PROGETTAZIONE DI STRUTTURE MECCANICHE Andrew Ruggiero A.A. 2011/12 Analisi matriciale delle strutture: caratterizzazione degli elementi A. Gugliotta, “Elementi finiti – Parte I”

Elementi e strutture • Una qualsiasi costruzione meccanica viene

studiata dal progettista scomponendola in elementi semplici di cui sono note le proprietà e le modalità con cui ogni elemento è collegato agli altri

• Scomposizione “naturale” o semplice

1 2

3

1 2

Elementi e strutture • Analogamente un sistema tubiero può essere

suddiviso in “elementi” sia in corrispondenza di giunzioni fisiche o in corrispondenza di sezioni arbitrarie.

• Indipendentemente dalla suddivisione - naturale o arbitraria - le proprietà della struttura calcolate dopo la suddivisione in elementi devono essere invarianti rispetto al tipo di suddivisione adottata

Elementi e strutture • Scelta degli elementi rappresentativi con cui suddividere

la struttura

• La caratterizzazione dell’elemento può essere: Esatta. Qualsiasi sia la suddivisione della struttura i

risultati sono gli stessi rigorosamente. La suddivisione segue solo criteri di comodità

Approssimata. La scelta della suddivisione influenza la soluzione complessiva che dipende dal livello di approssimazione delle leggi che governano il singolo elemento

Analisi Matriciale ed Elementi Finiti

Esistono diverse strategie per la sistematizzazione delle relazioni che descrivono il comportamento di una struttura Es: Differenze finite Metodi di collocazione o trasferimento Metodi variazionali Il metodo FEM è il più comune (metodi variazionali) Vantaggi metodo FEM: • Buone proprietà numeriche dei sistemi risolutivi • Possibilità di analizzare con un’unica formulazione strutture

comunque complesse • Condizioni al contorno pressoché qualsiasi

Analisi Matriciale ed Elementi Finiti

La formulazione più utilizzata è quella detta a “spostamenti imposti” Il metodo FEM formulato in “spostamenti imposti” è un’estensione del metodo matriciale delle strutture formate da elementi aste/travi Nella panoramica sulla analisi matriciale delle strutture si esamineranno due momenti: A. caratterizzazione degli elementi, ovvero formulazione

matematica della cinematica in relazione alle condizioni di equilibrio

B. costruzione della struttura, ovvero tecnica di assemblaggio, descrizione matematica dell’appartenenza di un elemento alla struttura, soluzione del sistema di equazioni derivanti

Analisi Matriciale ed Elementi Finiti

Notazione • Tutte le variabili che definiscono il comportamento

dell’elemento sono indicate con lettere minuscole

• Tutte le variabili che definisco il comportamento dei punti della struttura sono indicate con le lettere maiuscole

Caratterizzazione dell’elemento trave

Elemento trave: elemento ad asse inizialmente rettilineo, individuato da due nodi 1,2 collocati agli estremi attraverso cui l’elemento scambia le azioni verso l’esterno Ad esso è associato un sistema di riferimento locale (x coincidente con l’asse della trave), y, z coincidenti con le direzioni principali di inerzia

1 2 L

x

y

z

Caratterizzazione dell’elemento trave

A seconda dei carichi a cui è soggetto l’elemento trave può comportarsi in maniera differente: • Asta (puntone-tirante), se sollecitato solo da carichi assiali

• Barra di torsione, se sollecitato da soli momenti torcenti

• Trave inflessa, se sollecitato solo da sforzi di taglio e/o momenti flettenti

1 2 L

x

y

z

Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato assialmente (asta) fu1, fu2 sono le risultanti delle distribuzioni di forze all’esterno che dall’esterno sono applicate agli estremi (nodi) dell’elemento u1 e u2 sono gli spostamenti ai nodi Condizione d’equilibrio

1 0+ =u u2f f

u1

fu1

u2

fu2 l

Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato assialmente (asta) Equazione differenziale Integrando sulla lunghezza l, supponendo costanti la forza assiale e l’area della sezione retta

ddx

= ufuEA

2 1− = u2lu u f

EA

u1

fu1

u2

fu2 l

Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato assialmente (asta) Pertanto il comportamento statico dell’elemento è definito attraverso le sole informazioni al contorno che possono essere scritte in forma matriciale

u1

fu1

u2

fu2 l

1 1

2 2

1 10 01 1 0

= −

u

u

u flu f

EA

Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato assialmente (asta) Moltiplicando la prima riga per –l/EA , sommando alla seconda e sostituendo al posto della prima

1 1

2 2

01 11 1 0

− − = −

u

u

lu fEAu l f

EA

1 1

2 2

1 11 1

− = −

u

u

u fEAu fl

Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato assialmente (asta) Formulazione di rigidezza

1 1

2 2

1 11 1

− = −

u

u

u fEAu fl

[ ]{ } { }=k s f

[ ]1 11 1

− = −

EAkl

{ } { }1 2=Ts u u

{ } { }1 2= u uf f f

Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato a torsione (barra di torsione) Equazione d’equilibrio Equazione differenziale con G modulo a taglio, Jx momento polare di inerzia rispetto all’asse x della trave

αx1

mx1

αx2

mx2 l

1 0+ =x x2m m

x

ddxα= xm

GJ

Caratterizzazione dell’elemento trave

x1 1x

x2 2

1 11 1

αα

− = −

x

x

mGJml

Elemento trave sollecitato a torsione (barra di torsione)

αx1

mx1

αx2

mx2 l

Integrando e manipolando in maniera analoga a quanto fatto per l’asta

Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa)

Hp: Si considerano solo i carichi ed i vincoli agenti ortogonalmente alla linea dell’asse in modo che gli spostamenti della struttura avvengono in direzione normale all’asse indeformato

Si considerano le sole deformazioni dovute al momento flettente e si trascura il taglio

Le variabili cinematiche sono 4, misurabili ai nodi

Così come sono 4 i carichi esterni applicati ai nodi

αz1

mz1

l

v1, fv1 v2, fv2 αz2

mz2

Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa) Delle 4 relazioni che legano le 8 variabili, 2 sono equazioni d’equilibrio

αz1

mz1

l

v1, fv1 v2, fv2 αz2

mz2

1 0+ =v v2f f

1 0− + + =v z1 z2f l m m

Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa) 2 sono ricavate dall’equazione differenziale con E modulo elastico longitudinale, Jz momento d’inerzia trasversale Esprimendo mz, momento in una sezione generica, in funzione di fv1 e mz1

e integrando sulla lunghezza l dell’elemento

z

ddxα= − zm

EJ

2

z2 z1z z

α α− = − +z1 v1l lm f

EJ 2EJ2 3

2 1 z1z z

α− − = − +z1 v1l lv v l m f

2EJ 6EJ

Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa) Le 4 equazioni formano il seguente sistema

12

z1

2 z z3 2

z2

z z

1 0 1 01 0 10 0 0 0

0 0 0 00 0

0 1 0 11 1 0

0 0

α

α

− −= − − − −

v1

z1

v2

z2

lv fml l

v f2EJ EJl ml l

6EJ 2EJ

[ ]{ } [ ]{ }=a s b f con singolare due volte [ ]a

Caratterizzazione dell’elemento trave Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa) Moltiplicando ambo i membri per l’inversa della matrice Si ottiene la scrittura di rigidezza

3 2 3 2

1

2 2z1

z2

3 2 3 2z2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

α

α

− −

= − − −

−

v1

z1

v2

z2

l l l lv f

ml l l lEJv f

l l l l m

l l l l

[ ]b[ ]{ } { }=k s f

Formulazione di rigidezza • Un elemento è caratterizzato da un numero di equazioni n pari al

numero di gradi di libertà cinematici

• Le n equazioni complessive, di cui L sono di equilibrio, legano tra loro 2n variabili: n forze generalizzate e n spostamenti generalizzati

• Separando spostamenti e forze possiamo sempre scrivere:

• Se l’elemento non è infinitamente rigido nessuna riga di è nulla. Premoltiplicando per arriviamo a scrivere

• è detta matrice di rigidezza in quanto ad un aumento dei coefficienti corrisponde un aumento della rigidezza complessiva dell’elemento

[ ]b

[ ]{ } [ ]{ }=a s b f

[ ] 1−b

[ ][ ] [ ]1− =k b a

[ ]k

Scrittura di deformabilità

• N.B. In ambito strutturale si riesce sempre ad ottenere una formulazione in rigidezza mentre quasi mai si può ottenere quella in cedevolezza.

Commento: Se esistesse una formulazione in cedevolezza, potrei pensare di inserire in {f} forze arbitrarie ed ottenere gli spostamenti: assurdo in quanto le condizioni di equilibrio non possono essere assicurate per forze arbitrarie

Ponendo dei carichi equilibrati si potrebbe ottenere il campo di spostamenti: anche questo è assurdo in quanto per un assegnata configurazione di carichi esistono infiniti soluzioni in spostamenti che differiscono per un moto rigido

{ } [ ] [ ]{ }1−=s a b f

[ ] [ ] [ ]1−=d a b{ } [ ]{ }=s d f

Significato fisico dei coefficienti della matrice di rigidezza La matrice di rigidezza può essere determinata direttamente attraverso il principio dei lavori virtuali o mediante combinazioni lineari a partire dalle equazioni di equilibrio e deformazione È possibile legare i quattro spostamenti misurabili agli estremi con le forze e momenti esercitati utilizzando un sistema di riferimento opportunamente scelto Le singole colonne godono di una interpretazione fisica

Significato fisico dei coefficienti della matrice di rigidezza

Moltiplicata per v1 fornisce forze e momenti necessari per avere solo v1 e tutti gli altri nulli

v=1 6EJz/l2

1

z1

2

z2

aα

α

− = − − − −

v1

z1

v2

z2

a b -a b v fb c b d m

b a b v fb d b c m

12EJz/l3

6EJz/l2 12EJz/l3

Significato fisico dei coefficienti della matrice di rigidezza

Seconda colonna Terza colonna

v=1 6EJz/l2

12EJz/l3

6EJz/l2

12EJz/l3

α=1 6EJz/l2 6EJz/l2

4EJz/l 2EJz/l

Significato fisico dei coefficienti della matrice di rigidezza

Sovrapponendo linearmente i quattro stati di deformazione distinti si può ottenere uno stato di deformazione qualsiasi Inoltre, è possibile determinare la matrice di rigidezza colonna per colonna imponendo ad ogni variabile cinematica nodale una variazione unitaria e determinando le forze ed i momenti nodali necessari per produrla Considerazioni analoghe per qualsiasi tipo di elemento

Sistemi di riferimento locale e globale La semplicità della formulazione dipende dalla scelta del sistema di riferimento. Sistema “locale” nel riferimento elemento nel quale le proprietà sono definite Sistema “globale”, utile per la struttura per la definizione complessiva delle forze agenti, nel quale il sistema locale del singolo elemento viene ruotato opportunamente Cambio di riferimento è un’operazione lineare

l

Sistemi di riferimento locale e globale L’insieme degli spostamenti generalizzati nel sistema di riferimento locale xyz è ottenuto come combinazione lineare dell’analogo campo nel riferimento XYZ

Y

X

Z

y

x

z

x 1 X 1 X 1 X

x 2 X 2 X 2 X

x 3 X 3 X 3 X

= + += + += + +

u l u m v n wv l u m v n ww l u m v n w

Sistemi di riferimento locale e globale In notazione matriciale con ortogonale nel caso bidimensionale

{ } [ ]{ }x X=u R u

{ } [ ]{ }x X=f R f

[ ] [ ]1− = TR R

[ ]1 1

2 2

00

0 0 1

=

l mR l m

[ ]R

Sistemi di riferimento locale e globale Considerando separatamente i due estremi della trave analogamente Quindi,

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }

1 1 1x X

2 2 2x X

=

=

s R s

s R s{ }{ }

{ }{ }

1 1 1

2 2 2x X

00

=

s R ss R s { } [ ]{ }x X

=s R s

{ } [ ]{ }x X=f R f

[ ] [ ]{ } [ ]{ }x X X=k R s R f [ ] [ ] [ ]{ } { }1

x X X

− =R k R s f

[ ] { } { }X X X=k s f

[ ] [ ] [ ] [ ]1

X x

−=k R k R

[ ] [ ] [ ] [ ]X x= Tk R k R

Carichi nodali equivalenti Nella configurazione considerata fino ad ora i carichi esterni considerati sono solo quelli applicati ai nodi Esistono tuttavia una serie di carichi esterni che non possono essere inseriti direttamente nelle equazioni: • carichi distribuiti • effetti termici • giochi o interferenze La strategia consiste nel sostituire tali carichi con carichi “equivalenti” agenti sui nodi: equivalente nel senso che producono i medesimi effetti ai fini del campo di spostamenti ma che produrranno risultati diversi all’interno dell’elemento

[ ]{ } { } { }e= +k u f f

Carichi nodali equivalenti Elemento asta: carico distribuito Equazione d’equilibrio Equazione di deformazione

u1 u2 u 0+ + =f f q l

u1

fu1

u2

fu2 l

qu

2

2 1 u2 u− = +l lu u f q

EA 2EA

Carichi nodali equivalenti Elemento asta: carico distribuito Scrittura di rigidezza Vettore carichi nodali equivalenti ad un carico distribuito assialmente

u1

fu1

u2

fu2 l

qu

1 1

2 2

1 1 11 1 12

− = + −

u u

u

u f q lEAu fl

{ } u ue 2 2

=

T q l q lf

Carichi nodali equivalenti Elemento asta: effetto termico Allungamento per aumento della temperatura Scrittura di rigidezza Vettore carichi nodali equivalenti ad un carico distribuito assialmente

*2 1 mα− =u u lT

1 1 *m

2 2

1 1 11 1 1

α− −

= + − u

u

u fEA EATu fl

{ } { }* *e m mα α= −Tf EAT EAT

Carichi nodali equivalenti Elemento asta: montaggio con interferenza o gioco Si supponga che un elemento possa essere montato fra due punti di date coordinate solo allungandolo o accorciandolo sotto l'azione di forze assiali, inducendo uno stato di pretensione assiale Data la scrittura di rigidezza Per calcolare il vettore dei carichi nodali equivalenti ad uno stato di pretensione, si consideri che in assenza di forze applicate dall'esterno agli estremi, gli spostamenti saranno tali da riportare la lunghezza dell'elemento al valore che essa ha quando l'elemento stesso è scarico

[ ]{ } { } { }e= +k u f f

Carichi nodali equivalenti Elemento asta: montaggio con interferenza o gioco Per con

u1 u2 0= =f f

1 1 1

2 2 2

1 11 1

− = + −

u e

u e

u f fEAu f fl

1 1= ∆u l 2 2= ∆u l

1 1

2 2

1 1 01 1 0

− ∆ = + − ∆

e

e

l fEAl fl

1

2

11

∆= −

e

e

f lEAf l 1 2∆ = ∆ −∆l l l

Carichi nodali equivalenti Elemento asta: carico concentrato

u1

fu1

u2

fu2

l

fu

x*

u1 u2 u 0+ + =f f f

2 1 u2 u− = +l x*u u f f

EA EA{ }e u

− =

T l x* x*f fl l

Carichi nodali equivalenti Elemento trave inflessa: carico distribuito Eq. Equilibrio Eq. congruenza

qv

αz1 mz1

v1 fv1 v2 fv2

αz2 mz2

10 = + +v v2 vf f q l

2

102

= − − + +vv z1 z2

q lf l m m

32

z2 z1z z z

α α− = − + + vz1 v1

q ll lm fEJ 2EJ 6EJ

42 3

2 1 z1z z z

α− − = − + + vz1 v1

q ll lv v l m f2EJ 6EJ 24EJ

{ }2 2

e v 2 12 2 12

= −

T l l l lf q