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Tecnologie delle CostruzioniTecnologie delle Costruzioni Aerospaziali

CRITERI DI ROTTURA STATICICRITERI DI ROTTURA STATICIPER MATERIALI ISOTROPI

PARTE 1

Prof. Claudio ScarponiIng. Carlo Andreotti

TIPOLOGIE DI SOLLECITAZIONETIPOLOGIE DI SOLLECITAZIONEUn provino può essere sottoposto a 2 tipi

di sollecitazione:di sollecitazione:

1. SempliceStaticaMonodirezionale (per esempio trazione)La forma del provino è semplice (peresempio un’asta)La verifica delle condizioni critiche puòessere effettuata tramite prove sperimentalisemplici (per esempio una prova disemplici (per esempio una prova ditrazione)I dati a disposizione nei manuali sonodirettamente confrontabili

Materiale curato da: Ing. Carlo Andreotti

Tecnologie delle Costruzioni Aerospaziali 2

direttamente confrontabili

TIPOLOGIE DI SOLLECITAZIONETIPOLOGIE DI SOLLECITAZIONE

2. CompostaStaticaBiassiale o triassialeLa forma del provino può esserecomplessacomplessaLa verifica delle condizioni criticherichiede procedimenti lunghi e costosiI dati a disposizione nei manuali nonsono direttamente confrontabili



TEORIE DELLA ROTTURAO O U

N i l il bl d llNascono per risolvere il problema dellaverifica delle condizioni critiche nel caso disollecitazioni composte.sollecitazioni composte.Restano valide nel caso di sollecitazionisemplici con una netta semplificazione deicalcoli.Si basano sulla conoscenza degli assiprincipali (sforzi principali e Cerchio diprincipali (sforzi principali e Cerchio diMohr).




fIDEA: qualora si riuscisse a definirela combinazione più gravosa delle σprincipali si potrebbe attraversoprincipali, si potrebbe, attraversoalcune ipotesi semplificative,escogitare un criterio perescogitare un criterio perconfrontare i diversi stati disollecitazione composta con i dati ao a o o po a o da adisposizione sui materiali.




SOLUZIONE ll b d ll diSOLUZIONE: sulla base delle diverseipotesi, riguardanti il cedimento deimateriali, si definisce tensioneequivalente o ideale quella tensionemonoassiale, esprimibile con la relazione

( )φche provoca lo stesso effetto della

ll i i l

( )321 ,, σσσφσ =i

sollecitazione composta realmenteapplicata.




L i id l ò f ilLa tensione ideale può essere facilmenteconfrontata con i dati a disposizione suimateriali.materiali.La relazione fondamentale per la verificadella resistenza è la seguente:

βσσ U

i ≤

Il pedice “U” sta per “ultimo”. Il simbolo βindica un coefficiente di sicurezza.




Principali teorie di rottura:Principali teorie di rottura:

Teoria della massima tensione normale(Rankine, Lamé, Navier)(Rankine, Lamé, Navier)Teoria della massima tensione tangenziale(Saint Venant, Tresca, Guest)Teoria della massima deformazione(Poncelet Saint Venant Grashof)(Poncelet, Saint Venant, Grashof)Teoria della massima energia dideformazione (Beltrami, Huber, Haigh)Teoria della massima energia digdistorsione (Von Mises, Hencky, Huber)Teoria della massima tensione tangenzialeottaedrale (Rôs, Eichinger)




Metodo di esposizione per ogni teoria:Metodo di esposizione per ogni teoria:

Ipotesi di rottural l di di inel caso generale di stato di tensione

triassialenel caso generale di stato di tensione

bi i l l ti ll t i i

iσ

iσbiassiale, relativo alle tensioni , ,Rapporto

xσ yσ xyτUU τσ

I simboli e indicano rispettivamente i valoridella σ e della τ in corrispondenza dei quali ilmateriale si trova al limite della resistenza.

Il pedice “U” sta per “ultimo”

Uσ Uτ



Il pedice U sta per ultimo .


N l di ll it i i t ti h i dNel caso di sollecitazioni statiche si deveoperare una distinzione tra materialiduttili e materiali fragili:

Materiali duttili⎩⎨⎧

==

SU

SU

ττσσ

Materiali fragili

⎩ SU

⎨⎧ = RU σσ

Materiali fragili

Il pedice “S” indica lo snervamento, mentrel d “ ” d l

⎩⎨ = RU ττ



il pedice “R” indica la rottura.

TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALETEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE

) I t i di tta) Ipotesi di rottura

P l i i t t di t i iPer qualsiasi stato di tensione, siverifica il cedimento del materialein un punto qualora il valore dellain un punto qualora il valore dellamassima tensione normale(positiva o negativa) raggiunga in

il l d ll iesso il valore della tensionelimite .Uσ




b) l l di t t dib) nel caso generale di stato ditensione triassiale

iσ

Nel caso di stato di tensione triassiale, si hala seguente situazione:

La condizione critica si verifica se321 σσσ ≥≥

MAXτ

a trazionea compressione

Uσσ =1

Uσσ =3 2σ 1σ




é èPoiché lo stato di crisi è espressodalla relazione

l’espressione della tensione idealelid l l è

Ui σσ =

valida nel caso generale èa trazione1σσ =ia compressione3σσ =i




) l l di dic) nel caso generale di stato ditensione biassiale, relativo alletensioni

iσ

σ σ τtensioni , ,

Nel caso di stato di tensione piano,

xσ yσ xyτ

l’espressione della tensione idealerisulta:

22

2

22 xyyxyx

i τσσσσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=




d) Rapporto

Nel caso di semplice torsione o taglio

UU τσ

Nel caso di semplice torsione o taglio( ), la precedenterelazione diventa:

0== yx σσrelazione diventa:

La condizione critica si raggiunge perxyi τσ =

La condizione critica si raggiunge per

UMAXxyi τττσ ===




éPoiché

Ui σσ =

si ricava

Ui

UUi τσσ ==σ

1=U

U

τσ



U

TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALETEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE

a) Ipotesi di rottura

Per qualsiasi stato di tensione, siverifica il cedimento del materialei l il l d llin un punto qualora il valore dellamassima tensione tangenzialeraggiunga in esso il valore dellaraggiunga in esso il valore dellatensione limite .Uτ




b) l l di t t dib) nel caso generale di stato ditensione triassiale

iσ

Nel caso di stato di tensione triassiale si hala seguente situazione:

La condizione critica si verifica se321 σσσ ≥≥

MAXτ

σ1σUMAX τσστ =

−=

231

3σ



2σ


Nel caso monodimensionale si ha oppure PoichéσNel caso monodimensionale si ha oppure . Poichédal cerchio di Mohr si ricava

21στ =MAX

MAXτ1σ 3σ

Ponendo

lo stato di crisi è espresso dalla relazione

2

1σσ =i 1σlo stato di crisi è espresso dalla relazione

Di conseguenza l’espressione della tensione ideale

Ui

MAX τστ ==2

Di conseguenza l espressione della tensione idealevalida nel caso generale è

31 σσσ −=i



31i



iσ


Nel caso di stato di tensione piano

xσ yσ xyτ


( ) 22 4 xyyxi τσσσ +−=




d) Rapporto


UU τσ

Nel caso di semplice torsione o taglio( ) la precedente relazionediventa:

0== yx σσdiventa:

La condizione critica si raggiunge perxyi τσ 2=


UMAXxyi τττσ 222 ===




éPoiché

Ui σσ =

si ricava

Ui

UU τσ 2=

2=U

U

τσ



Uτ

TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONETEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE

a) Ipotesi di rottura

Per qualsiasi stato di tensione, siverifica il cedimento del materialei l il l d llin un punto qualora il valore dellamassima deformazione principale(positiva o negativa) raggiunga in(positiva o negativa) raggiunga inesso un valore limite.




b) l l di t t di t i b) nel caso generale di stato di tensione triassiale

N l di t t di t i t i i l i h l

iσ

Nel caso di stato di tensione triassiale si ha la seguente situazione:

321 σσσ ≥≥La condizione critica si verifica se

a trazione

321

( )[ ] UEεσσνσε =+−= 3211

1

a compressionedove ν è il Coefficiente di Poisson ed E è il Modulo di

E( )[ ] UE

εσσνσε =+−= 21331



dove ν è il Coefficiente di Poisson ed E è il Modulo di Young del materiale.


N l di i l i h σNel caso monodimensionale si ha oppure . Di conseguenza:

1σ3σ

Ui σσ

Confrontando le precedenti relazioni, EEU

Ui

MAXσεσε ===

l’espressione della tensione ideale valida nel caso generale è

( ) a trazione

a compressione

( )321 σσνσσ +−=i

( )213 σσνσσ +−=i



( )



iσ


Nel caso di stato di tensione piano

xσ yσ xyτ


( ) ( ) 22

21

21 xy

yxyxi τ

σσν

σσνσ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+±

+−=



22 ⎠⎝


d) Rapporto


UU τσ

Nel caso di semplice torsione o taglio( ) la precedente relazionediventa:

0== yx σσdiventa:

La condizione critica si raggiunge per( ) xyi τνσ += 1


( ) ( ) ( ) UMAXxyi τντντνσ +=+=+= 111



y


éPoiché

Ui σσ =

si ricava

Ui

( ) UUi τνσσ +== 1

ντσ

+=1U

U



τU

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