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M. Usai 5b_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI 1

5b_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI(ultima modifica 25/10/2012)

La legge di Biot-Savart e applicazioni

In molte applicazioni è richiesta la determinazione del campo magnetico dovuto a un circuito attraversato dalla corrente I.

Nel caso semplice di un filo sottile con sezione trasversale di area S, dv’ =S dl’ , attraversato da una corrente I:

S

dl’

dv’

I


si ha:

e l’espressione del potenziale vettore

funzione della densità di corrente con un integrale volumico si semplifica in una relazione funzione di I con un integrale lineare

dove il simbolo di integrale circolare indica che la corrente fluisce in un circuito chiuso C’.

32 m dl' Sdv' e

mA

Jcon 'dl I'dl JSdv'J

mWb

dv' RJ

4π

μA

V'

o

mWb

R

'ld4π

IμA

C'

0

J


La densità di flusso magnetico é dunque:

essendo:

E’ molto importante notare che l’operatore rotore comporta il calcolo delle derivate rispetto alle coordinate spaziali del punto del campo, e che l’operatore integrale è fatto rispetto alle coordinate della sorgente.

'C

o

'C

o

R'dl

4

I

R'ld

4

IAB

mWb

R

'ld4π

IμA

C'

0


L’integrando può essere espanso in due termini usando la seguente identità:

Si ha ponendo f = 1/R e G = dl’;

ora poiché le coordinate utilizzate per il calcolo del rotore e quelle usate per il calcolo dell’integrale sono indipendenti,

é uguale a zero e il primo termine del secondo membro

si annulla.

GfGfGf

C'

o 'ldR1

l'dR1

4π

IμB

'ld


La distanza R é misurata da dl’, a partire da (x’,y’,z’) sino al punto del campo (x,y,z). Quindi si ha:

dove é il vettore unitario diretto dal punto sorgente al punto del campo.

[T]

R1

aRR

z'zy'yx'x

z'zay'yax'xa

R1

za

R1

ya

R1

xa

R1

z'zy'yx'xR1

2R3

2

3222

zyx

zyx

2

1222

Ra


Sostituendo nella espressione precedente di si ottiene:

questa relazione é nota come equazione di Biot-Savart.

La formula della legge di Biot-Savart, consente di determinare

dovuta alla corrente I concatenata dal percorso chiuso C’ ed è stata ottenuta calcolando il rotore della espressione potenziale vettore

espresso in funzione della corrente, essendo:

B

T R

a'ld4π

IμB

C'2

Ro

B

A

mWb

'ld

4π

IμA

C'

0

R

'

'

4C

o

R

dlIAB

AB


In alcuni casi é conveniente scrivere l’equazione in due passi successivi:

é la densità di flusso magnetico dovuta alla corrente elementare I dl’.

T R

a'ld4π

IμBd

T BdB

2

Ro

C'

d B


Una forma alternativa della legge di Biot-Savart , talvolta più conveniente é:

Confrontando l’espressione di con l’espressione della legge della circuitazione di Ampere, si vede come la legge di Biot-Savart è più difficile da applicare.

Ma l’applicazione della legge della circuitazione di Ampere:

é limitata perché utilizzabile, nota I, per determinare , solo se può essere definito un percorso chiuso lungo il quale ha ampiezza costante.

B

B

T R

Rl'd

4π

IμBd

3o

B

'4π

Iμ

3

2o

RR

a

Rald

Bd

R

R

IμldB o

C


Dipolo magnetico

Per determinare il momento di un dipolo magnetico si determina la densità del flusso magnetico in un punto posto ad una certa distanza da una spira circolare elementare di raggio b, attraversata dalla corrente I, che costituisce un dipolo magnetico.

Si vuole determinare in P

la cui distanza R dal centro della spira soddisfi la relazione R>>b,

(ciò comporta semplificazioni).

Si sceglie inoltre il centro della spira come origine delle coordinate sferiche:

B

'd b 'cosa'sina'ld yx

B

z

x y

P(R,;/2)

R

R1

’

I

dl’P’

b


Si determina da prima e quindi , dalla relazione:

dove R1 indica la distanza tra la sorgente elementare dl’ in P’ e il punto P .

Si dimostra che: e dalla relazione:

si ottiene:

simile alla espressione del campo elettrico per un dipolo elettrico:

A AB

mWb

R

'ld4π

IμA

C' 1

0

sin

R4

IbaA 2

20 AB

sinacos2a

R4

IbB R3

20

sinacos2aR4

pE R3

0


Si noti come • nei punti distanti dai dipoli elettrico e magnetico: le linee di flusso

magnetico sono le stesse per il campo elettrico e magnetico rispettivamente, mentre

• in prossimità dei dipoli: le linee di flusso del dipolo magnetico sono continue, mentre le linee di flusso del dipolo elettrico terminano sulle cariche, partendo dalla carica positiva verso la carica negativa.


Inoltre definendo il momento magnetico del dipolo come:

infatti:

Quindi per i punti P la cui distanza dal centro della spira R>>b

22 mAmaSIabIam zzz mWbπR

amμA

R/

4

20

T sinθ a2cosθaR 4mμ

B R30

A

m

20

20

20

20

2

20

2

20

4

sin

4

sin

4

:

sin4

sin4

sin

4

R

am

R

aam

R

maaA

aaa essendoR

ma

R

bIa

R

IbaA

RRzRz

Rz


Il vettore potenziale presenta una analogia con il potenziale scalare V

Quindi per i punti P la cui distanza dal centro della spira R>>b

L’espressione della densità di flusso magnetico appare così

ancora più simile alla espressione del campo elettrico per un dipolo elettrico:

T sinθ a2cosθaR 4

mμB R3

0

s

V sincos2

4 30

aaR

pE R

B

E

A

[V]Rπ

apVWb/m

πRam μ

A o

RR

220

44


Potenziale magnetico scalare

In una regione dello spazio priva da correnti l’equazione:

diventa: per cui la densità di flusso magnetico è irrotazionale e può essere espressa come il gradiente di un campo scalare. Si ponga:

dove Vm é chiamato potenziale magnetico scalare (espresso in ampere).

0J

JB o

0B B

m0 VμB


• Il segno negativo é convenzionale come per l’analoga definizione del potenziale elettrico scalare:

• la permeabilità nel vuoto 0 é semplicemente una costante di proporzionalità.

In maniera analoga alla equazione della differenza di potenziale elettrico tra due punti P2 e P1 nel vuoto:

possiamo esprimere la differenza di potenziale magnetico scalare tra due punti P1 e P2 nel vuoto:

VE

[V]ldEVVP

P 2

112

[A]ldB μ

VVP

Pmm

12

1 012


Per analogia con il modello elettrostatico, ipotizzando la presenza di cariche magnetiche in un volume V’, con una densità volumica m [A/m2], il potenziale magnetico Vm si potrà determinare in funzione di m con la relazione:

La densità di flusso magnetico potrebbe determinarsi dalla relazione:

B

[A] dv' Rρ

4π1

VV'

mm

m0 V μB


Sebbene non siano state mai rilevate sperimentalmente cariche magnetiche isolate, esse possono essere considerate come cariche magnetiche fittizie in un modello matematico, non fisico.

Ciò é conveniente:

• sia per la discussione di alcune relazioni magnetostatiche nei termini delle nostre conoscenze sull’elettrostatica mediante le analogie,

• che per stabilire un collegamento tra il punto di vista del tradizionale polo magnetico del magnetismo e il concetto delle correnti di circolazione microscopiche come sorgenti di magnetismo.


Il campo magnetico di una piccola barra magnetica è analogo a quello di un dipolo magnetico.

Ciò può essere verificato sperimentalmente esaminando i contorni di spire avvolte intorno a un magnete.

L’interpretazione tradizionale è che la posizione delle cariche magnetiche positive e negative, sia rispettivamente nell’estremità (polo nord e polo sud) di un magnete permanente.


Il campo magnetico di una piccola barra magnetica è analogo a quello di un dipolo

Per una barretta magnetica si assume che le cariche magnetiche fittizie +qm e -qm, siano separate da una distanza d e che formino un dipolo magnetico equivalente al momento di una spira di sezione S attraversata dalla corrente I:

z

y

P(R,;/2)

R

R1

’

I

dl’P’

b

dqm m ISam n

x

S

+qm

-qm

d

m


Il potenziale magnetico scalare Vm dovuto a questo dipolo magnetico si può quindi determinare seguendo una procedura analoga a quella usata per determinare il potenziale elettrico scalare dovuto a un dipolo elettrico:

Analogamente a come é stata ottenuta l’equazione precedente, si ottiene il potenziale magnetico scalare dovuto a un bipolo magnetico come:

Sostituendo l’espressione della Vm nella relazione :

qdpRπε

apV R con V

4 20

mR

m qdmRπ

amV con A

4 2

m0 VμB

M. Usai5b_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI

21

Per la densità di flusso magnetico si ottiene la stessa espressione di ottenibile dal potenziale magnetico vettoriale, data dalla:

Si noti che l’espressione del potenziale magnetico scalare Vm per un dipolo magnetico è esattamente analoga a quella del potenziale elettrico scalare V per un dipolo elettrico, mentre

l’’analogia tra il vettore potenziale magnetico e il potenziale elettrico scalare V di un dipolo elettrico, non è però esatta.

0R θ3

μ mB= a 2cosθ+a sinθ

4πR

A

R2

0

p aV= V .

4πε R

R02

μ m a WbA= ;

m4πR

Rm 2

m aV = A ;

4π R

magnetica) carica q ( q dm

e elettrica) carica q ( q dp :

mm

con


Si è visto che l’irrotazionalità di indicata nell’equazione:

attraverso la quale si definisce il potenziale magnetico scalare Vm, è valida soltanto nei punti dove non circolano correnti.

In una regione dove sono presenti correnti, il campo magnetico

non è conservativo, ma e il potenziale scalare

magnetico Vm non è una funzione univoca (single-value

function). Quindi la differenza di potenziale magnetico calcolata

in base alla relazione:

dipende dal percorso di integrazione.

B

0B

[A] ldB μ1

VV2

1

P

P0

1m2m

JB o

m0 VμB


Per questi motivi, per studiare i campi magnetici nei materiale magnetici, si userà:

l’approccio della corrente di circolazione I e del potenziale vettore ,

al posto

dell’approccio della carica magnetica fittizia qm e del potenziale scalare Vm.

Si attribuiscono le proprietà macroscopiche di una barretta magnetica alle correnti atomiche di circolazione (correnti amperiane) causate da elettroni che orbitano e ruotano su se stessi (orbiting and spinning).

A


Magnetizzazione e densità di corrente equivalenti

Secondo il modello elementare atomico della materia, tutti i materiali sono composti di atomi, ciascuno con un nucleo carico positivamente e un numero di elettroni carichi negativamente che orbitano intorno al nucleo.

Gli elettroni che orbitano, causano correnti di circolazione e formano microscopici dipoli magnetici.

Inoltre, sia gli elettroni che i nuclei di un atomo ruotano intorno ai loro assi (spin) con determinati momenti di dipolo magnetici.


Il momento di un dipolo magnetico di un nucleo che ruota su se stesso (spinning) è generalmente trascurabile rispetto a quello di un elettrone che orbita o ruota su se stesso, perché il nucleo ha una massa maggiore e una velocità angolare minore.

Per comprendere a pieno gli effetti magnetici dei materiali occorre conoscere la meccanica quantistica.

• In assenza di un campo magnetico esterno i dipoli magnetici degli atomi della maggior parte dei materiali, (fatta eccezione per i magneti permanenti) presentano orientazioni casuali, con un momento magnetico netto risultante nullo.

• L’applicazione di un campo magnetico esterno causa sia l’allineamento dei momenti magnetici degli elettroni che ruotano su se stessi e un momento magnetico indotto dovuto alla variazione del movimento orbitale.


Per ottenere la formula per la determinazione della variazione quantitativa della densità di flusso magnetico dovuta alla presenza di materiali magnetici, essendo:

• momento del dipolo magnetico di un atomo,

• n numero di atomi per unità di volume,

si definisce vettore di magnetizzazione :

che è la densità volumica del momento del dipolo magnetico.

km

M

m

A

vΔ

m

limM

vnΔ

1k

k

0 vΔ

ISam n


Il momento del dipolo magnetico di un volume elementare dv’ è: , che in accordo con la relazione:

da luogo ad un potenziale magnetico vettoriale:

Si dimostra che:

dove V’ è il volume del materiale magnetizzato e

è il vettore unitario normale uscente da ds’ e S’ è la superficie che delimita il volume V’.

md

mA

'dvR 4

aM Ad 2

r0

'dvMmd

m/Wb πR4

am μA 2

R0

S'

n0

V'

0

'V

ds' R

a M

4π

μ dv'

RM '

4π

μ AdA

'na


Il confronto tra la relazione:

con la relazione:

dove è espresso in termini di densità volumica di corrente, suggerisce che:

l’effetto del vettore di magnetizzazione é equivalente sia una densità di corrente volumica, che a una densità di corrente superficiale rispettivamente:

mWb

dv' RJ

4π

μA

V'

0

S'

n0

V'

0

'V

ds' R

a M

4π

μ dv'

RM '

4π

μ AdA

A

m

A 'J

m

A ms2

nm aMMJ

M


Quindi la determinazione della densità di flusso magnetico dovuto a una assegnata densità di momento del dipolo magnetico si riduce alla determinazione delle correnti di magnetizzazione:

le cui espressioni sono facilmente derivabili, per poi determinare dalla relazione:

e quindi ottenere calcolando il rotore di :

BM

S'

ms0

V'

m0

'V

ds' R

J

4π

μ dv'

RJ

4π

μ AdA

B A

AB

m

A 'J

m

A ms2

nm aMMJ

A


L’equivalenza della densità volumica del momento del dipolo magnetico con la densità di corrente volumica e la densità di corrente superficiale può essere qualitativamente spiegata considerando una sezione di materiale magnetizzato.

Si assume che un campo magnetico esterno ha causato le correnti di circolazione. La forza di questo effetto di magnetizzazione é misurata

con il vettore .

Sulla superficie del materiale ci sarà una densità di corrente

M, uscente dal foglio

nana M

msJ

mA

' aMJ nms


• Se é uniforme all’interno del materiale le correnti nei bipoli atomici adiacenti, che fluiscono in direzioni opposte, si annullano ovunque producendo delle correnti nette nulle all’interno.

Ciò é insito nella equazione:

poiché le derivate spaziali di una costante sono nulle.

• Se varia nello spazio, le correnti atomiche interne non si annullano, dando luogo a una densità di corrente volumica netta

E’ possibile giustificare le relazioni quantitative tra e le densità di corrente derivando le correnti atomiche sulla superficie e all’interno del materiale magnetico.

M

m

A MJ m

2

M

M.mJ

M

msm J e J


Densità di carica di magnetizzazione equivalente

Si é visto come in una regione dove non circolano correnti si può definire un potenziale magnetico scalare Vm, attraverso il quale si può determinate la densità di flusso magnetico differenziando, secondo l’equazione:

In termini di vettore di magnetizzazione (densità volumica del momento del dipolo magnetico) si può scrivere:

B

m0 VμB

M

A R π4aM

dV 2

Rm


Integrando la relazione precedente:

si dimostra:

dove é la normale uscente dall’elemento superficiale ds’ del corpo magnetico.

dv'π R4

aM

π41

VV'

2

Rm

S'S'

nm dv'

RM'

π41

ds' R

'aMπ41

V

na


Per i campi elettrostatici il potenziale elettrico dovuto a un dielettrico polarizzato può essere calcolato dalla distribuzione di cariche superficiali o volumiche:

con:

analogamente un corpo magnetizzato può essere sostituito da una equivalente (fittizia) densità di carica superficiale di magnetizzazionems e una equivalente densità di carica volumica di magnetizzazione m tale che.

S'0S'

n

0m dv'

RP'

π41

ds' R

'aPπ41

V

3p2nps m

C Pe ρ

mC

aPρ

mA

M e ρmA

aMρ 2mnms


Intensità del campo magnetico e permeabilità relativa

Poiché l’applicazione di un campo magnetico esterno provoca:

• un allineamento dei momenti dei dipoli interni e

• induce un momento magnetico in un materiale magnetico,

la densità del flusso magnetico risultante in presenza di un materiale magnetico sarà diversa da quella che il campo genera nel vuoto.

L’effetto macroscopico della magnetizzazione può essere studiato incorporando la densità di corrente equivalente volumica Jm

nella equazione rotorica di base valida per il vuoto, ottenendo:

JB o

JMB

o MJJJB1

o

m

o


2o m

A JM

μ

B

2

nΔ

1kk

0Δv m

C

Δv

p

limP

2om

C DPEε

m

A

vΔ

m

limM

vnΔ

1k

k

0 vΔ

m

A dv'

R 4π

aM μAd

2

r0

Campo elettrostatico Campo magnetico

'2R

0

V 'dvR

aP

4π

1V

V


Esaminando le relazioni precedenti si vede che quando il campo si sviluppa nella materia,

↓

le cariche elettrostatiche e magnetiche, presenti nella materia, interagiscono con i rispettivi campi elettrostatici e magnetici alterandone la distribuzione rispetto a quella che si avrebbe nel vuoto.


Per tenere conto di questo fenomeno fisico nelle espressioni di: si introducono rispettivamente

• il vettore di polarizzazione o momento elettrico e

• il momento magnetico .

Inoltre si noti come nelle relazioni dei modelli al prodotto scalare corrisponde il prodotto vettoriale.

J e D

P

M


Si definisce la grandezza fondamentale, l’intensità del campo magnetico:

L’uso del vettore consente di scrivere una equazione rotorica che mette in relazione il campo magnetico e la distribuzione delle correnti di circolazione in ciascun mezzo, senza dover specificare il vettore di magnetizzazione o la densità di corrente volumica .

Combinando questa equazione con si ottiene:

con é la densità volumica nel vuoto delle correnti di circolazione.

mA

MμB

H0

H

H

mJM

2m

A JH

J

/ oB M J


Le equazioni del modello del campo nel vuoto:

nella materia diventano le equazioni generali del modello del campo, valide anche nel vuoto per :

JB

B

o

0

MB

JH

B

o

Hcon

0

0M


Le equazioni generali del modello del campo, determinate:

esprimono le due equazioni differenziali fondamentali della magnetostatica. La permeabilità del mezzo μ non compare esplicitamente in queste due equazioni.

Legge della circuitazione di Ampere

Calcolando l’integrale superficiale scalare di entrambi i membri della seconda equazione si ha:

JH e 0B

I sdJsdHSS


e applicando il teorema di Stokes si ottiene:

dove:

• C é il contorno che delimita la superficie S e

• I é la corrente totale di circolazione che attraversa la superficie S.

Le direzioni e i versi del contorno orientato C e del flusso della corrente seguono la regola della mano destra.

Questa relazione esprime la legge della circuitazione di Ampere per la quale: la circuitazione della intensità del campo magnetico lungo un percorso chiuso, é uguale al flusso delle correnti di circolazione attraverso la superficie delimitata dal percorso.

AI ld HC

dl HsdHcS


La legge della circuitazione é molto utile per la determinazione di campi magnetici dovuti alla corrente, quando esistono simmetrie cilindriche, cioè quando esiste un percorso chiuso intorno alla corrente nel quale il campo magnetico é costante.

Quando le proprietà magnetiche del mezzo sono lineari e isotrope il momento magnetico é direttamente proporzionale alla intensità del campo magnetico attraverso la relazione costitutiva:

dove é un quantità adimensionale chiamata suscettività magnetica.

HM m

m

HM


e sostituendo nella relazione:

HM m

oa del mezztà assolutpermeabiliμ

totà del vuopermeabiliμ

oa del mezztà relativpermeabiliμ

μμ

χ1dove: μ

mA

Bμ1

H o mWb

μH HμμHχ1μB

mA

MμB

H

0

r

0mr

2r0m0

0


Si sono così trovate delle relazioni analoghe tra le grandezze elettrostatiche e quelle magnetostatiche, in base alle quali la maggior parte delle equazioni che legano le grandezze fondamentali in elettrostatica possono essere convertite nelle corrispondenti relazioni analoghe nella magnetostatica.

• Elettrostatiche

• Magnetostatiche

V

P

D

E

A

J

M

1

H

B

/

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