Lezioni di Meccanica del Volo 9 - Prestazioni in salita...salita e la discesa verso le/dalle quote...

Lezioni di Meccanica del Volo9 - Prestazioni in salita

L. Trainelli

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Indice

1 INTRODUZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1 Equazioni generali del volo rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Esubero di potenza specifico e quota totale . . . . . . . . . . . . 51.3 Equazioni della salita stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Equazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Espressioni alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.3 Espressioni per le prestazioni . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 ANALISI DELLE CONDIZIONI D’EQUILIBRIO . . . . . . . . 82.1 Equazioni costitutive ed equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Ipotesi di salita moderata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Diagrammi di prestazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Variazioni della manetta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Variazioni del peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.3 Variazioni della quota – Tangenza pratica . . . . . . . . . 11

3 PRESTAZIONI PUNTUALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1 Salita rapida e salita ripida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1 Turbogetto semplificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2 Motoelica semplificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Inviluppo di volo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.1 Turbogetto semplificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2 Motoelica semplificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Soluzioni analitiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.1 Polare parabolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.2 Turbogetto semplificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.3 Motoelica semplificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.4 Approssimazioni e soluzioni iterative . . . . . . . . . . . . 20

4 PRESTAZIONI INTEGRALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.1 Tempi, spazi, consumi in salita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.1 Definizioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.1.2 Consumi specifici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1.3 Salita economica – Casi semplificati . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Salita stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.1 Prestazioni in salita stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.2 Soluzioni analitiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Salita non stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3.1 Correzione per energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . 264.3.2 Tempo minimo in salita non stazionaria . . . . . . . . . . 27

4.4 Tecniche di volo in salita e discesa . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4.1 Limitazioni fisiologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4.2 Considerazioni operative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 VOLO NON PROPULSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.1 Condizioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1.1 Equazioni generali della planata rettilinea . . . . . . . . . 305.1.2 Planata stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3

5.2 Prestazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.2.1 Prestazioni puntuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.2.2 Prestazioni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2.3 Effetto del vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

16 febbraio 2011(Versione 4.0)

1 INTRODUZIONE 4

Gravity never loses. The best you can hope for is a draw.

– one of the ‘Flight rules’ (from the Internet).

1 INTRODUZIONE

In questa sezione consideriamo l’analisi delle traiettorie relative alle condizionidi volo rettilineo, simmetrico e centrato. Per comodita, ci riferiremo a talicondizioni come a quelle di volo in salita (climbing flight, CF), includendo ancheil caso della discesa, e del volo orizzontale.

Si tratta di condizioni di volo molto significative, in quanto, da un lato lasalita e la discesa verso le/dalle quote di crociera si svolgono secondo traiettorierettilinee, dall’altro perche le informazioni sulle prestazioni in salita possonoessere estese a condizioni di volo piu generali in manovra.

1.1 Equazioni generali del volo rettilineo

Per completezza, richiamiamo le equazioni di equilibrio relative ad un genericovolo rettilineo, simmetrico e centrato:

mV = T cosα−D −W sin γ,

0 = T sinα+ L−W cos γ,

0 =MG,

(1)

dove T rappresenta la spinta (o trazione), D la resistenza aerodinamica, L laportanza, m la massa, W = mg il peso e MG il momento di beccheggio alcentro di massa G, mentre V e la velocita di volo e γ l’angolo di rampa.

Queste equazioni rappresentano, nell’ordine, il bilancio delle forze in dire-zione tangenziale al moto (ossia la direzione del vettore velocita di volo V), ilbilancio delle forze in direzione normale al moto ed infine il bilancio dei momen-ti in beccheggio riferito al baricentro. Le ipotesi che soggiaciono alla scritturadelle equazioni precedenti sono

• volo simmetrico (β = 0), per cui tutte le azioni latero-direzionali sononulle e le equazioni di equilibrio alla traslazione laterale e alle rotazioni dirollio e d’imbardata si riducono ad identita banali;

• contributo al momento in beccheggio delle azioni propulsive trascurabili,per cui compare il solo momento di beccheggio aerodinamico al baricentro.

Si e inoltre assunto per comodita l’asse corpo longitudinale coincidente con l’asseorientato del vettore spinta T.

Naturalmente, le condizioni di volo rettilineo si evincono dalla mancanzadi un termine inerziale relativo all’accelerazione centripeta nella seconda equa-zione, quelle di volo centrato dalla mancanza di un termine inerziale relativoall’accelerazione angolare nella terza equazione.

1 INTRODUZIONE 5

1.2 Esubero di potenza specifico e quota totale

Le equazioni del volo rettilineo centrato viste sopra permettono un’interpreta-zione energetica assai significativa. Moltiplicando la prima delle eq. 1 per lavelocita di volo si ottiene l’equazione di bilancio delle potenze:

mV V = Pa − Pr −W Vv, (2)

dove Pa := T ·V = T V cosα rappresenta la potenza disponibile, Pr := D ·V =DV la potenza necessaria e Vv = V sin γ la velocita verticale. L’equazioneprecedente mostra che l’esubero di potenza specifico (specific excess power, SEP),ossia il rapporto tra la differenza tra potenza disponibile e potenza necessariaed il peso, risulta in una combinazione di accelerazione lungo la traiettoria evelocita verticale:

Pa − PrW

=

(Vv +

V

gV

). (3)

Se la velocita verticale e nulla, si avra un volo orizzontale accelerato per esuberodi potenza e decelerato per difetto di potenza; se l’accelerazione tangenziale enulla, si avra un volo in salita per esubero di potenza ed in discesa per difetto dipotenza. Naturalmente, se l’esubero di potenza risulta nullo, e possibile eseguireun volo livellato (ossia orizzontale uniforme), oppure un volo decelerato in salitaovvero accelerato in discesa.

Introducendo la quota totale, o quota energetica (energy height), htot,

htot := h+V 2

2 g, (4)

che rappresenta il rapporto tra l’energia meccanica totale (somma di energiapotenziale gravitazionale ed energia cinetica) del velivolo ed il suo peso in undato istante, e immediato rendersi conto che

htot := h+V

gV . (5)

Pertanto, essendoh = −VGS · ehz . (6)

dove VGS rappresenta il vettore velocita al suolo (groundspeed) e ehz il versoreverticale del sistema di riferimento orizzonte locale,1 e ricordando che

VGS = V + VWS, (7)

dove VWS rappresenta il vettore velocita del vento (windspeed), otteniamo

h = Vv −VWS · ehz . (8)

1 Ricordiamo che tale versore e normale alla superficie terrestre e diretto verso il basso.

1 INTRODUZIONE 6

Quindi, in assenza di una componente di vento verticale, VWS ·ehz = 0, abbiamoh = Vv e di conseguenza anche

htot = Vv +V

gV . (9)

Possiamo, percio, concludere sinteticamente che l’esubero di potenza specifico(SEP) si traduce nella variazione della quota totale del velivolo:

Pa − PrW

= htot. (10)

1.3 Equazioni della salita stazionaria

1.3.1 Equazioni di equilibrio

Imponendo il moto uniforme, V = 0 otteniamo le equazioni che reggono la salitastazionaria:

0 = T cosα−D −W sin γ,

0 = T sinα+ L−W cos γ,

0 =MG.

(11)

Tali equazioni si semplificano significativamente se si assume che il volo si svolga

• ad incidenze moderate, α� 1 rad;

• ad efficienze aerodinamiche medie o elevate, E > O(1).

Entrambe queste condizioni sono verificate in un’ampia gamma di condizioni divolo, in particolare quelle in cui l’ipotesi di stazionarieta e ben verificata.

Applicando tali condizioni, si puo assumere che, trascurando T sinα rispettoa L e ponendo T cosα ≈ T , tutta la spinta agisca in direzione della velocita divolo:

0 = T −D −W sin γ,

0 = L−W cos γ,

0 =MG.

(12)

La prima equazione, naturalmente, puo essere sostituita, quando risulti con-veniente, dall’equazione di bilancio delle potenze, che si ottiene semplicementemoltiplicando ogni membro per la velocita di volo:

Pa = Pr +W Vv, (13)

essendo Pa = T V la potenza disponibile e Pr = DV la potenza necessaria. Iltermine Pc := W Vv e talvolta denominato potenza di salita.

1 INTRODUZIONE 7

1.3.2 Espressioni alternative

Risulta significativo considerare anche la versione adimensionale delle equazioniche governano la salita stazionaria. Introducendo il fattore di carico normalen = L/W , la seconda delle eq. 12 si scrive semplicemente

n = cos γ. (14)

Cio significa che in salita stazionaria il peso apparente e sempre inferiore a quelloordinario, si che si tratti effettivamente di una salita (γ > 0), sia che si tratti diuna discesa (γ < 0).

Per quanto riguarda la prima delle eq. 12, la divisione membro a membro peril peso, tenendo conto dell’uguaglianza L = W cos γ data dalla seconda delleeq. 12, conduce all’espressione

τ =cos γ

E+ sin γ, (15)

dove τ := T/W e il rapporto spinta/peso e E := L/D l’efficienza aerodinamica.Analogo discorso si puo fare dividendo l’eq. 13 membro a membro per il peso,ricordando che Pa = ηpPb, essendo Pb la potenza totale prodotta dal motore(potenza all’albero per un velivolo a motoelica) e ηp il rendimento propulsivo,per ottenere

ηpψ =VhE

+ Vv, (16)

dove ψ := Pb/W e il rapporto potenza/peso e Vh := V cos γ la velocita orizzon-tale.

1.3.3 Espressioni per le prestazioni

Le equazioni di equilibrio 12 consentono di valutare le principali grandezzecinematiche d’interesse nel volo in salita, e cioe

• l’angolo di rampa γ, il cui seno risulta pari all’esubero di spinta specifico,

sin γ =T −DW

, (17)

• la velocita verticale Vv, che risulta pari all’esubero di potenza specifico(SEP),

Vv =Pa − PrW

. (18)

Facendo ricorso ad espressioni in termini dei parametri τ e ψ abbiamo dunque

sin γ = τ − cos γ

E,

Vv = ηpψ −√A

Fcos γ.

(19)

Le equazioni precedenti sono scritte in una forma implicita nelle variabili (γ, Vv).Pur essendo risolubili senza particolari difficolta, qui preferiamo lasciarle nel-la forma data in quanto conveniente per la maggior parte delle considerazionisuccessive.

2 ANALISI DELLE CONDIZIONI D’EQUILIBRIO 8

2 ANALISI DELLE CONDIZIONI D’EQUILIBRIO

2.1 Equazioni costitutive ed equilibrio

Le leggi costitutive delle azioni aerodinamiche e propulsive relative alle condizio-ni di volo rettilineo uniforme simmetrico sono formalmente interpretabili comefunzioni delle variabili di stato (h, V, α) e di controllo (δe, δT ), e quindi date da

T = T (h, V, δT ),

D = D(h, V, α, δe),

L = L(h, V, α, δe),

MG =MG(h, V, α, δe),

(20)

avendo trascurato, per semplicita, le dipendenze dai numeri di Mach e Reynolds.Grazie alla condizione di centraggio, MG(h, V, α, δe) = 0, e possibile espri-

mere la deflessione dell’equilibratore δe che garantisce l’equilibrio in funzionedelle variabili (h, V, α):

δe = δ∗e (h, V, α), (21)

e quindi, per sostituzione, arrivare alle espressioni ‘trimmate’ della portanza edella resistenza

D = D(h, V, α, δ∗e (h, V, α)

)= D∗(h, V, α),

L = L(h, V, α, δ∗e (h, V, α)

)= L∗(h, V, α).

(22)

A questo punto, e conveniente eliminare la variabile α in favore di L,

α = α∗(h, V, L), (23)

ottenendo, per sostituzione, la dipendenza della resistenza dalla portanza, dallaquota e della velocita di volo,

D = D∗(h, V, α∗(h, V, L))

= D~(h, V, L). (24)

Quest’operazione, in termini di coefficienti di portanza e resistenza, non e altroche la costruzione della curva polare, ossia la dipendenza del coefficiente diresistenza dal coefficiente di portanza,

CD = C~D(CL). (25)

Grazie alla condizione di equilibrio verticale, L = W cos γ, si ha

D = D~(h, V,W, γ), (26)

ed e quindi possibile ricondurre il problema dell’equilibrio in salita stazionariaalla sola equazione

T (h, V, δT ) = D~(h, V,W, γ) +W sin γ. (27)


Un risultato del tutto equivalente si ottiene facendo riferimento all’equazione dibilancio delle potenze in luogo dell’equazione di bilancio delle forze in direzionetangente al moto,

Pa(h, V, δT ) = P~r (h, V,W, Vv) +W Vv. (28)

Cio significa che valgono le relazioni

sin γ =T (h, V, δT )−D~(h, V,W, γ)

W,

Vv =Pa(h, V, δT )− P~

r (h, V,W, Vv)

W,

(29)

ognuna delle quali e implicita.

2.2 Ipotesi di salita moderata

In molti casi, la salita viene effettuata ad angoli di rampa ‘moderati’, ossiatali che γ � 1 rad. In questo caso, e lecito trascurare i termini superiori alprim’ordine nello sviluppo in serie delle funzioni trigonometriche di γ intornoa γ = 0, ottenendo sin γ = γ, cos γ = 1 e quindi una semplificazione delleequazioni di equilibrio 12:

0 = T −D −W γ,

0 = L−W,0 =MG.

(30)

Sotto queste ipotesi, essendo l’equilibrio verticale identico al caso di volo livel-lato, L = W , il problema dell’equilibrio si semplifica in modo sostanziale inquanto la resistenza trimmata ha la medesima espressione del volo livellato enon dipende quindi dall’angolo di rampa,

D = D~(h, V,W ), (31)

e quindi

γ =T (h, V, δT )−D~(h, V,W )

W. (32)

Analogamente, la potenza necessaria trimmata ha la medesima espressione delvolo livellato e non dipende quindi dalla velocita verticale,

Pr = P~r (h, V,W ), (33)

e quindi

Vv =Pa(h, V, δT )− P~

r (h, V,W )

W. (34)

Per alleggerire la notazione, d’ora in avanti si ometteranno gli apici ∗ e ~ neisimboli delle grandezze ‘trimmate’.


Nelle ipotesi di salita moderata, dunque, l’equazione 14 si approssima conla seguente:

n = 1, (35)

analoga al caso del volo livellato. Inoltre, le equazioni 19 divengono

sin γ = τ − 1

E,

Vv = ηpψ −√A

F,

(36)

e risultano pertanto esplicite in (γ, Vv). Ne discende che, in salita moderata,l’angolo di rampa cresce al crescere del rapporto spinta/peso e dell’efficienzaaerodinamica, mentre la velocita verticale cresce al crescere del rapporto poten-za/peso, del rendimento propulsivo e dell’indice di potenza, mentre diminuisceal crescere della quota e del carico alare.

2.3 Diagrammi di prestazioni

Sotto l’ipotesi di salita moderata stazionaria, quanto appena visto consente difare riferimento ai diagrammi di prestazioni in spinta e in potenza (diagrammidi Penaud) visti nel caso di volo livellato per lo studio delle prestazioni. In talidiagrammi, le velocita di volo V corrispondenti a condizioni di volo livellato per(h,W, δT ) fissati, sono date dalle ascisse delle intersezioni tra le curve T (V ) eD(V ), ovvero Pa(V ) e Pr(V ).

Nel diagramma di prestazioni in spinta, la distanza tra le curve T (V ) e D(V )per ogni valore di V rappresenta l’esubero di spinta. Pertanto, dividendo talevalore per il peso W , si ottiene immediatamente il diagramma γ(V ) dell’angolodi rampa ottenibile per i valori dati di (h,W, δT ) in funzione della velocita divolo.

Nel diagramma di prestazioni in potenza, la distanza tra le curve Pa(V ) ePr(V ) per ogni valore di V rappresenta l’esubero di potenza. Pertanto, divi-dendo tale valore per il peso W , si ottiene immediatamente il diagramma Vv(V )della velocita verticale ottenibile per i valori dati di (h,W, δT ) in funzione dellavelocita di volo.

In generale, se per i valori dati di (h,W, δT ) abbiamo esubero di spin-ta/potenza allo stallo (ossia minV = Vstall), otteniamo allo stallo valori positivitanto per γ, quanto per Vv. Se invece abbiamo difetto di spinta/potenza allostallo (ossia minV > Vstall), allo stallo otteniamo valori negativi e alla velocitaminima valori nulli, tanto per γ, quanto per Vv. Le curve γ(V ) e Vv(V ) hannopoi valore nullo in corrispondenza di max(V ), dato che in tali condizioni si an-nulla l’esubero di spinta/potenza. Per valori di velocita superiori alla massimavelocita in volo livellato maxV il volo in salita e impossibile, e al piu si puovalutare il minor angolo di discesa e la minore velocita di discesa ottenibili.


2.3.1 Variazioni della manetta

A quota e peso fissati, per δT decrescente a partire dal suo valore massimo, siassiste ad un progressivo abbassamento delle curve dell’angolo di rampa e dellavelocita verticale, dato che si abbassano le curve di spinta e potenza disponi-bile mentre rimangono chiaramente invariate le curve di resistenza e potenzanecessaria.

In ogni caso, la salita e possibile nell’intervallo (δT tg,max δT ], essendo δT tg ilvalore minimo del parametro di manetta capace di consentire il volo livellato aivalori dati di quota e peso (condizione di tangenza delle curve di spinta/potenzadisponibile e resistenza/potenza necessaria).

2.3.2 Variazioni del peso

A quota e parametro di manetta fissati, al decrescere del peso del velivolo, si as-siste ad un progressivo abbassamento, assieme ad una deformazione, delle curvedella resistenza e della potenza necessaria, mentre rimangono chiaramente inva-riate le curve di spinta e potenza disponibile. L’effetto sui diagrammi dell’angolodi rampa e della velocita verticale e dunque quello di un innalzamento generaledelle curve.

2.3.3 Variazioni della quota – Tangenza pratica

A peso e parametro di manetta fissati, al crescere della quota a partire dal livellodel mare medio, si assiste ad un progressivo abbassamento, delle curve dell’an-golo di rampa e della velocita verticale, dato che si abbassano le curve di spinta epotenza disponibile mentre la curva di resistenza si sposta, deformandosi, versovelocita piu elevate e la curva di potenza necessaria si deforma e si innalza.

Alla quota di tangenza teorica hth, annullandosi l’esubero di spinta/potenzaresiduo, si annullano anche l’angolo di rampa e la velocita verticale ottenibili(il volo livellato risulta il miglior volo stazionario possibile). Dato che, comevedremo in seguito, il volo alla quota di tangenza teorica e di fatto imprati-cabile, oltre alla quota di tangenza teorica stessa, le prestazioni in quota delvelivolo sono caratterizzate da altri valori di quote significativi. In particolare,si definisce quota di tangenza pratica (service ceiling) hs la quota alla quale lamiglior velocita di salita ottenibile e pari a 100 ft/min (circa 0.5 m/s). Questarappresenta una misura piu pratica per caratterizzare il limite superiore per laquota raggiungibile dal velivolo.

Ulteriori misure possono essere usate, con opportune differenze tra velivoloe velivolo, per dare un’idea della quota effettiva alla quale il velivolo puo vo-lare mantenendo un minimo esubero di spinta/potenza per compiere manovre,mediante la definizione di una quota di tangenza operativa (operational ceiling)hop. Ad esempio, per un velivolo da combattimento, un valore spesso considera-to per definire la quota hop e un rateo di salita residuo pari a 500 ft/min (circa2.5 m/s).

3 PRESTAZIONI PUNTUALI 12

3 PRESTAZIONI PUNTUALI

3.1 Salita rapida e salita ripida

Per velivoli subsonici, i diagrammi dell’angolo di rampa e della velocita verticalepresentano entrambi un massimo, relativo alle velocita di volo per le quali si hail massimo esubero di spinta specifico ed il massimo esubero di potenza specifico,rispettivamente indicate con Vmax γ e VmaxVv

.2 Queste due condizioni di ottimosono denominate rispettivamente

• salita ripida (steepest climb), quella per cui si ottiene max γ, corrispon-dente alla velocita di volo per cui e massimo l’esubero di spinta, il cheavviene alla velocita per la quale le curve T (V ) e D(V ) hanno la medesimatangente;

• salita rapida (fastest climb), quella per cui si ottiene maxVv, corrispon-dente alla velocita di volo per cui e massimo l’esubero di potenza, il che av-viene alla velocita per la quale le curve Pa(V ) e Pr(V ) hanno la medesimatangente.

Dal punto di vista analitico, le condizioni di salita ripida si hanno per

max γ =⇒ ∂γ

∂V=

1

W

∂(T −D)

∂V= 0, (37)

ossia per∂T

∂V=∂D

∂V(38)

(uguaglianza delle tangenti alle curve di spinta e resistenza). Analogamente, lecondizioni di salita rapida si hanno per

maxVv =⇒ ∂Vv∂V

=1

W

∂(Pa − Pr)∂V

= 0, (39)

ossia per∂Pa∂V

=∂Pr∂V

(40)

(uguaglianza delle tangenti alle curve di potenza disponibile e potenza necessa-ria).

Risulta chiaro che Vmax γ ≤ VmaxVv. Infatti, essendo Vv = V γ, nel dia-

gramma della velocita verticale il massimo dell’angolo di rampa si ha per lacondizione di tangenza tra la curva Vv(V ) ed una semiretta uscente dall’origine,essendo tale punto di tangenza posto a sinistra del massimo della curva Vv(V ).La condizione di uguaglianza vale esclusivamente alla quota di tangenza hth,quando le condizioni di salita ripida e rapida degenerano fino a coincidere conl’unica condizione possibile di volo livellato, sicche tanto il massimo angolo dirampa, quanto la massima velocita verticale ottenibili sono nulli.

2 In certi testi di Meccanica del Volo e in parte della documentazione tecnica, le velocitacitate sono indicate con Vx e Vy , rispettivamente.


Le condizioni di salita ripida assicurano che, localmente, fissata una distanzaorizzontale da percorrere, si ottenga il massimo divario di quota possibile, ovveroche, fissato un divario di quota, si raggiunga la quota finale percorrendo laminima distanza possibile sul piano orizzontale. Si tratta chiaramente di unaprestazione molto significativa quando il velivolo si trovi ad operare in prossimitadi ostacoli (basse quote), ovvero nel volo acrobatico e di combattimento.

Le condizioni di salita rapida invece assicurano che, localmente, fissata unadurata della salita, si ottenga il massimo divario di quota possibile, ovvero che,fissato un divario di quota, si raggiunga la quota finale nel piu breve tempopossibile. Si tratta chiaramente di una prestazione molto significativa quan-do il velivolo debba raggiungere rapidamente quote elevate, come nel caso diun’intercettazione, oltre che in generale nel volo acrobatico e di combattimento.Come vedremo nel seguito, tuttavia, la condizione di salita rapida e partico-larmente interessante dal punto di vista economico, in termini di consumo delcombustibile.

3.1.1 Turbogetto semplificato

Per un turbogetto semplificato abbiamo T = T (h, δT ), ossia la spinta risultaindipendente dalla velocita di volo. Pertanto, nel diagramma di prestazioni inspinta, la spinta e rappresentata da una costante (una retta parallela all’as-se delle velocita di volo), mentre nel diagramma di prestazioni in potenza, lapotenza disponibile e rappresentata da una semiretta uscente dall’origine.

Cio comporta che la condizione di salita ripida coincida con quella di minimaresistenza, dato che e quello il punto per il quale si ottiene il massimo esuberodi spinta,

V jetmax γ = VminD, (41)

com’e immediato osservare nel diagramma di prestazioni in spinta. Questorisultato e chiaramente coerente con la condizione di minima resistenza a cui siriduce l’equazione 38, essendo ∂T/∂V = 0. Del resto, dato che in generale vale

γ = τ − 1

E, (42)

e che per il turbogetto semplificato τ non dipende dalla velocita di volo, e chiaroche l’angolo di rampa e massimo in condizioni di massima efficienza,

max γjet = τ − 1

max E, (43)

ossia di minima resistenza. Si tratta di un risultato notevole in quanto talevelocita, ed il corrispondente valore dell’incidenza, non dipendono dalla spintainstallata, mentre chiaramente sia l’angolo di rampa, sia la velocita verticalesono tanto maggiori quanto piu e elevata la spinta installata. La velocita di salitaripida dunque cresce con la quota e col carico alare, mentre la corrispondentevelocita equivalente (EAS) non dipende dalla quota, ma solo dal carico alare.


Al contrario, la velocita di salita rapida, che risulta piu elevata della velocitadi minima resistenza

V jetmaxVv≥ VminD, (44)

dipende essenzialmente dalla spinta installata ed il suo valore va ricavato grafi-camente ovvero, come vedremo in seguito, analiticamente.

I risultati appena discussi mostrano che, dal punto di vista delle prestazionipuntuali in salita e nell’approssimazione del modello di turbogetto semplificato,l’uso di un velivolo a getto risulta inerentemente conveniente a velocita maggioriod uguali a quella di minima resistenza, dato che gli ottimi prestazionali sitrovano in quest’intervallo.

3.1.2 Motoelica semplificato

Per un motoelica semplificato3 abbiamo Pa = Pa(h, δT ), ossia la potenza dispo-nibile risulta indipendente dalla velocita di volo. Pertanto, nel diagramma diprestazioni in potenza, la potenza disponibile e rappresentata da una costante(una retta parallela all’asse delle velocita di volo), mentre nel diagramma diprestazioni in spinta, la spinta e rappresentata da un’iperbole.

Cio comporta che la condizione di salita rapida coincida con quella di minimapotenza necessaria, dato che e quello il punto per il quale si ottiene il massimoesubero di potenza,

V propmaxVv= VminPr

, (45)

com’e immediato osservare nel diagramma di prestazioni in potenza. Questorisultato e chiaramente coerente con la condizione di minima potenza necessariaa cui si riduce l’equazione 40, essendo ∂Pa/∂V = 0. Del resto, dato che ingenerale vale

Vv = ηpψ −√A

F, (46)

e che per il motoelica semplificato il prodotto ηpψ non dipende dalla velocitadi volo, e chiaro che lla velocita verticale e massima in condizioni di massimoindice di potenza,

maxVvprop = ηpψ −

√A

max F, (47)

ossia di minima potenza necessaria. Si tratta di un risultato notevole in quantotale velocita, ed il corrispondente valore dell’incidenza, non dipendono dallapotenza installata, mentre chiaramente sia l’angolo di rampa, sia la velocitaverticale sono tanto maggiori quanto piu e elevata la potenza installata. Lavelocita di salita rapida dunque cresce con la quota e col carico alare, mentrela corrispondente velocita equivalente (EAS) non dipende dalla quota, ma solodal carico alare.

Al contrario, la velocita di salita ripida, che risulta piu bassa della velocitadi minima potenza

V propmax γ ≤ VminPr, (48)

3 Si ricorda che la definizione implica che il propulsore sia del tipo a passo variabile e giricostanti.


Modello propulsivo Salita ripida Salita rapida

Turbogetto semplificato CL = CLmaxECL < CLmaxE

dipendente da τ

Motoelica semplificatoCL > CLmaxF

dipendente da ηpψCL = CLmaxF

Tab. 1: Soluzioni per salita rapida e ripida nei casi semplificati.

dipende essenzialmente dalla potenza installata ed il suo valore va ricavatograficamente ovvero, come vedremo in seguito, analiticamente.

I risultati appena discussi mostrano che, dal punto di vista delle prestazionipuntuali in salita e nell’approssimazione del modello di motoelica semplificato,l’uso di un velivolo a elica risulta inerentemente conveniente a velocita minori oduguali a quella di minima potenza necessaria, dato che gli ottimi prestazionalisi trovano in quest’intervallo.

3.2 Inviluppo di volo

L’analisi delle prestazioni puntuali in salita stazionaria si compendia nello studiodell’andamento del massimo angolo di rampa e della massima velocita verticaleal variare della quota, nonche delle velocita di salita ripida e rapida al variaredella quota.

Risulta evidente, dato l’andamento generale delle prestazioni dei propulsoriaeronautici con la quota, che le migliori prestazioni di salita si ottengono abassissima quota e che queste degradano fino ad annullarsi alla quota di tangenzateorica hth. Riportando sull’inviluppo di volo livellato i valori di Vmax γ e VmaxVv

in funzione della quota h per un peso fissato, si ottiene l’inviluppo di volo in salita(climbing flight envelope). Alla tangenza teorica, le curve della salita ripida edella salita rapida coalescono in corrispondenza della velocita di tangenza.


E interessante osservare l’andamento dell’inviluppo di volo in funzione dellavelocita equivalente (EAS) per il caso del turbogetto semplificato. In questocaso, la curva della velocita equivalente di salita ripida e un segmento verticale,essendo coincidente con la velocita equivalente di minima resistenza e quindiindipendente dalla quota,

V jetEASmax γ(h) = V jetEASmax γ |0. (49)

Questo valore e chiaramente quello della velocita equivalente di tangenza.


E interessante osservare l’andamento dell’inviluppo di volo in funzione dellavelocita equivalente (EAS) per il caso del motoelica semplificato. In questo


caso, la curva della velocita equivalente di salita rapida e un segmento verticale,essendo coincidente con la velocita equivalente di minima potenza necessaria equindi indipendente dalla quota,

V propEAS maxVv(h) = V propEAS maxVv

|0. (50)

Questo valore e chiaramente quello della velocita equivalente di tangenza.

3.3 Soluzioni analitiche

Esaminiamo nel seguito alcuni casi semplificati per i quali e possibile otteneresoluzioni analitiche per le condizioni di equilibrio, e quindi per le prestazioni, insalita stazionaria. A questo scopo e necessario assumere la forma parabolica perla polare del velivolo, unitamente alle ipotesi di gruppo propulsore semplificato:turbogetto semplificato o motoelica semplificato. Le soluzioni che si ottengono,sebbene particolari e non sempre accurate, hanno un notevole interesse didatticoperche permettono di mettere in luce le principali dipendenze delle grandezzed’interesse.

3.3.1 Polare parabolica

Assumendo dunque per la polare la consueta forma parabolica semplice

CD(CL) = CD0 +K C2L, (51)

la dipendenza funzionale della resistenza risulta

D(h, V,W ) = W

(CD0

V 2

A(h,W )+K

A(h,W )

V 2

), (52)

mentre per la potenza necessaria risulta

Pr(h, V,W ) = W

(CD0

V 3

A(h,W )+K

A(h,W )

V

). (53)

Ricordiamo che le velocita di minima resistenza (massima efficienza aerodina-mica E) e di minima potenza necessaria (massimo indice di potenza F) sonodate da

VminD =√A 4

√K

CD0

, VminPr =√A 4

√K

3 CD0

, (54)

con VminPr = VminD/4√

3 ≈ 0.76VminD. Cio corrisponde a coefficienti diportanza nella proporzione CLmaxF =

√3 CLmaxE ≈ 1.73 CLmaxE.

Risulta conveniente ed elegante esprimere le relazioni precedenti facendoriferimento alla velocita adimensionale u definita da

u :=V

VminD, (55)


ottenendo per la resistenza

D = W√

CD0K

(u2 +

1

u2

). (56)

Si noti che, essendo

max E =1

2√

CD0K, (57)

abbiamo

D =W

2 max E

(u2 +

1

u2

), (58)

ovvero

D =1

2

(u2 +

1

u2

)minD, (59)

dato che minD = W/max E. Per la potenza necessaria otteniamo quindi

Pr =1

2

(u3 +

1

u

)PrminD. (60)

Possiamo scrivere l’ultima espressione anche nella forma seguente:

Pr =4√

27

2

(u3 +

1

u

)minPr, (61)

dove si e messa in evidenza la minima potenza necessaria, minPr = 2PrminD/4√

27 ≈0.88PrminD.


Per un turbogetto semplificato abbiamo T = T (h, δT ), ossia la spinta risultaindipendente dalla velocita di volo. Pertanto, sotto le ipotesi di validita dellapolare parabolica, la condizione di definizione della salita ripida per una dataquota e un regime del propulsore fissato,

∂T

∂V=∂D

∂V=⇒ 0 =

1

2minD

∂

∂u

(u2 +

1

u2

)(62)

conduce all’equazione

2u− 2

u3= 0, (63)

e quindi all’equazioneu4 − 1 = 0. (64)

L’equazione precedente ha chiaramente una sola soluzione che abbia senso fisico:

u = 1, (65)

che corrisponde quindi alla formula

V jetmax γ = VminD, (66)


come gia visto a partire dai diagrammi di prestazioni.Per quanto riguarda la salita rapida, sotto le ipotesi di validita della polare

parabolica, la sua condizione di definizione per una data quota e un regime delpropulsore fissato,

∂Pa∂V

=∂Pr∂V

=⇒ T =1

2minD

∂

∂u

(u3 +

1

u

)(67)


3u2 − 2T

minD− 1

u2= 0, (68)

e quindi all’equazione3u4 − 2 zjetu2 − 1 = 0, (69)

dove zjet := T/minD ≡ τ max E e una funzione del solo parametro di manettaδT . Si noti che dev’essere zjet ≥ 1 perche sia possibile il volo livellato alla quotaed al peso considerati.

L’equazione precedente, una biquadratica in u, comporta quattro soluzioni:

u1,2,3,4 = ±

√1

3

(zjet ∓

√zjet

2+ 3

). (70)

Di queste, e chiaro che ha senso fisico soltanto l’unica soluzione positiva,

u2 =

√zjet

3

√1 +

√1 +

3

zjet2 , (71)

che corrisponde quindi alle formule

V jetmaxVv=

√√√√√ T

3 ρS CD0

1 +

√1 + 3

(minD

T

)2,

=

√τ A

6 CD0

√√√√1 +

√1 +

3

(τ max E)2.

(72)

Naturalmente, tale soluzione ha senso per T ≥ minD, mentre nel caso opposto(nel quale non e possibile il volo livellato) fornisce la velocita alla quale si ottienela minima velocita di discesa.

Va ricordato inoltre che i risultati ottenuti risultano tanto piu approssimatiquanto piu ci si avvicina, per velocita elevate, alla divergenza transonica dellaresistenza (transonic drag rise), che non e tenuta in conto nell’ipotesi adottatadi polare parabolica.

In conclusione, la velocita di salita ripida e quella di salita rapida cresconoal crescere della quota di volo h e del carico alare W/S. Inoltre, la velocita disalita ripida cresce al crescere del rapporto tra il minimo coefficiente di resistenza


CD0 ed il coefficiente di resistenza indotta K, mentre la velocita di salita rapidacresce al crescere del rapporto spinta/peso τ , al crescere della massima efficienzaaerodinamica max E ed al diminuire del minimo coefficiente di resistenza CD0.

Si noti, nella discussione appena vista, che ogni variazione di ciascuno deiparametri (τ,max E,CD0, h,W/S) va considerata a parita degli altri. Pertanto,cosı come la valutazione dell’effetto di una variazione del coefficiente di resi-stenza presuppone che l’efficienza aerodinamica non vari (il che non succede ameno di un’opportuna variazione del fattore di resistenza indotta), la valutazio-ne dell’effetto di una variazione della quota di volo presuppone che il rapportospinta/peso non vari (il che non succede dato che il parametro di manetta inquesto caso e fissato e pari al massimo). Di fatto, la riduzione della spintaall’aumentare della quota contrasta l’effetto diretto della riduzione di densita,comportando la tendenza della velocita di salita rapida ad avvicinarsi ed infinea coincidere (alla quota di tangenza teorica) con la velocita di salita ripida.


Per un motoelica semplificato4 abbiamo Pa = Pa(h, δT ), ossia la potenza dispo-nibile risulta indipendente dalla velocita di volo. Pertanto, sotto le ipotesi divalidita della polare parabolica, la condizione di definizione della salita rapidaper una data quota e un regime del propulsore fissato,

∂Pa∂V

=∂Pr∂V

=⇒ 0 =1

2

minD

VminD

∂

∂u

(u3 +

1

u

)(73)


3u2 − 1

u2= 0, (74)

e quindi all’equazione3u4 − 1 = 0. (75)

L’equazione precedente ha chiaramente una sola soluzione che abbia senso fisico:

u =14√

3, (76)

che corrisponde quindi alla formula

V propmaxVv= VminPr , (77)

come gia visto a partire dai diagrammi di prestazioni.Per quanto riguarda la salita ripida, sotto le ipotesi di validita della polare

parabolica, la sua condizione di definizione per una data quota e un regime delpropulsore fissato,

∂T

∂V=∂D

∂V=⇒ −Pa

V 2=

1

2

minD

VminD

∂

∂u

(u2 +

1

u2

)(78)

4 Si ricorda che la definizione implica che il propulsore sia del tipo a passo variabile e giricostanti.

4 PRESTAZIONI INTEGRALI 20


2u+Pa

PrminD

2

u2− 2

u3= 0, (79)

e quindi all’equazioneu4 + zpropu− 1 = 0, (80)

dove zprop := Pa/PrminD ≡ ηpψ max E/VminD e una funzione del solo parame-tro di manetta δT . Si noti che, perche sia possibile il volo livellato alla quota ed alpeso considerati, occorre che sia Pa ≥ Pr. Essendo zprop := (2/ 4

√27)Pa/minPr,

cio si traduce nel richiedere che sia zprop ≥ 2/ 4√

27 .L’equazione precedente non consente una soluzione analitica semplice. Pur

senza dimostrarlo, va osservato che tale equazione ha una soluzione fisicamenteaccettabile, che non soltanto risulta minore di 1/ 4

√3, ma spesso anche del va-

lore di u corrispondente alla velocita di stallo. In quest’ultimo caso, l’effettivacondizione di salita rapida coincide con lo stallo.

3.3.4 Approssimazioni e soluzioni iterative

Nonostante che una delle soluzioni analitiche relative al caso del motoelica sem-plificato non sia determinabile in forma chiusa, normalmente risulta molto age-vole ottenere una soluzione numerica attraverso un procedimento iterativo apartire da una ragionevole soluzione di primo tentativo.

Possiamo infatti stimare in via preliminare la velocita di salita ripida per ilmotoelica semplificato come la velocita di stallo

V [0]max γ = Vstall. (81)

Cio si traduce nell’adottare il corrispondente valore u[0] = Vstall/VminD perla soluzione di primo tentativo dell’eq. 80, che possiamo usare per innescarel’iterazione

u[k+1] =3

√1

u[k]− zprop. (82)

La soluzione secondo lo schema indicato generalmente porta, in poche iterazioni,ad una soluzione sufficientemente accurata ai fini dello studio delle prestazioni.

4 PRESTAZIONI INTEGRALI

4.1 Tempi, spazi, consumi in salita

4.1.1 Definizioni generali

Le condizioni di volo in salita sono importanti non soltanto in termini puntuali,e quindi relativamente a manovre di breve durata, ma naturalmente anche intermini integrali, ossia relativamente a fasi prolungate della traiettoria. Adesempio, nella missione di volo tipica di un velivolo generico, successivamente


al decollo si esegue una fase di salita fino alla quota di crociera che puo durareda alcune a molte decine di minuti.

L’analisi delle prestazioni integrali, ossia delle caratteristiche di volo cheinteressano porzioni finite della traiettoria, si compendia nello studio dell’anda-mento dei tempi e degli spazi di salita, nonche della loro relazione con il consumodi combustibile.

In particolare, hanno interesse

• il tempo di salita (time to climb) T , ossia il tempo di percorrenza dellatraiettoria;

• lo spazio di salita (distance to climb) S, ossia lo spazio sul piano dell’oriz-zonte,

• il consumo di combustibile in salita (fuel to climb) Wf , ossia il peso dicombustibile impiegato.

L’espressione analitica del tempo di salita e data semplicemente da

T = t2 − t1 =

∫ t2

t1

dt, (83)

dove t1 e t2 rappresentano rispettivamente gli istanti di inizio e fine della salitaconsiderata. L’espressione analitica dello spazio di salita e data invece da

S =

∫ t2

t1

Vhdt, (84)

dove Vh = V cos γ rappresenta la velocita orizzontale, mentre quella del consu-mo di combustibile in salita e data da

Wf =

∫ t2

t1

Wfdt, (85)

dove Wf rappresenta la portata in peso di combustibile. Per legare questegrandezze alla quota, possiamo esprimere il differenziale di tempo dt in terminidella velocita verticale Vv e del differenziale di quota. Infatti, in assenza di ventoverticale vale Vv = dh/dt e quindi

dt =dh

Vv. (86)

Cio permette di scrivere le grandezze integrali d’interesse nelle forme seguenti

T =

∫ h2

h1

1

Vvdh,

S =

∫ h2

h1

VhVv

dh,

Wf =

∫ h2

h1

Wf

Vvdh,

(87)


dove h1 = h(t1) e h2 = h(t2) rappresentano la quota del velivolo rispettivamenteall’inizio e alla fine della salita considerata.

Gli ottimi prestazionali sono i minimi delle grandezze citate: le condizionidi minimo tempo di salita sono quelle che minimizzano il tempo necessario adottenere un divario di quota fissato, ovvero massimizzano il divario di quota peruna durata della salita fissata; analogamente, le condizioni di minimo spazio disalita sono quelle che minimizzano la distanza orizzontale percorsa per ottenereun divario di quota fissato, ovvero massimizzano il divario di quota per unadistanza orizzontale fissata; le condizioni di minimo consumo in salita sonoquelle che minimizzano la quantita di combustibile impiegata per ottenere undivario di quota fissato, ovvero massimizzano il divario di quota per una quantitadi combustibile impiegata fissata.

Come si vede dalle espressioni 87, le condizioni di minimo tempo di salitacorrispondono al volo che massimizza la velocita verticale ad ogni quota:

min T =

∫ h2

h1

1

maxVvdh. (88)

Per quanto riguarda lo spazio di salita, dato che il rapporto Vv/Vh = tan γ,le condizioni di minimo spazio di salita corrispondono al volo che massimizzal’angolo di rampa ad ogni quota:

minS =

∫ h2

h1

1

max (tan γ)dh. (89)

Tipicamente, le condizioni di minimo tempo di salita sono ricercate in ambitomilitare per ottimizzare le missioni d’intercettazione. Le condizioni di minimospazio di salita sono invece utili in fase di decollo, immediatamente dopo il di-stacco dal suolo (fase di climbout), per allontanarsi il piu efficacemente possibileda eventuali ostacoli al suolo.

Relativamente al consumo di combustibile, le condizioni di minimo consu-mo in salita corrispondono al volo che massimizza il rapporto tra la velocitaverticale e la portata in peso di combustibile ad ogni quota. Si tratta di unacondizione interessante per la maggior parte dei velivoli, ed in special modoquelli commerciali, che prende il nome di salita economica. Per caratterizza-re ulteriormente tale condizione, e necessario introdurre opportune espressionicostitutive per Wf .

4.1.2 Consumi specifici

Per i velivoli propulsi a getto (turbogetti, turbofan), il peso di combustibileconsumato nell’unita di tempo viene messo in relazione alla spinta ottenutaattraverso la definizione del consumo specifico rispetto alla spinta (thrust specificfuel consumption, TSFC) cT :

Wf = cTT. (90)

Il TSFC assume valori tipici compresi tra 0.7 e 1.1 N/(N h).


Per i velivoli propulsi ad elica (motoelica, turboelica), il peso di combustibileconsumato nell’unita di tempo viene messo in relazione alla potenza all’alberoottenuta attraverso la definizione del consumo specifico rispetto alla potenza(brake specific fuel consumption, BSFC) cP :

Wf = cPPb. (91)

Il BSFC assume valori tipici attorno a 0.5 lb/(BHP h).5

4.1.3 Salita economica – Casi semplificati

Per un turbogetto semplificato, per cui la spinta e indipendente dalla velocita divolo, si assume che anche il TSFC non dipenda dalla velocita di volo V . Sottoquest’ipotesi, l’espressione per il consumo in salita risulta

W jetf =

∫ h2

h1

cTT

Vvdh, (92)

pertanto le condizioni di salita economica si hanno quando

minW jetf =

∫ h2

h1

min

(cTT

Vv

)dh. (93)

Dato che la spinta T , fissata la quota, e funzione del solo parametro di ma-netta δT e cosı vale per il TSFC, per posizione fissata della manetta le condi-zioni di salita economica per un velivolo a getto coincidono, nell’ambito delleapprossimazioni e delle ipotesi assunte, alle condizioni di minimo tempo di salita:

minW jetf =

∫ h2

h1

cTT

maxVvdh. (94)

Per un motoelica semplificato, per cui la potenza disponibile e indipendentedalla velocita di volo, si assume che anche il BSFC non dipenda dalla velocitadi volo V . Sotto quest’ipotesi, l’espressione per il consumo in salita risulta

W propf =

∫ h2

h1

cPPbVv

dh, (95)

pertanto le condizioni di salita economica si hanno quando

minW propf =

∫ h2

h1

min

(cPPbVv

)dh. (96)

Dato che la potenza all’albero Pb, fissata la quota, e funzione del solo parametrodi manetta δT e cosı vale per il BSFC, per posizione fissata della manetta anche

5 BHP e l’acronimo di brake horse power, ossia l’unita di misura della potenza detta initaliano cavallo vapore.


le condizioni di salita economica per un velivolo a motoelica coincidono, nel-l’ambito delle approssimazioni e delle ipotesi assunte, alle condizioni di minimotempo di salita:

minW propf =

∫ h2

h1

cPPbmaxVv

dh. (97)

Pertanto, le condizioni di minimo tempo di salita assumono un’importanza piugenerale, in quanto prossime alle condizioni di salita economica.

4.2 Salita stazionaria

4.2.1 Prestazioni in salita stazionaria

Le grandezze relative alle prestazioni integrali in salita ed in particolare i lorovalori ottimi, possono essere calcolati, assumendo l’ipotesi di salita stazionaria,sostituendo al rateo di salita Vv l’esubero di potenza specifico (SEP) e all’angolodi rampa γ l’arcoseno dell’esubero di spinta specifico (o l’esubero stesso in casodi salita moderata).

Pertanto, il tempo minimo di salita corrisponde al volo in cui si mantenen-gono costantemente condizioni di massimo esubero di potenza a mano a manoche si sale in quota:

min T =

∫ h2

h1

1

max

(Pa − PrW

) dh. (98)

Cio, nell’ambito delle assunzioni viste in precedenza, assicura anche la salita piueconomica, minWf .

Analogamente, lo spazio minimo di salita corrisponde al volo in cui si mante-nengono costantemente condizioni di massimo esubero di spinta a mano a manoche si sale in quota:

minS =

∫ h2

h1

1

max asin

(T −DW

) dh. (99)

Attraverso lo studio delle prestazioni puntuali in salita stazionaria dunque epossibile determinare le prestazioni integrali.

4.2.2 Soluzioni analitiche

Per le prestazioni integrali in salita non e generalmente possibile ottenere so-luzioni analitiche didatticamente significative, con l’eccezione del procedimentobasato sull’assunzione di una dipendenza lineare dalla quota del massimo esu-bero di potenza specifico. Si tratta, anche in questo caso, di una soluzione par-ticolare e generalmente poco accurata, ma capace di mettere in luce le principalidipendenze delle grandezze d’interesse.


In particolare, consideriamo il calcolo del tempo minimo di salita supponendoche sia

maxVv(h) =

(1− h

hth

)maxVv|0. (100)

L’equazione precedente corrisponde alla retta passante per le coppie quota-massimo rateo di salita (0,maxVv|0) e (hth, 0), dove la prima corrisponde allaquota del livello del mare medio, alla quale si ottiene il massimo assoluto del-l’esubero di spinta/potenza e quindi del rateo di salita stazionaria, e la secondaalla quota di tangenza teorica, alla quale l’esubero di spinta/potenza e quindiil rateo di salita stazionaria sono nulli. Questo tipo di approssimazione risultarelativamente accettabile nel caso di velivoli a basse prestazioni, particolarmentese propulsi ad elica.

Utilizzando l’espressione 100 nell’eq. 88 otteniamo

min T(h1,h2) =1

maxVv|0

∫ h2

h1

hthhth − h

dh

=hth

maxVv|0

∫ h1

h2

1

hth − hd(hth − h)

=hth

maxVv|0[ln (hth − h)]

h1

h2

=hth

maxVv|0ln

1− h1hth

1− h2hth

.

(101)

Dal risultato precedente abbiamo che il minimo tempo di salita dalla quota dellivello del mare medio alla quota generica h e dato da

min T(0,h) =hth

maxVv|0ln

1

1− h

hth

. (102)

Fissata una quota h da raggiungere dunque, il tempo minimo di salita diminuisceal crescere del massimo assoluto del rateo di salita maxVv|0 ed al crescere dellaquota di tangenza teorica hth.

Come si vede, per h crescenti, il tempo minimo di salita cresce sempre piurapidamente e presenta un asintoto per h tendente alla quota di tangenza teorica:

h→ hth =⇒ min T(0,h) →∞. (103)

La quota di tangenza teorica quindi non e raggiungibile in condizioni di salitastazionaria (questo giustifica l’attributo ‘teorica’). Questo risultato, in pratica,si estende a dipendenze arbitrarie del massimo rateo di salita dalla quota. Perquesto, normalmente, nel calcolo del tempo minimo di salita ci si riferisce allaquota di tangenza pratica o ad una qualche specifica quota di tangenza operativaai fini di caratterizzare le prestazioni in salita di un velivolo.


4.3 Salita non stazionaria

4.3.1 Correzione per energia cinetica

La procedura vista nel caso di salita stazionaria per velivoli ‘prestanti’ puorisultare troppo limitativa. Infatti, se consideriamo ad esempio il caso dellasalita in tempo minimo, volare in condizioni di salita rapida ad ogni quotapresuppone un’accelerazione lungo la traiettoria, in quanto la velocita di salitarapida non e in generale costante con la quota. Se tale accelerazione e importantein confronto a g sin γ, l’errore che si commette supponendo che tutto l’esuberodi potenza specifico (SEP) si traduca in velocita di salita puo essere importante.

Per tenere conto dell’accelerazione sulla traiettoria e dunque necessario con-siderare le equazioni piu generali della salita non stazionaria per cui vale l’e-spressione della derivata della quota totale

htot = Vv +V

gV . (104)

e quindiPa − PrW

= htot. (105)

Notiamo che, scrivendo dV/dt = (dV/dh) (dh/dt) ed assumendo assenza divento verticale, possiamo scrivere

htot = Vv +V

g

dV

dhh = Vv

(1 +

V

g

dV

dh

)(106)

e quindi possiamo dedurre il rateo di salita dal SEP nel caso non stazionariomediante l’equazione

Vv =1(

1 + Vg

dVdh

) Pa − PrW

, (107)

dove il termine che corregge l’esubero di potenza specifico (SEP) e detto fattoredi correzione per energia cinetica (kinetic energy correction factor oppure climbcorrection factor, CCF).

Pertanto, se si conosce la tecnica, o programma, di volo in salita, ed inparticolare la velocita di volo V (h) tenuta a ciascuna quota, e possibile integrare(numericamente) le espressioni del tempo di salita, dello spazio di salita e delconsumo in salita. Ad esempio,

T =

∫ h2

h1

(1 +

V

g

dV

dh

)W

Pa − Prdh. (108)

Come anticipato, la correzione che si ottiene e generalmente significativa nelcaso di velivoli con elevati SEP, per i quali l’accelerazione sulla traiettoria erilevante.


4.3.2 Tempo minimo in salita non stazionaria

Per quanto visto finora, rimane il problema di determinare gli ottimi presta-zionali in condizioni di salita accelerata. In particolare, consideriamo il tempominimo di salita. Con lo stesso procedimento elementare utilizzato in prece-denza, scriviamo il differenziale di tempo in funzione del differenziale di quotatotale

dt =dhtot

htot, (109)

e quindi

T =

∫ htot2

htot1

1

htotdhtot, (110)

dove htot1 = htot(t1) e htot2 = htot(t2) rappresentano la quota totale del velivolo(ossia l’energia meccanica totale divisa per il peso istantaneo) rispettivamenteall’inizio e alla fine della salita considerata.

Naturalmente, il calcolo dell’integrale 110 puo essere condotto sostituendoa htot l’esubero di potenza specifica, il che ha validita generale. In particola-re, il minimo tempo di salita si otterra seguendo un programma di volo chemassimizza l’esubero di potenza specifico (SEP) a ciascuna quota totale:

min T =

∫ htot2

htot1

1

max

(Pa − PrW

) dhtot. (111)

Un tale programma di volo, spesso denominato salita energetica, differisce dun-que da quello ‘nominale’ di salita rapida in cui si dovrebbe massimizzare il SEPa ciascuna quota (geometrica).

Questi risultati hanno originato, nel caso dei velivoli supersonici da com-battimento di prima generazione (anni ‘60), caratterizzati da limitati rapportispinta/peso, la definizione delle tecniche di salita ottima in cui si alternano fasidi arrampicata vera e propria a fasi di accelerazione in discesa e di decelerazionein salita a quota totale costante (tecniche zoom climb e zoom dive). La moti-vazione di tali tecniche risiede nello speciale andamento della resistenza con lavelocita in volo supersonico, e quindi esula dalla portata di questo corso.

4.4 Tecniche di volo in salita e discesa

Diversi motivi inducono, in molti casi, ad adottare programmi di volo nelle fasi disalita e discesa non conformi agli ottimi prestazionali ottenuti mediante l’analisiprecedente. Tali motivi possono essere sia di ordine fisiologico, sia operativo.

4.4.1 Limitazioni fisiologiche

La fisiologia dell’orecchio umano impone delle limitazioni alla velocita con laquale puo variare la pressione ambientale. Infatti, il meccanismo di compensa-zione di tale pressione nell’orecchio medio attraverso la tuba di Eustachio ha una


sua dinamica, peraltro asimmetrica: normalmente, infatti, e piu facile spillarel’aria contenuta nell’orecchio medio attraverso la tuba di Eustachio piuttostoche farla entrare. L’orecchio dunque si adatta spontaneamente, o eventual-mente, per pressioni crescenti, attraverso gesti quali lo sbadigliare, l’inghiottireo il soffiare con naso e bocca turati, se il rateo di variazione della pressioneambientale risulta compreso nei limiti seguenti:

p ∈ (−30 Pa/s, 18 Pa/s). (112)

Pertanto, se il velivolo non e pressurizzato, le velocita di salita e di discesasono limitate dai ratei di pressione ammissibili. In effetti, in aria calma sussistel’equilibrio aerostatico

dp = −ρ g dh =⇒ p = −ρ g h (113)

e quindi

h = − 1

ρ gp, (114)

il che comporta corrispondenti limitazioni sulla velocita con cui varia la quota.I valori massimi ammissibili per la velocita verticale alla quota del livello delmare medio risultano

h ∈ (−300 ft/min, 500 ft/min). (115)

Se il velivolo e pressurizzato, in salita cio non comporta alcuna limitazione, inquanto la quota cabina hc puo crescere ad un rateo ammissibile mentre la quotadi volo h cresce piu rapidamente. Normalmente, la quota cabina in crocieraviene stabilizzata a valori compresi tra 6000 ft (circa 1800 m) e 8000 ft (circa2400 m).

In discesa, tuttavia, il limite fisiologico dell’orecchio umano comporta un’ef-fettiva limitazione sul programma di volo, in quanto non e conveniente scenderedi quota troppo rapidamente se poi si deve attendere la stabilizzazione dellapressione in cabina al valore sull’aerobase. Pertanto, normalmente la discesaviene effettuata in termini di velocita verticale secondo una spezzata:

• inizialmente la quota cabina viene fatta scendere ad un rateo ammissibile ela quota di volo al medesimo rateo, cosı da mantenere di fatto la differenzadi pressione tra la cabina e l’atmosfera esterna;

• quando la quota cabina giunge in prossimita della quota dell’aerobase, ilvelivolo scende di quota con un rateo molto elevato, in modo da minimiz-zare spazi e tempi di impegno dell’area aeroportuale.

4.4.2 Considerazioni operative

Fatto salvo quanto visto sopra per quanto concerne le limitazioni fisiologichedell’orecchio umano, tipicamente il volo nelle fasi di salita alla quota di crociera


successivamente al decollo e di discesa verso un’aerobase dalla quota di crocie-ra seguono programmi di volo piu semplici di quelli corrispondenti agli ottimiprestazionali (ad esempio, si salita economica).

Normalmente, le tecniche di volo in salita fondamentali sono

• la salita a velocita indicata (IAS) costante;

• la salita a numero di Mach indicato costante.

Nel primo caso, a seconda del numero di Mach, la IAS corrisponde, a menodell’errore dello strumento, alla velocita equivalente (EAS) se in condizioni in-comprimibili (ovvero per M < 0.3), ovvero alla velocita calibrata (CAS) se incondizioni comprimibili (ovvero per M > 0.3).

Nel caso di salita a EAS costante, al crescere della quota, diminuisce ladensita ed aumenta quindi la velocita ‘vera’. Pertanto, il fattore di correzioneper energia cinetica (CCF) risulta minore di 1. In effetti, dato che

V =

√ρ0ρVEAS =⇒ dV

dh= −1

2

V

ρ

dρ

dh, (116)

essendo dρ/dh < 0, abbiamo dV/dh > 0 e quindi

dV

dh> 0 =⇒ 1(

1 + Vg

dVdh

) < 1. (117)

Nel caso di salita a numero di Mach costante, al crescere della quota, dimi-nuisce la velocita del suono ed diminuisce quindi la velocita ‘vera’ Pertanto, ilfattore di correzione per energia cinetica (CCF) risulta maggiore di 1. In effetti,dato che

V = M a =⇒ dV

dh= M

da

dh, (118)

essendo da/dh < 0, abbiamo dV/dh < 0 e quindi

dV

dh< 0 =⇒ 1(

1 + Vg

dVdh

) > 1. (119)

Per un velivolo a motoelica, la salita a IAS costante rappresenta il program-ma di volo tipico: spesso le velocita corrispondenti sono sufficientemente basseda consentire di approssimare la IAS con la EAS. Il velivolo quindi acceleralungo la traiettoria.

Per un velivolo a getto, specie se di tipo commerciale, la salita viene normal-mente condotta in due fasi: una prima fase di volo a IAS costante (dell’ordinedi 250 KIAS) fino al raggiungimento di un certo numero di Mach alto sub-sonico (dell’ordine di 0.70 ÷ 0.75), seguita da una fase di volo a numero diMach costante. Il velivolo dunque inizialmente accelera lungo la traiettoria, poidecelera.

5 VOLO NON PROPULSO 30

5 VOLO NON PROPULSO

Consideriamo l’analisi delle traiettorie relative alle condizioni di volo rettilineo,simmetrico e centrato in assenza di propulsione. Per comodita, ci riferiremo atali condizioni come a quelle di planata (gliding flight, GF).

Si tratta di condizioni di volo molto significative, sia perche rappresentanola maggior parte del volo degli alianti (a parte il decollo e la salita in quota,che avvengono mediante traino da parte di un velivolo propulso), sia percheogni velivolo, in caso di avaria completa ai propulsori o di esaurimento delcombustibile, puo trovarvisi costretto.

5.1 Condizioni di equilibrio

5.1.1 Equazioni generali della planata rettilinea

Le equazioni di equilibrio relative ad un generico volo rettilineo, simmetrico,centrato e non propulso si ottengono dalle eq. 1 azzerando il termine di spinta:

mV = −D −W sin γ,

0 = L−W cos γ,

0 =MG.

(120)

Analogamente, l’equazione di bilancio della potenza si ottiene dall’eq. 2 azze-rando il termine di potenza disponibile:

mV V = −Pr −W Vv. (121)

In termini di quota totale, in assenza di vento verticale, abbiamo quindi

htot = −PrW, (122)

ovvero la quota totale non puo che scendere per un velivolo non propulso, essen-do il rapporto Pr/W necessariamente positivo. In presenza di vento verticale,l’equazione precedente diviene

htot = VWSv −PrW, (123)

dove VWSv := VWS ·ehz rappresenta la componente, perpendicolare al piano del-l’orizzonte, della velocita della massa d’aria in cui e immerso il velivolo rispettoalla Terra.

L’equazione precedente mostra come sia possibile guadagnare quota totalein volo planato se si e immersi in una corrente ascensionale d’intensita superioreal rapporto Pr/W . Il vento ascensionale, come quello che si manifesta nellecosiddette ‘termiche’, consente dunque al velivolo di evoluire aumentando la suavelocita e/o la sua quota geometrica, e quindi, in particolare, di salire rispettoalla Terra.


5.1.2 Planata stazionaria

Molto spesso, l’accelerazione lungo la traiettoria risulta trascurabile rispetto ag sin γ, sicche appare giustificata l’assunzione di stazionarieta, che conduce alleequazioni seguenti:

0 = D +W sin γ,

0 = L−W cos γ,

0 =MG.

(124)

Le equazioni di equilibrio 124 consentono di valutare le principali grandezzecinematiche d’interesse nel volo non propulso, e cioe

• l’angolo di discesa (glide angle) γd, opposto dell’angolo di rampa γ,

sin γd =D

W, (125)

• la velocita di discesa (sink rate) Vd, opposto della velocita verticale Vv,

Vd =PrW. (126)

Naturalmente, entrambe le grandezze citate sono necessariamente positive, ilche equivale a dire che in planata stazionaria il velivolo non puo che scendererispetto alla massa d’aria in cui e immerso.

Essendo, per l’ipotesi di stazionarieta, htot = h, abbiamo che

h = VWSv −PrW

= VWSv − Vd, (127)

e quindi il velivolo guadagna quota rispetto alla Terra soltanto se la velocitaascensionale del vento supera la velocita con la quale il velivolo scende nellamassa d’aria che lo circonda.

Inoltre, facendo riferimento alle formule 19, nel caso non propulso abbiamo

sin γd =cos γd

E,

Vd =VhE.

(128)

Dalle equazioni precedenti si evince facilmente il motivo per cui, nel gergo alian-tistico, l’efficienza aerodinamica E prende il nome di rapporto di planata (glideratio), essendo appunto pari al rapporto tra la velocita orizzontale e quella didiscesa:

E =VhVd, (129)

e quindi, sotto l’ipotesi di stazionarieta, pari al rapporto tra la distanza copertasul piano dell’orizzonte e la perdita di quota corrispondente, relativamente allamassa d’aria in cui e immerso il velivolo.


5.2 Prestazioni

5.2.1 Prestazioni puntuali

Per quanto riguarda le prestazioni puntuali, la trattazione del volo non propulsorisulta assai semplice. Le condizioni di ottimo sono quelle di minimo angolo didiscesa γd (flattest glide o best glide ratio program) e di minima velocita didiscesa Vd (slowest glide o minimum sink rate program).

Dal punto di vista analitico, le condizioni di minimo angolo di discesa sitrovano per

min γd =⇒ ∂(sin γd)

∂V=

1

W

∂D

∂V= 0, (130)

ossia per condizioni di volo di minima resistenza. Del resto, dato che in generalevale

tan γd =1

E, (131)

e chiaro che l’angolo di discesa e minimo in condizioni di massima efficienza,

tan (min γd) =1

max E. (132)

La velocita di minimo angolo di discesa dunque coincide con la velocita di mi-nima resistenza in volo livellato. Essa cresce quindi con la quota e col caricoalare, mentre la corrispondente velocita equivalente (EAS) non dipende dallaquota, ma solo dal carico alare.

Si noti che, nel caso di alianti, i valori di efficienza aerodinamica massimasono sempre maggiori di 30 e possono raggiungere 60 ÷ 70.6 Pertanto, i cor-rispondenti valori di minimo angolo di discesa risultano ampiamente compresinell’ipotesi di angoli moderati,

γd � 1 rad =⇒ min γd =1

max E. (133)

Notiamo comunque che quest’approssimazione, assai accurata per gli alianti, eancora accettabile per velivoli privati della propulsione (ad esempio per avariao per esaurimento del combustibile) con efficienze massime anche relativamentebasse (ad esempio attorno a 10).

Per quanto riguarda le condizioni di minima velocita di discesa, queste sitrovano per

minVd =⇒ ∂Vd∂V

=1

W

∂Pr∂V

= 0, (134)

ossia per condizioni di volo di minima potenza necessaria. Nel caso, solitamentepiu che accettabile, di angoli moderati, vale

Vd =

√A

F, (135)

6 Cio significa che in condizioni di minimo angolo di discesa, il rapporto di planata e taleda consentire di percorrere fino a 60 ÷ 70 m per ogni metro di quota perduto.


Modello propulsivo Min. angolo di discesa Min. velocita di discesa

Velivolo non propulso CL = CLmaxE CL = CLmaxF

Tab. 2: Soluzioni per le prestazioni in planata.

e chiaro che la velocita di discesa e minima in condizioni di massimo indice dipotenza,

maxVd =

√A

max F. (136)

La velocita di minima velocita di discesa dunque coincide con la velocita diminima potenza necessaria in volo livellato. Anch’essa cresce quindi con laquota e col carico alare, mentre la corrispondente velocita equivalente (EAS)non dipende dalla quota, ma solo dal carico alare.

Notiamo infine che le condizioni d’incidenza e velocita di minimo angolodi discesa coincidono con quelle di salita ripida per il turbogetto semplificato,mentre quelle di minima velocita di discesa coincidono con quelle di salita rapidaper il motoelica semplificato, e si trovano quindi per incidenze maggiori e velocitaminori.

5.2.2 Prestazioni integrali

In assenza di vento verticale vale Vd = −dh/dt e quindi le prestazioni integraliin planata stazionaria risultano

T =

∫ h1

h2

1

Vddh,

S =

∫ h1

h2

VhVd

dh =

∫ h1

h2

1

tan γddh,

(137)

dove h1 = h(t1) e h2 = h(t2) rappresentano la quota del velivolo rispettivamenteall’inizio e alla fine della planata considerata.

Da quanto visto sopra, abbiamo che il massimo tempo di volo (autonomiaoraria) data una certa perdita di quota si ottiene volando in condizioni di minimavelocita di discesa e quindi di massimo indice di potenza, mentre il massimospazio percorso (autonomia chilometrica) si ottiene volando in condizioni diminimo angolo di discesa e quindi di massima efficienza.

In generale, il problema della non stazionarieta del volo in discesa quando simantenga l’incidenza costante e del tutto trascurabile in via preliminare, datele velocita di volo relativamente modeste raggiunte dagli alianti.

5.2.3 Effetto del vento

Com’e facile immaginare, la presenza di vento, sia verticale, sia orizzontale,puo avere un effetto molto rilevante sulle prestazioni puntuali ed integrali deglialianti.


Tuttavia, a parte quanto detto in precedenza, e pur essendo la trattazio-ne degli effetti del vento sulle prestazioni relativamente semplice, il livello delpresente corso non ci permette di affrontare questa problematica in maggioredettaglio.

Avvertenza

Questo testo e fornito per uso personale degli studenti. Viene reso disponibile informa preliminare, a supporto per la preparazione dell’esame di Meccanica del Volo.E gradita la segnalazione di errori e refusi.

Copyright Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano(Legge italiana sul Copyright 22.04.1941 n. 633)

Lezioni di Meccanica del Volo 9 - Prestazioni in salita...salita e la discesa verso le/dalle quote...

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