Meccanica Quantistica

LA MECCANICA QUANTISTICA E IL CONCETTO DI REALTA’

Prof. Francesco de Stefano

Liceo Scientifico “G.Marinelli”

Udine

1Francesco de Stefano - Seminario Fisica

Computazionale

NON PENSAVO DI VIVERE IN UNUNIVERSO TANTO DISGUSTOSO!

Giorgio Placereani, critico cinematografico

2Francesco de Stefano - Seminario Fisica

Computazionale

Francesco de Stefano - Seminario Fisica Computazionale

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La MQ è molto di più di unateoria scientifica…

Essa fu un vero e proprio “terremoto concettuale” che pose seri problemi diordine filosofico…

…i quali sono in gran partetuttora aperti!


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BIBLIOGRAFIA

B. d’Espagnat - I fondamenti concettuali della MQBibliopolis

G.C. Ghirardi – Un’occhiata alle carte di DioIl Saggiatore

R. Gillmore – Alice nel mondo dei quanti – CortinaR. Gillmore – Il quanto di Natale – CortinaG. Boniolo (a cura di) – Filosofia della fisicaArticoli de Le Scienze


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Facciamo un po’ di storia…

19 dicembre 1900… Max Plancke il problema della radiazionedel corpo nero…


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Le curve erano inspiegabili se si applicavanola termodinamica classica e l’elettromagnetismo

Planck allora introdusse una nuova idea…

…”per un puro atto di disperazione..”

Tuttavia Planck considerava la sua soluzione un puro modello matematico


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ERA L’IPOTESI DI QUANTIZZAZIONEDELL’ENERGIA

E n h n = intero positivoh = costante di Planck = frequenza

ENERGIA SCAMBIATA PER…PACCHETTI…I QUANTI!


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Si trattava di un’ipotesi… eretica!


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Ma qualcun altro prese questa ideasul serio…


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Einstein può essere considerato il vero“padre” della teoria dei quanti…

1905: annus mirabilis della storia della fisica!

Einstein scrisse e pubblicò un articoloper il quale sarebbe stato insignitodel premio Nobel nel 1921

UN PUNTO DI VISTA EURISTICO RELATIVO ALLAGENERAZIONE E TRASFORMAZIONE DELLA LUCE


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FA LA SUA COMPARSA IL DUALISMOONDA/CORPUSCOLO!!

La situazione si…appesantiscenel 1924 con la tesi di dottoratodi Louis de Broglie


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Idea base: se la luce, fenomeno tipicamenteondulatorio, esibisce comportamentocorpuscolare, perché non poter pensare chela materia, di natura tipicamente corpuscolare,non possa esibire comportamento ondulatorio?

FORMULA…ERETICA!

h

p

è la lunghezza dell’onda materialeassociata alla particella


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Perché non vediamo effetti di tali onde, normalmente? Perché h è un valorepiccolissimo! Odg: 10-34 Js

Ma per gli oggetti del mondo atomicotale valore è grande!!

Infatti nel 1927 Davisson e Germerevidenziarono l’interferenza deglielettroni…


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ELEMENTI ESSENZIALI DEL FORMALISMO

1) Dato un sistema fisico S a esso è associato uno spazio di Hilbert HS dei suoi stati fisici

2) A ogni grandezza fisica A (osservabile) è associato un

operatore autoaggiunto A la cui equazione agli autovalori fornisce gli stati e i valori possibili di taleosservabile.

n n nA a


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3) Considerato un sistema S descritto dallo stato|y che non sia autostato di un’osservabile B,l’espressione

2Pr , | | |n nB b y y

fornisce la probabilità che, in una misura di B, sitrovi il valore bn (Born rule, 1926).

PROBABILITA’ NON EPISTEMICHE!


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4) Una volta preparato uno sistema S nello stato|y(0)>, esso evolverà deterministicamente neltempo secondo l’equazione di Schrödinger

( )( )

tH t i

t

yy


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LINEARITA’ DELL’EQUAZIONE IMPLICA ILPRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE

Se y1 e y2 sono soluzioni dell’equazione,lo è pure una loro arbitraria combinazionelineare ay1 + by2


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RIDUZIONE DEL PACCHETTO D’ONDA

Sia S descritto da

1

n

k k

k

cy

Se misuro a e trovo a3, allora dopo la misura sarà

3y


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Max Born introdusse una prospettiva del tutto nuovaed…eretica (tanto per cambiare!)

La funzione d’onda ψ ci fornisce laPROBABILITA’ di trovare, SE LA MISURASSIMO,la particella in un dato volume di spazio!

L’equazione di Schrödinger dunque è unaequazione che fornisce L’EVOLUZIONE NELTEMPO DI UNA PROBABILITA’!!

E’ IL PRIMO ESEMPIO NELLA STORIA DELLA SCIENZA DI UN’EQUAZIONE SIMILE!


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1927: PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONEDI WERNER HEISENBERG.


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1

| , |2

A B A By y

2xx p

Heseinberg, 1927

Robertson, 1929


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Viene meno così il concetto cardinedella causalità della fisica classica, quello di TRAIETTORIA!

Solo infatti se una particella possiede,in ogni istante di tempo, posizione evelocità ben definite, essa segue unatraiettoria ben precisa

Ma poiché il principio di indeterminazionemostra che è impossibile misurare simultaneamente le due grandezze con laprecisione voluta, la traiettoria non esiste!


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Si deve notare che tale impossibilità NON E’ di ordine pratico o tecnologico, né ci autorizza aPENSARE che la particella POSSIEDA tali valorie che semplicemente a noi sia vietata la loroconoscenza simultanea…

Potremmo dire invece che se la particellaPOSSIEDE una precisa posizione, alloraNON POSSIEDE nessuna velocità ben definita!

NON E’ UN PROBLEMA DI NOSTRA IGNORANZA,MA DI INDETERMINISMO ONTOLOGICO!


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TUTTO CIO’ ERA PER LO MENO SCONCERTANTE,se non, per molti fisici (Einstein, Schrödinger, deBroglie, Planck...) INACCETTABILE!

IL REALISMO SU CUI LA FISICA CLASSICA SIERA FONDATA DA QUASI TRE SECOLI VACILLAVA.

IL MONDO QUANTISTICO SI PRESENTAVA COMEUN MONDO ACAUSALE, GOVERNATO DA LEGGIPROBABILISTICHE “NON EPISTEMICHE” E DOVEONDE E PARTICELLE SI MUTAVANO LE UNE NELLEALTRE!


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Chi non rimane scioccato dalla MQ significa chenon l’ha capita! (Bohr)

…Se così fosse preferirei fare il biscazziere o ilciabattino piuttosto che il fisico (Einstein)

Preferirei non esser mai stato coinvoltocon questi maledetti “salti quantici” (Schrödinger)

Nessuno capisce la MQ (Feynman)


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DIO NON GIOCA A DADI COL MONDO!


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IL DIBATTITO EINSTEIN-BOHR


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CONGRESSOSOLVAY1930


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L’ARGOMENTO DI EINSTEIN, PODOLSKY E ROSEN(EPR, 1935)


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Esso riguarda l’analisi del comportamentodi sistemi cosiddetti “entangled”, da un termineintrodotto da Schrödinger (1935) che considerò“entanglement” non un tratto caratteristicodella MQ , ma il suo tratto caratteristico, quelloche di più la allontana dalla descrizione classica.

PERCHE’??


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Consideriamo un sistema quantisticoS = S1 + S2 il cui spazio di Hilbert èHS = H1H2

Un possibile stato per S può essere ad es.|y = |1|2 che corrisponde al fatto chel’osservabile A di S1 possiede valore a1 mentreB di S2 possiede valore b2.Tale stato si dice “fattorizzato”.


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Tuttavia sono possibili (per la linearità e ilprincipio di sovrapposizione degli stati)anche stati del tipo

n nn

corrispondenti alla situazione fisica (“entangled” =ingarbugliata) in cui né A né B possiedono valoreben definito, mentre lo possiede un’osservabile Cdi S.


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Versione di David Bohm (1952)

Consideriamo un microsistema S che si trovinello stato di singoletto dello spin (è l’esempiotrattato anche da Griffiths), cioè descritto da

1

2u v u vy


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Questo significa che, mentre lo spin di S ha valorenullo, i suoi sottosistemi componenti non hannovalore ben definito dello spin (lungo una certadirezione).

Ora effettuiamo misure per esempio di Sz sul sottosistema U di S e confrontiamo i risultaticon questi principi fondamentali (EPR).


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1) COMPLETEZZA DI UNA TEORIA

2) PRINCIPIO DI REALTA’

3) PRINCIPIO DI LOCALITA’


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COMPLETEZZA DI UNA TEORIA

UNA TEORIA E’ COMPLETA QUANDO CONTIENELA CONTROPARTE FORMALE DI TUTTI GLIELEMENTI DI REALTA’ DI CUI SI OCCUPA.

Cioè, se io parlo di proprietà possedute dacerti oggetti e la teoria non mi consente dirappresentarle, evidentemente non è una teoria (ancora) completa.


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PRINCIPIO DI REALTA’

Se, senza perturbare in alcun modo un sistema fisico, sono in grado di prevederecon certezza il valore di una sua grandezza fisica, allora esiste un elemento di realtàfisica associato a tale grandezza.

Cioè, se posso fare questo, allora il sistema in esame possiede una proprietà oggettiva.


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PRINCIPIO DI LOCALITA’

Se un sistema A è separato fisicamenteda un sistema B, anche se in passato hainteragito con A, nessuna azione fisicasu A può aver effetto sugli elementi di realtà di B.

Se eseguo delle azioni fisiche (misurazioni)su A, queste non possono influire sulle“proprietà oggettive” di B.


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1) U ed V, dopo aver interagito (e+ ed e- nell’es.di Bohm) si allontanano e restano isolati

2) Effettuiamo misure di Sz su U e, per es., troviamo+1 (o -1), in unità h/2p.

3) Allora, in base al principio di realtà, posso prevedere con certezza che un’analoga misurasu V darebbe -1 (+1). Quindi V possiede unaproprietà oggettiva relativamente a Sz.


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4) In base a questa misura allora lo stato entangledsi “riduce” a uno dei suoi componentidel tipo |u+>|v-> e |u->|v+>.

5) Ma poiché durante le misure su U, V èrimasto separato da U, per il principiodi località, le misure su U non possono aver influito sugli elementi di realtà di V!

6) Pertanto, anche prima della misura su U, V possedeva oggettivamente un valore di Sz.


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7) Ma lo stato

8) Allora la conclusione di EPR fu: LA MQ E’ INCOMPLETA!Ovvero il suo formalismo non consente di descrivere

tutte le proprietà fisiche possedute dai microsistemi.

1

2u v u vy

è assolutamente isotropo riguardo Sz di V


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Einstein era ovviamente anche preoccupatoda eventuali violazioni della relatività (spookyaction at a distance), ma è stato dimostrato(Ghirardi, Rimini e Weber, 1980, 1988) che né la RPO né l’entanglement consentono segnali o azioni superluminali.

IL VERO PROBLEMA E’ LA NON-LOCALITA’che comunque determina una coesistenzapacifica tra relatività e MQ (Abner Shimony)


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LA RISPOSTA DI BOHR.


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1) Bohr concordava con la definizione di completezza di una teoria di EPR.

2) Critica quindi Einstein sul principio di realtà.

3) Riferendosi a esempi “alla Heinsenberg”parla di “interazione incontrollabile “ dellostrumento con il micro-oggetto.

4) Secondo lui la scelta del set sperimentaledetermina le condizioni su cosa considerarereale o meno per un microsistema.COMPLEMENTARITA’ (Como, 1927)


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A rigor di logica, l’analisi di EPR mostra chevi è contraddizione nell’assunzione della validità simultanea del REALISMO, dellaLOCALITA’ e della COMPLETEZZA DELLA MQ.

Ma per Einstein LOCALITA’ e REALISMO eranoevidentemente vere, per ragioni epistemologiche,dunque… LA MQ E’ INCOMPLETA!

Teorie “a variabili nascoste” (HV), comead es. quella di de Broglie e Bohm (1956)(onda pilota.. Meccanica Bohmiana)


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On the Einstein, Podolsky and Rosen Paradox,1964

L’analisi di Bell trasforma l’EPR da gedankenexperimentin una situazione empiricamente testabile!

Descriviamo in modo appropriato la situazione.Si consideri un sistema entangled del tipo EPR nellaversione di Bohm (stato di singoletto dello spin).


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Indichiamo con

, ; ,ABp a b

la probabilità di ottenere i valori e nelle misure dellospin di U e V (che si trovano in A e B) lungo le direzioniindicate, posto che rappresenti complessivamente ivalori delle (eventuali) HV che specificano nel miglior modo possibile il sistema.


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PRINCIPIO DI LOCALITA’ (DI BELL)

, ; , ,*; *, ;AB A Bp a b p a p b

Ovvero la probabilità di ottenere una coppia di esitiè pari al prodotto delle probabilità di ottenere ciascuno di essi indipendentemente dal fatto chel’altra misura venga o meno eseguita.


60

Indichiamo con ,E a b

la somma tra le probabilità di ottenereesiti concordi meno la differenza diottenere esiti discordi misurando lungole direzioni indicate. Cioè

, , ; 1, 1 , ; 1, 1

, ; 1, 1 , ; 1, 1

AB AB

AB AB

E a b p a b p a b

p a b p a b


61

Analogamente definiamo

, , , ,E a d E c b e E c d

Bell infatti considerò un sistema quantistico allaEPRB da sottoporre a misure di spin lungo quattro direzioni arbitrarie, definite dai vettori indicati.


62

Con semplicissimi calcoli algebrici, derivò una disuguaglianza, nota da allora come “ disuguaglianzadi Bell”, che, a detta di molti esperti del settore, èconsiderata il risultato più importante della storiadei fondamenti della MQ.

, ,

, , 2

E a b E a d

E c b E c d


63

Ovviamente le espressioni che compaiononella disuguaglianza vanno mediate sulladistribuzione delle HV, ma di dimostrafacilmente che anche considerando le

, ,E m n E m n d

la disuguaglianza continua a valere.


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La radicale importanza di questo risultato ottenutoda John Stewart Bell è che essa dimostra che unaqualsiasi teoria fisica, deterministica o meno, chevoglia soddisfare il requisito della località implica,grazie alla disuguaglianza suddetta, previsioni chesono in disaccordo con quelle della MQ.È facile infatti scegliere opportunamente le quattrodirezioni di misura dello spin di U e V in base alle quali le corrispondenti probabilità degli esiti di misuraviolano la disuguaglianza stessa.Pertanto il risultato più importante del lavoro di Bellè che esso trasforma l’EPR da gedankenexperimenta possibile test di “metafisica sperimentale”! (Shimony)


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La lucida analisi di Bell ispirata da Einsteinha dunque sottolineato la peculiarità della“stranezza” del mondo quantistico, che sipuò riassumere in due espressioni…

1) NON LOCALITA’

2) ENTANGLEMENT


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SPOOKY ACTION AT A DISTANCE!


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Il teorema di Bell (1964) dimostra che se esiste unateoria del tipo sperato da Einstein (cioè unateoria realistica a variabili nascoste) alloraessa è necessariamente non locale!E questo a lui non sarebbe piaciuto!

Gli esperimenti di Aspect e tutti quelli successivihanno sempre confermato tale NON-LOCALITA’, la quale sembra dunque una peculiarità inevitabiledel mondo microscopico.

I numerosi risultati sperimentali che hanno sondatoe confermato la validità della MQ possono di fatto essere considerati come contributi a una metafisica sperimentale (Abner Shimony, 1993)


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ENTANGLEMENT TRA MICRO-SISTEMIE MACRO-SISTEMI

PROBLEMA DELLA MACRO-OGGETTIVAZIONE


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71


72

Dunque “la madre di tutti i problemi” di interpretazione della MQ è questo…

COME SI PASSA DA “+” A “O”?

La cosa suona già “strana” per il mondo microscopico,ma diventa paradossale in quello macroscopico!

1

n

k k

k

cy


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0 . .G atomo dec atomo non decy

AD FR GM AND FI GV

che è completamente diverso, fisicamentee concettualmente, da

AND FI GVOAD FR GM


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TENTATIVI DI SOLUZIONE.

1) Riduzione del pacchetto d’onda (Copenaghen)2) Incompletezza del vettore di stato (TVN)3) Ruolo della coscienza (Eugene Wigner)4) Teoria “molti-universi” (Hugh Everett III)5) Teoria “molte menti” (David Albert)6) Modelli di riduzione dinamica (GRW, Ghirardi-

Rimini-Weber)

L’entanglement ha molte implicazioni pratiche:crittografia, quantum computing, teletrasporto…


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APPENDICE

, , ; 1, 1 , ; 1, 1

, ; 1, 1 , ; 1, 1

AB AB

AB AB

E a b p a b p a b

p a b p a b

,*; 1 *, ; 1

,*; 1 *, ; 1

,*; 1 *, ; 1

,*; 1 *, ; 1

A B

A B

A B

A B

p a p b

p a p b

p a p b

p a p b


77

,*; 1 *, ; 1 *, ; 1

,*; 1 *, ; 1 *, ; 1

,*; 1 ,*; 1 *, ; 1 *, ; 1

A B B

A B B

A A B B

p a p b p b

p a p b p b

p a p a p b p b

, , ,*; 1 ,*; 1 *, ; 1 *, ; 1

,*; 1 ,*; 1 *, ; 1 *, ; 1

A A B B

A A B B

E a b E a d p a p a p b p b

p a p a p d p d

Espressione analoga per ,E a dper cui si ha


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,*; 1 ,*; 1 1A Ap a p a

si avrà

e poiché

,*; 1 ,*; 1 *, ; 1 *, ; 1 *, ; 1 *, ; 1A A B B B Bp a p a p b p b p d p d

, , 1 2 ,*; 1

*, ; 1 *, ; 1 *, ; 1 *, ; 1

A

B B B B

E a b E a d p a

p b p b p d p d


79

Ora, ricordando che il modulo di un prodottoè uguale al prodotto dei moduli dei suoi fattori

, , 1 2 ,*; 1

*, ; 1 *, ; 1 *, ; 1 *, ; 1

A

B B B B

E a b E a d p a

p b p b p d p d

e quindi, ricordando che

1 1 2 ,*; 1 1Ap a

si avrà


80

, , [ *, ; 1 *, ; 1 ] [ *, ; 1 *, ; 1 ]B B B BE a b E a d p b p b p d p d

Analogamente, variando opportunamente gli indicie le direzioni, si avrà che

, , , ,E a b E a d E c b E c d r s r s

dove


81

*, ; 1 *, ; 1B Br p b p b

*, ; 1 *, ; 1B Bs p d p d

dove, per quanto già visto prima, risulta

1 1 1 1r s

E, tenendo conto della tabella seguente,


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r-s r+s r s |r-s|+|r+s|

>0 >0 >0 ? r-s+r+s= 2r

>0 <0 ? <0 r-s-r-s = -2s

<0 >0 ? >0 s-r+r+s = 2s

<0 <0 <0 ? s-r-r-s = -2r

E poiché i valori dell’ultima colonna sono tutti pari a 2,si ha la disuguaglianza di Bell!

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