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Meccanica

10. Pseudo-Forze

http://campus.cib.unibo.it/2429/

Domenico GalliDipartimento di Fisica e Astronomia

17 febbraio 2017

Traccia

1. Le Pseudo-Forze

2. Esempi

3. Pseudo-Forze nel Riferimento Terrestre

D. Galli

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Meccanica – 10. Pseudo-ForzePseudo-Forze Esempi Pseudo-Forze nel Riferimento Terrestre

Cambiamento di Sistema di Riferimento

Come cambia la descrizione del moto passando da un SdR a un altro?

In particolare, come cambia la descrizione del moto passando da unSdR inerziale a un SdR non-inerziale?

Per quanto riguarda la cinematica, sappiamo che:

~a ′ = ~a+ ~aT + ~aC

ovvero l’accelerazione ~a ′ nelSdR “fisso” è la sommadell’accelerazione ~a nel SdR“mobile”, dell’accelerazionedi trascinamento ~aT edell’accelerazionecomplementare ~aC .

D. Galli

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SdR in Moto Traslatorio RettilineoUniforme

Supponiamo che il riferimento O′x′y′z′ sia inerziale.

Se il moto di Oxyz rispetto a O′x′y′z′ è traslatorio, rettilineo euniforme, si ha:

~aT = ~aO︸︷︷︸~0

+ ~ω︸︷︷︸~0

∧~r + ~ω︸︷︷︸~0

∧(~ω ∧ ~r ) = ~0

~aC = 2 ~ω︸︷︷︸~0

∧~v = ~0

⇒ ~a ′ = ~a

Il punto materiale ha la medesima

accelerazione nei 2 SdR.

D. Galli

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SdR in Moto Traslatorio RettilineoUniforme (II)

Se il punto P non è soggetto a forze la sua accelerazione è nulla inO′x′y′z′:

Perché O′x′y′z′ è inerziale.

Poiché ~a ′ = ~a, l’accelerazione del punto P è nulla anche in Oxyz:Quindi anche il riferimento Oxyz è inerziale.

Inoltre, essendo la forza ~F e la massa m indipendenti dal SdR, dallarelazione ~a ′ = ~a, troviamo che il II principio della dinamica vale in

entrambi i riferimenti:

~F = m~a ′, ~F = m~a

D. Galli

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SdR in Moto Accelerato

Se il moto di Oxyz rispetto a O′x′y′z′ non è traslatorio rettilineo e

uniforme e il SdR O′x′y′z′ è inerziale, allora il SdR Oxyz non è

inerziale, poiché risulta:

~a ′ = ~a+ ~aT + ~aC 6= ~a

Se l’accelerazione è nulla in O′x′y′z′, non lo è in Oxyz:P ha accelerazioni diverse nei due SdR;

Tuttavia P è soggetto alla stessa forza nei due SdR:La forza non dipende dal Sistema di Riferimento.

Segue che il II principio della

dinamica vale nel SdR O′x′y′z′

ma non nel SdR Oxyz:

~F = m~a ′, ~F 6= m~a

Stessa forza, diverse accelerazioni nei due SdR.D. Galli

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SdR in Moto Accelerato (II)

Spesso tuttavia risulta più semplice o più comodo operare in un SdR noninerziale.

Come si può scrivere la legge della dinamica in un SdR non inerziale?

Possiamo provare a scriverla sommando alla risultante delle forze ~Fun termine vettoriale ~Φ che rappresenta la risultante dellepseudo-forze che si presentano nel SdR non inerziale:

~F = m~a ′, ~F + ~Φ = m~a

Dalla relazione ~a = ~a ′ − ~aT − ~aC otteniamo:

~F + ~Φ = m~a = m~a ′ −m~aT −m~aC =

= ~F −m~aT −m~aC

da cui:

~Φ = −m~aT −m~aCD. Galli

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SdR in Moto Accelerato (III)

Ovvero, definite le pseudo-forze:

~ΦT = −m~aT = −mî~aO + ~ω ∧ ~r + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r )

ó~ΦC = −m~aC = −2m~ω ∧ ~v

dette rispettivamente pseudo-forza di trascinamento epseudo-forza complementare o pseudo-forza di Coriolis, si ottiene:

~Φ = ~ΦT + ~ΦC

~F + ~Φ = m~a

Si può scrivere la legge fondamentale

della dinamica in un SdR non inerziale

sommando alla risultante ~F delle forzela risultante ~Φ delle pseudo-forze.

D. Galli

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SdR in Moto Accelerato (IV)

Nell’espressione della pseudo-forza di trascinamento:

~ΦT = −m~aT = −mî~aO + ~ω ∧ ~r + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r )

óil termine:

~Φcentrifuga = −m~ω ∧ (~ω ∧ ~r )

è detto pseudo-forza centrifuga, mentre il termine:

~ΦEulero = −m~ω ∧ ~r

è detto pseudo-forza di Eulero (anchepseudo-forza trasversale o pseudo-forza

azimutale).

D. Galli

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SdR in Moto Accelerato (V)

Le pseudo-forze ~Φ (dette anche forze inerziali, forze apparenti, forzefittizie o forze di d’Alambert):

Non dipendono dalla presenza di altri corpi con cui il punto materialeP interagisce, dunque non sono vere forze.

Sono tuttavia misurabili con un dinamometro (a dispetto degliattributi “pseudo”, “fittizie” e “apparenti”) nel SdR non-inerziale;Sono assenti nei SdR inerziali:

N. B.: La pseudo-forza centrifuga, essendo una pseudo-forza è sempreassente nei SdR inerziali.

Devono essere considerate e sommate vettorialmente alle forze ~Fquando si affronta un problema di fisica in un SdR non-inerziale.

D. Galli

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SdR che Trasla Rispetto a un SdR InerzialeMoto Rettilineo Uniforme

Esempio

Consideriamo un punto materiale libero sul pavimento di un treno che si muovea velocità costante:

~F = ~FP + ~Rn = ~0

~ω ≡ 0, ~aO = ~0 ⇒ ~Φ = ~0

Se il punto P è inizialmente in quiete rispetto al treno, esso continua a rimanerein quiete rispetto al treno:

O′x′y′z′ : ~v ′ ≡ ~vO ~a ′ ≡ ~0 ~F = ~0

Oxyz : ~v ≡ ~0 ~a ≡ ~0 ~F + ~Φ = ~0

~Φ = ~ΦT + ~ΦC

~ΦT = −m[~aO + ~ω ∧ ~r + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r )

]~ΦC = −2m~ω ∧ ~v

D. Galli

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SdR che Trasla Rispetto a un SdR InerzialeMoto Rettilineo Accelerato. Punto Libero

Esempio

Consideriamo un punto materiale libero sul pavimento di un treno che frena

con accelerazione costante ~aO :~F = ~FP + ~Rn = ~0

~ω ≡ 0, ~aO 6= ~0 ⇒ ~Φ = −m~aO

Quindi detto t = 0 l’istante in cui il treno inizia a frenare:O′x′y′z′ : ~v ′ ≡ ~vO (0) ~a ′ ≡ ~0 ~F = ~0

Oxyz : ~v = −~aO t ~a ≡ −~aO ~F + ~Φ = −m~aOI Osservatore a terra: il punto P , inizialmente in

moto con velocità ~v ′ = vO (0), continua a

muoversi con velocità ~v ′ = vO (0).I Osservatore sul treno: il punto P , inizialmente

in quiete, inizia a muoversi in avanti a causadella pseudo-forza di trascinamento:~Φ = ~ΦT = −m~aO

~Φ = ~ΦT + ~ΦC

~ΦT = −m[~aO + ~ω ∧ ~r + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r )

]~ΦC = −2m~ω ∧ ~v

accelerazione del trenomassa del punto materiale

D. Galli

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SdR che Trasla Rispetto a un SdR InerzialeMoto Rettilineo Accelerato. Punto Trattenuto

Esempio

Consideriamo un punto materiale trattenuto da una molla sul pavimento di untreno che frena con accelerazione costante ~aO :~F = ~FP + ~Rn + ~Fe = ~Fe 6= ~0

~ω ≡ 0, ~aO 6= ~0 ⇒ ~Φ = −m~aO

Quindi:O′x′y′z′ : ~v ′ = ~vO = ~aO t ~a ′ ≡ ~aO ~F = ~Fe 6= ~0

Oxyz : ~v = ~0 ~a ≡ ~0 ~F + ~Φ = ~Fe −m~aO = ~0

I Osservatore a terra: il punto P , inizialmente inmoto con velocità ~v ′ = vO (0), decelera a causadella molla che lo trattiene.

I Osservatore sul treno: il punto P , rimane inquiete in quanto la pseudo-forza di trascinamen-to è equilibrata dalla forza elastica della molla:~Fe = −~ΦT = m~aO ⇒ ~Fe + ~ΦT = ~0

~Φ = ~ΦT + ~ΦC

~ΦT = −m[~aO + ~ω ∧ ~r + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r )

]~ΦC = −2m~ω ∧ ~v

D. Galli

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SdR che Ruota Rispetto a un SdR InerzialePunto Trattenuto, in Quiete nel SdR Mobile

Esempio

I Consideriamo un punto materiale trattenuto da una molla sul pavimento diuna giostra che ruota uniformemente.

I Supponiamo che il punto P sia in quiete rispetto alla giostra.I Osservatore a terra: P si muove di moto circolare uniforme. La forza

elastica (centripeta) della molla è uguale al prodotto della massa del puntoper la sua accelerazione:~F = ~FP + ~Rn + ~Fe = ~Fe 6= ~0

~F = m~a = ms2

rn = −mω2 r rOP = −mω2 ~rOP︸︷︷︸

centripetaelasticaI Per l’osservatore a terra non sono

presenti altre forze.I Per l’osservatore a terra le forze non sono

equilibrate:Se fossero equilibrate il moto sarebberettilineo e uniforme, non circolare.

s = r ω

D. Galli

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SdR che Ruota Rispetto a un SdR InerzialePunto Trattenuto, in Quiete nel SdR Mobile (II)

Esempio

I Osservatore sulla giostra: P è in quiete.

~F + ~Φ = −mω2 ~rOP︸︷︷︸centripetaelastica

−m~ω ∧ (~ω ∧ ~rOP )︸︷︷︸centrifuga

=

= −mω2 ~rOP +mω2 ~rOP = ~0

I La forza elastica (centripeta) della molla èequilibrata dalla pseudo-forza di trascinamento(centrifuga).

I Per l’osservatore sulla giostra le forze sono

equilibrate (la risultante è nulla).I Il punto materiale può rimanere in quiete

proprio perché la risultante è nulla.

~Φ = ~ΦT + ~ΦC

~ΦT = −m[~aO + ~ω ∧ ~r + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r )

]~ΦC = −2m~ω ∧ ~v

~aO = ~0 (moto rotatorio giostra),~ω ≡ cost. (moto uniforme giostra),~ω = ~0,~v = ~0 (punto P in quiete).

D. Galli

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SdR che Ruota Rispetto a un SdR InerzialePunto Trattenuto, in Quiete nel SdR Mobile (III)

Esempio

I Osservatore a terra:P si muove di moto circolare uniforme.Le forze non sono equilibrate:~F = ~FP + ~Rn + ~Fe = ~Fe = −mω2 ~rOP 6= ~0

L’accelerazione è diversa da zero e centripeta:

~a =~F

m= −ω2 ~rOP =

s2

rn 6= ~0

I Osservatore sulla giostra:P è in quiete.Forze e pseudo-forze sono equilibrate:~F + ~Φ = ~FP + ~Rn + ~Fe + ~ΦT = ~0

L’accelerazione è nulla (P rimane in quiete):

~a =~F + ~Φ

m= ~0

SdR a terra:Forza centripeta: presente;Forza centrifuga: assente;Forza totale: non nulla;Moto: circolare uniforme.

SdR della giostra:Forza centripeta: presente;Forza centrifuga: presente;Forza totale: nulla;Moto: assente.

D. Galli

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SdR che Ruota Rispetto a un SdR InerzialePunto Vincolato in una Scanalatura Radiale

Esempio

Consideriamo un punto materiale P vincolatoda una scanalatura radiale sul pavimento diuna giostra che ruota uniformemente.I Osservatore a terra: P si muove lungo una

traiettoria a spirale, sottoposto alla forza(tangenziale) del vincolo che si modifica neltempo:~F = ~Rn = Rn

I Osservatore sulla giostra:

~F + ~Φ =��~Rn + ~ΦT +�

�~ΦC = −m~ω ∧ (~ω ∧ ~rOP )I La pseudo-forza di Coriolis è equilibrata dalla

reazione vincolare della scanalatura:~Rn = −~ΦC = 2m~ω ∧ ~v

I P si muove accelerando in direzione radiale lungo lascanalatura, soggetto alla pseudo-forza di trascinamento.

~Φ = ~ΦT + ~ΦC

~ΦT = −m[~aO + ~ω ∧ ~r + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r )

]~ΦC = −2m~ω ∧ ~v

~aO = ~0 (moto rotatorio giostra),~ω ≡ cost. (moto uniforme giostra),~ω = ~0.

D. Galli

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Dipendenza di g dalla Latitudine

Se il SdR terrestre fosse inerziale,l’accelerazione di caduta dei gravi, g,sarebbe determinata, in ogni luogo,soltanto dalla forza gravitazionale.

In realtà il SdR terrestre non è

perfettamente inerziale, innanzitutto acausa della rotazione attorno al proprio asse.

Se un punto P sulla superficie terrestre èin quiete (~v = ~0), la pseudo-forza di Coriolisè nulla, mentre la pseudo-forza di

trascinamento (centrifuga) ~ΦT vale:

~ΦT = −m~ω ∧ (~ω ∧ ~rOP )

~Φ = ~ΦT + ~ΦC

~ΦT = −m[~aO + ~ω ∧ ~r + ~ω ∧ (~ω ∧ ~r )

]~ΦC = −2m~ω ∧ ~v

~aO = ~0 (moto rotatorio Terra),~ω ≡ cost. (moto uniforme Terra),~ω = ~0,~v = ~0 (punto in quiete).

D. Galli

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Dipendenza di g dalla Latitudine (II)

Per la regola della mano destra (si veda figura), ~ΦT è perpendicolareall’asse terrestre e giace nel piano individuato da P , O e N .

Il modulo di ΦT è:∥∥∥~ΦT

∥∥∥ = mω2R cos θ

La forza peso m~g è la risultante dell’attrazione gravitazionale m~g ′

e della pseudo-forza centrifuga ~ΦT :

m~g = m~g ′ + ~ΦT

Separando le componenti parallela eperpendicolare a ~rOP si ha:

‖⊥

{mg cosϕ = mg′ − ΦT cos θ

mg sinϕ = ΦT sin θ

‖~ω ∧ ~rOP ‖ = ωR cos θ

‖~ω ∧ (~ω ∧ ~rOP )‖ = ω2R cos θ

D. Galli

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Dipendenza di g dalla Latitudine (III)

‖⊥

{mg cosϕ = mg′ − ΦT cos θ

mg sinϕ = ΦT sin θ

‖

⊥

g cosϕ = g′ − ΦT

mcos θ = g′ − ω2R cos2 θ

g sinϕ =ΦT

msin θ = ω2R cos θ sin θ

Poiché ϕ ≈ 2 mrad ⇒ cosϕ� sinϕ, si ha:

g (θ) ≈ g′ (θ)− ω2R cos2 θ

legge verificata sperimentalmente.

All’equatore risulta:g (0) ≈ 9.780 m/s2

g′ (0) ≈ 9.814 m/s2

ω2R ≈ 0.034 m/s2

∥∥∥~ΦT

∥∥∥ = mω2R cos θ

D. Galli

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Ancora su Massa Inerziale e MassaGravitazionale

Per essere più precisi, la forza peso è data da:

m(i) ~g = −γ m(g)T m(g)

R2R−m(i) ~ω ∧ (~ω ∧ ~rOP )

Se la massa inerziale non fosse proporzionale alla massagravitazionale, allora la direzione della forza peso,nello stesso luogo, varierebbe al variare

della massa del corpo.

Misurando la costanza della direzione

della forza peso al variare della massasi conferma sperimentalmente laproporzionalità tra massa inerziale e

massa gravitazionale.

D. Galli

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Effetti della Pseudo-Forza di CoriolisDeviazione verso Oriente dei Gravi in Caduta Libera

In entrambi gli emisferi un corpo in caduta

libera devia verso est.

SdR terrestre (non inerziale): è l’effettodella pseudo-forza di Coriolis:~ω ∧ ~v è diretto verso ovest;~ΦC = −2m~ω ∧ ~v è diretto verso est.

SdR inerziale: Il grave, se parte in quieterispetto alla Terra, nel SdR inerziale ha unavelocità iniziale ~v0 verso est che non è

modificata dalla gravità durante il moto di caduta.La velocità angolare ω = v0

RT+h perciò aumenta quando ilgrave diminuisce l’altezza h, diventando superiore a quellaterrestre.

D. Galli

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Effetti della Pseudo-Forza di CoriolisDeviazione dei Moti sulla Superficie Terrestre

Se invece un corpo si muove sulla superficie terrestre, è deviato:

Verso destra (rispetto al verso del moto) nell’emisfero Nord;

Verso sinistra (rispetto al verso del moto) nell’emisfero Sud.

emisfero nord: moto verso norddeviato verso est

emisfero nord: moto verso suddeviato verso ovest

~ΦC = −2m~ω ∧ ~v

D. Galli

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Effetti della Pseudo-Forza di CoriolisDeviazione dei Moti sulla Superficie Terrestre (II)

Nei moti in direzione est-ovest la pseudo-forza di Coriolis, oltre allacomponente orizzontale ha anche una componente verticale.

emisfero nord: moto verso estdeviato verso sud

emisfero nord: moto verso ovestdeviato verso nord

~ΦC = −2m~ω ∧ ~v

D. Galli

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Effetti della Pseudo-Forza di CoriolisDeviazione dei Moti sulla Superficie Terrestre (III)

Maggior consumo delle sponde destre dei fiumi (emisfero Nord).

Maggior consumo delle rotaie destre dei binari dei treni (emisferoNord).Moto di cicloni e anticicloni. Il vento è deviato:

Verso destra nell’emisfero nord;Verso sinistra nell’emisfero sud.

emisfero nord emisfero sudciclone anticiclone ciclone anticiclone

~ΦC = −2m~ω ∧ ~v

D. Galli

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Effetti della Pseudo-Forza di CoriolisPendolo di Foucault

Il piano di oscillazione di un pendolo ruota nel tempo:

Osservatore nel SdR inerziale: il piano di oscillazione del pendolorimane costante (perché forza e velocità giacciono sullo stessopiano), ma la Terra ruota rispetto a esso.

Osservatore nel SdR terrestre: il piano di oscillazione del pendoloruota perché in ogni movimento il pendolo è deviato verso destra(nell’emisfero Nord) dalla pseudo-forza di Coriolis.

curvatura verso destraesagerata nella figura

D. Galli

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Effetti della Pseudo-Forza di CoriolisPendolo di Foucault (II)

Calcoliamo la rotazione del piano di oscillazione delpendolo nel SdR inerziale:

Il piano di oscillazione del pendolo, al polo, compieun giro completo in un giorno sidereo.

All’equatore il piano di oscillazione del pendolonon ruota.

Alla latitudine intermedia ϕ la rotazionedα del piano di oscillazione del pendolo èminore della rotazione terrestre dα′:

ds = r dα′

ds = DP dα =r

sinϕdα

dα =sinϕ

rds =

sinϕ

rr dα′ = sinϕdα′

D. Galli

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Effetti della Pseudo-Forza di CoriolisPendolo di Foucault (III)

Otteniamo quindi:︷︸︸︷dα = (sinϕ)

︷︸︸︷dα′

ω = ω′ sinϕ

A 45◦ di latitudine, il piano del pendoloruota in un giorno sidereo di un angolopari a:

∆α =

√2

2360◦ ≈ 254.6◦

rotazione del piano del pendolo

rotazione della Terra

velocità angolare della Terra

velocità angolare di rotazionedel piano del pendolo

D. Galli

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Domenico GalliDipartimento di Fisica e Astronomia

[email protected]://www.unibo.it/sitoweb/domenico.galli

https://wiki-lhcb.bo.infn.it/bin/view/GalliDidattica

D. Galli

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Meccanica – 10. Pseudo-Forze

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