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M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI 1

5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI (ultima modifica 25/10/2012)

Campi magnetici staticiPremessa

Per studiare i Campi Magnetici è utile fare le analogie con i modelli matematici studiati del Campo Elettrostatico.

Per lo studio dei campi elettrostatici nel vuoto dovuti a cariche elettriche fisse (a riposo), l’intensità del campo elettrostatico è la grandezza fondamentale richiesta.

Per un mezzo materiale è necessario definire una seconda grandezza di campo vettoriale, densità di flusso elettrico (o spostamento elettrico) per tener conto degli effetti della polarizzazione.

E

D


Postulati dell’Elettrostatica nello spazio vuoto ε =ε0

Il campo è perfettamente descritto da una sola grandezza:

Forma differenziale Forma integrale

Legge di Gauss nel vuoto

mV

ερ

E0

[Vm] 0

QsdE

S

mV

0E V 0l

ldE

E


Postulati dell’Elettrostatica in un mezzo di permettività ε =ε0 εr

Il campo è perfettamente descritto da due grandezze:

Forma differenziale Forma integrale

Legge generale di Gauss

[C] QSdDS

V 0l

ldE

30 m

C ρD)PE (

mV

0E

D e E


Equazioni del modello elettrostatico più generale :

Le proprietà elettriche del mezzo determinano le relazioni tra il vettore spostamento elettrico e il campo .

Se il mezzo è lineare , isotropo eomogeneo , è valida la semplice relazione costitutiva: dove la permettività ε =ε0 εr è uno scalare.

Quando una piccola carica test q è posta in un campo elettrico ,

questa è sottoposta ad una forza elettrica , che dipende dalla posizione della carica fissa q:

0E

ρD

D E

ED

E

eF

[N]. EqF e


Se la carica è in movimento occorre fare altre considerazioni per tener conto di tutti i fenomeni fisici del campo associato .

Infatti il moto delle cariche in movimento in equilibrio dinamico é caratterizzato:

• non solo dalla densità di carica ma

• anche dal vettore velocità delle cariche .

Per affrontare il loro studio tener presente che il moto delle cariche in equilibrio dinamico é governato dalla:

Equazione fondamentale di continuità, che soddisfa

il Principio di conservazione della carica.

v


Equazione fondamentale di continuità che soddisfa il Principio di conservazione della carica.

Conservazione della carica elettrica

La carica elettrica è una grandezza fisica conservativa, cioè

essa non può ne essere creata, ne distrutta; nella regione dello spazio nella quale si esamina un campo, in

ogni istante devono essere considerate tutte le cariche fisse e tutte le cariche in movimento.

In base a questo principio la carica elettrica totale di un sistema fisico isolato rimane costante.

Questa è una legge della natura e non può essere derivata da altri principi o relazioni.


Si consideri un volume arbitrario V delimitato da una superficie S. Se all’interno di questa regione esiste: carica netta Q:

ossia somma algebrica delle cariche presenti nel volume

e se una corrente netta I: (Iuscente – I entrante)

fluisce attraverso la superficie S racchiusa dal volume V,

↓la carica nel volume Q deve diminuire a una velocità pari alla

velocità della corrente I.

Conseguentemente, la corrente che esce dalla regione di volume V è pari al flusso totale verso l’esterno del vettore densità di corrente attraverso la superficie:

tQ

SdJIS

QQQ VS


Se la distribuzione delle cariche è continua:

La legge della conservazione viene espressa matematicamente:

la variazione della densità spaziale di carica ρ nel tempo, entro un volume V è pari al flusso della densità di corrente J, attraverso la superficie S che delimita il detto volume V.

Inoltre, la carica elettrica totale di un sistema Q è un'invariante relativistico

ossiail suo valore non dipende dal sistema di riferimento.

ISdJdVdtd

tQ

SV

dVQV


Applicando il teorema della divergenza si può convertire l’integrale superficiale di densità di corrente in un integrale della divergenza della densità di corrente:

Quando le cariche sono in movimento la derivata temporale della densità di corrente all’interno del volume, deve essere calcolata usando le derivate parziali, perché la densità di corrente potrebbe essere sia funzione del tempo che funzione delle coordinate spaziali: ρ=ρ(x,y,z,t).

Equazione di Continuità

Dalla equazione precedente risulta che:

dVdtd

VdSdJVVS J

3m

A

dtd

J


La relazione puntuale:

che deriva dal principio della conservazione della carica, è chiamata equazione di continuità.

Per le correnti stazionarie la densità di carica non varia nel tempo, ossia:

e l’equazione di continuità diventa:

Le correnti elettriche stazionarie sono solenoidali.

3m

A

dtd

J

0 dtd

0 J


Quindi l’equazione di continuità per correnti stazionarie è:

in se si considera il flusso della densità di corrente attraverso una superficie chiusa , la relazione precedente in forma integrale è:

Che equivale a dire che il il flusso della densità di corrente stazionaria attraverso una superficie chiusa è nullo.

Per i circuiti la relazione precedente equivale alla I° legge di Kirchhoff:

0 J

0 SdJS

A 0j

jI


Cariche introdotte all’interno di un conduttore .

Le cariche introdotte nell’interno di un conduttore si muoveranno verso la superficie del conduttore e si ridistribuiranno in modo tale che in condizioni di equilibrio all’interno del conduttore risulti il campo e la densità di carica ρ = 0.

In un mezzo semplice, possiamo provare questa dichiarazione e calcolare il tempo necessario per raggiungere le condizioni di equilibrio, combinando la legge di Ohm in forma puntuale con l’equazione di continuità, assumendo costante la conducibilità γ.

0E


In un mezzo semplice (lineare , omogeneo ed isotropo) :

3ε

γ-

0 mC

e ρρ(t) 0ρεγ

δtρ

E γ :essendo ερ

E ρD

t

t

-E γ

E Ohm di Legge

continuità di Equazione

tJ

dtd

J

D

E EεD


In un mezzo semplice, dunque :

dove ρ0 è la densità di carica iniziale all’istante t=0.

Sia ρ che ρ0 possono essere funzioni delle coordinate spaziali e la funzione precedente dice che:

in un punto in mezzo semplice la densità di carica ρ (t) diminuisce nel tempo con legge esponenziale , sino ad annullarsi, con una costante di tempo detta tempo di rilassamento:

La carica iniziale ρ0 decade a t=1 di (1/2.7182818284590= 0.3679) o 38,8% del suo valore nell’istante iniziale.

3ε

γ-

0 mC

e ρρ(t) t

γε

τ


Per un buon conduttore come il rame il tempo di rilassamento è molto piccolo, infatti:

Il tempo transitorio è così piccolo che per le applicazioni pratiche , ρ può essere considerata nulla nell’interno del conduttore .

Per un buon isolatore il tempo di rilassamento non è infinito, ma può essere dell’ordine delle ore o dei giorni.

s19

7

12-

10*52.1 [S/m] 10 5.80

[F/m] 108.85


Campo MagneticoUn Campo Magnetico può essere generato:• da un magnete permanente oppure • da correnti elettriche. La limatura di ferro o piccoli pezzi di ferro sparsi su un

foglio di carta possono essere usati per rilevare la presenza di effetti magnetici (ossia forze magnetiche) in prossimità

• di un magnete permanente, dove la limatura si distribuisce secondo linee che vanno da un polo all’altro del magnete o

• di un filo percorso da corrente elettrica, dove la limatura si dispone secondo linee concentriche circolari, perpendicolari alla direzione del conduttore.

In entrambi i casi la distribuzione della limatura indica la presenza di un campo magnetico e suggerisce la forma delle linee del campo magnetico, ossia le linee lungo le quali agiscono le forze del campo.


Forze agenti sulle cariche in movimento in un Campo Magnetico

Quando la carica elettrica q è in movimento in presenza di un campo magnetico con induzione magnetica , essa è sottoposta ad una forza di natura diversa detta forza magnetica così caratterizzata:

• l’ampiezza è proporzionale a q, alla componente della velocità nella direzione normale alla induzione del campo magnetico nel punto in cui si trova la carica nell’istante considerato e a B;

• direzione normale alla direzione della velocità della carica test e alla direzione del campo determinata in quel punto e

• verso definito dall’operatore vettoriale:

Si sottolinea come tale forza non è legata ai vettori ed .

mF

D E

Bv qF m

v

v

BmF

q

vB

B

B


La forza magnetica può essere espressa completamente attraverso la definizione della densità di flusso magnetico , che specifica sia la direzione del campo che la natura del mezzo in cui è presente il campo:

La forza elettromagnetica totale dovuta alla contemporanea presenza i campo elettrostatico e magnetico, che agisce su una carica q in movimento con velocità è quindi:

che è l’equazione della forza di Lorentz e la sua validità è stata inequivocabilmente stabilita empiricamente.

mF

B

Bv qF m

[N] BvEqFF m eF

v


Come

• per la definizione di Campo Elettrico è stato utilizzata la relazione:

• analogamente per la definizione della densità di flusso magnetico o Vettore Induzione Magnetica è valida la seguente relazione :

qF

Ee

q

FBv

m

B


Per tener conto della natura del mezzo in cui il campo è generato

è stata quindi introdotta la grandezza magnetica intensità di

campo magnetico , dove permeabilità magnetica

del mezzo.

Sulla base di dati empirici si può affermare che

ogni moto di cariche elettriche da luogo ad azioni magnetiche

e che tali fenomeni si verificano anche in assenza di materia

ossia nel vuoto.

B

H


Le cariche elettriche in movimento, ossia la causa della

generazione di un campo magnetico, possono essere

di diversa natura, come:

-una corrente che circola in un conduttore, ma anche

-un insieme di elettroni che si muovono nel vuoto,

-una corrente ionica che attraversa un elettrolita o

-un gas ionizzato e altre.

B

H


In generale si può affermare che la presenza di una corrente o di un magnete permanente, modifica lo stato fisico dello spazio circostante. Ciò induce a definire una grandezza di campo per ciascun punto della regione d’azione di esso, in grado di quantificare l’entità delle azioni magnetiche, ossia il campo magnetico . Per esempio, nel caso di un conduttore attraversato da una corrente costante I:

H

I

PH

R

P: punto in cui si valuta il campo

R: distanza del punto dal conduttore nel quale circola la corrente I

Definizione di Campo Magnetico H


Si definisce campo magnetico un vettore la cui intensità in un punto del campo P, è -proporzionale alla intensità di corrente I, -inversamente proporzionale alla distanza R del punto P dal conduttore -direzione tangente alla circonferenza di raggio R in P-verso legato alla direzione della corrente definito dalla regola della vite destrogira (il verso è quello con cui deve ruotare una vite destrorsa per farla avanzare nel senso della corrente).

+

I I HH

H


Legge di Biot SavartSulla base delle prove sperimentali si può descrivere l’esistenza di un Campo Magnetico attraverso l’applicazione della legge di Biot-Savart.L’intensità degli effetti elettromagnetici è uguale in tutti i punti equidistanti dal conduttore (linee di forza); essa è proporzionale al rapporto fra la corrente I e la distanza R dal conduttore e indipendente dalla natura del mezzo:

H varia con legge iperbolica al variare di R.

I AH=

2πR m

H

R

H


Tali risultati sperimentali possono essere espressi analiticamente dalla seguente relazione, che tiene conto della natura del mezzo:

Nella formula l’influenza della natura del mezzo é indicata dalla grandezza , ossia dalla permeabilità magnetica del mezzo.

Il fattore 1/2 é utilizzato per ottenere formule semplificate dette “razionalizzate”. Il campo magnetico in ogni punto sarà:

in modulo

πR2

IμB

B

H

PR B

I

R2

IBH


Magnetostatica nel vuoto

Per lo studio della magnetostatica (campi magnetici statici) nel vuoto è necessario considerare solo il vettore densità di flusso magnetico , i due postulati fondamentali della magnetostatica sono:

dove è la densità di corrente e

dove è la permeabilità dello spazio libero:

B

JB

0B

o

mH

104πμ 7o

oμ

J


Considerando la II° relazione , poiché

la divergenza del rotore di un qualunque vettore e uguale a zero:

si ottiene:

che è coerente con le equazioni precedentemente determinate per le correnti stazionarie.

Dal confronto della relazione: con l’analoga equazione per l’elettrostatica nello spazio libero:

si vede come non ci sia alcuna analogia magnetica, ossia alcuna grandezza magnetica analoga, per la densità di carica elettrica .

0 A

0J

0B

0

E

0 JB o


1) La forma integrale del primo postulato delle magnetostatica si ottiene facendo l’integrale volumico della relazione e applicando il teorema della divergenza si ha:

dove la superficie di integrazione è la superficie che delimita il volume arbitrario di integrazione.

Confrontando questa relazione con l’espressione della legge di Gauss:

si verifica anche analiticamente la non esistenza di cariche magnetiche isolate.

0B

0sdBdv BSV

oS

QsdE


Non esistono sorgenti di flusso magnetico, e le linee di flusso magnetico si richiudono sempre su se stesse.Inoltre l’equazione :

é anche una espressione della legge della conservazione del flusso magnetico, perché essa afferma che il flusso totale uscente attraverso una superficie chiusa è nullo.

0sdBS


Magneti PermanentiUn magnete permanente è un corpo che sottoposto agli effetti di un campo magnetico, è in grado di generare un campo magnetico proprio.

Essi mantengono una induzione Br residua elevata e necessitano di un campo magnetico Hc elevato per annullare il magnetismo residuo, detto forza coercitiva.

N

S

La tradizionale definizione dei poli nord e sud in una barretta di materiale magnetico permanente non implica che esista una carica magnetica positiva isolata nel polo nord e una carica negativa isolata nel polo sud.


Infatti se il magnete viene tagliato in due parti compaiono in ciascun elemento un polo nord e un polo sud, ottenendo così due nuovi magneti più piccoli.

Questo processo si potrebbe ripetere sino a che i magneti assumono dimensioni atomiche, per cui si può concludere che i poli magnetici non possono essere isolati, ma ciascun magnete infinitamente piccolo ha ancora un polo nord e uno sud.

N

N

S

S

N

N

N

N

S

S

S

S

N

S


Le linee di flusso magnetico seguono percorsi chiusi, da una estremità del magnete all’altra estremità, all’esterno del magnete e quindi proseguono all’interno del magnete richiudendosi verso l’estremità di partenza.

N

S


La definizione di polo nord e sud é coerente con il fenomeno fisico, verificabile empiricamente, per il quale una barretta magnetica liberamente sospesa sotto l’effetto del campo magnetico terrestre, tende a disporsi secondo la direzione nord sud.

Precisamente il polo magnetico nord della barretta punta nella direzione del nord geografico.

• Il polo magnetico terrestre nella regione artica (polo nord) deve

essere un polo magnetico sud.

• Il polo magnetico terrestre nella zona antartica (polo sud) deve

essere un polo magnetico nord.

N

N

S

S

Polo Nord

Polo Sud


2) La forma integrale del secondo postulato della magnetostatica:

può essere ottenuta integrando su una superficie aperta, entrambi i membri e applicando il teorema di Stokes al primo membro:

oppure:

dove:

• il percorso C per l’integrale lineare é il contorno che delimita la superficie S e

• I é la corrente totale attraverso la superficie S.

JB o

sdJμsdBS

o

S

IμldB o

C


Il senso di percorrenza del contorno C e il flusso seguono la regola della mano destra.

L’equazione trovata é una espressione della legge della circuitazione di Ampere, che stabilisce che:

la circuitazione della densità del flusso magnetico nel vuoto lungo un percorso chiuso qualsiasi, é uguale a o volte la corrente I totale che fluisce attraverso la superficie delimitata da tale percorso.

IμldB o

C

B


Riassumendo

i due postulati fondamentali della magnetostatica nel vuoto sono:

forma differenziale forma integrale

JB

0B

o

IμldB

0sdB

o

C

S


Potenziale vettore magnetico

Il postulato , garantisce che sia solenoidale.

Quindi per le proprietà dei vettori, può essere espresso come il rotore di un altro vettore di campo , chiamato , tale che:

infatti per la II° identità nulla:

Il vettore così definito è chiamato potenziale magnetico vettoriale:

0B

BA

[T] AB

B

AB AB 0 A e 0B se

A

mWb

A

div (rot (A)) ( A) 0


Quindi si può determinare il potenziale magnetico vettore di una distribuzione di corrente e calcolare in funzione di con l’operatore differenziale (il rotore).

Questa procedura è del tutto simile a quella usata per introdurre del potenziale elettrico scalare V per il calcolo del campo elettrostatico con la relazione:

Infatti per la I° identità nulla:

Tuttavia la definizione del vettore potenziale magnetico richiede la specificazione sia del rotore che della divergenza, infatti per calcolare:occorre conoscere e specificare la sua divergenza.

A

B A

E

V.E

AB A

0V) ( (V)) (gradrot

V V) ( 0V) ( e 0 se EEE

A


Scelta della divergenza di

Si intende ora determinare una espressione di , che presenti analogie con l’ espressione scalare di Poisson valida per l’elettrostatica, per la quale sono note le soluzioni analitiche.

Dalle relazioni:

e ricordando che il rotore del rotore di un vettore è:

queste equazioni possono essere considerate come la definizione del Laplaciano di :

A

Jμ A AB

JμBo

o

2

2

A o

A

A A

A A

A .A 2

A


Se si sviluppa l’equazione:

secondo la relazione:

si ottiene:

Per semplificare questa espressione, si sceglie tale che :

e si ottiene l’equazione vettoriale di Poisson, espressa con il potenziale vettore magnetico:

Jμ A o

A A A2

2o μ JA A

A=0

Jμ A o

2

A


Quindi per semplificare l’equazione precedente è conveniente scegliere il vettore tale che da cui:

In coordinate cartesiane è dimostrabile la validità della relazione :

Si sottolinea che in coordinate cartesiane il Laplaciano del vettore di campo é un altro vettore di campo, le cui componenti sono i Laplaciani (divergenza del gradiente) delle corrispondenti componenti .

(Ciò non è vero per gli altri sistemi di coordinate.)

z

2zy

2yx

2x

2A aA aA aA

A

A 0A

Jμ A Jμ A o

2

o


Questa proprietà, valida solo in coordinate cartesiane, consente di esprimere l’equazione vettoriale di Poisson con tre equazioni scalari equivalenti per le quali è calcolabile la soluzione::

Ciascuna di queste equazioni è matematicamente analoga alla equazione scalare di Poisson valida per l’elettrostatica e analogamente risolvibile.

zoz2

yoy2

xox2

Jμ A

Jμ A

Jμ A


Per l’analogia con il modello elettrostatico nel vuoto, poiché l’equazione ha la soluzione particolare :

si avrà che:

0

2

ερ

V

'dvR

4

1V

'Vo

dv' R

J

4π

μA

dv' R

J

4π

μA

dv' R

J

4π

μA

V'

zoz

V'

yoy

V'

xox

μ

μ

μ

oz2

oy2

ox2

z

y

x

JA

JA

JA


Combinando le tre componenti, si ha la soluzione:

tale equazione consente di determinare il potenziale magnetico vettore dalla densità di corrente volumica

La densità di flusso magnetico può essere ottenuta da

differenziando in maniera analoga a come fatto per ottenere il campo elettrostatico dalla relazione

Il potenziale vettore lega il flusso magnetico attraverso una superficie data S delimitata da un contorno C in modo semplice, infatti :

mWb

dv' RJ

4π

μA

V'

o

A .J

AB

E .VE A

sdBΦS

B


Poiché , applicando il teorema di Stokes, si ha:

In base a questa relazione, il vettore potenziale magnetico assume un significato fisico in quanto l’integrale lineare di lungo un qualsiasi percorso chiuso è uguale al flusso magnetico totale Φ che attraversa l’area delimitata da tale percorso.

Nel SI il flusso magnetico si misura in weber [Wb], che è

equivalente al tesla per metro quadrato [T·m2].

AB

[Wb] ld Asd AsdΦCSS B

AA

Φ

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