Metodo Degli Spostamenti - Telaio Iperstatico

Dott. Ing. Simone Caffè ____________________________________________________________________________________________________________

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SOLUZIONE DI UN TELAIO IPERSTATICO - Metodo degli spostamenti -

1. Generalità

Trave principale: AE – EF – FD HE400A 410507.4 −⋅=bJ [ ]4m

Colonne: EB – FC HE300A 410826.1 −⋅=cJ [ ]4m

Si considerano gli elementi infinitamente rigidi a forza assiale e tagliante.

2. Sistema “zero” – a nodi bloccati

La soluzione del sistema a nodi bloccati con i carichi di progetto avviene per mezzo di abachi di travi semplici di cui siano note le caratteristiche di sollecitazione:

q [kN/m]q [kN/m] q [kN/m]

38 qlAE

58 qlAE 5

8 qlFD

38 qlFD

12 qlEF 1

2 qlEF

18 qlAE

2 2112 qlEF 1

12 qlEF2 2

E F

18 qlFD

Trave AE e FD = trave incastro cerniera con carico distribuito Trave EF = trave incastro incastro con carico distribuito

A E F D

B C


_____ ___________________________________________________________________ ______ Pag.2

3. Sistema “uno” – a nodi sbloccati (Rotazione del nodo E)

Si impone una rotazione 1ϕ al nodo E, e sull’abaco delle “distorsioni nodali” si determinano le forze e i momenti che tale rotazione genera sugli elementi concorrenti nel nodo:

FE

ϕ1

ϕ1

ϕ1

FE

3 Jbϕ1

lAE2

2lAE

3 Jbϕ1

2lEF

6 Jbϕ1

2h

6 Jcϕ1

2h

6 Jcϕ1

2lEF

6 Jbϕ1

lAE

3 Jbϕ1

lEF

4 Jbϕ1

lEF

2 Jcϕ1

h

4 Jcϕ1

h

2 Jbϕ1


_____ ___________________________________________________________________ ______ Pag.3

4. Sistema “due” – a nodi sbloccati (Rotazione del nodo F)

Si impone una rotazione 2ϕ al nodo F, e sull’abaco delle “distorsioni nodali” si determinano le forze e i momenti che tale rotazione genera sugli elementi concorrenti nel nodo:

E F

ϕ2

ϕ2

ϕ2

E F

3 Jbϕ2

lFD2

2lFD

3 Jbϕ2

2lEF

6 Jbϕ2

2h

6 Jcϕ2

2h

6 Jcϕ2

2lEF

6 Jbϕ2

lFD

3 Jbϕ2

lEF

4 Jbϕ2

lEF

2 Jcϕ2

h

4 Jcϕ2

h

2 Jbϕ2


_____ ___________________________________________________________________ ______ Pag.4

5. Determinazione delle rotazioni 1ϕ e 2ϕ

18 qlAE

2 2112 qlEF 1

12 qlEF2 21

8 qlFD

E F

E F

lFD

3 Jbϕ2

lEF

4 Jbϕ2

lEF

4 Jcϕ2

h

h4 Jcϕ1

lEF

4 Jbϕ1

lEF

3 Jbϕ1

lAE

E F

SISTEMA "0"

SISTEMA "1"

SISTEMA "2"

V

M

H

2 Jbϕ1

2 Jbϕ2

��

��

�

=

⋅+= �=

FEi

n

kkikii

,1

0 ϕµµµ

��

⋅+⋅+=⋅+⋅+=

22110

22110

ϕϕϕϕ

FFFF

EEEE

MMMM

MMMM

Dove:

iµ Generica forza esterna applicata direttamente al generico nodo i secondo la direzione dello spostamento iξ nel sistema effettivamente assegnato.

(Se =�= iii w µξ forza orizzontale; se =�= iii µϕξ momento)

0iµ Generica sollecitazione indotta nel generico nodo i , nel sistema a nodi bloccati, dai carichi agenti lungo le travi, lungo la direzione dello spostamento iξ .

ikµ Generica sollecitazione indotta nel generico nodo i , nel sistema a nodi sbloccati, nella direzione dello spostamento iξ , dovuta allo spostamento generico 1=kξ del nodo k .

(Se ikikiikk Tvv =�=�== µξξ 1 ). n Numero complessivo delle componenti di spostamento.


_____ ___________________________________________________________________ ______ Pag.5

I segni dei vari termini del sistema sono determinabili confrontando i momenti sui nodi con la convenzione positiva delle sollecitazioni

��

�

��

�

�

⋅��

�

�+++⋅−−+=

⋅+⋅��

�

�++−+−=

2122

2122

4432121

81

0

2443121

81

0

ϕϕ

ϕϕ

EF

bc

FD

b

EF

bEFAE

EF

b

EF

bc

AE

bEFAE

lJ

hJ

lJ

lJ

qlql

lJ

lJ

hJ

lJ

qlql

00.5=AEl [ ]m 00.12=EFl [ ]m 00.5=FDl [ ]m 00.6=h [ ]m 410507.4 −⋅=bJ [ ]4m

410826.1 −⋅=cJ [ ]4m 20=q [ ]2mkN

( )( )�

��

⋅+++⋅−−+=⋅+⋅++−+−=

21

21

00015023.000012173.000027042.0000075116.02405.620

000075116.000015023.000012173.000027042.02405.620

ϕϕϕϕ

908.37987021 == ϕϕ

6. Determinazione delle caratteristiche di sollecitazione M e V

I momenti sono espressi in [ ]mkN ⋅ NODO E

22.16572.1025.623

8 1

2

−=−−=⋅−−= ϕEA

bEAEA l

JqlM rotazione negativa

47.21124

12 21

2

=⋅+⋅−= ϕϕEF

b

EF

bEFEF l

JlJql

M rotazione positiva

24.464

1 −=⋅−= ϕhJ

M cEB rotazione negativa

NODO F

22.16572.1025.623

8 2

2

=+=⋅+= ϕFD

bFDFD l

JqlM rotazione positiva

47.21142

12 21

2

−=⋅+⋅−−= ϕϕFE

b

FE

bFEFE l

JlJql

M rotazione negativa

24.464

2 =⋅= ϕhJ

M cFB rotazione positiva


_____ ___________________________________________________________________ ______ Pag.6

NODO B

12.232

1 −=⋅−= ϕhJ

M cBE rotazione negativa

NODO C

12.232

2 =⋅+= ϕhJ

M cCF rotazione positiva

I tagli sono espressi in [ ]kN

NODO E

04.833

85

12 =⋅+= ϕEA

bEAEA l

JqlV verso positivo

12066

21

2212 =⋅+⋅−= ϕϕEF

b

EF

bEFEF l

JlJ

qlV verso positivo

56.116

12 −=⋅−= ϕhJ

V cEB verso negativo

NODO F

04.833

85

22 =⋅+= ϕFD

bFDFD l

JqlV verso positivo

12066

21

2212 =⋅−⋅+= ϕϕFE

b

FE

bFEFE l

JlJ

qlV verso positivo

56.116

22 =⋅= ϕhJ

V cFC verso positivo

NODO B

56.116

12 =⋅= ϕhJ

V cBE verso positivo

NODO C

56.116

22 −=⋅−= ϕhJ

V cCF verso negativo

NODO A

95.163

83

12 =⋅−= ϕAE

bAEAE l

JqlV verso positivo

NODO D

95.163

83

22 =⋅−= ϕDF

bDFDF l

JqlV verso positivo


_____ ___________________________________________________________________ ______ Pag.7

Da ciò risulta in accordo con la convenzione positiva:

q [kN/m]q [kN/m] q [kN/m]

16.95

83.04 83.04

16.95

120 120

165.22

E F

11.56

11.56 11.56

11.56

211.47

46.24

165.22211.47

46.24

23.12 23.12

54.1482

620612047.211

2

22

max, =⋅−⋅+−=⋅−⋅+−=+ zqzVMM EFEFEF


_____ ___________________________________________________________________ ______ Pag.8

Verifica delle sollecitazioni nei nodi

��

��

�

=+−=−−=+−

0

0

0

321

321

321

MMM

NVV

VNN

��

��

�

=−−=−−=+−

0

0

0

321

321

321

MMM

NVV

VNN

NODO E

La prima equazione non può essere ancora risolta perché possiede due incognite: Dalla seconda si ottengono le forze normali sui pilastri:

��

=−−−=−−

012004.83

0

EB

EBEFEA

N

NVV 04.203−=EBN [ ]kN

( ) ( ) 024.4647.21122.165

0

=−+−−−=+− EBEFEA MMM

NODO F

La prima equazione non può essere ancora risolta perché possiede due incognite: Dalla seconda si ottengono le forze normali sui pilastri:

��

=−−−=−−

004.83120

0

FC

FCFDFE

N

NVV 04.203−=FCN [ ]kN

( ) ( ) 024.4622.16547.211

0

=−−−−−=−− FCFDFE MMM

M1

N1 N2

V1

V2

M2

N3

V3 M3 M3V3

N3

M2

V2

V1

N2N1

M1


_____ ___________________________________________________________________ ______ Pag.9

7. Determinazione delle caratteristiche di sollecitazione N Il precedente metodo porta alla determinazione delle sollecitazioni sui pilastri:

04.203−=EBN [ ]kN 04.203−=FCN [ ]kN

La forza di taglio sui pilastri è uguale e contraria alla forza normale sul traverso:

E F

11.56 11.56

11.56

E Gk1=EA/5 k2=EA/6

A

Si ha, in termini di rigidezza assiale:

AEAEAE

lAE

lAE

kkkEGAE

EFGAEtot ⋅⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=+=3011

65

totEAEAE kPkN :: = 31.6

3011

556.11

=⋅⋅

⋅⋅=⋅=

AE

AE

kkP

Ntot

AEEAE [ ]kN

totEEGEG kPkN :: = 25.5

3011

656.11

=⋅⋅

⋅⋅=⋅=

AE

AE

kkP

Ntot

EGEEG [ ]kN

Da cui: 31.6+=AEN [ ]kN

25.5−=EGN [ ]kN


_____ ___________________________________________________________________ ______ Pag.10

Porzione di traverso

Telaio integrale

__________________________________________________________________ Fine Esempio

SOLUZIONI DI TRAVI ELEMENTARI VARIAMENTE CARICATE

Travi con doppio incastro

A B

l

Travi con incastro e cerniera

A B

l

CARICHI ESTERNI CARICHI ESTERNI

A BP

MA MB

VA VB

a b

2a)(ll

PbV

3

2

A += ; 2b)(ll

PaV

3

2

B +=

2

2

Al

PabM −= ;

2

2

Bl

bPaM =

A B

l/2

P

MA

VA VB

l/2

P16

11VA = ; P

16

5VB =

Pl16

3MA =

A B

l/2

P

MA MB

VA VB

l/2

2

PVV BA ==

8

PlMM BA ==

A B

q

MA

VA VB

ql8

5VA = ; ql

8

3VB =

8

qlM

2

A =

A B

q

MA MB

VA VB

2

qlVV BA ==

12

qlMM

2

BA ==

A B

q

MA

VA VB

ql5

2VA = ;

10

qlVB =

15

qlM

2

A =

A B

a

q

MA MB

VA VB

b

+=

3

3

2

2

Al

a

l

2a-2

2

qaV

;

=l

a-2

2l

qaV

2

3

B

+−=

2

22

A4l

a

3l

2a-2

1qaM

;

−−=

2

22

B4l

a

3l

aqaM

A B

l/2l/2

MA

VA VB

M

l

M

8

9VV BA =−=

8

MMA =

A B

q

MA MB

VA VB

ql20

3VA = ; ql

20

7VB =

2

A ql30

1M = ; 2

B ql20

1M =

A BMA

VA VB

M

l

M

2

3VV BA =−=

2

MMA =

A B

ba

MA MB

VA VB

M3BAl

6MabVV −=−=

−=l

b32

l

bMMA

;

−−=l

a32

l

aMMB

A BMA

VA VB

t

tlh

tEJ

2

3VV BA

∆α=−=

h

tEJ

2

3MA

∆α=

DISTORSIONI VINCOLARIA B

l/2l/2

MA MB

VA VB

M

l

M

2

3VV BA =−=

4

MMM BA ==

A BMA

VA VB

2BAl

EJ3VV

ϕ=−=

l

EJ3MA

ϕ=

A BMA MBt

t h

tEJMM BA

∆α=−=

A BMA

VA VB

3BAl

EJ3VV

∆=−=

2Al

EJ3M

∆=

DISTORSIONI VINCOLARI

A BMA MB

VA VB

2BAl

EJ6VV

ϕ=−=

l

EJ4MA

ϕ= ;l

EJ2MB

ϕ=

A BMA MB

VA VB

3BAl

EJ12VV

∆=−=

2BAl

EJ6MM

∆==

A BMA

VA VB

3BAl

EJ3VV

∆=−=

2Al

EJ3M

∆=

Travi con incastro e doppio

pendolo

A B

l

CARICHI ESTERNI DISTORSIONI VINCOLARI

A B

l/2

P

MA MB

VA

l/2

PVA =

Pl8

3MA = ;

8

PlMB =

A BMA MB

l

EJMM BA

ϕ=−=

A BP

MA MB

VA

PVA =

2

PlMM BA ==

A B

A B

q

MA MB

VA

qlVA =

3

qlM

2

A = ;6

qlM

2

B =

A B

q

MA

VA

MB 2

qlVA =

8

qlM

2

A = ;24

qlM

2

B =

A B

l/2l/2

MA MB

M

2

MMM BA ==

A BMA MB

t

t h

tEJMM BA

∆α=−=

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