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Maurizio Prazzoli

Appunti di Controlli Automatici A

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Testi di riferirmento:

Controlli automatici Di Giovanni Marro

Feedback and Control Systems: Continuous (Analog) and Discrete

(Digital) Di Joseph J. DiStefano, Allen R. Stubberud,Ivan J. Williams

Advanced control engineering Di Roland S. Burns

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MaurizioOval

MaurizioCalloutCondizioni iniziali

MaurizioOval

MaurizioCalloutSegnale ingresso

MaurizioText BoxSono arrivato a determinare una soluzione dell'equazione differenziale di partenza nello spazio delle derivate. Il problema può essere interpretato come la richiesta di determinare l'uscita di un sistema dinamico descritto da una equazione differenziale, una volta noto il segnale di ingresso e le condizioni iniziali che lo descrivono. Per proseguire e determinare la soluzione nel dominio del tempo, occorre antitrasformare la funzione trovata.

Applicando il teorema del valore finale,

f ð1Þ ¼ lims!0

sFðsÞ ¼ lims!0

5s

s2 þ 4sþ 29¼ 0

come ci si attendeva dalla f ðtÞ data. Come ulteriore esempio,

f ðtÞ ¼ sin t uðtÞ () f ðsÞ ¼1

s2 þ 1ð16:46Þ

cosı̀ che

f ð1Þ ¼ lims!0

sFðsÞ ¼ lims!0

s

s2 þ 1¼ 0

Questo risultato non è corretto, perché f ðtÞ ¼ sin t oscilla tra þ1 e ÿ1, e non ammet-te limite per t ! 1. Il teorema del valore finale non può allora essere utilizzato perdeterminare il valore finale di f ðtÞ ¼ sin t, perché FðsÞ possiede i poli s ¼ �j, chenon si trovano nel semipiano s sinistro. In generale, il teorema del valore finale non sipuò applicare per calcolare i valori finali di funzioni sinusoidali – queste funzionioscillano indefinitamente e non possiedono valore finale. I teoremi del valore inizialee finale esprimono le relazioni tra l’origine e l’infinito nel dominio del tempo e nel do-minio s. Essi sono anche utili come verifiche per le trasformate di Laplace calcolate.La Tabella 16.1 fornisce un elenco delle proprietà della trasformata di Laplace.L’ultima proprietà (convoluzione) verrà dimostrata nel Paragrafo 16.5. Esistono anchealtre proprietà della trasformata di Laplace, ma quelle finora mostrate sono sufficientiper gli scopi che ci si propongono. La Tabella 16.2 riassume le trasformate di Laplacedi alcune funzioni di uso comune. Il fattore uðtÞ è stato omesso, eccetto quando essorisulti strettamente necessario.

Tabella 16.1 Proprietà della trasformata di Laplace.

Proprietà fðtÞ FðsÞ

Linearità a1 f1ðtÞ þ a2 f2ðtÞ a1F1ðsÞ þ a2F2ðsÞ

Scaling fðatÞ1

aF

s

a

� �

Traslazione nel tempo fðt ÿ aÞuðt ÿ aÞ eÿasFðsÞ

Traslazione nella frequenza eÿatfðtÞ Fðsþ aÞ

Derivazione nel tempodf

dtsFðsÞ ÿ fð0ÿÞ

d2f

dt2s2FðsÞ ÿ sfð0ÿÞ ÿ f 0ð0ÿÞ

d3f

dt3

s3FðsÞ ÿ s2fð0ÿÞ ÿ sf 0ð0ÿÞ

ÿ f 00ð0ÿÞ

dnf

dtnsnFðsÞ ÿ snÿ1fð0ÿÞ ÿ snÿ2f 0ð0ÿÞ

ÿ . . .ÿ f ðnÿ1Þð0ÿÞ

Integrale nel tempo

Z

t

0

fðtÞdt1

sFðsÞ

Derivazione nella frequenza tfðtÞ ÿd

dsFðsÞ

Integrazione nella frequenzafðtÞ

t

Z 1

s

FðsÞds

Periodicità nel tempo fðtÞ ¼ fðt þ nTÞF1ðsÞ

1ÿ eÿsT

Valore iniziale fð0þÞ lims!1

sFðsÞ

Valore finale fð1Þ lims!0

sFðsÞ

Convoluzione f1ðtÞ � f2ðtÞ F1ðsÞF2ðsÞ

Tabella 16.2 Trasformate di Laplace

notevoli*

fðtÞ FðsÞ

�ðtÞ 1

uðtÞ1

s

eÿat1

sþ a

t1

s2

tnn!

snþ1

teÿat1

ðsþ aÞ2

tneÿatn!

ðsþ aÞnþ1

sin!t!

s2 þ !2

cos!ts

s2 þ !2

sinð!t þ �Þs sin �þ ! cos �

s2 þ !2

cosð!t þ �Þs cos �ÿ ! sin �

s2 þ !2

eÿat sin!t!

ðsþ aÞ2 þ !2

eÿat cos!tsþ a

ðsþ aÞ2 þ !2

* Definite per t � 0, fðtÞ ¼ 0 per t < 0:

10 Capitolo 16 – Trasformata di Laplace

"Circuiti elettrici 3/ed" - Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku

Copyright © 2008 - The McGraw-Hill Companies srl

PAGINA: 12

MaurizioText Box

MaurizioRectangle

MaurizioCalloutFORMULA GENERALE

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MaurizioText BoxDERIVATEGENERALIZZATE!!

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Per essere certi che il teorema del valore finale si possa applicare, si osserva dove sono collocati i po-

li di HðsÞ. I poli di HðsÞ sono s ¼ �3, �4 � j3, che hanno tutti quanti parte reale negativa: essi so-no tutti situati nel semipiano s sinistro (Figura 16.9).

Il teorema del valore finale risulta allora applicabile,

hð1Þ ¼ lims!0

sHðsÞ ¼ lims!0

20s

ðsþ 3Þðs2 þ 8sþ 25Þ

¼ 0ð0 þ 3Þð0 þ 0 þ 25Þ ¼ 0

Sia il valore iniziale che quello finale si sarebbero potuti determinare da hðtÞ, se questa fosse statanota. Si veda l’Esempio 16.11, nel quale l’espressione di hðtÞ è data.

n Esercizio 16.7 Ottenere i valori iniziale e finale per

GðsÞ ¼ s3 þ 2sþ 6

sðsþ 1Þ2ðsþ 3Þ

Risposta 1, 2. n

16.4 ANTITRASFORMATA DI LAPLACE

Data FðsÞ, come è possibile ritrasformarla nel dominio del tempo, ottenendo cosı̀ laf ðtÞ corrispondente? Ricorrendo ai risultati della Tabella 16.2, è spesso possibile evi-tare l’applicazione della (16.5) per determinare f ðtÞ. Si supponga che FðsÞ abbia laforma generale

FðsÞ ¼ NðsÞDðsÞ ð16:47Þ

dove NðsÞ è il polinomio numeratore e DðsÞ il polinomio denominatore. Le radici diNðsÞ ¼ 0 sono dette zeri di FðsÞ, mentre le radici di DðsÞ ¼ 0 sono i poli di FðsÞ.Nonostante la (16.47) abbia forma simile alla (14.3), in questo caso FðsÞ è la trasfor-mata di Laplace di una funzione, e non è necessariamente una funzione di trasferi-mento. Si può usare l’espansione in frazioni parziali per scomporre FðsÞ nella sommadi termini più semplici le cui antitrasformate possono essere ottenute dalla Tabella16.2�. La determinazione della antitrasformata di Laplace di FðsÞ si svolge quindi indue passi.

Procedimento per la determinazione dell’antitrasformata di Laplace:

1. Scomporre FðsÞ in termini semplici mediante l’espansione in frazioni par-ziali.

2. Determinare l’antitrasformata di ciascun termine ricercandola nella Tabella16.2.

Si considerano ora le tre possibili forme che FðsÞ può assumere, e la conseguente ap-plicazione dei due passi prima visti a ciascuna forma.

Po l i semp l i c iSi ricordi dal Capitolo 14 che un polo semplice è un polo del primo ordine. Se FðsÞpossiede soltanto poli semplici, allora DðsÞ si può esprimere come prodotto di fattori,cosı̀ che

FðsÞ ¼ NðsÞðsþ p1Þðsþ p2Þ � � � ðsþ pnÞð16:48Þ

dove s ¼ �p1, �p2, . . . , � pn sono i poli semplici, e pi 6¼ pj per ogni i 6¼ j (i poli so-

16.4 Antitrasformata di Laplace 13

* Strumenti software quali MATLAB, Mathcad e Maple consentono di calcolare facilmente l’espansionein frazioni parziali.

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MaurizioText Box

MaurizioCalloutcioè non abbiano molteplicità di soluzioni

MaurizioLine

no cioè distinti). Supponendo che il grado di NðsÞ sia minore del grado di DðsÞ, si puòusare l’espansione in frazioni parziali per scomporre FðsÞ nella (16.48) in3

FðsÞ ¼ k1sþ p1

þ k2sþ p2

þ � � � þ knsþ pn

ð16:49Þ

I coefficienti k1, k2, . . . , kn dell’espansione sono detti residui di FðsÞ. Esistono moltimetodi per determinare i coefficienti dell’espansione. Uno di questi è il metodo dei re-sidui. Se si moltiplicano entrambi i membri della (16.49) per ðsþ p1Þ, si ottiene

ðsþ p1ÞFðsÞ ¼ k1 þðsþ p1Þk2sþ p2

þ � � � þ ðsþ p1Þknsþ pn

ð16:50Þ

Poiché pi 6¼ pj, ponendo s ¼ �p1 nella (16.50) si annullano tutti i termini nel secondomembro della (16.50) ad eccezione di k1:

ðsþ p1ÞFðsÞjs¼�p1¼ k1 ð16:51ÞPerciò, in generale,

ki ¼ ðsþ piÞFðsÞjs¼�pi ð16:52Þ

Quest’ultima è l’espressione del teorema di Heaviside. Una volta noti i valori di ki, sipuò procedere a determinare l’antitrasformata di FðsÞ usando la (16.49). Poiché l’anti-trasformata di ciascun termine nella (16.49) è L�1½k=ðsþ aÞ� ¼ ke�atuðtÞ, allora, dal-la Tabella 16.1,

f ðtÞ ¼ k1e�p1t þ k2e�p2t þ � � � þ kne�pntð ÞuðtÞ ð16:53Þ

Po l i mu l t i p l iSi supponga ora che FðsÞ abbia n poli coincidenti in s ¼ �p. È allora possibile rappre-sentare FðsÞ come

FðsÞ ¼ knðsþ pÞn þkn�1

ðsþ pÞn�1þ � � � þ k2

ðsþ pÞ2

þ k1sþ p þ F1ðsÞ

ð16:54Þ

dove F1ðsÞ è la parte restante di FðsÞ, che non possiede poli in s ¼ �p. Il coefficientedi espansione kn si determina come

kn ¼ ðsþ pÞnFðsÞjs¼�p ð16:55Þ

come si è fatto in precedenza. Per determinare kn�1, si moltiplica ciascun termine del-la (16.54) per ðsþ pÞn e se ne fa la derivata, per eliminare kn, valutando poi il risultatoin s ¼ �p per eliminare gli altri coefficienti ad eccezione di kn�1. Si ottiene allora

kn�1 ¼d

ds½ðsþ pÞnFðsÞ�js¼�p ð16:56Þ

Ripetendo il procedimento, questo dà luogo a

kn�2 ¼1

2!

d2

ds2½ðsþ pÞnFðsÞ�js¼�p ð16:57Þ

L’m-esimo termine diventa

kn�m ¼1

m!

dm

dsm½ðsþ pÞnFðsÞ�js¼�p ð16:58Þ


3 In caso contrario, è necessario dapprima applicare la divisione dei polinomi per ottenere FðsÞ ¼NðsÞ=DðsÞ ¼ QðsÞ þ RðsÞ=DðsÞ, in cui il grado di RðsÞ, resto della divisione, è minore del grado di DðsÞ.

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MaurizioLine

MaurizioLine

MaurizioLine

con m ¼ 1, 2, . . . , n� 1. Ci si può aspettare che l’operazione di derivazione diventifaticosa al crescere di m. Una volta ottenuti i valori di k1, k2, . . . , kn con l’espansionein frazioni parziali, si applica l’antitrasformazione

L�1 1ðsþ aÞn� �

¼ tn�1e�at

ðn� 1Þ! uðtÞ ð16:59Þ

a ciascuno dei termini nel secondo membro della (16.54), ottenendo

f ðtÞ ¼�k1e

�pt þ k2te�pt þk3

2!t2e�pt

þ � � � þ knðn� 1Þ! tn�1e�pt

�uðtÞ þ f1ðtÞ

ð16:60Þ

Po l i comp le s s iUna coppia di poli complessi si dice semplice se non presenta ripetizioni; costituisce in-vece un polo doppio o multiplo se ha ripetizioni. I poli complessi semplici possono es-sere trattati allo stesso modo dei poli semplici reali, ma il risultato può diventare com-putazionalmente pesante a causa della presenza dei numeri complessi. Un metodo dipiù semplice applicazione è quello del completamento del quadrato. L’idea alla basedel metodo è quella di esprimere ciascuna coppia di poli complessi (o termine quadrati-co) in DðsÞ come un quadrato completo, per esempio nella forma ðsþ �Þ2 þ �2, ed uti-lizzare poi la Tabella 16.2 per determinare l’antitrasformata di tale termine. PoichéNðsÞ e DðsÞ hanno sempre coefficienti reali, ed è noto che radici complesse di polinomicon coefficienti reali devono presentarsi sempre in coppie coniugate, FðsÞ può avere laforma generale

FðsÞ ¼ A1sþ A2s2 þ asþ b þ F1ðsÞ ð16:61Þ

dove F1ðsÞ è la parte restante di FðsÞ che non contiene questa particolare coppia di po-li complessi. Se si completa il quadrato, ponendo

s2 þ asþ b ¼ s2 þ 2�sþ �2 þ �2 ¼ ðsþ �Þ2 þ �2 ð16:62Þe si pone inoltre

A1sþ A2 ¼ A1ðsþ �Þ þ B1� ð16:63Þallora la (16.61) diventa

FðsÞ ¼ A1ðsþ �Þðsþ �Þ2 þ �2

þ B1�ðsþ �Þ2 þ �2

þ F1ðsÞ ð16:64Þ

Dalla Tabella 16.2, l’antitrasformata è

f ðtÞ ¼ A1e��t cos �t þ B1e��t sin �t þ f1ðtÞ ð16:65Þ

I termini seno e coseno possono essere poi combinati mediante la (9.12). Sia che il po-lo risulti semplice, multiplo o complesso, un approccio generale che è sempre in gra-do di determinare i coefficienti dell’espansione è il metodo algebrico, illustrato negliEsempi da 16.9 a 16.11. Per applicarlo, si eguaglia dapprima FðsÞ ¼ NðsÞ=DðsÞ aduna espansione che contiene costanti incognite. Si moltiplica il risultato per un deno-minatore comune. Si determinano poi le costanti incognite uguagliando i coefficienti(cioè, risolvendo un sistema di equazioni per i coefficienti di potenze corrispondentidi s). Un altro approccio generale consiste nel sostituire particolari valori convenientidi s al fine di ottenere tante equazioni quanti sono i coefficienti incogniti, e risolverepoi rispetto ai coefficienti. È importante accertarsi che nessuno dei valori di s scelti siauno dei poli di FðsÞ. L’Esempio 16.11 mostra l’uso di quest’ultimo procedimento.


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Esempio 16.8

Determinare l’antitrasformata di Laplace di

FðsÞ ¼ 3s� 5

sþ 1 þ6

s2 þ 4

Soluzione: L’antitrasformata è data da

f ðtÞ ¼ L�1½FðsÞ� ¼ L�1 3s

� �� L�1 5

sþ 1

� �þ L�1 6

s2 þ 4

� �

¼ ð3 � 5e�t þ 3 sin 2tÞuðtÞ, t � 0in cui è stata consultata la Tabella 16.2 per trovare l’antitrasformata di ciascun termine.

n Esercizio 16.8 Determinare l’antitrasformata di Laplace di

FðsÞ ¼ 1 þ 4sþ 3 �

5s

s2 þ 16

Risposta �ðtÞ þ 4e�3t � 5 cos 4t, t � 0. n

Esempio 16.9

Determinare f ðtÞ, dataFðsÞ ¼ s

2 þ 12sðsþ 2Þðsþ 3Þ

Soluzione: A differenza dell’esempio precedente, nel quale le frazioni parziali erano già date, ènecessario dapprima determinare l’espansione in frazioni parziali. Poiché si hanno tre poli, si pone

s2 þ 12sðsþ 2Þðsþ 3Þ ¼

A

sþ B

sþ 2 þC

sþ 3 ð16:9:1Þ

dove A, B e C sono le costanti da determinare. È possibile ottenere i valori delle costanti in due modi:

METODO 1

Metodo dei residui:

A ¼ sFðsÞjs¼0 ¼s2 þ 12

ðsþ 2Þðsþ 3Þ

��s¼0

¼ 12ð2Þð3Þ ¼ 2

B ¼ ðsþ 2ÞFðsÞjs¼�2¼s2 þ 12sðsþ 3Þ

��s¼�2

¼ 4 þ 12ð�2Þð1Þ ¼ �8

C ¼ ðsþ 3ÞFðsÞjs¼�3¼s2 þ 12sðsþ 2Þ

��s¼�3

¼ 9 þ 12ð�3Þð�1Þ ¼ 7

METODO 2

Metodo algebrico: Moltiplicando entrambi i membri della (16.9.1) per sðsþ 2Þðsþ 3Þ, si ottiene

s2 þ 12 ¼ Aðsþ 2Þðsþ 3Þ þ Bsðsþ 3Þ þ Csðsþ 2Þcioè

s2 þ 12 ¼ Aðs2 þ 5sþ 6Þ þ Bðs2 þ 3sÞ þ Cðs2 þ 2sÞUguagliando i coefficienti delle potenze corrispondenti di s si ottiene

Costante: 12 ¼ 6A ¼) A ¼ 2s : 0 ¼ 5Aþ 3Bþ 2C ¼) 3Bþ 2C ¼ �10s2 : 1 ¼ Aþ Bþ C ¼) Bþ C ¼ �1

Perciò A ¼ 2, B ¼ �8, C ¼ 7 e la (16.9.1) diventa

FðsÞ ¼ 2s� 8

sþ 2 þ7

sþ 3Facendo l’antitrasformata di ciascun termine si ottiene allora

f ðtÞ ¼ ð2 � 8e�2t þ 7e�3tÞuðtÞ, t � 0:


PAGINA: 18

n Esercizio 16.9 Determinare fðtÞ se

FðsÞ ¼ 6ðsþ 2Þðsþ 1Þðsþ 3Þðsþ 4Þ

Risposta f ðtÞ ¼ ðe�t þ 3e�3t � 4e�4tÞuðtÞ, t � 0: n

Esempio 16.10

Calcolare vðtÞ dataV ðsÞ ¼ 10s

2 þ 4sðsþ 1Þðsþ 2Þ2

Soluzione: Mentre nell’esempio precedente erano presenti solo radici semplici, in questo esem-pio si hanno radici multiple. Si pone

V ðsÞ ¼ 10s2 þ 4

sðsþ 1Þðsþ 2Þ2

¼ Asþ B

sþ 1 þC

ðsþ 2Þ2þ D

sþ 2

ð16:10:1Þ

METODO 1

Metodo dei residui:

A ¼ sV ðsÞjs¼0¼10s2 þ 4

ðsþ 1Þðsþ 2Þ2

��s¼0

¼ 4ð1Þð2Þ2

¼ 1

B ¼ ðsþ 1ÞV ðsÞjs¼�1¼10s2 þ 4sðsþ 2Þ2

��s¼�1

¼ 14ð�1Þð1Þ2

¼ �14

C ¼ ðsþ 2Þ2V ðsÞjs¼�2¼10s2 þ 4sðsþ 1Þ

��s¼�2

¼ 44ð�2Þð�1Þ ¼ 22

D ¼ dds

½ðsþ 2Þ2V ðsÞ��s¼�2

¼ dds

10s2 þ 4s2 þ s

� ��s¼�2

¼ ðs2 þ sÞð20sÞ � ð10s2 þ 4Þð2sþ 1Þ

ðs2 þ sÞ2

��s¼�2

¼ 524

¼ 13

METODO 2

Metodo algebrico: Moltiplicando la (16.10.1) per sðsþ 1Þðsþ 2Þ2 si ottiene

10s2 þ 4 ¼ Aðsþ 1Þðsþ 2Þ2 þ Bsðsþ 2Þ2

þ Csðsþ 1Þ þ Dsðsþ 1Þðsþ 2Þe sviluppando

10s2 þ 4 ¼ Aðs3 þ 5s2 þ 8sþ 4Þ þ Bðs3 þ 4s2 þ 4sÞþ Cðs2 þ sÞ þ Dðs3 þ 3s2 þ 2sÞ

Uguagliando i coefficienti,

Costante: 4 ¼ 4A ¼) A ¼ 1s: 0 ¼ 8Aþ 4Bþ C þ 2D ¼) 4Bþ C þ 2D ¼ �8s2: 10 ¼ 5Aþ 4Bþ C þ 3D ¼) 4Bþ C þ 3D ¼ 5s3: 0 ¼ Aþ Bþ D ¼) Bþ D ¼ �1

Risolvendo quest’ultimo sistema di equazioni, si ottiene A ¼ 1, B ¼ �14, C ¼ 22, D ¼ 13, cosı̀ che

V ðsÞ ¼ 1s� 14

sþ 1 þ13

sþ 2 þ22

ðsþ 2Þ2


PAGINA: 19

Facendo l’antitrasformata di ciascun termine si ottiene

vðtÞ ¼ ð1 � 14e�t þ 13e�2t þ 22te�2tÞuðtÞ, t � 0

n Esercizio 16.10 Ottenere gðtÞ se

GðsÞ ¼ s3 þ 2sþ 6

sðsþ 1Þ2ðsþ 3Þ

Risposta ð2 � 3:25e�t � 1:5te�t þ 2:25e�3tÞuðtÞ, t � 0. n

Esempio 16.11

Determinare l’antitrasformata della funzione di s vista nell’Esempio 16.7:

HðsÞ ¼ 20ðsþ 3Þðs2 þ 8sþ 25Þ

Soluzione: In questo esempio, HðsÞ possiede una coppia di poli complessi in s2 þ 8sþ 25 ¼ 0cioè s ¼ �4 � j3. Si pone

HðsÞ ¼ 20ðsþ 3Þðs2 þ 8sþ 25Þ ¼A

sþ 3 þBsþ C

ðs2 þ 8sþ 25Þ ð16:11:1Þ

I coefficienti dell’espansione verranno ora determinati in due modi.

METODO 1

Combinazione di metodi: È possibile ottenere A usando il metodo dei residui,

A ¼ ðsþ 3ÞHðsÞjs¼�3¼20

s2 þ 8sþ 25

��s¼�3

¼ 2010

¼ 2

Nonostante B e C si possano ottenere anch’essi con il metodo dei residui, si eviterà di farlo per non

incorrere in calcoli con i numeri complessi.

In alternativa, si sostituiscono due particolari valori di s [per esempio s ¼ 0, 1, che non sono poli diFðsÞ] nella (16.11.1). Ciò porterà a due equazioni dalle quali si determineranno B e C. Ponendos ¼ 0 nella (16.11.1), si ottiene

20

75¼ A

3þ C

25

cioè

20 ¼ 25Aþ 3C ð16:11:2ÞEssendo A ¼ 2, la (16.11.2) fornisce C ¼ �10. Sostituendo s ¼ 1 nella (16.11.1) si ha

20

ð4Þð34Þ ¼A

4þ Bþ C

34

cioè

20 ¼ 34Aþ 4Bþ 4C ð16:11:3ÞMa A ¼ 2, C ¼ �10, cosı̀ che dalla (16.11.3) si ricava B ¼ �2.

METODO 2

Metodo algebrico: Moltiplicando entrambi i membri della (16.11.1) per ðsþ 3Þðs2 þ 8sþ 25Þ si ot-tiene

20 ¼ Aðs2 þ 8sþ 25Þ þ ðBsþ CÞðsþ 3Þ¼ Aðs2 þ 8sþ 25Þ þ Bðs2 þ 3sÞ þ Cðsþ 3Þ

ð16:11:4Þ

Uguagliando i coefficienti,

s2: 0 ¼ Aþ B ¼) A ¼ �Bs: 0 ¼ 8Aþ 3Bþ C ¼ 5Aþ C ¼) C ¼ �5ACostante: 20 ¼ 25Aþ 3C ¼ 25A� 15A ¼) A ¼ 2


PAGINA: 20

Da cui B ¼ �2, C ¼ �10. Allora

HðsÞ ¼ 2sþ 3 �

2sþ 10ðs2 þ 8sþ 25Þ ¼

2

sþ 3 �2ðsþ 4Þ þ 2ðsþ 4Þ2 þ 9

¼ 2sþ 3 �

2ðsþ 4Þðsþ 4Þ2 þ 9

� 23

3

ðsþ 4Þ2 þ 9

Facendo l’antitrasformata di ciascun termine, si ottiene

hðtÞ ¼ ð2e�3t � 2e�4t cos 3t � 23e�4t sin 3tÞuðtÞ ð16:11:5Þ

È corretto lasciare il risultato anche in questa forma. È tuttavia possibile combinare i termini in seno

e coseno nella forma

hðtÞ ¼ ð2e�3t � Re�4t cos ð3t � �ÞÞuðtÞ ð16:11:6ÞPer ottenere la (16.11.6) dalla (16.11.5) si è applicata la (9.12). Si determinano poi il coefficiente R e

l’angolo di fase �:

R ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi22 þ 2

3

� �2s¼ 2:108 � ¼ tan�1

23

2¼ 18:43�

Perciò, in definitiva

hðtÞ ¼ ð2e�3t � 2:108e�4t cos ð3t � 18:43�ÞÞuðtÞ

n Esercizio 16.11 Determinare gðtÞ data

GðsÞ ¼ 10ðsþ 1Þðs2 þ 4sþ 13Þ

Risposta e�t � e�2t cos 3t þ 13e�2t sin 3t, t � 0. n

16.5 INTEGRALE DI CONVOLUZIONE

La parola convolvere in latino significa ‘‘arrotolare.’’ La convoluzione rappresentauno strumento utilissimo per l’ingegnere, perché fornisce un metodo per visualizzaree caratterizzare il comportamento dei sistemi fisici. Essa viene usata, per esempio, nel-la determinazione della risposta yðtÞ di un sistema ad una eccitazione xðtÞ, nota la ri-sposta all’impulso hðtÞ del sistema. Ciò si ottiene grazie all’integrale di convoluzione,definito come

yðtÞ ¼Z 1�1

xð�Þhðt � �Þ d� ð16:66Þ

o semplicemente

yðtÞ ¼ xðtÞ � hðtÞ ð16:67Þdove � è una variabile di integrazione, e l’asterisco indica l’operazione di convoluzio-ne. Le (16.66), (16.67) affermano che l’uscita è uguale alla convoluzione dell’ingres-so con la risposta all’impulso unitario. L’operazione di convoluzione è commutativa:

yðtÞ ¼ xðtÞ � hðtÞ ¼ hðtÞ � xðtÞ ð16:68aÞo anche

yðtÞ ¼Z 1�1

xð�Þhðt � �Þ d� ¼Z 1�1

hð�Þxðt � �Þ d� ð16:68bÞ

Ciò significa che l’ordine nel quale due funzioni vengono convolute è indifferente aifini del risultato. Si vedrà fra poco come si può trarre vantaggio da questa proprietàcommutativa nell’eseguire il calcolo grafico dell’integrale di convoluzione.

16.5 Integrale di convoluzione 19

PAGINA: 21

La convoluzione di due segnali consiste nell’invertire il tempo nell’espressione di uno dei segnali,traslarlo e moltiplicarlo punto per punto per il secondo segnale, integrando il prodotto.

L’integrale di convoluzione della (16.66) è quello più generale, applicabile ad un qua-lunque sistema lineare.

L’espressione dell’integrale di convoluzione può essere invece semplificata se sisuppone che il sistema goda di due proprietà. Innanzitutto, se xðtÞ ¼ 0 per t < 0, allora

yðtÞ ¼Z 1�1

xð�Þhðt � �Þ d� ¼Z 1

0


In secondo luogo, se la risposta all’impulso del sistema è causale (cioè, hðtÞ ¼ 0 pert < 0), allora hðt � �Þ ¼ 0 per t � � < 0 cioè � > t, e la (16.69) diventa

yðtÞ ¼ hðtÞ � xðtÞ ¼Z t

0


Si elencano qui di seguito alcune delle proprietà dell’integrale di convoluzione.

1. xðtÞ � hðtÞ ¼ hðtÞ � xðtÞ (Commutativa)

2. f ðtÞ � ½xðtÞ þ yðtÞ� ¼ f ðtÞ � xðtÞ þ f ðtÞ � yðtÞ (Distributiva)

3. f ðtÞ � ½xðtÞ � yðtÞ� ¼ ½f ðtÞ � xðtÞ� � yðtÞ (Associativa)

4. f ðtÞ � �ðtÞ ¼Z 1�1

f ð�Þ�ðt � �Þ d� ¼ f ðtÞ

5. f ðtÞ � �ðt � toÞ ¼ f ðt � toÞ

6. f ðtÞ � �0ðtÞ ¼Z 1�1

f ð�Þ�0ðt � �Þ d� ¼ f 0ðtÞ

7. f ðtÞ � uðtÞ ¼Z 1�1

f ð�Þuðt � �Þ d� ¼Z t�1

f ð�Þ d�

Prima di vedere il procedimento di calcolo dell’integrale di convoluzione della(16.70), è bene chiarire il legame tra la trasformata di Laplace e l’integrale di convolu-zione. Date due funzioni f1ðtÞ e f2ðtÞ con trasformate di Laplace F1ðsÞ e F2ðsÞ rispetti-vamente, la loro convoluzione è

f ðtÞ ¼ f1ðtÞ � f2ðtÞ ¼Z t

0

f1ð�Þf2ðt � �Þ d� ð16:71Þ

Trasformando secondo Laplace, si ottiene

FðsÞ ¼ L½ f1ðtÞ � f2ðtÞ� ¼ F1ðsÞF2ðsÞ ð16:72ÞPer dimostrare la (16.72), si può iniziare ricordando che F1ðsÞ è definita come

F1ðsÞ ¼Z 1

0

f1ð�Þe�s� d� ð16:73Þ

Moltiplicando entrambi i membri per F2ðsÞ

F1ðsÞF2ðsÞ ¼Z 1

0

f1ð�Þ½F2ðsÞe�s�� d� ð16:74Þ

Si ricorda ora, dalla proprietà di traslazione nel tempo della (16.17), che il termine fraparentesi quadre può essere scritto come

F2ðsÞe�s� ¼L½ f2ðt � �Þuðt � �Þ�

¼Z 1

0

f2ðt � �Þuðt � �Þe�st dtð16:75Þ


PAGINA: 22

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PAGINA: 27

MaurizioText BoxLa funzione in zero non è derivabile! In quanto discontinua!!. Il teorema della derivata fino ad ora proposto e considerato, mi fornisce semplicemtne la trasformata di una funzione nulla per t=0+. Dunque la presenza di una discontinuità in zero, viene ignorata. Per la soluzione di questa equazione differenziale, devo tenere presente la discontinuità in zero, in quanto le condizioni iniziali, mi sono date per t=0-, cioè precedentemente al verificarsi di tale disontinuità! Presentiamo ora un artificio per aggirare il problema, ma questo consiste in complicazioni notevoli dal punto di vista dei calcoli matematici da fare, la soluzione a questo problema è rappresentata dalle derivate generalizzate.

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MaurizioText BoxDiscriminante

MaurizioText BoxTipo di risposta TRANSITORIA

MaurizioText BoxPER VALUTARE LA RISPOSTA TRANSITORIA

MaurizioText BoxRELAZIONE TRA DELTA - RADICI - TIPOLOGIA DI RISPOSTA TRANSITORIA

PAGINA: 45

MaurizioText Box

MaurizioText BoxDEFINISCO "BATTEZZANDO" LE DUE VARIABILI

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PAGINA: 47

MaurizioText Box

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PAGINA: 49

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MaurizioCalloutRitrovo la frequenza naturale

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PAGINA: 52

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MaurizioText BoxOra calcolo la antitrasformata. Dividento la Y(s) in due membri. Calcolando i due membri separatamente

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PAGINA: 53

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PAGINA: 57

MaurizioText BoxPARAMETRI RISPOSTA AL GRADINO

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PAGINA: 58

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PAGINA: 60

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The Dominant Pole approximation

Reduction of a second order system to first order

Consider a second order system with a transfer function that is reduced to first order.

This assumes that a>>b, or that the pole at b is dominant. The coefficient "a" remains in the denominator so that the DC gain (which

is also the final value of the output with a unit step input) remains unchanged. Recall that the DC gain is G(0).

The graph below shows the exact response (red) and the dominant pole approximation (green) for a=8 and b=1. Following the graph

is Matlab code in which you can set a with b=1 to see how accurate the dominant pole approximation is.

Example:

Code:

link to code

Higher Order

The dominant pole approximation can also be applied to higher order systems. Here we consider a third order system with one real

root, and a pair of complex conjugate roots.

In this case the test for the dominant pole compare "a" against "zwn". This is because "zwn" is the real part of the complex conjugate

root (we only compare the real parts of the roots when determining dominance because it is the real part that determines how fast the

response decreases). Note that the DC gain of the exact system and the two approximate systems are equal.

In the examples and Matlab code below, the second order pole has zeta=0.4 and wn=1 (which yields roots with a real part of 0.4 and

an imaginary part of +/-0.92j). There are three graphs. In the first graph a=0.1 (the real pole dominates), in the second graph a=4 (the

complex conjugate poles dominate) and in the third graph a=0.4 (neither dominates and the response is obviously more complicated

than a simple second order response). In all three graphs the exact response is in red, the approximate response in which the first

order pole dominates is in green, and the approximate response in which the second order pole dominates is in blue.

Examples:

Dominant Pole Approximation http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Class/e58/SpecialTopic...

1 di 2 12/11/2009 7.01

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Code:

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Dominant Pole Approximation http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Class/e58/SpecialTopic...

2 di 2 12/11/2009 7.01

PAGINA: 64

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PAGINA: 67

MaurizioRectangle

MaurizioRectangle

MaurizioText BoxValore costante. Tutti termini differenziali sono nulli!

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MaurizioRectangle

MaurizioLine

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MaurizioPencil

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PAGINA: 69

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Possiamo formulare il seguente teorema di cui vedremo una dimostrazione:

Un sistema lineare stazionario con funzione di trasferimento razionale fratta avente i poli a parte

reale negativa soggetto ad eccitazione sinusoidale presenta, a regime, una risposta sinusoidale

avente la stessa frequenza dell’eccitazione. La funzione di risposta armonica F(ω) è legata alla

funzione di trasferimento F(s) dalla relazione F(jω)

( Per quanto detto precedentemente condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema S sia

asintoticamente stabile è che S abbia tutti i poli a aprte reale negativa. Questo equivale dunque a

dire che il sistema è asintoticamente stabile cioè la sua risposta ad ogni perturbazione, tende ad

annullarsi per t che tende all’infinito )

Consideriamo dunque un sistema avente le caratteristiche prima citate soggetto ad un ingresso

u(t) = X sen (ωt) Nella figura l’ingresso è definito da x(t). Nella figura sotto è indicato misto il

sistema e l’uscita già trasformati con Laplace. L’ingresso è ancora nel dominio del tempo.

PAGINA: 72

MaurizioPencil

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I PAGINA: 75

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PAGINA: 76

MaurizioRectangle

MaurizioRectangle

MaurizioText BoxK1 = costante di trasferimento

MaurizioRectangle

MaurizioText BoxDa questa forma occorre:moltiplicare i poli/zeri reali per la costante di tempo Taudividere i poli/zeri complessi per il quadrato della frequenza naturale (omega_n)^2DEVO RIUSCIRE A SCRIVERE S SENZA COEFFICIENTI ATTENZIONE AL SEGNO CHE DEVE ESSERE POSITIVO, NEL SENSO CHE NON DEVO AVERE -S

MaurizioText Box

MaurizioText BoxO FATTORIZZATA

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I PAGINA: 78

MaurizioText Box>> s = tf('s');>> N = 10;>> G = tf(N);>> bode(G),grid on;

MaurizioText Box>> s = tf('s');>> N = -10;>> G = tf(N);>> bode(G),grid on;

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POLO NELL’ORIGINE

>> N = 1/s;

>> G = tf(N);

>> bode(G),grid on;

Polo semplice nell’origine

guadagno – 20 db per decade

fase -90

-20

-15

-10

-5

0

5

Magn

itude (

dB

)

100

101

-91

-90.5

-90

-89.5

-89

Ph

ase (

de

g)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

>> N = 1/(s^2);

>> G = tf(N);

>> bode(G),grid on;

Polo doppio nell’origine

guadagno – 40 db per decade

fase -180

-40

-30

-20

-10

0

10

Magnitu

de (

dB

)

100

101

-181

-180.5

-180

-179.5

-179

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

k = molteplicità polo

Guadagno k * [-20db per decade]

Fase k * (-90 = π/2)

PAGINA: 80

ZERO NELL’ORIGINE

>> N = s;

>> G = tf(N);

>> bode(G),grid on;

Polo semplice

nell’origine guadagno 20

db per decade

fase 90

-5

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5

10

15

20

Magnitu

de (

dB

)

100

101

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89.5

90

90.5

91

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

>> N = s^2);

>> G = tf(N);

>> bode(G),grid on;

Polo doppio nell’origine

guadagno 40 db per

decade

fase 180

-10

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10

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30

40

Magnitu

de (

dB

)

100

101

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179.5

180

180.5

181

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


Guadagno k * [20db per decade]

Fase k * (90 = π/2)

PAGINA: 81

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PAGINA: 84

POLO REALE STABILE τ > 0

>> N = 1/(1+10*s);

>> G = tf(N);

>> bode(G),grid on;

Guadagno

• 0 db da 0 a 1/τ

• -20 db/dec da τ

• Nel punto 1/τ -3db

Fase

• Parte da 0

• Arriva -90

• Nel punto 1/τ -45°

-40

-30

-20

-10

0

Magnitu

de (

dB

)

10-3

10-2

10-1

100

101

-90

-45

0P

hase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

>> N = 1/(1+10*s^2);

>> G = tf(N);

>> bode(G),grid on;

Guadagno

• 0 db da 0 a 1/τ



Fase

• Parte da 0

• Arriva -180


-80

-60

-40

-20

0

Magnitu

de (

dB

)

10-3

10-2

10-1

100

101

-180

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-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


Guadagno

• 0 db da 0 a 1/τ

• K * (-20 db/dec) da τ

• Nel punto 1/τ k* ( -3db )

Fase

• Parte da 0

• Arriva k * ( -90 )

• Nel punto 1/τ k * ( -45° )

PAGINA: 85

MaurizioText Boxs)^2;

POLO REALE INSTABILE τ < 0

>> N = 1/(1-10*s);

>> G = tf(N);

>> bode(G),grid on;

Guadagno

• 0 db da 0 a 1/τ



Fase

• Parte da -90

• Arriva 0


-40

-30

-20

-10

0

Magnitu

de (

dB

)

10-3

10-2

10-1

100

101

0

45

90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

>> N = 1/(1-10*s^2);

>> G = tf(N);

>> bode(G),grid on;

Guadagno

• 0 db da 0 a 1/τ



Fase

• Parte da -180

• Arriva 0


-80

-60

-40

-20

0

Magnitu

de (

dB

)

10-3

10-2

10-1

100

101

-360

-315

-270

-225

-180

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


Guadagno

• 0 db da 0 a 1/τ

• K * (-20 db/dec) da τ

• Nel punto 1/τ k* ( -3db )

Fase

• Parte da k * ( -90 )

• Arriva 0

• Nel punto 1/τ k * ( -45° )

ZERO NELL’ORIGINE

PAGINA: 86

MaurizioText Box

MaurizioText Boxs)^2;

ZERO REALE STABILE τ > 0

>> N = (1+10*s);

>> G = tf(N);

>> bode(G),grid on;

Guadagno

• 0 db da 0 a 1/τ

• +20 db/dec da τ

• Nel punto 1/τ +3db

Fase

• Parte da 0

• Arriva +90

• Nel punto 1/τ +45°

>> N = 1/(1+10*s)^2;

>> G = tf(N);

>> bode(G),grid on;

Guadagno

• 0 db da 0 a 1/τ



Fase

• Parte da 0

• Arriva +180

• Nel punto 1/τ +90°

0

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20

30

40

50

60

70

80

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e (

de

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Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


Guadagno

• 0 db da 0 a 1/τ

• K * (+20 db/dec) da τ

• Nel punto 1/τ k* ( +3db )

Fase

• Parte da 0

• Arriva k * ( +90 )

• Nel punto 1/τ k * ( +45° )

PAGINA: 87

ZERO REALE INSTABILE τ < 0

>> N = (1-10*s);

>> G = tf(N);

>> bode(G),grid on;

Guadagno

• 0 db da 0 a 1/τ



Fase

• Parte da 360

• Arriva 270

• Nel punto 1/τ 315°

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Ph

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e (

de

g)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

>> N = (1-10*s) ^2;

>> G = tf(N);

>> bode(G),grid on;

Guadagno

• 0 db da 0 a 1/τ



Fase

• Parte da 360

• Arriva -180

• Nel punto 1/τ 270°

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30

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50

60

70

80

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dB

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101

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225

270

315

360

Ph

as

e (

de

g)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


Guadagno

• 0 db da 0 a 1/τ

• K * (+20 db/dec) da τ

• Nel punto 1/τ k* ( +3db )

Fase

• Parte da k * ( 360 )

• Arriva 360 – [k * ( +90 ) ]

• Nel punto 1/τ 360 – [k * ( +45 ) ]

PAGINA: 88

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PAGINA: 90

PAGINA: 91

Rules for Drawing Bode DiagramsOverview Freq Domain Why Bode? Asymptotic plots Making Plot Examples BodePlotGui Summary Printable

The table below summarizes what to do for each type of term in a Bode Plot. This is also available as a Word

Document or PDF

Term Magnitude Phase

Constant: K 20log10(|K|)K>0: 0°

K

Second Order Real

Pole Draw low frequency asymptote at 0 dB1.Draw high frequency asymptote at -40

dB/decade

2.

Connect lines at break frequency.3.

-40 db/dec is used because of order of pole=2. For athird order pole, asymptote is -60 db/dec

Draw low frequency asymptote at 0°1.

Draw high frequency asymptote at -180°2.

Connect with a straight line from 0.1·ω0 to

10·ω0

3.

-180° is used because order of pole=2. For a third orderpole, high frequency asymptote is at -270°.

This page is modeled after the one originally found at http://lims.mech.nwu.edu/~lynch/courses/ME391

/2002/bodesketching.pdf

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2 di 2 13/11/2009 8.32

PAGINA: 93

PAGINA: 94

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Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

PAGINA: 97

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4.2.2 Block diagram manipulation

There are occasions when there is interaction between the control loops and, for the

purpose of analysis, it becomes necessary to re-arrange the block diagram configur-

ation. This can be undertaken using Block Diagram Transformation Theorems.

.

.

.

1. Combiningblocks incascade

Y G G=( )X1 2 G G1 2

1 G G1 2

G G1 21

G2

1

G

1

G

G

G

G

G

G

G

G G1 2

Y Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y G X G X= 1 2

Y G X G Y= ( )1 2

Y G X G Y= ( )1 2

Z W X Y=

Z GX Y=

Z G X Y= ( )

Y GX=

Y GX=

Transformation Equation Block diagram Equivalent block diagram

2. Combiningblocks inparallel; oreliminating aforward loop

3. Removing ablock froma forwardpath

4. Eliminatinga feedbackloop

5. Removing ablock froma feedbackloop

6. Rearrangingsummingpoints

7. Moving asummingpoint aheadof a block

8. Moving asummingpointbeyonda block

9. Moving atake-offoint ahead

of a blockp

10. Moving atake-offoint beyond

a blockp

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+–

+–+

–

+–

+–

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–

+–

+–

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+–

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G

G

G

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X

X

X

X

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Y

Y

Y

Y

X

X

X

X

X

X

G2

G2

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+

+

+ + +

+

+

+

+

+

Y G X G X= 1 2+–Y

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G1X

G2

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X Y

–

Table 4.1 Block Diagram Transformation Theorems

Closed-loop control systems 67

PAGINA: 106

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PAGINA: 108

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PAGINA: 109

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MaurizioCalloutRamo diretto

MaurizioCalloutRamo di retroazione

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MaurizioLine

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PAGINA: 121

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PAGINA: 123

MaurizioLine

MaurizioText Boxrisulta

MaurizioCalloutSempre considerando RETROAZIONE NEGATIVA UNITARIA

MaurizioOval

MaurizioCalloutCioè andando a asostituire la funzione di trasferimento in catena chiusa precedentemente definita T(s):come il rapporto di due polinomi Nt(s) e Dt(s) che mi rappresentano numertore e denominatore della fdt in catena chiusa

MaurizioText BoxT(s)

MaurizioText BoxL

MaurizioText BoxQuesto significa che esiste un legame tra il denominatore della funzione in catena chiusa e quello della funzione in catena aperta.

MaurizioText Box

MaurizioRectangle

MaurizioText Box

MaurizioOval

MaurizioOval

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PAGINA: 124

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MaurizioText BoxUtilizzeremo questa relazione per determinare i poli instabili in catena aperta e quelli instabili in catena chiusa. L(s) funzione di anello aperto T(s) funzione in catena chiusa

MaurizioText Box

MaurizioText Box

MaurizioCalloutaperto

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PAGINA: 126

MaurizioCalloutquesto quando:

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MaurizioCalloutSignifica che il sistema a catena chiusa non deve avere poli instabili.

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PAGINA: 127

MaurizioText Boxvedere figura pagina precedente.

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MaurizioText Boxdella fdt in catena chiusa data da

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MaurizioLine

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PAGINA: 131

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Maurizio Prazzoli Appunti di Controlli Automatici A Gli ... Parma giugno2011...Controlli...

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