RISOLUZIONE DI UN TELAIO CON IL METODO MATRICIALE · Lo schema risulta una volta iperstatico per le...
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FACOLTÀ DI STUDI INGEGNERIA E ARCHITETTURA A. A. 2017-2018 - Corso di Laurea Magistrale in Architettura TECNICA DELLE COSTRUZIONI (9 CFU) DOCENTE: ING. GIUSEPPE MACALUSO RISOLUZIONE DI UN TELAIO CON IL METODO MATRICIALE
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FACOLTÀ DI STUDI INGEGNERIA E ARCHITETTURA A. A. 2017-2018 - Corso di Laurea Magistrale in Architettura
TECNICADELLECOSTRUZIONI(9CFU)DOCENTE:ING.GIUSEPPEMACALUSO
RISOLUZIONE DI UN TELAIO CON IL METODO MATRICIALE
Dati e considerazioni preliminari
DATI
Aste di sezione rettangolare aventi tutte le dimensioni:
mm300B mm600H Area
2180000 mmA Momento d’inerzia
43 mm5400000000600300121
uu I
Coeff. Dilatazione termica 16 C00001,01010 �� q u D
Modulo Elastico MPaRE CKc 312205700
2N/mm30 CKR
Effettuata la numerazione dei nodi e delle
aste, si posiziona il sistema di riferimento
globale O(X,Y) e i sistemi di riferimento
locali i( yx, ) in modo che questi possano
sovrapporsi al primo in verso attraverso una
rotazione oraria o antioraria.
Il posizionamento dei sistemi di riferimento
locali è definito attraverso le seguenti tabelle
in cui sono denominati con i e k gli estremi
dell’asta j
646435324423212151
kestr.i.estrasta
lEI4
lEI60
lEI2
lEI60
lEI6
lEI120
lEI6
lEI120
00l
EA00l
EAlEI2
lEI60
lEI4
lEI60
lEI6
lEI120
lEI6
lEI120
00l
EA00l
EA
K
22
2323
22
2323
j
�
���
�
�
�
�
La risposta del sistema è nota una volta noti gli spostamenti generalizzati
dei nodi 1, 2, 3, 4.Il telaio in esame è costituito da aste canoniche ossia
aste che non presentano discontinuità interne, sono dunque già note le
espressioni delle rigidezze.
La matrice di rigidezza della generica asta assume pertanto la forma
seguente:
Valori di rigidezza assiale, flessionale, a taglio.
3kiik
kiik
ki,aik,a
lEI12VV
lEI4
lEA
UU
UU
5 6
1 2
3
4
P= 40 KN
F= 30 KN P
20 °C
40 °C 2500
2500
1000
2000 2000 4000
2500
1
2
3
4
5
6
X
Y
5 6
1 2
3
4
5 6
1=O 2
3
4
La matrice di trasformazione )j(O della j-esima asta, che consente la rotazione del sistema di riferimento
globale a quello locale è data da:
l000xx)yy(0yyxx
l1
ikik
ikik)j( ���
�� O
Calcolo delle matrici di rigidezza, delle matrici di trasformazione e delle forze di incastro perfetto.
Si calcolano la matrice di rigidezza e matrici di trasformazione, inoltre si calcolano i vettori delle forze di
incastro perfetto relative a ciascuna asta, al fine di definire il sistema risolvente finale.
Le matrici di rigidezza sono ottenute mettendo a fattor comune il modulo elastico Ec
Le calcolazioni hanno fornito i seguenti risultati. ASTA 1 (estremi 5-1)
mm3500l1
Matrice di rigidezza
57,61714289,264451,1
0043,5129,30857149,2644057,6171428
89,264451,1089,264451,10043,510043,51
)1(
11
)1(
15
)1(
51
)1(
55)1(
�
��
�
SYM
EKKKK
K c
Matrice di trasformazione
100001010
35001
350000003500035000
)1(
� �
� O
L’asta 1 non presenta carichi in campata e pertanto il vettore delle forze di incastro perfetto è nullo.
ASTA 2 (estremi 1-2)mm4000l2
Matrice di rigidezza
5400000202501,10045
2700000202505400000202501,10202501,1
00450045
)2(
22
)2(
21
)2(
12
)2(
11)2(
�
��
�
SYM
EKKKK
K c
Matrice di trasformazione
100010001
40001
400000040000004000
)2( IIO
Vettore delle forze d’incastro perfetto
Convenzione della Scienza delle Costruzioni.
22lba
Nmm200000008Pl
l2lP
lbPa
Nmm200000008Pl
l2lP
lPab
22
32
22
2
21
22
32
22
2
12
� � ¸¹·
¨©§
� �
� � ¸¹·
¨©§
� �
P
P
Convenzione del Cross.
N200002PTT
Nmm200000008
Pl
1221
212
� �
� � P
0NN
Nmm200000008
Pl
1221
221
P
Per le date condizioni di carico non sorgono sforzi normali
°°°°
¿
°°°°
¾
½
°°°°
¯
°°°°
®
�
��
°¿
°¾½
°̄
°®
2000000020000
020000000
200000
f
f)2(
2,0
)2(
1,0 [N-mm]
P= 40 KN
21
P= 40 KN
20002000
y
x
P/2 P/2
Pl/8 Pl/8
a b
ASTA 3 (estremi 2-4)
Matrice di rigidezza
68,457918117,145662,0
0016,3884,228959017,1456068,4579181
17,145662,0017,145662,00016,380016,38
)3(
44
)3(
42
)3(
24
)3(
22)3(
�
��
�
SYM
EKKKK
K c
Matrice di trasformazione
1000848,0530,00530,0848,0
47171
471700040002500025004000
)3( � � O
Vettore delle forze d’incastro perfetto
Il carico P si viene scomposto nelle sue componenti Pn e Pt , rispettivamente normale e parallela all’asse
della trave. Ciò consente di calcolare le forze di incastro perfetto per sovrapposizione degli effetti
provenienti dai due schemi.
N21200sinPPN33920cosPP
3240002500arctg
t
n
u
u
q
DD
D
Valutazione degli effetti di Pn
mm176929484717b
mm2948cos2500a
�
D
Convenzione della Scienza delle Costruzioni
Nmm49,14063947labP
23
2n
24 � � P Nmm40,234372622
3
2
42 � � l
baPnP
Convenzione del Cross
Nmm49,1406394724 � P Nmm40,2343726242 P
� � � � mm4717yyxxl 242
2423 ���
P
2500
2
4a
Pn
Pt
42
a
Pn = 33,92 KN
a b
4717 mm
4000
2500
Per la valutazione dei tagli d’incastro perfetto si scrive un’equazione di equilibrio alla rotazione con
riferimento ai momenti noti( vedasi figura seguente) seguita da un’equazione di equilibrio alla traslazione
verticale.
049,140639474,234372622948339204717TaPb)(aT 424242n42 ����� ���� PP
N24,23186T42 �
NPTTPTT nn 76,107333392024,231860 42244224 �� � o ��
Alla Cross
N76,10733T42 � N24,23186T42 �
Valutazione degli effetti di Pt
Pt
a b
2 4
Lo schema risulta una volta iperstatico per le date condizioni di carico.
Per determinare gli sforzi normali di incastro perfetto che sorgono agli estremi 2 e 4 si applica il metodo
delle forze, dopo aver svincolato uno dei due estremi.
L’equazione di congruenza all’estremo 2 è: 0)P()N( tx,224x,2 � GG
ed essendo:
EAbP
)P(
EA)ba(N
)N(
ttx,2
2424x,2
�
G
G
si ha:
N56,7950ba
bPN0
EAbP
EA)ba(N t
24t24 �
�� o �
�
Per calcolare 42N è sufficiente scrivere un’equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale:
N44,13243NPN0NPN 24t4242t24 � �� o ��
42
a b
N 24
YX
P t = 21,20 KN
Pn42
T24 T42
24
a b
Gli sforzi normali sopra calcolati sono già alla cross per come sono state concepite le equazioni di equilibrio
Il vettore delle forze di incastro perfetto è pertanto il seguente:
°°°°
¿
°°°°
¾
½
°°°°
¯
°°°°
®
��
���
°¿
°¾½
°̄
°®
4,2343726224,2318644,13249
49,1406394776,1073356,7950
f
f)3(
4,0
)3(
2,0 [N-mm]
ASTA 4 (estremi 2-3)mm4717l 4
Matrice di rigidezza
)3(
)4(33
)4(32
)4(23
)4(22
)4(K
KKKK
K
Matrice di trasformazione [mm]
1000848,0530,00530,0848,0
47171
471700040002500025004000
)4(
�
� O
Vettore delle forze d’incastro perfetto
La presenza di un carico termico trapezoidale induce al calcolo delle forze di incastro perfetto per
sovrapposizione degli effetti mediante due schemi, uno con un carico termico uniforme l’altro con un
carico termico a farfalla ( vedasi figura sotto ).
40 °C20 °C
2
3
l
2 330 °C
30 °C
+10 °C
-10 °C
32
a)
b)
Schema (a)
Lo schema (a) per la presenza del carico termico uniforme, risulta una volta iperstatico a sforzo normale.
Si risolve utilizzando nuovamente il metodo delle forze con i versi positivi alla Cross.
L’equazione di congruenza all’estremo 2 è :
0)t()N( x,223x,2 � 'GG ;e calcolando gli spostamenti:
tl)t(EA
lN)N(
4x,2
42323x,2
'D'G
G
�
N1685880tEAN0tlEA
lN234
423 o � 'D'D
Per il calcolo di 32N è sufficiente scrivere un’equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale.
N1685880tEANN0NN 23323223 � � � o � 'D
Schema (b)
Per risolvere lo schema (b) si utilizza l’analogia del Mohr abbinata al metodo delle forze.
Svincolando lo schema che si presenta è il seguente:
X1
2 3
-10°C
+10°C
X2
L’equazione di congruenza è:
0)t()X()X( 22212 �� 'JJJ
Che è sufficiente a risolvere il problema poiché per simmetria di carico si ha:
XXX 21
E’ noto che:
EI6Xl
)X(
EI3Xl
)X(
422
412
J
J
Le rotazioni prodotte dal carico termico si valutano attraverso l’analogia di Mohr. Le curvature che si
generano sono negative, costanti e pari a 2aDt/H, pertanto il carico sulla trave ausiliaria è positivo e
costante (vedasi figura).
X
Y
N23
2 3
30°
30°
2 3
32
( - ) 2 t/H
l t/H l t/H
Il valore della rotazione all’estremo 2, coincidente con il taglio sulla trave di Mohr è:
HEItl
)t( 42
'D'J
Infine:
HtEI2X0
Htl
EI6Xl
EI3Xl
3223444 'DPP'D
� o ��
Secondo la convenzione del Cross:
Nmm5619600H
tEI223 � �
'DP ; Nmm5619600H
tEI232
'DP
Il momento è costante lungo la trave e pertanto non sorgono sforzi di taglio.
Il vettore delle forze di incastro perfetto è allora il seguente:
°°°°
¿
°°°°
¾
½
°°°°
¯
°°°°
®
��
°¿
°¾½
°̄
°®
561960000
168588056196000
01685880
f
f)4(
3,0
)4(
2,0 [N-mm]
ASTA 5 (estremi 3-4)mm5000l 5
Matrice di rigidezza [N-mm]
4320000129652,00036
2160000129604320000129652,00129652,0
00360036
)5(
44
)5(
43
)5(
34
)5(
33)5(
�
��
�
SYM
EKKKK
K c
Matrice di trasformazione [mm]
100001010
50001
500000005000050000
)5( � � O
L’asta 5 non presenta carichi in campata e pertanto il vettore delle forze di incastro perfetto è nullo.
ASTA 6 (estremi 4-6)mm1000l 6
Matrice di rigidezza [N-mm]
216000003240080,64
001801080000032400021600000
3240080,6403240080,640018000180
)6(
66
)6(
64
)6(
46
)6(
44)6(
�
��
�
SYM
EKKKK
K c
Matrice di trasformazione [mm]
100001010
10001
100000001000010000
)6( � � O
Anche l’asta 6 è scarica in campata e non sorgono forze di incastro perfetto.
Sistema risolvente
Il sistema risolvente che rappresenta in forma matriciale un’equazione di equilibrio nella quale sono
incogniti gli spostamenti generalizzati ha la forma:
� �fFK � �G
ed è così composto:
)3(4,0
)4(3,0
)4(2,0
)3(2,0
)2(2,0
)2(1,01
4
3
2
1
)6(
44
)5(
44
)3(
44
)5(
43
)3(
42
)5(
34
)5(
33
)4(
33
)4(
32
)3(
24
)4(
23
)4(
22
)3(
22
)2(
22
)2(
21
)2(
12
)2(
11
)1(
11
ff
ffff
000F
KKKKK0KKKK0KKKKKK
00KKK
4321
���
��
�
��
�
GGGG
�
�
�
�
Tale sistema ha valore nel sistema di riferimento globale e pertanto è necessario convertire le grandezze
in precedenza calcolate e riferite ai sistemi locali delle aste.
I sottoblocchi da cui è composta la matrice di rigidezza globale sono prelevati dalle matrici di rigidezza
locali delle aste e vengono inseriti dopo la conversione che avviene tramite le rispettive matrici di
trasformazione nel seguente modo (es. sottoblocco )1(
11K ):
)1()1(
11
T)1()1(
11KK OO ��
Anche i vettori delle forze di incastro perfetto locali devono essere riferiti al sistema globale, ad esempio
per il vettore )2(
1,0f si ha :
)2(
1,0
T)2()2(1,0 ff � O
Il vettore dei carichi nodali è invece direttamente valutato nel sistema di riferimento globale:
°°¿
°°¾
½
°°¯
°°®
000F
F
1
;°¿
°¾
½
°¯
°®
00
30000F 1
Attraverso l’inversione della matrice di rigidezza globale si risale al vettore degli spostamenti incogniti.
°°°°°°°°
¿
°°°°°°°°
¾
½
°°°°°°°°
¯
°°°°°°°°
®
��
�
�
�
°°¿
°°¾
½
°°¯
°°®
�
000013,0009905,0029403,0000062,0000661,0
025834,1000141,0562204,0269681,0
000064,0015157,0236610,0
)fF(K 1
4
3
2
1
GGGG
G
Calcolo delle sollecitazioni di estremità. Verifica dell’equilibrio
Una volta ricavati gli spostamenti nel sistema di riferimento globale è necessario, valutare le loro
componenti nei singoli sistemi locali. Ciò allo scopo di determinare le sollecitazioni )j(
iS , )j(kS di
estremità di ciascuna asta in funzione dei suoi spostamenti, valutati nel sistema locale attraverso
l’espressione:
)j(k,0
)j(i,0
)j(k
)j(i
)j(kk
)j(ki
)j(ik
)j(ii
)j(k
)i(i
ff
KKKK
SS
� GG
Ad esempio per l’asta 1 si ha:
¿¾½
¯®
�¿¾½
¯®
¿¾½
¯®
000
KKKK
SS
)1(1
)1(11
)1(15
)1(51
)1(55
)1(1
)1(5
G
per l’asta 2 :
°¿
°¾½
°̄
°®
�°¿
°¾½
°̄°®
°¿
°¾½
°̄°®
)2(
2,0
)2(
1,0)2(
2
)2(1
)2(
22
)2(
21
)2(
12
)2(
11()2
2
)2(1
f
fKKKK
SS
GG
e cosi via per le altre aste.
Si riportano di seguito i valori di sollecitazione delle aste accompagnati da una verifica di equilibrio.
I valori delle sollecitazioni di estremità, che nei vettori di sollecitazione sono espressi in [N-mm], sono
espressi nelle figure e nei calcoli di verifica in in [KN-m] per questioni di spazio.
ASTA 1
°°°°
¿
°°°°
¾
½
°°°°
¯
°°°°
®
��
°¿
°¾½
°̄°®
319009331646324336
257194061646324336
SS
)1(1
)1(5 [N-mm]
Verifica:
Equilibrio alla rotazione attorno al punto 5:
01,050,346,1690,3172,25 u�� OK
1
5
X
Y
24,33
16,46
31,90
25,72
16,46
24,33
[KN-m]
ASTA 2
°°°°
¿
°°°°
¾
½
°°°°
¯
°°°°
®
��
��
°¿
°¾½
°̄°®
145564511566446461
3190092324336
46461
SS
)2(2
)2(1
[N-mm]
Verifica
Equilibrio alla traslazione verticale: 4099,3966,1533,24 # � OKEquilibrio alla rotazione attorno al punto 1: 01,0466,1555,142409,31 � u��u� OK
ASTA 3
°°°°
¿
°°°°
¾
½
°°°°
¯
°°°°
®
��
°¿
°¾½
°̄°®
638388104225559826
354800828335
38626
)3(4
)3(2
SS [N-mm]
Verifica
Equil. alla trasl. X : 1310cos83,59sin25,42sin33,8cos63,38 �� ��� DDDD OK Equil. alla trasl. Y : 5108sin83,59cos25,4240cos33,8sin63,38 ��� ���� DDDD OK Equil. alla rotaz. attorno al punto2 : 026,072,425,4284,6350,24048,35 u��u� OK
40 KN
X
Y
1 246,46
24,33
31,90
15,66
46,46 14,55
[KN-m]
[KN-m]
4
2
XY
40 KN
32°
38,63 8,33
35,48
42,25 63,84
59,83
ASTA 4
°°°°
¿
°°°°
¾
½
°°°°
¯
°°°°
®
��
�
°¿
°¾½
°̄°®
4784408646521664
50036543465
21664
SS
)4(3
)4(2 [N-mm]
Verifica
Equilibrio alla rotazione attorno al punto 2: 03,0717,446,084,4704,50 u�� OK
ASTA 5
°°°°
¿
°°°°
¾
½
°°°°
¯
°°°°
®
�
���
°¿
°¾½
°̄°®
427782811812411876
478440761812411876
SS
)5(4
)5(3 [N-mm]
Verifica
Equilibrio alla rotazione attorno al punto 3: 02,0512,1878,4284,47 u�� OKASTA 6
°°°°
¿
°°°°
¾
½
°°°°
¯
°°°°
®
�
���
°¿
°¾½
°̄°®
254013174646255664
2106052046462
55664
)6(6
)6(4
SS [N-mm]
Verifica: Equilibrio alla rotazione attorno al punto 4 0146,4640,2506,21 u�� OK
3
2
X
Y32°
0,46
21,66
50,04
0,46 21,66
47,84
[KN-m]
[KN-m]
[KN-m]
3
4
X
Y
11,87
47,84
18,12
18,12
11,87
42,78
25,40
55,66
46,46
46,46
21,06
55,66
Y
X
6
4
DIAGRAMMI DELLE SOLLECITAZIONI
SFORZO NORMALE [KN]
- Compressione + Trazione
TAGLIO [KN]
Convenzione per i tagli positivi
-46,46
-24,
34
-38,63
-59,83
-21,66
+11,
87
-55,66
+46,46
+18,
12
+0,46
-42,25
-8,33
-16,
46
-15,66
+24.33
MOMENTO FLETTENTE [KNm]
Convenzione per i momenti positivi
Verifica di equilibrio ai nodi
NODO 2
01,055,1448,3504,50 �� OK
NODO 4
006,2178,4284,63 �� OK[KN-m]
[KN-m]
31,90
35,4
0
25,72
14,55
50,04
47,84
42,78
63,8
4
21,06
25,40
2
50.04
14,55
35,48
4
42,78
63,84
21,06
Verifica dell’equilibrio globale
F= 30 KN
P= 40 KN
P= 40 KN
16,46
24,34
25,72
5 6
25,40
46,46
55,66
Equil. alla trasl.lungo X: 046,4646,1630 �� OK
Equil. alla trasl.lungo Y: 066,5534,244040 ��� OK
Equil. rotaz. att.al p.to 5: 004,040,25866,555,6402405,33072,25 # �u�u�u�u� OK
Deformata
3'3
4'4
6
2'
2
5
1' 1
