METODO DEGLI SPOSTAMENTI C

ors

o i

n :

Sim

ula

zio

ne

nu

mer

ica

per

l’i

ng

egn

eria

mec

can

ica

- 2

01

2/2

01

3

An

ton

io P

an

tan

o -

Un

iver

sità

deg

li s

tud

i d

i P

ale

rmo

Simmetricità della matrice di rigidezza [k] La matrice [k] risulta simmetrica (kij = kji) in conformità del teorema di

reciprocità di Betti: “Il lavoro mutuo fatto dal sistema di forze (a) per gli

spostamenti dei loro punti di applicazione indotti dal sistema (b) è uguale al

lavoro fatto dalle forze del sistema (b) per gli spostamenti dei loro punti di

applicazione indotti dal sistema (a)”. Nella figura sottostante per elemento

triangolare e per il teorema di Betti si ha: p1 · u2 = p2 · u1

Se u1 = u2 = 1 ne segue che p1 = p2 .

Ma p1 , nel caso in cui u2 = 1 e u1 = u3 = 0, non è altro che k12 .

E p2 , nel caso in cui u1 = 1 e u2 = u3 = 0, non è altro che k21 .

Si è dimostrato che k12 = k21 e che matrice [k] risulta simmetrica.

1 3

2

u2=1

u1=1

p2

p1

METODO DEGLI SPOSTAMENTI C

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ne

nu

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per

l’i

ng

egn

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mec

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- 2

01

2/2

01

3

An

ton

io P

an

tan

o -

Un

iver

sità

deg

li s

tud

i d

i P

ale

rmo

2.2.1.2 Elemento trave a due nodi

L'elemento trave è un elemento monodimensionale collegato agli altri mediante

nodi che vincolano gli spostamenti secondo due direzioni ortogonali alla trave e

le rotazioni attorno a due assi paralleli alle stesse direzioni. Ogni nodo possiede

pertanto nello spazio quattro gradi di libertà e nel piano due: uno coincide con lo

spostamento ortogonale all’elemento, uno con la rotazione attorno ad un asse

ortogonale al piano. Si consideri che la trave abbia direzione coincidente con

l'asse x e sia inflessa nel piano xy (fig. 2.6). I coefficienti della matrice di

rigidezza, di ordine 4x4, possono ricavarsi ricercando le relazioni tra le forze

nodali Vj, Mzj, Vi, Mzi (indicate nella fig. 2.6 con Q1, Q2, Q3, Q4, rispettivamente)

ed i corrispondenti spostamenti vj, φzj, vi, φzi (indicate nella fig. 2.6 con q1, q2, q3,

q4, rispettivamente).

Figura 2.6

METODO DEGLI SPOSTAMENTI C

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ne

nu

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per

l’i

ng

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eria

mec

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ica

- 2

01

2/2

01

3

An

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io P

an

tan

o -

Un

iver

sità

deg

li s

tud

i d

i P

ale

rmo

l’equilibrio in una sezione di ascissa x si ha:

Mz = Mzj - Vjx

Essendo Mz = -EIz d2v/dx2 si ha:

EIz d2v/dx2 = Vjx - Mzj

Integrando due volte si ottiene:

EIz dv/dx = Vjx2/2 - Mzjx + C1

EIz v = Vjx3/6 - Mzjx

2/2 + C1x + C2 (a)

La continuità di tali espressioni lungo la trave assicura il rispetto della

condizione di compatibilità.

Le costanti C1 e C2 possono essere valutate usando le condizioni al contorno

sugli spostamenti del nodo j: v = vj e dv/dx = φzj ad x=0. Si ottiene:

C1 = EIz φzj C2 = EIz vj

Inoltre le condizioni al contorno sugli spostamenti del nodo i (v = vi e dv/dx =

φzi ad x=l), insieme alla sostituzione di C1 e C2 nelle due equazioni (a) conduce

alle equazioni: EIz φzi = Vj l2/2 – Mzj l + EIz φzj

EIz vi= Vj l3/6 – Mzj l

2/2 + EIz φzj l + EIz vj

METODO DEGLI SPOSTAMENTI C

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2/2

01

3

An

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Un

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sità

deg

li s

tud

i d

i P

ale

rmo

Ricavando da queste Vj e Mzj si ottiene:

Vj = EIz (12 vj - 12 vi + 6 l zj + 6 l zi ) /l3

Mzj = EIz (6 vj - 6 vi + 4 l zj + 2 l zi ) /l2

dalle quali si ricavano i coefficienti di rigidezza delle prime due righe della

matrice (riportata sotto) della relazione matriciale di equilibrio per l’elemento

trave nel piano. Le analoghe relazioni delle forze al nodo i, si ricavano sulla base

delle relazioni di equilibrio dell’elemento:

Vi = - Vj Mzi = Vjl - Mzj

Si ottengono le altre due relazioni, dalle quali si possono estrarre i coefficienti

delle altre due righe della matrice di rigidezza:

Vi = EIz (- 12 vj + 12 vi - 6 l zj - 6 l zi ) /l3

Mzi = EIz (6 vj - 6 vi + 2 l zj + 4 l zi ) /l2

La relazione di equilibrio è allora:

4

3

2

1

22

22

3

4

3

2

1

4626

612612

2646

612612

q

q

q

q

llll

ll

llll

ll

l

EI

Q

Q

Q

Q

z

METODO DEGLI SPOSTAMENTI C

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2/2

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3

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Un

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sità

deg

li s

tud

i d

i P

ale

rmo

2.2.1.3 Elemento generico

Per il caso di un corpo elastico soggetto nel piano xy ad un sistema di n forze {Q}

= {Q1, Q2,…..,Qn}, i cui punti di applicazione subiscono gli spostamenti {q} =

{q1,q2,…..,qn} (fig. 2.7), si può estrapolare una relazione analoga alla 2.5, che in

forma estesa si scrive:

Q

Q

Q

Q

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k

q

q

q

qn

n

n

n

n n n nn n

1

2

3

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

1

2

3

.

.

.

.

. . . . .

.

.

Figura 2.7

Il generico coefficiente kij rappresenta il

valore della forza Qi che si desta al nodo i a

seguito di uno spostamento qj=1, essendo

nulli tutti gli altri spostamenti. Gli elementi

della j-esima colonna della matrice di

rigidezza rappresentano anche le forze

necessarie per mantenere il corpo nella

configurazione deformata data da qj = 1,

essendo tutti nulli gli altri spostamenti dei

punti di applicazione delle forze.

METODO DEGLI SPOSTAMENTI C

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01

3

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Un

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i d

i P

ale

rmo

Pertanto il vettore {k11, k21, k31 …..,kn1}, rappresenta fisicamente un sistema di

forze equilibrato che agisce sull'elemento e che determina lo spostamento qj = 1.

La 2.7 può essere ottenuta anche valutando lo spostamento qj come somma degli

spostamenti cijQij dovuti ai carichi Qj e calcolati per mezzo dei coefficienti di

influenza di flessibilità cij. Si ha:

In forma contratta si scrive:

{q} = [c] {Q}

nella quale [c] è la matrice di flessibilità.

Considerando che [c] = [k]-1 si ottiene infine:

{Q} = [k] {q}

q c Q c Q c Qq c Q c Q c Q

q c Q c Q c Q

n n

n n

n n n nn n

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

..........

METODO DEGLI SPOSTAMENTI C

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3

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o -

Un

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rmo

2.2.2 Assemblaggio Trovate le equazioni di equilibrio per l’elemento, occorre determinare quelle per

la struttura costituita dagli elementi assemblati (come le aste in una struttura

reticolare). La relazione da determinare deve collegare, come la 2.7, il vettore

forze esterne agenti nei nodi agli spostamenti dei nodi e deve essere del tipo:

{F} = [K] {d} (2.8)

La matrice [K] è detta matrice di rigidezza dell'assemblaggio, o della struttura, e

può essere costruita imponendo le opportune condizioni di equilibrio e

congruenza nei nodi degli elementi adiacenti. Essa è quadrata (n'xn'), essendo n' il

numero di gradi di libertà totale della struttura, e simmetrica e possiede le stesse

proprietà enunciate per l’elemento. La 2.8 costituisce un sistema di equazioni dal

quale è possibile ricavare, come si vedrà, gli spostamenti incogniti.

Di seguito si riporta un procedimento per il calcolo dei coefficienti della matrice

[K] per la struttura di figura 2.8, a tre gradi di libertà.

Figura 2.8

METODO DEGLI SPOSTAMENTI C

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l’i

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3

An

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Un

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deg

li s

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i d

i P

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rmo

Dalla 2.8 si possono scrivere in forma esplicita, in corrispondenza di ciascun

nodo, le relazioni di equilibrio lungo la direzione x:

Allora, dopo aver scomposto la struttura nei suoi elementi ed aver utilizzato in

ciascuno di essi una numerazione locale dei nodi (figura 2.9), deve risultare:

per l'equilibrio: per la congruenza:

Le equazioni di equilibrio dei singoli elementi sono:

F K d K d K d

F K d K d K d

F K d K d K d

1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 3

F Q

F Q Q

F Q

1 1

1

2 2

1

1

2

3 2

2

( )

( ) ( )

( )

d q

d q q

d q

1 1

1

2 2

1

1

2

3 2

2

( )

( ) ( )

( )

)1(

2

1

)1(

2221

12111

2

)1(

2

1

21

q

q

kk

kk

Q

Q

)2(

2

1

)2(

2221

12112

3

)2(

2

1

32

q

q

kk

kk

Q

Q

Figura 2.9

METODO DEGLI SPOSTAMENTI C

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l’i

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01

2/2

01

3

An

ton

io P

an

tan

o -

Un

iver

sità

deg

li s

tud

i d

i P

ale

rmo

Gli indici delle righe e delle colonne delle matrici di rigidezza sono relativi alla

numerazione dei nodi della struttura completa (riferimento globale). Esplicitando

le 2.10 si ottiene:

che, tenendo presenti le relazioni di equilibrio e di congruenza, consentono di

scrivere:

Confrontando queste ultime con le (2.9) si ottengono infine i coefficienti della

matrice di rigidezza della struttura completa (matrice di rigidezza globale):

Q k q k q

Q k q k q1

1

11

1

1

1

12

1

2

1

2

1

21

1

1

1

22

1

2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Q k q k q

Q k q k q1

2

11

2

1

2

12

2

2

2

2

2

21

2

1

2

22

2

2

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

F Q k d k d

F Q Q k d k d k d k d

F Q k d k d

1 1

1

11

1

1 12

1

2

2 2

1

1

2

21

1

1 22

1

2 11

2

2 12

2

3

3 2

2

21

2

2 22

2

3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

K k

K kK

11 11

1

21 21

1

31 0

( )

( )

K k

K k k

K k

12 12

1

22 22

1

11

2

32 21

2

( )

( ) ( )

( )

K

K k

K k

13

23 12

2

33 22

2

0

( )

( )

METODO DEGLI SPOSTAMENTI C

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2/2

01

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tan

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Un

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deg

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i d

i P

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rmo

Il risultato ottenuto corrisponde a sommare in ogni nodo le reazioni elastiche

provenienti dagli spostamenti dei nodi di ognuno degli elementi incidenti in quel

nodo.

Si osservi che ciascuna delle (2.9) rappresenta l’equilibrio nel nodo i tra forza

esterna applicata in quel nodo e reazioni elastiche in quel nodo per effetto degli

spostamenti di tutti i nodi dell’elemento; ne consegue che non potendo destarsi

una reazione elastica per effetto degli spostamenti dei nodi appartenenti ad altri

elementi, i coefficienti Kij corrispondenti devono essere nulli; in altri termini i

coefficienti della matrice sono nulli se forza e spostamento sono relativi a nodi

appartenenti ad elementi diversi. Tenendo presente allora che in genere una

struttura è costituita da molti elementi, la matrice di rigidezza possiede molti

coefficienti uguali a 0, cioè è una matrice sparsa.

METODO DEGLI SPOSTAMENTI C

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ale

rmo

Questo è mostrato con la struttura di figura 2.10 i cui nodi possiedono il solo

grado di libertà lungo x. La struttura possiede 11 gradi di libertà e la sua matrice

di rigidezza è 11x11; per quanto detto, risulta che i coefficienti diversi da zero che

danno luogo a reazioni elastiche, per esempio, nel nodo 5 (5^ riga della matrice)

sono soltanto quello della diagonale principale e quelli relativi ai nodi collegati al

nodo 5; pertanto degli undici coefficienti della riga soltanto 5 sono diversi da 0

(fig. 2.11).

Figura 2.10

Figura 2.11

METODO DEGLI SPOSTAMENTI C

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o -

Un

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deg

li s

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i d

i P

ale

rmo

Per la numerazione adottata i coefficienti diversi da zero di [K] sono ben raccolti

intorno alla diagonale principale (matrice a banda). Una misura del popolamento

della matrice intorno alla diagonale principale è data dalla "larghezza della

semibanda" della matrice. Se Δi è il massimo numero di termini per riga

all’interno della banda a sinistra o a destra della diagonale principale,

riscontrabile nella matrice, la larghezza della semibanda vale Δi +1 (3 in figura

2.11). La larghezza della semibanda dipende dalla progressività con cui vengono

numerati i nodi (se nell'esempio si scambia il nodo 7 con l'11 la larghezza della

semibanda diventa 7) e cresce col numero di nodi dell'elemento e col numero di

gradi di libertà per nodo. La larghezza dipende anche dalla larghezza del fronte di

avanzamento della numerazione: in fig. 2.10 si è utilizzato un fronte largo due

nodi, che si sposta da sinistra a destra; se si fossero numerati con i numeri più

bassi i nodi inferiori e con i numeri più alti gli altri, il fronte sarebbe stato di 6

nodi e si sarebbe mosso verso l’alto, e la larghezza della semibanda sarebbe stata

7.

Larghezza della semibanda = (nnE+1)nGDL,n

nnE = Massima differenza tra la numerazione dei nodi attaccati allo stesso elemento

nGDL,n = Numero gradi di libertà per nodo

METODO DEGLI ELEMENTI FINITI C

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Larghezza della semibanda

METODO DEGLI ELEMENTI FINITI C

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METODO DEGLI ELEMENTI FINITI C

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2/2

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3

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Un

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i P

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METODO DEGLI SPOSTAMENTI C

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2/2

01

3

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Un

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deg

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i d

i P

ale

rmo

La caratteristica di matrice simmetrica e a banda consente, in generale,

adoperando metodi di soluzione diretti (p. es. il metodo di eliminazione di Gauss),

di economizzare la occupazione di memoria del calcolatore, in quanto vengono

memorizzati soltanto i coefficienti della semibanda (compresi quelli uguali a

zero), e di ridurre il numero di operazioni aritmetiche. Si può dimostrare che lo

sforzo computazionale dipende, per dato ordine della matrice, da (Δi +1)2.

Considerato che, generalmente, i problemi strutturali sono caratterizzati da un

numero molto elevato di elementi e di gradi di libertà (per strutture

tridimensionali continue si può arrivare anche a milioni di gradi di libertà), la loro

soluzione richiede la soluzione di un sistema di molte equazioni con molte

incognite del tipo delle 2.8 (o 2.9). Considerando, ancora, che in tale situazione

sarà nettamente preponderante il numero di coefficienti nulli della matrice di

rigidezza del sistema di equazioni risolvente , la caratteristica di matrice a banda

può consentire una notevole riduzione del tempo di calcolo, se si riesce ad

individuare una numerazione dei nodi (e dei gradi di libertà) che consenta di

ridurre quanto più è possibile Δi . Esistono algoritmi in grado di ottimizzare tale

numerazione ai fini della minimizzazione della larghezza di banda. I più moderni

codici commerciali di calcolo agli EF contengono sottoprogrammi basati su

algoritmi che hanno questa funzione.

METODO DEGLI SPOSTAMENTI C

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rmo

Senza entrare in dettagli si fa osservare che anche la modalità di numerazione

degli elementi (o meglio l’ordine di assemblaggio) influenza lo sforzo

computazionale quando si usano algoritmi che simultaneamente assemblano e

risolvono progressivamente le equazioni.

Dopo aver scritto le relazioni matriciali di equilibrio per ciascun elemento della

struttura, la procedura di assemblaggio della matrice [K] può essere automatizzata

in questo modo:

a) si predispone una matrice di dimensioni n'xn' con n' uguale al numero di gradi

di libertà della struttura; ciascun coefficiente della matrice è identificato da un

doppio indice ij: il primo compete alla riga, il secondo alla colonna;

b) in ogni casella ij di tale matrice si posizionano i coefficienti di ogni elemento,

i cui indici sono riferiti alla numerazione globale e sono rilevabili da relazioni del

tipo delle 2.10; in presenza di più coefficienti kij con gli stessi i e j si prende

Kij = Σ kij .