y − v)2 = s2

2. Si esplicita la variabile y dall'equazione della circonferenza:

y = v +√s2 − x2,

3. Si sostituisce nell'altra equazione

v +√s2 − x2 = mx2

4. Si ottiene un polinomio Q(x) che avrà grado doppio rispetto a quello dellacurva

Q(x) = m2x4 + (1− 2mv)x2 + (v2 − s2)


Condizione di tangenza

Condizione algebrica: imporre che nel polinomio Q(x) l'ascissa x0 delpunto di tangenza C aumenti la molteplicità

Condizione geometrica: la circonferenza tangente è limite di unacirconferenza secante la curva nei punti C ed E, per E che tende a C


Soluzione algebrica

5. Il polinomio Q(x) dovrà avere una radice multipla in x0, ovvero dovràessere della forma Q(x) = (x− x0)

2R(x)

mx4 + (1− 2mv)x2 + (v2 − s2) = (x− x0)2(ax2 + bx+ c)

6. Si determinano i valori di v e di s ed i coe�cienti a, b e c risolvendo ilsistema ottenuto uguagliando i coe�cienti delle stesse potenze di x

a = m2

b− 2ax0 = 0

c− 2bx0 + ax20 = 1− 2mv

bx20 − 2cx0 = 0

cx20 = v2 − s2

7. La tangente si ricava tracciando la perpendicolare al raggio dellacirconferenza determinata


Limiti del metodo di Cartesio

Sistema prolisso

Raddoppia il grado dell'equazione originale ed aumenta la di�coltà dirisoluzione

Applicabile solo alle curve algebriche


I metodi di Fermat per la ricerca dei massimi e deiminimi e l'applicazione al metodo delle tangenti

Opere manoscritte

Descrizione del metodo dei massimi e deiminimi e la sua applicazione al problemadelle tangenti

Prima pubblicazione in Varia operamathematica (1679)

Raccolte in ×uvres de Fermat(1891-1922), a cura di Tannery


I metodi di Fermat per la ricerca dei massimi e deiminimi e l'applicazione al metodo delle tangenti

1. Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibuslinearum curvarum

2. Centrum gravitatis parabolici conoidis, ex eadem methodo.

3. Ad eadem methodum

4. Methodus de maxima et minima

5. Ad methodum de maxima et minima appendix.

6. Ad eadem methodum.

7. Problema missum ad reverendum patrem Mersennum.

8. Analysis ad refractiones.


Il procedimento di Fermat

Dividere la linea AC in E, in modo che il rettangolo AEC siamassimo.


Il procedimento dei massimi e dei minimi di Fermat

1. Si determina l'espressione da massimizzare, in termini moderni f(a).

f(a) = ba− a2

2. Si valuta l'espressione in a+ e, in termini moderni f(a+ e)

f(a+ e) = ba+ be− a2 − 2ae− e2

3. Si de�nisce l'adequazione tra le due espressioni ponendo f(a) ∼ f(a+ e)

ba− a2 ∼ ba+ be− a2 − 2ae− e2


Il procedimento dei massimi e dei minimi di Fermat

4. Si rimuovono i termini comuni

be− 2ae− e2 ∼ 0

5. Si divide tutto per e o per una sua potenza al �ne di ottenere un elementonon a�etto da e

b− 2a− e ∼ 0

6. Si elidono i termini ancora a�etti da e e si ottiene un'equazione tra irestanti termini

b− 2a = 0

7. Si risolve l'equazione in a e si ottiene il risultato cercato

a =b

2


Osservazioni sui metodi dei massimi e dei minimi

Problema di datazione

Descrizione e non dimostrazione

Poca chiarezza sul signi�cato dei procedimenti di adequazione edelisione .


Adequazione ed elisioneLe interpretazioni

Adequazione come un'uguaglianza approssimataLa e viene considerata come una grandezza variabile che rappresenta lavariazione di a dal punto di massimo o di minimo. Il procedimento dielisione viene interpretato come rendere la grandezza di e sempre piùpiccola, ovvero, in termini moderni, far tendere e a 0.Adequazione come vera uguaglianzaLa e viene considerata come una variabile indipendente da a. Ilprocedimento di elisione viene interpretato come annullare e a�nché ledue espressioni in a ed a+ e coincidano, caratterizzando il punto dimassimo espresso nella sola variabile a.


Massimi e minimi e metodo delle tangenti

Applicazione del metodo dei massimi e dei minimi

Descritto per la prima volta nel De tangentibus

La scoperta della tangente ad una linea curva in un puntoqualunque possiamo ricondurla al metodo precedente.

La quantità da massimizzare è un'espressione che coinvolge lasottotangente alla curva

Questa espressione si determina attraverso la proprietà caratteristica dellacurva

Osservazione Fermat lasciò implicita quale fosse la quantità damassimizzare


Procedimento di Fermat

Sia data, per esempio, la parabola BDN, di vertice D, e di diametroDC; sia data su questa il punto B per il quale si deve condurre lalinea BE tangente alla parabola e che incontra il diametro in E.


I metodi delle tangenti di Fermat

1. Presi due punti B ed O sulla parabola, dalla proprietà caratteristica dellacurva, si ha:

BC2

OI2=

CD

ID.

Dall'uguaglianza di questi rapporti tra segmenti si otterrà l'adequazione

2. Vogliamo introdurre a partire da questa uguaglianza un'uguaglianza checoinvolge la sottotangente alla curva nei punti B ed O Dalla similitudinedei triangoli OIE e BCE si ottiene l'uguaglianza:

OI

IE=

BC

CE

che sostituita alla precedente de�nisce l'uguaglianza:

CE2

IE2=

CD

DI


I metodi delle tangenti di Fermat

4. Assegnati i valori CE = a, CD = d, IE = a− e e DI = d− e, si de�niscel'adequazione:

a2

(a− e)2∼ d

d− e

5. Svolgendo le operazioni e cancellando i termini comuni si ottiene:

a2e ∼ 2aed− e2d

6. Dividendo tutto per e:a2 ∼ 2ad− ed

6. Elidendo i termini ancora a�etti da e si ottiene l'equazione:

a2 = 2ad

7. Si risolve l'equazione nell'incognita a e si ottiene il risultato cercato:

a = 2d


Il confronto tra Cartesio e Fermat

Tra il 1637 ed il 1638 Cartesio polemizzò con Fermat sul metodoelaborato da quest'ultimo per la ricerca dei massimi e dei minimi e la suaapplicazione al calcolo della tangente ad una linea curva

Al centro della polemica ci fu l'opera Methodus ad disquirendammaximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum

Il confronto è ben documentato tra le lettere che circolarono tra i membridel Circolo di Mersenne

Al confronto presero parte anche altri matematici, schierandosi a sostegnodell'uno o dell'altro contendente


Marin Mersenne

Oizé, 8 Settembre 1588

Frate dell'Ordine dei Minimi (1611)

Superiore presso il conventodell'Annonciade a Parigi (1616-1648)

Circolo di Mersenne : sviluppo della vitascienti�ca europea nel XVII secolo(Cartesio, Fermat, Roberval, ÉtiennePascal, Beeckman, Hobbes, Hardy, etc.)


Descartes a Mersenne, Gennaio 1638

1. Si sottolineano le di�coltà interpretative del metodo di Fermat derivantidalla poca chiarezza espositiva del matematico di Tolosa, in particolarequella di individuare quale fosse la grandezza alla quale applicare ilmetodo dei massimi e dei minimi

2. Cartesio sembra non comprendere l'importanza del ruolo della proprietàcaratteristica della curva nel calcolo della tangente

3. Cartesio riteneva che il procedimento di Fermat non fosse generale espinto da tale convinzione s�dò il rivale a trovare la tangente al Folium diDescartes

[...] la sua presunta regola non è così universale come pare a luie non si può estendere ad alcuna delle questioni più di�cili [...]


Roberval contro Descartes, Aprile 1638

[...] quando il Signor Descartes avrà ben inteso il metodo del SignorFermat, De maximis et minimis, et de inventione tangentiumlinearum curvarum, allora smetterà di meravigliarsi che questometodo abbia trovato dei difensori e ammirerà tale metodo, che èeccellente e degno del suo autore [...]

[...] in questo il Signor Descartes non può evitare una delle due<cose>: o ignora il metodo [...], oppure non procede in buona fede e,non ignorando l'eccellenza del metodo, ragiona male di proposito peravere l'opportunità di screditare l'autore [...]


Descartes a Hardy, Giugno 1638

Signore,quanto al resto, vi sono molto obbligato per aver preso la mia parte,riguardo alla regola De maximis del Signor Fermat, e non mistupisco a�atto che non lo giudichiate in modo più favorevole di quelche ho fatto io; infatti, nella maniera in cui è proposta,tutto quelloche ne dite è vero.Dato, però, che, �n dal mio primo scritto, ho precisato che,correggendola, la si poteva rendere buona, e in seguito ho sostenutosempre la stessa cosa [...], sono altrettanto persuaso che questiSignori, che la stimano tanto, non la intendano, e neanche forsecolui che ne è l'autore [...]


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