Meccanica - 5. Moti Relativi - Università di...

Meccanica

5. Moti Relativi

http://campus.cib.unibo.it/2423/

Domenico GalliDipartimento di Fisica e Astronomia

22 febbraio 2017

Traccia

1. Cambiamento del Sistema di Riferimento

2. Trasformazione del Vettore Posizionale

3. Trasformazione della Derivata Temporale di un Vettore

4. Trasformazione della Velocità

5. Trasformazione dell’Accelerazione

D. Galli

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Meccanica – 5. Moti RelativiCambiamento Riferimento Vettore Posizionale Derivata Temporale Velocità Accelerazione

Cambiamento di Sistema di Riferimento

Esistono infinite terne ortogonali di riferimento, diverse tra loro per:

Posizione dell’origine O;Direzione orientata degli assi x, y e z;Stato di moto:

Traslazione dell’origine;Rotazione degli assi.

L’utilizzo dell’una piuttosto che dell’altra è essenzialmente arbitrario:

E fisicamente equivalente.

Di solito si sceglie una particolare terna ortogonale di riferimento sulla basedi considerazioni di opportunità.

La rappresentazione di una grandezza fisica dipende in generale dallaterna di riferimento scelta. Problema:

Trovare la relazione tra le espressioni di una grandezza fisica data

nelle diverse terne di riferimento, detta legge di trasformazione.

D. Galli

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Cambiamento di Sistema di Riferimento (II)

Come cambia la descrizione del moto se si sceglie un SdR differente?Consideriamo 3 oggetti:

1 punto materiale P ;2 terne ortogonali di riferimento:I O′x′y′z′ che — per fissare le idee — pensiamo “fisso”;I Oxyz che — per fissare le idee — pensiamo “mobile”.

N.B.: fisso e mobile sono termini puramente convenzionali: non esiste

un SdR fisso o mobile in assoluto.

Consideriamo l’approssimazio-ne non-relativistica (v � c).

D. Galli

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Cambiamento di Sistema di Riferimento (III)

La proprietà di rigidità della terna ortogonale di riferimento limitadrasticamente i possibili movimenti di Oxyz rispetto a O′x′y′z′, che siriducono ai seguenti:

Pura traslazione di Oxyz rispetto a O′x′y′z′, senza variazione delle

direzioni degli assi cartesiani;

Pura variazione delle direzioni degli assi cartesiani di Oxyz rispettoa quelli di O′x′y′z′, senza traslazione relativa, ovvero rotazione

attorno a un asse passante per l’origine O;

Traslazione e rotazione simulta-nee di Oxyz rispetto ad O′x′y′z′,ovvero la combinazione deiprecedenti movimenti, dettaanche roto-traslazione.

D. Galli

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Trasformazione del Vettore Posizionale

Consideriamo il punto materiale P che all’istante di tempo t occupa unacerta posizione dello spazio.

La regola del triangolo per la somma di vettori applicata al triangoloOËO′P conduce alla relazione vettoriale (legge di trasformazione del

vettore posizionale):

~r ′ = ~r + ~rO

dove:~r ′ è il vettore posizionaledel punto P nel riferimento

fisso O′x′y′z′;~r è il vettore posizionale del

punto P nel riferimento

mobile Oxyz;~rO è il vettoreposizionale dell’origine O nel riferimento fisso O′x′y′z′.

D. Galli

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Vettori Costanti in un Riferimento

Consideriamo il caso in cui il punto P è in quiete nel riferimento Oxyz,dunque il vettore ~r = ~rOP è costante nel riferimento Oxyz:

Se Oxyz si muove ruotando o rototraslando rispetto a O′x′y′z′, allorail vettore ~r = ~rOP non è costante nel riferimento O′x′y′z′:

La direzione di ~r in O′x′y′z′ cambia nel tempo a causa della rotazione.

Il vettore ~r è costante nel riferimento Oxyz ma è non-costante nelriferimento O′x′y′z′.

La derivata temporale del vettore ~r è diversa nei due riferimenti.

D. Galli

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Trasformazione della Derivata Temporaledi un Vettore

La derivata dello stesso vettore rispetto alla stessa variabile può esserediversa in riferimenti diversi. Vogliamo trovare la relazione tra le duederivate.

Per fissare le idee, immaginiamo che:Il riferimento O′x′y′z′ sia “fisso”;Il riferimento Oxyz sia “mobile”;Il vettore ~α si muova rispetto a entrambi i riferimenti.

La definizione di “fisso” e “mobile”,ovviamente, è convenzionale.

D. Galli

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Trasformazione della Derivata Temporaledi un Vettore (II)

Nella base cartesiana {ı̂, ̂, k̂} l’osservatore in quiete rispetto al

riferimento “mobile” Oxyz rappresenta un generico vettore ~α come:

~α|O = αx(t) ı̂+ αy(t) ̂+ αz(t) k̂

ı̂, ̂ e k̂ sono costanti in quanto sono solidali al riferimento Oxyz,dunque sono fissi per un osservatore in quiete rispetto a Oxyz.

Nella stessa base cartesiana {ı̂, ̂, k̂} l’osservatore in quiete rispetto

al riferimento “fisso” O′x′y′z′ rappresenta ungenerico vettore ~α come:

~α|O′ = αx(t) ı̂(t) + αy(t) ̂(t) + αz(t) k̂(t)

ı̂, ̂ e k̂, in questo caso dipendono dal tempo

in quanto sono solidali a Oxyz che si muove

rispetto al riferimento O′x′y′z′

dell’osservatore.D. Galli

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Trasformazione della Derivata Temporaledi un Vettore (III)

La derivata temporale di ~α, calcolata dall’osservatore in quiete nel

riferimento “mobile” Oxyz vale (essendo ı̂, ̂ e k̂ costanti):d~α

dt

∣∣∣∣O=

dαx

dtı̂+

dαy

dt̂+

dαz

dtk̂

La derivata temporale di ~α, calcolata dall’osservatore in quiete nel

riferimento “fisso” O′x′y′z′ vale invece (essendo ı̂, ̂ e k̂ variabili):

d~α

dt

∣∣∣∣O′

=dαx

dtı̂+ αx

dı̂

dt+

dαy

dt̂+ αy

d̂

dt+

dαz

dtk̂ + αz

dk̂

dt=

=

ïdαx

dtı̂+

dαy

dt̂+

dαz

dtk̂

ò+

[αx

dı̂

dt+ αy

d̂

dt+ αz

dk̂

dt

]Confrontando le due espressioni, si ottiene:

d~α

dt

∣∣∣∣O′

=d~α

dt

∣∣∣∣O+

[αx

dı̂

dt+ αy

d̂

dt+ αz

dk̂

dt

]D. Galli

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Trasformazione della Derivata Temporaledi un Vettore (IV)

Per completare l’espressione dobbiamo calcolare:[αx

dı̂

dt+ αy

d̂

dt+ αz

dk̂

dt

]contenente le derivate temporali dei versori cartesiani “mobili” ı̂, ̂ ek̂ nel riferimento “fisso” O′x′y′z′.Per l’osservatore nel riferimento “fisso” O′x′y′z′ — la base di versoricartesiani {ı̂, ̂, k̂} è animata dallo stesso moto roto-traslatorio delriferimento “mobile” Oxyz.Le traslazioni di Oxyz non interessano labase di versori {ı̂, ̂, k̂}:

Determinano spostamenti dei versori che nepreservano la direzione, lasciando i versoriimmutati

I Essendo il modulo dei versori identicamenteunitario per definizione.

D. Galli

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Trasformazione della Derivata Temporaledi un Vettore (V)

Al contrario, le rotazioni di Oxyz modificano la base di versori{ı̂, ̂, k̂}:

Vista nel riferimento “fisso” O′x′y′z′:I In quanto varia nel tempo la direzione dei versori {ı̂, ̂, k̂}, rendendo diversa da

zero la loro derivata temporale.

Ci limitiamo quindi a considerare soltanto

le rotazioni di Oxyz rispetto ad O′x′y′z′.

In un generico istante t, il sistema Oxyzappare a O′x′y′z′ in rotazione attorno aun asse istantaneo.

La direzione di tale asse può essereindividuata da un versore n̂, il cui verso puòessere scelto utilizzando la regola della

mano destra.

D. Galli

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Trasformazione della Derivata Temporaledi un Vettore (VI)

I tre versori cartesiani ı̂, ̂ e k̂ ruotano attorno all’asse individuato dalversore n̂(t):

I loro vertici descrivono — nell’intervallo temporale dt — archi

infinitesimi sulle tre circonferenze tracciate in figura;Proprio questa rotazione è causa della variazione dei versori ı̂, ̂ e k̂ neltempo:I Quindi è causa della derivata temporale

diversa da zero di tali versori.

Si ricordi tuttavia che lo stato illustrato infigura è uno stato istantaneo:

Nel caso più generale, l’asse di rotazione n̂modifica continuamente nel tempo lapropria direzione: n̂ = n̂(t).

D. Galli

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Trasformazione della Derivata Temporaledi un Vettore (VII)

Determiniamo ora la derivata dı̂dt .

Il vertice del versore ı̂ descrive — nell’intervallo dt — un arco

infinitesimo P̄P ′ della circonferenza in figura.Il segmento OP ha lunghezza unitaria:

Avendo il versore ı̂ = ~rOP modulo unitario.

Consideriamo il triangolo rettangolo

OÁCP :Il raggio R della circonferenza vale:

R = CP = sin θ

dove θ è l’angolo formato dai versori ı̂ e n̂.

Detto dϕ l’angolo al centro corrispondenteall’arco PP ′, la lunghezza dell’arco risulta:

P̄P ′ = sin θ dϕ

D. Galli

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Trasformazione della Derivata Temporaledi un Vettore (VIII)

Quando il vertice del versore ı̂ si sposta da P a P ′:

Il versore ı̂ passa da ı̂(t) = ~rOP a ı̂(t+ dt) = ~rOP ′ ;

La variazione vettoriale dı̂ = ı̂(t+ dt)− ı̂(t) ha modulo pari allalunghezza della corda PP ′.

La lunghezza della corda PP ′ è asintoticamente equivalente allalunghezza dell’arco P̄P ′ per P̄P ′ → 0.

Il modulo del vettore dı̂ vale quindi:

‖dı̂‖ = ‖ı̂(t+ dt)− ı̂(t)‖ = PP ′ ∼

∼ P̄P ′ = sin θ dϕ, P̄P ′ → 0

D. Galli

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Trasformazione della Derivata Temporaledi un Vettore (IX)

Per quanto riguarda la direzione orientata del vettore dı̂:Essa è perpendicolare al piano OCP su cui giacciono i versori n̂ e ı̂:

Essendo l’angolo dϕ infinitesimo.

Possiamo quindi esprimerla come la direzione orientata del prodottovettoriale n̂ ∧ ı̂:

vers(dı̂) = vers(n̂ ∧ ı̂) = n̂ ∧ ı̂‖n̂ ∧ ı̂‖

=

=n̂ ∧ ı̂

‖n̂‖ ‖ı̂‖ sin θ=n̂ ∧ ı̂sin θ

D. Galli

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Trasformazione della Derivata Temporaledi un Vettore (X)

Essendo:

‖dı̂‖ = sin θ dϕ, vers (dı̂) =n̂ ∧ ı̂sin θ

Possiamo scrivere la variazione dı̂ come:

dı̂ = ‖dı̂‖ vers (dı̂) = sin θ dϕn̂ ∧ ı̂sin θ

= dϕ (n̂ ∧ ı̂)

Dividendo ora, membro a membro, perl’intervallo di tempo elementare dtotteniamo:dı̂

dt

∣∣∣∣O′

=dϕ

dt(n̂ ∧ ı̂)

D. Galli

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Trasformazione della Derivata Temporaledi un Vettore (XI)

Il precedente risultato suggerisce l’introduzione dell vettore velocità

angolare ~ω relativo alla rotazione del riferimento Oxyz rispetto alriferimento O′x′y′z′:

~ω =dϕ

dtn̂ = ϕ̇ n̂

Il vettore ~ω ha quindi:Direzione lungo l’asse di rotazione istantanea n̂;Verso dipendente dal senso della rotazione inaccordo con la regola della mano destra;Modulo ottenuto dalla derivata temporaledell’angolo di rotazione ϕ.

Utilizzando il vettore ~ω possiamo scrivere:dı̂

dt

∣∣∣∣O′

= ~ω ∧ ı̂

senso di rotazione

D. Galli

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Trasformazione della Derivata Temporaledi un Vettore (XII)

Procedendo in modo analogo per i vettori ̂ e k̂ otteniamo le formule di

Poisson:

dı̂

dt

∣∣∣∣O′

= ~ω ∧ ı̂, d̂

dt

∣∣∣∣O′

= ~ω ∧ ̂, dk̂

dt

∣∣∣∣∣O′

= ~ω ∧ k̂

Sostituendo otteniamo, sfruttando la proprietà omogenea del prodottovettoriale e la proprietà distributiva del prodotto vettoriale rispetto allasomma di vettori :d~α

dt

∣∣∣∣∣O′

=d~α

dt

∣∣∣∣∣O

+

[αx

dı̂

dt+ αy

d̂

dt+ αz

dk̂

dt

]=

=d~α

dt

∣∣∣∣∣O

+îαx ~ω ∧ ı̂+ αy ~ω ∧ ̂+ αz ~ω ∧ k̂

ó=

=d~α

dt

∣∣∣∣∣O

+ ~ω ∧îαx ı̂+ αy ̂+ αz k̂

ó=

d~α

dt

∣∣∣∣∣O

+ ~ω ∧ ~α

D. Galli

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Trasformazione della Derivata Temporaledi un Vettore (XIII)

Otteniamo in questo modo la relazione di Poisson o regola di

derivazione di Poisson:

d~α

dt

∣∣∣∣O′

=d~α

dt

∣∣∣∣O+ ~ω ∧ ~α

tra le derivate temporali di un generico vettore ~α eseguite neiriferimenti Oxyz e O′x′y′z′.

D. Galli

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Trasformazione della Velocità

Dalla legge di trasformazione del vettore posizionale:

~r ′ = ~r + ~rO

derivando membro a membro rispetto al tempo nel riferimento “fisso”O′x′y′z′, otteniamo:

d~r ′

dt

∣∣∣∣∣O′

=d~r

dt

∣∣∣∣∣O′

+d~rOdt

∣∣∣∣∣O′

d~r ′

dt

∣∣∣O′

= ~v ′ è la velocità delpunto P nel riferimento

“fisso” O′x′y′z′;d~rOdt

∣∣∣O′

= ~vO è la velocità delpunto O nel riferimento

“fisso” O′x′y′z′;

D. Galli

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Trasformazione della Velocità (II)

d~rdt

∣∣∣O′

invece, non è una velocità, in quanto, in essa, il vettore ~r è

relativo al riferimento Oxyz mentre la sua derivata è calcolata nelriferimento O′x′y′z′.

Ricordando la regola di derivazione di Poisson, tale derivata può esserescritta come:d~r

dt

∣∣∣∣∣O′

=d~r

dt

∣∣∣∣∣O

+ ~ω ∧ ~r

Sostituendo otteniamo l’espressione:

d~r ′

dt

∣∣∣∣∣O′

=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩d~r

dt

∣∣∣∣∣O

+ ~ω ∧ ~r⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭+

d~rOdt

∣∣∣∣∣O′

in cui i vettori derivati nel temposono relativi allo stesso

riferimento nel quale sono calcolate le loro derivate.

D. Galli

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Trasformazione della Velocità (III)

Possiamo riscrivere l’espressione:

d~r ′

dt

∣∣∣∣∣O′

=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩d~r

dt

∣∣∣∣∣O

+ ~ω ∧ ~r⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭+

d~rOdt

∣∣∣∣∣O′

come:

~v ′ = ~v + ~ω ∧ ~r + ~vO

(legge di trasformazione della velocità) dove:

~v ′ = d~r ′

dt

∣∣∣O′

è la velocità del punto materiale P nel riferimento O′x′y′z′;

~v = d~rdt

∣∣∣Oè la velocità del punto materiale P nel riferimento Oxyz;

~ω è la velocità angolare del riferimento Oxyz rispetto a O′x′y′z′;~r è il vettore posizionale del punto materiale P nel riferimento Oxyz;~vO = d~rO

dt

∣∣∣O′

è la velocità del punto O nel riferimento O′x′y′z′.

D. Galli

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Trasformazione della Velocità (IV)

Nell’espressione:

~v ′ = ~v + ~ω ∧ ~r + ~vO

La somma ~vT = ~vO + ~ω ∧ ~r è detta velocità di trascinamento:È la velocità che avrebbe il punto materiale P se esso fosse in quiete

nel riferimento Oxyz:Pertanto il suo moto rispetto a O′x′y′z′

fosse dovuto esclusivamente al suotrascinamento da parte delriferimento Oxyz.

Si può anche scrivere la legge

di trasformazione della

velocità nella forma:{~v ′ = ~v + ~vT

~vT = ~vO + ~ω ∧ ~rD. Galli

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Trasformazione dell’Accelerazione

Derivando membro a membro rispetto al tempo nel riferimento “fisso”O′x′y′z′ la legge di trasformazione della velocità:

~v ′ = ~v + ~ω ∧ ~r + ~vO

otteniamo:

d~v ′

dt

∣∣∣∣∣O′

=d~v

dt

∣∣∣∣∣O′

+d~vOdt

∣∣∣∣∣O′

+d

dt(~ω ∧ ~r)

∣∣∣∣∣O′

=

=d~v

dt

∣∣∣∣∣O′

+d~vOdt

∣∣∣∣∣O′

+d~ω

dt

∣∣∣∣∣O′∧ ~r + ~ω ∧ d~r

dt

∣∣∣∣∣O′

d~vdt

∣∣∣O′

e d~rdt

∣∣∣O′

non possono essere considerate rispettivamente

un’accelerazione e una velocità, in quanto, in esse, i vettori ~v e ~r sonorelativi al riferimento Oxyz mentre le loro derivate sono calcolate nelriferimento O′x′y′z′.

D. Galli

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Trasformazione dell’Accelerazione (II)

Ricordando la regola di derivazione di Poisson, tali derivate possonoessere scritte come:d~v

dt

∣∣∣∣∣O′

=d~v

dt

∣∣∣∣∣O

+ ~ω ∧ ~v

d~r

dt

∣∣∣∣∣O′

=d~r

dt

∣∣∣∣∣O

+ ~ω ∧ ~r

Sostituendo, otteniamo l’espressione:

d~v ′

dt

∣∣∣∣∣O′

=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩d~v

dt

∣∣∣∣∣O

+ ~ω ∧ ~v⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭+

d~vOdt

∣∣∣∣∣O′

+d~ω

dt

∣∣∣∣∣O′∧ ~r +

+ ~ω ∧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩d~r

dt

∣∣∣∣∣O

+ ~ω ∧ ~r⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

=d~v

dt

∣∣∣∣∣O

+ ~ω ∧ ~v + d~vOdt

∣∣∣∣∣O′+

d~ω

dt

∣∣∣∣∣O′∧ ~r + ~ω ∧ d~r

dt

∣∣∣∣∣O

+ ~ω ∧ (~ω ∧ ~r)

D. Galli

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Trasformazione dell’Accelerazione (III)

Nell’espressione:

d~v ′

dt

∣∣∣∣∣O′

=d~v

dt

∣∣∣∣∣O

+ ~ω ∧ ~v + d~vOdt

∣∣∣∣∣O′+

d~ω

dt

∣∣∣∣∣O′∧ ~r + ~ω ∧ d~r

dt

∣∣∣∣∣O

+ ~ω ∧ (~ω ∧ ~r)

i vettori derivati nel tempo sono relativi allo stesso riferimento nelquale sono calcolate le loro derivate.

Questa circostanza consente di identificare tali derivate temporali conaltrettante velocità o accelerazioni e di scrivere:

~a ′ = ~a+ ~ω ∧ ~v + ~aO + ~̇ω ∧ ~r + ~ω ∧ ~v + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r)

D. Galli

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Trasformazione dell’Accelerazione (IV)

Raccogliendo i termini simili e riarrangiando, otteniamo:

~a ′ = ~a+ ~aO + ~̇ω ∧ ~r + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r ) + 2~ω ∧ ~vdove:

~a ′ = d~v ′

dt

∣∣∣O′

è l’accelerazione del punto

materiale P nel riferimento O′x′y′z′;

~r, ~v = d~rdt

∣∣∣Oe ~a = d~v

dt

∣∣∣Osono, rispettivamente, il vettore posizionale,

la velocità e l’accelerazione del punto materiale P nel riferimento

Oxyz;

~ω e ~̇ω = d~ωdt

∣∣∣O′

sono, rispettivamente i vettori velocità angolare e

accelerazione angolare del riferimento Oxyz rispetto a O′x′y′z′;

~aO = d~vOdt

∣∣∣O′

è l’accelerazione del punto O (origine del riferimento

Oxyz) rispetto al riferimento O′x′y′z′.

D. Galli

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Trasformazione dell’Accelerazione (V)

Nell’espressione:

~a ′ = ~a+ ~aO + ~̇ω ∧ ~r + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r ) + 2~ω ∧ ~v

La somma ~aT = ~aO + ~̇ω ∧ ~r + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r ) è detta accelerazione di

trascinamento:È l’accelerazione che avrebbe il punto materiale P se esso fosse in

quiete nel riferimento Oxyz:I Pertanto il suo moto rispetto a O′x′y′z′ fosse dovuto esclusivamente al suo

trascinamento da parte del riferimento Oxyz.

Il termine ~aC = 2~ω ∧ ~v è invece detto accelerazione complementare

o accelerazione di Coriolis.Essa è nulla:I Se non vi è rotazione di Oxyz

rispetto a O′x′y′z′ (pura traslazione).I Se P è solidale a Oxyz.I Se ~v ‖ ~ω.

D. Galli

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Trasformazione dell’Accelerazione (VI)

Si può anche scrivere la legge di trasformazione dell’accelerazione

nella forma:~a ′ = ~a+ ~aT + ~aC

~aT = ~aO + ~̇ω ∧ ~r + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r )~aC = 2~ω ∧ ~v

D. Galli

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Domenico GalliDipartimento di Fisica e Astronomia

[email protected]://www.unibo.it/sitoweb/domenico.galli

https://wiki-lhcb.bo.infn.it/bin/view/GalliDidattica

D. Galli

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