Elementi di Elementi di struttura della materiastruttura della materia

Luigi Sangaletti

Università Cattolica del Sacro CuoreDipartimento di Matematica e Fisica

a.a. 2004- 2005

Quantizzazione delle energieTracciare ed identificare i primi tre livelli energetici per un elettrone confinatoin una buca di potenziale a pareti infinite, un oscillatore armonico, e un atomo diidrogeno. Si indichi la grandezza relativa del terzo e del secondo livello rispettoal primo., e.g. E3 = 3E1.

E

xL

E

xL

Infinite Well Oscillator

E1

E2 = 4E1

E3= 9E1

E0 = ½hf

E1 = 3E0

E2 = 5E0

E

x

−E1

−E2 = E1 /4

−E3 = E1 /9

H Atom

V ∝ x2

V ∝ 1/x

Oscillatore Atomo di idrogenoBuca di potenzialea pareti infinite

1. L‘atomo di idrogeno1.1. Comportamento in campo centrale

Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo

Coordinate sferiche:x=r sinθ cosφy= r sinθ sinφz=r cosθ

(x,y,z) → ( R,θ,φ )

∆

Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale

Separazione delle variabili: Ψ(r,θ,φ)= R(r) T(θ) P(φ)

Dipende solo da r e θ Dipende solo da φ

Entrambi i membri devono essere posti uguali a una costante C1

Soluzione:

Affinché la funzione sia univoca, deve valere: P(φ)=P(φ + nπ)

Dividiamo per Numero intero (m)

m=0, +1, +2, ...

Equazione di Schroedinger agli stati stazionari per un potenziale centrale

Separazione delle variabili: Ψ(r,θ,φ)= R(r) T(θ) P(φ)

Dipende solo da r,θ

m ε Z

C1 = ml2

Dipende solo da rEntrambi i membri devono essere uguali a una costante C2

sostituzione ξ=cosθ ! Equazione diLegendre

Soluzione generale: funzioni di Legendre Plm

C2 = l(l+1), l =m, m+1, …T=Plm (cos(θ))

T(θ) P(φ) = Plm (cos(θ)) eimφ = Yl

m(θ,φ) Armoniche sferiche

Dipende solo da φ

Dipende solo da θ

1r 2

ddξ

1− ξ 2( )dTdξ

+ C2 −m2

1− ξ 2

T = 0

Osservazione: Momento angolare in meccanica quantistica

Grandezza fisica Operatore

vettore posizione r→

quantità di moto p→

Osservazione: Momento angolare in meccanica quantistica

Grandezza fisica Operatore

vettore posizione r→

quantitàdi moto p→

l = 0,1,2,3 .... Numero quantico azimutale-l<ml<l Numero quantico magnetico

Relazioni di indeterminazione per l’impulso:

m~

zx,y componenti indeterminate Esempio: l=2

m=-2,-1,0,1,2

∆Lx ∆Ly ≥12

ψ Lx,Ly[ ]ψ L2 e Lzsono misurabili simultaneamente

1. La lunghezza del vettore é quantizzata!2. Non può avere una direzione qualsiasinello spazio: La direzione é quantizzata!

Asse di quantizzazione

sviluppare

Per r→∞ si trascurano 1/r e 1/r2

Soluzione completa (Polinomi di Laguerre):

negativo

Dipende da n e l

Limiti per ll<0,1,2,... n

Come nel modello di Bohr!

NONdipende da l

mme

a 102

20

0 10529.04 −×==hπε

Ψnlm(r,θ,φ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

principale n = 1,2,...

azimutale l = 0,1,2,3,4... (n-1)

magnetico(proiezione del Momento angolare)

-l < m < l

Numero quantico: Simbolo

s,p,d,f

Stato fondamentale n=1 l=0 m=0 Non c’é orbita di Bohr! Momento angolare NULLO.

n=2 l=0 m=0l=1 m=-1

m=0m=1

“degeneri” (medesima energia)

n2 possibilità

Ψnlm(r,θ,φ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVprobabilità di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 dr probabilità di trovare un elettrone in un guscio sfericoa distanza r dal nucleo

“massimo” sul nucleo!

Massimo in corrispondenzaDel raggio di Bohr

Ψnlm(r,θ,φ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

|Rnl(r)|2 dVProbabilità di trovare un elettrone in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo

r2|Rnl(r)|2 drProbabilità di trovare un elettrone in un guscio sfericodi spessore dra distanza r dal nucleo

punto nodale!

RegioneProibita

classicamente

Tunneling

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ –sin2θ)Y21=C5(cosθ –sinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(r,θ,φ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare:

Asse Z(asse di quantizzazione)

Y00 = C1Y10= C2 cosθY11= C3 sinθ eiφ

Y20=C4(2cos2θ –sin2θ)Y21=C5(cosθ –sinθ eiφ

Y22=C6 sin2θ e2iφ

Ψnlm(r,θ,φ)= Rnl(r) T(θ)lm Pm(φ) = Rnl(r) Ylm(θ φ)

Rappresentazione polare

Asse di quantizzazione

Confronto Modello di Bohr - Meccanica Quantistica

Densità di probabilità Orbite planetarie

rn=a0/Z n2

Vicino a r=0 può essere max. Nulla per r=0

rn

Momento angolare

Raggiodell‘ „orbita“

Densità di prob.

Modello di BohrMeccanica quantistica

L=nh

Funzioni d’ondaFunzione d’onda completa ψn,l,m

l = 1 m = ±1

m = ±1

orbitale s

orbitali p

orbitali d

orbitali f

Componente sferica Yl,m

l = 0n = 1

n = 2

n = 3

l = 0,1

l = 0,1,2

l = 1

l = 0

l = 2

l = 3

m = –3 m = –2 m = –1 m = 0 m = 1 m = 2 m = 3

da: http://www.uniovi.es/~quimica.fisica/qcg/harmonics/charmonics.html

cosθsinθ sinφ sinθ cosφ

3cos2θ–1sinθcosθsinφ

sinθcosθcosφ

sin2θ sin2φ sin2θ cos2φ

5cos3θ–3cosθ

sinθ(5cos2θ−1) sinφ

sinθ(5cos2θ−1) cosφ

sin2θ cosθsin2φ

sin2θ cosθcos2φ

sin3θ sin3φ

sin3θ cos3φ

orbitale s

orbitali p

orbitali d

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

2 lobi

6 lobi

4 lobi

200 211 211210

100

300 311 311310 321 321320322 322

400 411 411410 421 421420422 422

431 431430432 432 433433

da: http://pcgate.thch.uni-bonn.de/tc/people/hanrath.michael/hanrath/HAtomGifs.htmll = 1 orbitali p

l = 2 orbitali d

l = 0 orbitali s

l = 3 orbitali f

Rimozione della degenerazione in l

principale n = 1,2,...

Momento angolare l = 0,1,2,3,4... (n-1)

magnetico(proiezione delmomento angolare)

-l < m < l

Numero quantico: Simbolo

s,p,d,f

Nell‘atomo di idrogeno E non dipende da l

Nell‘atomo di H influenzano la funzione d‘onda ma NON l‘energia

Uguali autovalori!

Vale solo per il potenziale Coulombiano

Rimozione della degenerazione in l

L‘elettrone esterno „vede“ una carica

interna alla sua orbitapari a Z=1?

En=13,6/n2 per n>2 ??

Z=3

n=1

Litio

La degenerazione in l é rimossa!L‘elettrone 2s é più legato di quello 2p

Diagramma di Grotrianper l’atomo di Litio

Rimozione della degenerazione in l

La degenerazione in l é rimossa!L‘elettrone 2s é più legato di quello 2p

probabilità per l‘elettrone 2s all‘interno del guscio 1s

Z=1

Z=3

Potenziale schermato

Approssimazione:Si trascurano le correlazioni elettroniche

Emissione nel giallo589 nm

Consideriamo il caso dell‘atomo di sodio

Na: 2 elettroni per n=1 6 elettroni per n=2 1 elettroni per n=3

Diagramma di Grotrianper l’atomo di sodio