Cap.8 – Prestazioni di salita

Cap.8 – Prestazioni di salita

Si immagini un Boeing 777 (vedi Fig 8 1) che si sta portando allaSi immagini un Boeing 777 (vedi Fig. 8.1) che si sta portando allavelocità di decollo sulla pista di un aeroporto. Esso si sollevadolcemente a circa 180 mi/h (289.7 km/h), il muso ruota verso l’alto,e l’aeroplano rapidamente sale fuori dalla vista. In una questione diminuti esso sta volando a velocità di crociera a 30000 ft (9144 m).

Quanto rapidamente può salire un aeroplano? Quanto tempo impiegaa raggiungere una certa quota?a raggiungere una certa quota?


θi

θ= cosWL

θ+= sinWDT

θ+= ∞∞∞ sinWVDVTV ∞∞∞

θ− ∞∞ sinVDVTV

θiVRCmaθ⋅= sinVW

θsin∞≡VRCma

=>W

DVTVR/C ∞∞ −=W


=− ∞∞ DVTV potenza in eccesso

eccessoinpotenza/W

CR eccessoin potenza/ =

- Le potenze sono assunte pari a quelle in volo livellato- Le potenze sono assunte pari a quelle in volo livellato- L’angolo di salita è piccolo , cioè cosθ circa =1, cioè L=W

DT aintspdiEccessoDT −W

DTsin d −=θ

pesoaintspdiEccesso

WDTd =≈θ

L’equazione è approssimata

Cap.8 – Prestazioni di salitaeccessoin potenzamassimaRC

WpRCMAX =

Odografo volo in salita

Cap.8 – Prestazioni di salitaLe prestazioni precedenti sono da considerarsi ad una certa quota.p p qChe succede al variare della quota ?

Differenze sul rateo di salita tra velivolo ad elica e a getto.

Cap.8 – Prestazioni di salitaFacciamo prima l’esempio relativo al velivolo a getto MD-80, di cui riportiamo i dati :W=WTO =63500 Kg peso massimo al decolloS=118 m2 b=33 m AR=9.23CDo=0.018 e=0.80 CLMAX=1.5Imp. propulsivo : 2 motori PW JT8D da 8400 Kg di spinta ciascuno, cioè To=8400 =16800 KgTo 8400 16800 KgDai dati geometrici ed aerodinamici del velivolo ho :EMAX=17.95

Cap.8 – Prestazioni di salita20000

80000

12000

16000

Tno e Td[Kg]

40000

60000

Pno e Pd[hp]

8000

20000

40000

0

4000

0 400 800 1200 1600

0

0 400 800 1200 1600V [Km/h]

V [Km/h]1230

S/L

4

8

teta [°]S/L 20

RC [m/s]

0

4 20000 ft

35000 ft

1020000 ft

35000 ft

0 400 800 1200 1600

0

V [Km/h]200 400 600 800 1000 1200

0

V [Km/h]


Un velivolo a getto ha solitamente un massimo rateo di salita alUn velivolo a getto ha solitamente un massimo rateo di salita allivello del mare intorno ai 20-25 m/s corrispondenti a circa 1200-1500 m/min (cioè guadagna un chilometro al minuto) o anchecirca 4000 ft/min.Teniamo presente che il calcolo effettuato è approssimato per ilf tt h l i t di ibil ll b t tfatto che la spinta disponibile alle basse quote per un motoreturbofan non è costante, come già visto nel cap.6 e 7.Dalla fig. 8.9 si vede come per un velivolo a getto il massimoDalla fig. 8.9 si vede come per un velivolo a getto il massimorateo di salita si ottiene a velocità non proprio bassissime. Ineffetti, per un velivolo a getto vale il principio che volando (sullatraiettoria) a velocità elevata si sale anche veloce.

Cap.8 – Prestazioni di salitaConsideriamo sempre il velivolo Beechcraft King Air C90.p gW=4380 Kg peso massimo al decolloS= 27.3 m2 b=15.3 m AR=8.57CD 0 026 0 78 CLMAX 1 6CDo=0.026 e=0.78 CLMAX=1.62 Motori Pratt&Withney PT6A21 , ciascuno da 550 hp all’albero. Imotori sono turboelica Rendimento prop delle eliche η =0 80motori sono turboelica. Rendimento prop. delle eliche ηP=0.80

Cap.8 – Prestazioni di salita1200

1200

1400

800

T e DKg

800

1000

Pno e Pdhp

400400

600

0 200 400 600

0

V [Km/h] 0 100 200 300 400 500 600

0

200

V [K /h]20 20V [Km/h] 0 100 200 300 400 500 600V [Km/h]

16

20

t t (°)

16

20

R/C [m/s]

8

12

teta (°)

8

12

teta (°)

S/L

12000 ft

R/C [m/s]

4 4

8 12000 ft

20000 ft

0 100 200 300 400 500 600

0

V [Km/h]0 100 200 300 400 500 600

0

V [Km/h]


RC al liv mare circa 10 12 m/sRC al liv mare circa 10-12 m/sAngoli anche di 10-11° (anche leggermente > getto)

16

1000

1200

P disp. (turboelica)

12P disp. (turboelica)

800

P [hp]

P disp. (cost.)

RC [m/s]

P disp. (cost.)

400

600 8

200

4

0 100 200 300 400 500

0

V [Km/h]0 100 200 300 400 500

0

V [Km/h]

Cap.8 – Prestazioni di salitaTrattazione analitica

V V

W

θ Vs=RC=V sinθθ

W

Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO

DVTVW

DVWTVVsinθRC −==

W22 ⎤⎡ ⎞⎛ WqSWK CDo S qK CDo S q )CLK (CDo S qD

22 +=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+=+=

qSW

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ

−−= 2VK2

SWCDo

WSq

WTVRC

⎦⎣ ρVSWW

Pn=DV

VELIVOLO A GETTO

Pd

P E

APd

RCmax

V

Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTOApproccio approssimatopp ppUn primo (approssimato) approccio analitico consiste nel calcolare il massimo rateo di salita ad una certa quota ll’ di i ffi iall’assetto di massima efficienza.

VVDVT ΠPn=DV

VELIVOLO A GETTO

WWVT

WVDVTRC EE

dEEEd

MAXΠ

−=⋅−⋅

=

APd

WDT MINd

MAX−

=θ

P E

RCmaxW

con θ espresso in radianti.Per avere i gradi moltiplicare per 57.3.

V

g p p


Approccio esattoApproccio esatto

T W Wo o⎛⎜

⎞⎟

⎛⎜

⎞⎟

ρ ε ρ ε fV

fV2 22 1 4 1

0W W b V b V

o

o e

o

o e− −

⎝⎜

⎠⎟ − +

⎝⎜

⎠⎟ =

ρπρ ε

ρπ ρ ε

VW

V

2 22

02 2 2 2

6 2 02

f q T q -22 −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

πWb⎝ ⎠π be

⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡

Γ=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎟⎞

⎜⎛

++= f 6

TTE

311f 6

Tq 22

RCMAX

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢

⎣⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=Γ 22

MAX WT E

311

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ W

EMAX ⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝ W



⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

3

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=Γ 22

MAX WT E

311

⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝

Il fattore Γ è pari a circa 2, in quanto il denominatore è solitamente >>3 e quindila radice è circa 1la radice è circa 1.In corrispondenza della quota di tangenza

TW E

=1

max

e Γ=3 ( e si ha la velocità di salita rapida limite (di fatto con RC=0).

T f 6

Tqq fcRCMAX Γ==

TTq Γ⋅Γ⋅⋅ 22f

Tf

TqVV fc

fcRCMAX ⋅⋅Γ⋅

=Γ⋅

⋅===ρρρ 36

22



fT

fTq

VV fcfcRCMAX ⋅⋅

Γ⋅=

Γ⋅⋅=

⋅==

ρρρ 3622

ff ⋅⋅ ρρρ 36

RICORDIAMO che il rateo di salita è :

fcfcfcfcfcd

MAX VW

VDVTRC ⋅=

⋅−⋅= θ

Ricaviamo l’espressione generica di D/W

( )CDiCDoWqS

WD

+=

WCLqSD ⎟⎞

⎜⎛ 2

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ 11 2WCDqSD

qSWCL

ACLCDo

WqS

WD

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

Reπ ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Re2 ASqCDo

Wq

W π

WCDqSD+

11eARSq

CDoWq

W ⋅⋅+⋅=

π

Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTOApproccio esatto

eARSW

qCDo

WqS

WD

⋅⋅+⋅=

π11

2CDo4eAR EeARE ==>⋅

= ππ

Ma ricordo che :

CDo4eAR 4 MAXMAX E

CDoE ⋅⋅=⋅⋅=>= π

Sostituendo a q Γ=TqRCMAXSostituendo a q Γf6

qRCMAX

116 WffTD⎟⎞

⎜⎛Γ⎟

⎞⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛

246 MAXfc ECDoSTf

Wf

fW ⋅⋅Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+Γ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎞⎛⎞⎛Γ⎞⎛⎞⎛ 11WTD⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

24116

6 MAXfc ETW

WT

WD


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

24116

6 ETW

WT

WD

⎟⎠

⎜⎝ ⋅Γ⎠⎝⎠⎝⎠⎝ 46 MAXfc ETWW

⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛

⎞⎛Γ+

Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 1

23

6 TWT

WD

Ma

⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅⎠⎝⎠⎝ 226

MAXfc E

WTWW

Ma

131fc TTDT

⎞⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Γ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=θ

226MAX

fcfc

EWTWWW ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

⎫⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅Γ⋅

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Γ−=⋅=

fT

EWTW

TVRCMAX

fcfcMAX ρθ

31

23

61

2

⎪⎭⎪⎩ ⎠⎝W MAX


Con la nuova espressione per la V

⎞⎛

ST

CDoST

CDofTV

oofc ⋅⋅⋅

Γ=

⋅⋅⋅Γ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅Γ⋅

=σρσρρ 333

SW

WT

CDoV

ofc ⋅⋅⋅

Γ=

σρ3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Γ

⎪

⎪⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎪⎨

⎧

⎞⎛Γ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Γ−=⋅=

SW

WT

CDoTWTVRC fcfcMAX ρ

θ3

12

36

1 ⎟⎠

⎜⎝ ⋅⎪⎪⎭⎪

⎪⎩

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⋅⎠⎝ SWCDoEWTW

MAXρ326 2

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Γ⋅⋅⋅−

Γ−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ρ⋅

Γ⋅= 2

MAX2

2/32/1

MAX E)W/T(23

61

WT

CDo3)S/W(RC

( ) ⎦⎣⎠⎝⎦⎣ ρ MAX)(


⎤⎡⎞⎛⎤⎡ 2/32/1

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Γ⋅⋅⋅−

Γ−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ρ⋅

Γ⋅= 2

MAX2

2/32/1

MAX E)W/T(23

61

WT

CDo3)S/W(RC

- da W/S-dal rapporto spinta / peso (in modo forte)dal CDo-dal CDo

-dall’efficienza massimaE’ importante notare come aumentare il carico alare (ad esempio riducendo la superficie alare)per un velivolo a getto equivale ad aumentare sia la velocità massima (e la velocità di crociera)sia il massimo rateo di salita del velivolo.Questo avviene perché riducendo S si riduce la superficie bagnata e così si riduce la resistenzaparassita (di attrito) importante alle alte velocità.


⎤⎡ Γ⎟⎞

⎜⎛⎤⎡ Γ⋅ 2/32/1

3T)S/W(( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Γ⋅⋅⋅−

Γ−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ρ⋅

Γ= 2

MAX2MAX E)W/T(23

61

WT

CDo3)S/W(RC

Assumendo Γ=2

⎤⎡⎞⎛⎤⎡ ⋅ 322)/( 2/32/1TSW

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

⋅=

2)/(23

32

32)/(

22MAX

MAX EWTWT

CDoSWRC

ρ

⎤⎡⎞⎛( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⋅⋅=

2)/(23

321

32

220 MAX

MAX EWTWT

WT

CDoSWRC

σρ

fbE

fbE e

MAXe

MAX

22

2

4

4ππ

==>=

⎥⎤

⎢⎡ ⋅

−⋅⎟⎞

⎜⎛⋅= 2

3212MAX

fTTWRC ⎥⎦

⎢⎣ ⋅⋅

⎟⎠

⎜⎝⋅⋅ 22

0 )/(33 eMAX bWTWWCDoS

RCπσρ


⎥⎤

⎢⎡ ⋅

⎟⎞

⎜⎛ 3212 fTTWRC ⎥

⎦⎢⎣ ⋅⋅

−⋅⎟⎠

⎜⎝

⋅⋅

= 220 )/(33 e

MAX bWTf

WWfRC

πσρ

⎤⎡⎞⎛ f⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅

−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅= 22

0 )/(3

321

32

eMAX bWT

fWT

fTRC

πσρ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅= 2

0

3321

32

eMAX b

WTW

Tf

WT

fTRC

πσρ

⎥⎤

⎢⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎞⎛⎞⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎥

⎤⎢⎡

=3

321111

32

32

2MAX bW

TTfT

WT

fT

WTRC

⎦⎣ ⎠⎝⎠⎝⎠⎝0 ebfσρ

⎥⎦

⎢⎣⎟⎠

⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎠⎝⎠⎝

⎥⎦

⎢⎣ πρσσρ 333 0

20 e

MAX bfT

WTfWfW

⎞⎛

TbW

fT

WTRC e

MAX

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

2.2154.1 Con T e W espresse in Kg

σσfTfW ⎠⎝


⎤⎡ Γ⎟⎞

⎜⎛⎤⎡ Γ⋅ 2/32/1

3T)S/W(( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Γ⋅⋅⋅−

Γ−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ρ⋅

Γ= 2

MAX2MAX E)W/T(23

61

WT

CDo3)S/W(RC

Quindi siamo arrivati ad un’espressione approssimata (Γ=2)e utilizzando forze espresse in [Kg]

bW

TT e⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎞

⎜⎛

21

σσfTb

fT

WTRC e

MAX⎠⎝−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 2.2154.1


W ⎞⎛

σ TbW

fT

WTRC e

MAX

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

2.2154.1

d i id d li l

σσfTfW ⎠⎝

Ad esempio , considerando un velivolo a getto con Td=25000 Kg (massima totale a livello del mare)

W=100000 KgCDo=0.015 S=205 m2 b=37 m be=33 m (e=0.80)

Il calcolo della 8.16 fornisce :RCMAX = 34.72-2.24=32.5 m/s = 6400 ft/min


W ⎞⎛

σ TbW

fT

WTRC e

MAX

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

2.2154.1σσ

fTfW ⎠⎝

Rispetto al calcolo precedente andrebbe però considerato un valore di T diverso da To. Infatti dal grafico della spinta di un turbofan a livello del mare (S/L) in funzione della velocità (del Mach) si vede che ad un valore di M=0.4-0.6 (tipico della velocità di salita) T/To è circa 0.50-0.60.

Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica - ELICA

Πd = ηp Πa =T V1200

Πd = ηp Πa =T V

C1 3Vρ⎟⎞

⎜⎛ Π 800

1000 P disp. (turboelica)

P disp. (cost.)

(W/S)C

21 DoV

WRC a

pρη −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Π=

600

P [hp]

200

400

)/(1AR 2

e

SWVρπ

−

0 100 200 300 400 500

0

V [Km/h]

4/34/3Do

2/12/33 4C12)4(1 ρ WVCDoS PMIN =⋅⋅⋅⋅=Π 4/3

Do4/3

e4/34/32/1_ CAR3

)4(2 πρρ

SWVCDoS PMINnoΠ

4/1Do

3/24/1Do

3/2 CW0 95CW1241/24/3

e

Do2/11/24/3

e

Do2/14/34/3 S AR

0.95S AR3 σσπρ

==o


4/13/24/13/2 CWCW1241/24/3

e

4/1Do

2/1

3/2

1/24/3e

4/1Do

2/1

3/2

4/34/3_ S ARC W 0.95

S ARC W 1 2

34

σσπρ==Π

oMINno

1/24/3

4/1DoC97.276max a

pWRC η −

Π⋅=

1/24/3 S _

ep ARW σ

η

Con potenza in [hp] e W in [Kg]

Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica - ELICA4/1CWΠ

1/24/3Do

S C 97.276max_

e

ap AR

WW

RCσ

η −Π

⋅=

Con potenza in [hp] e W in [Kg]

( )C C f1 4 1 4 1 4/ / /S( )C

b

Cb

fb

Do

e

Do

e e

1 4

2 3 4 3 2 3 2

/

/ / /⎛⎜

⎞⎟

= =

S

S S S S

1/2-3/4 1/2 1/4

ma

S⎝⎜

⎠⎟ S

2/3

4/1a

pMAXfW97.276RC −

Πη⋅= 2/3

epMAX bW σ

η

Con potenza in [hp] e W in [Kg]Con potenza in [hp] e W in [Kg]


Si può anche ricavare una espressione più semplice:Si può anche ricavare una espressione più semplice:

WWRC MINd

MAXΠ

−Π

=WWMAX

EEEPPPMIN

WV87502WVWVDV ⋅=⋅=⋅=⋅=Π=ΠMAXMAXP

PPPMIN E875.0

3E32.1E32.1DVΠΠ

MAX

EdMAX E

V875.0W

RC −Π

=

2/1

aPMAX E

1CL

1SW2875.0

WRC ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

Πη=

MAXEPMAX ECLSW ⎥

⎦⎢⎣ρ

Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica - ELICA4/1fWΠ2/3

e

apMAX b

f W97.2W

76RCσ

−Π

η⋅=

PARAMETRO2/1

a 11W28750RC ⎥⎤

⎢⎡Π

η=

PARAMETRO FONDAMENTALE

MAXEPMAX ECLS

875.0W

RC ⎥⎦

⎢⎣ρ

−η=

Un’altra importantissima informazione che si ricava dalla 8.19 è che per un velivolo ad elica il massimo rateo di salita si riduce all’aumentare del carico alare.Quindi, mentre per un velivolo a getto il rateo massimo di salita cresce al crescere del carico alare, per un velivolo ad elica succede il contrario !Quindi ridurre la superficie alare per un velivolo ad elica non comporta per ilQuindi ridurre la superficie alare per un velivolo ad elica non comporta per il rateo di salita un vantaggio come per i velivoli a getto.

Per i velivoli ad elica è molto importante l’apertura alare per averePer i velivoli ad elica è molto importante l apertura alare per avere buone capacità di salita !!

Cap.8 – VOLO LIBRATO

θcosWL θcosWL =θsinWD =

LD

=θθ

cossin

Lθcos

T 1θDL

Tan/1

=θ

1( )max

min /1DL

Tan =θ


1( )max

min /1DL

Tan =θ

L’angolo di planata minimo non dipende dalla quota, dal carico alare o cose simili, ma

SOLO dall’EFFICIENZA MASSIMA !SOLO dall EFFICIENZA MASSIMA !


1( )max

min /1DL

Tan =θ

1LSCVL 2

21

∞∞= ρ

1 θρ cos21 2 WSCV L =∞∞

WV =θcos2

SCV

L∞∞ =

ρ


Wθcos2SW

CV

L∞∞ =

ρθcos2

è la velocità di planata di equilibrio. Chiaramente essa dipende dallaquota) e dal carico alare Il valore di CL nell’Eq [8 24] è quel valorequota) e dal carico alare. Il valore di CL nell Eq. [8.24] è quel valoreparticolare che corrisponde al valore specifico di L/D usato nell’Eq.[8.22]. Ricordiamo che sia CL che L/D sono caratteristiche

di i h d ll’ h i l’ l d’ ttaerodinamiche dell’aereo che variano con l’angolo d’attacco, comemostrato in Fig. 5.41. Si noti dalla Fig. 5.41 che un determinatovalore di L/D, indicato con (L/D), corrisponde ad un determinato angolod’attacco , che successivamente impone il coefficiente di portanza (CL).Se L/D è mantenuto costante per tutta la traettoria di planata, allora CL ècostante lungo la traiettoria. Comunque la velocità di equilibrio cambieràcon la quota lungo questa traiettoria, diminuendo al diminuire dellaquota.


Wθcos2SW

CV

L∞∞ =

ρθcos2

1T θ ( )maxmin / DL

Tan =θ

Consideriamo di nuovo il caso di minimo angolo di planatacome trattato con l’Eq. [8.23]. Per un tipico aeroplanoq [ ] p pmoderno, (L/D)max = 15, e per questo caso, dall’Eq. [8.23],

°= 8.3minθ1θè un angolo piccolo. Quindi possiamo ragionevolmente 1cos =θ

L 1=⎟

⎞⎜⎛

KCD D 0,max 4=⎟

⎠⎜⎝

( )

21

/2

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=WKV DL( )

0,/ max ⎟

⎠⎜⎝ ∞ SC

VD

DL ρ


Wθcos2SW

CV

L∞∞ =

ρθcos2

1T θ ( )maxmin / DL

Tan =θ

Rateo di discesa RD θsin∞== VVRD V

VVWVWDV ⋅=⋅= θsin VVWVWDV ∞∞ θsin

DVV ∞

WVV

∞=

Cap.8 – VOLO LIBRATORD MINIMO => POTENZA Minima

massimo è 2/3

D

L

CC

( )2/1

affondataditàmin veloci 32

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∞ S

WCKV

ρ 0,3 ⎟⎠

⎜⎝ ∞ SCDρ

Cap.8 – VOLO LIBRATOASSETTO di minimo RD e di minimo angolo sono diversi !!

SCVLW 21θ

θcosWL =

LSCVLW 2

2cos ∞∞== ρθ

ODOGRAFO VOLO LIBRATO

Cap.8 – VOLO LIBRATOLa curva di RD è la curva della potenza necessaria ribaltata.p

DVDVTVE’ come RC con potenza disponibile=0

WDV

WDV

WTVRC −=−=

ODOGRAFO VOLO LIBRATO

Cap.8 – VOLO LIBRATOθcosWL =

21

θsinWD =

LSCVLW 2

21cos ∞∞== ρθ

WV θcos2

LSCV

∞∞ =

ρ

θ2( )SW

CVV

LV

∞∞ ==

ρθθθ cos2sinsin

θθθ coscossinL

D

CC

LD

==Dividendo tra loro le 2 equazioni di equilibrio

( ) SW

CCVV 23

3

/cos2

=ρ

θ

( )WVV 23

2==> (cosθ)=1( ) SCC DL /∞ρ ( ) SCC DL

V 23 /∞ρ( )

Cap.8 – VOLO LIBRATO θcosWL =θsinWD = θsinWD =

W2( ) S

WCC

VDL

V 23 /2

∞

=ρ

( )V ( )/2/3 CC

L’Equazione mostra esplicitamente che

=>( )minVV ( ) ./ maxDL CC=>

Essa mostra inoltre che la velocità di discesa diminuisce aldiminuire della quota e aumenta come la radice quadrata del caricolalare.

Cap.8 – QUOTA TANGENZA

Quote di tangenza per il CP-1

8000

9000

6000

7000

8000

3000

4000

5000

Quo

ta

0

1000

2000

00 2 4 6 8

Massimo R/C [m/s]


TANGENZA


Tangenza Teorica (RC=0)Tangenza pratica (RC=0 5 m/s)Tangenza pratica (RC 0.5 m/s)

(circa 100 ft/min)Q uote di tangenza per il CJ-1Q uote di tangenza per il CJ-1

14000

16000

10000

12000

m] JET

4000

6000

8000

Quo

ta [m

Quota di tangenza teorica (R/C = 0) = 14935.2 mQuota di tangenza pratica (R/C = 0 5 m/s) = 14630 4 m

0

2000

4000

0 10 20 30 40 50

Quota di tangenza pratica (R/C 0.5 m/s) 14630.4 m

0 10 20 30 40 50Massimo R/C [m/s]


Based on maximum climb rates

Absolute Ceiling = 0 ft/min ROC (quota tangenza teorica)

Service Ceiling = 100 ft/min ROC (quota tangenza pratica)Service Ceiling = 100 ft/min ROC (quota tangenza pratica)

Cruise Ceiling = 300 ft/min ROC

Combat Ceiling = 500 ft/min ROC

Cap.8 – TEMPO DI SALITA

RC=dh/dtdhdt = ∫=

2h dht ∫=2h dhtRC=dh/dt CR

dt/ ∫

1/h CR

t ∫=0 /CR

t

Partendo da S/LPartendo da S/L0,7

0,5

0,6

0,3

0,4

(R/C

)^-1

Il tempo è l’integrale (area sottesa)

0 1

0,2

(area sottesa)

0

0,1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Q uota [m]

Cap.8 – TEMPO DI SALITA

∫2h dh 0 5

0,6

0,7

∫=0 /CR

dht0,3

0,4

0,5

(R/C

)^-1

0

0,1

0,2

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 70000 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Q uota [m]

hbaRCMAX ⋅+=Se assumiamo come legge di RCmax(h) una legge lineare:

baCMAX

∫ ∫==h h

mindhdht ∫ ∫ ⋅+0 0MAX

min hbaRC

( )[ ])l (hbl1 ( )[ ])aln(hbalnb

tMIN −⋅+=

Cap.8 – QUOTA ENERGIA ED ECCESSO DI POTENZA SPECIFICO

Overview• Energy Height (quota energia)• Specific Excess Power• Ps ChartsPs Charts• Applicazioni

Mi i t di lit– Minimo tempo di salita– Confronto velivoli

Motivo di H e PMotivo di He e Ps

• Il diagramma V-n mostra i limiti delle t i i d i li liprestazioni dei velivoli

• Ad ogni modo, mostra solo una prestazione g pistantanea. Non si può determinare la sostenibilità di una manovra dal V-n diagram

• Energy height e specific excess power sonoEnergy height e specific excess power sono una misura di “sustained performance”

Energy Height

Energy Height è misura dell’energia meccanica totale possedutaEnergy Height è misura dell’energia meccanica totale posseduta (potenziale + cinetica) da un velivolo.

1E mgh mV= + 12

2

Per confrontare velivoli possiamo normalizzare rispetto al peso(mg).

2H h V

ge = +2

2Energy Height

g2

Energy HeightPlot di curve a costante energy height.

hH = conste

1 2

3

E’ quello che ogni pilota sa: si può trasformare velocità in quotaV

E quello che ogni pilota sa: si può trasformare velocità in quota e viceversa e più si ha di entrambe le cose meglio è !

Specific Excess PowerUn pilota vuole iniziare un combattimento con quanta maggiore energia possibile.Il velivolo che riesce a cambiare la propria “Energy height” più rapidamente avrà un significativo vantaggio:

Guardiamo la derivata rispetto al tempo di He:

dH dh V dVdHdt

dhdt

Vg

dVdt

e = +

Questa è una misura della capacità del velivolo di salire e/o laccelerare.

Specific Excess Power

dH dh V dVdHdt

P dhdt

Vg

dVdt

T D V

es≡ = +

( )Specific

T D VW

=−( ) Excess

Power,T T V

WA R≈−( ) Ps

P PW

A R≈−W

Specific Excess Power• Se P è positiva il velivolo può:• Se Ps è positiva, il velivolo può:

– Salire– Accelerare– O entrambe le cose

• If Ps is negative, il velivolo può:– Scendere (perdere quota)Scendere (perdere quota)– Decelerare

O entrambe le cose– O entrambe le cose• Se Ps =0, il velivolo si stabilizza in volo

di itt li ll t l tdiritto e livellato, non accelerato.• Noi plottiamo Ps al di sopra di un plot di

He (visto prima) (energy height plot).

Ps Charts F-16C

Ps Charts 80000

CONFIGURATION50% I t l F l

60000

70000 50% Internal Fuel2 AIM-9 MissilesMaximum ThrustWeight: 21737 lbs

Lines of Constant Energy Height

50000

60000

ght,

ft

= 0 ft/s

We g : 737 bsn = 1

40000

Ener

gy H

eig

P s = 0

P= 20

0 ft/s

s

Minimum Time toClimb Profile

30000

Alti

tude

and

P s

P s = 40

0 ft/s

ft/sft20000

A

P s = 60

0 ft

800 f

t/s

xim

um L

ift

800 K

CAS

0

10000

P s = 80

Max

i

q Lim

it 8

0 200 400 600 800 1000 1200

True Airspeed, V, knots

P ChartsPs ChartsUn Ps chart è valido per:• 1 Peso (ad es. 21737 lbs)

Se incremento il peso Ps=0 contour “shrinks”

p

– Se incremento il peso Ps=0 contour shrinks• 1 configurazione (ad es. 2 AIM-9 missiles)

– “Dirty” configuration shrinks plot• 1 Throttle setting (Maximum power)g ( p )

– Lower throttle setting shrinks plot• 1 Load factor (1 g)• 1 Load factor (1 g)

– Increased “g” shrinks plot

Ps ChartsChe informazioni posso ricavare da un Ps chart?

• Absolute ceilings (subsonic and supersonic)• Maximum speed• Maximum speed• Maximum “zoom” altitude• “Reachability” (sinistra di max He)• Sustainability (On or inside Ps=0)Sustainability (On or inside Ps 0)

Applicazione:Applicazione:Minimum Time to Climb

R llP dH

dtdhdt

V dVdts

e= = +Recall:

dt dt g dts

P tt il i i t di lit biPer ottenere il minimo tempo di salita bisognamassimizzare il climb rate (dHe/dt). Quindi bisogna

tt i h i ht ( t tattraversare ogni energy height curve (curva a costanteHe) alla massima possibile specific excess power Ps.

Applicazione:Mi i Ti t Cli bMinimum Time to Climb

F 16CF-16C

Applicazione:M i PManeuvering Ps

(Come cambia il Ps plot in caso di n=5)

80000

CONFIGURATION

80000

CONFIGURATION

60000

70000

CONFIGURATION50% Internal Fuel2 AIM-9 MissilesMaximum ThrustWeight: 21737 lbsn = 5

60000

70000

CONFIGURATION50% Internal Fuel2 AIM-9 MissilesMaximum ThrustWeight: 21737 lbsn = 1

Lines of Constant Energy Height

40000

50000

ergy

Hei

ght,

ft

n 5

40000

50000

ergy

Hei

ght,

ft

P s = 0

ft/s

200 f

t/s

n 1

Minimum Time to

30000

40000

Alti

tude

and

Ene

P s = 0 ft/s

/s

30000

40000

Alti

tude

and

Ene

P s = 20

P s = 40

0 ft/s

00 ft/

s

ift ASClimb Profile

10000

20000

P s = 20

0 ft/s

P s = 40

0 ft/s

Max

imum

Lift

10000

20000

P s = 60

0

P s = 80

0 ft/s

Max

imum

Li

Lim

it 80

0 KCA

S

00 200 400 600 800 1000 1200

True Airspeed, V, knotsM

00 200 400 600 800 1000 1200


q L

Applicazione:Applicazione:Confronto fra velivoli

• Overlay(Sovrapporre) Ps charts per 2 li livelivoli

• Determinare chi ha un vantaggiogg• Dove può volare e come ad esempio un

velivolo vuole combattare.velivolo vuole combattare.• Tanti altri fattori da considerare

80000

Both Aircraft

60000

70000 Max Thrust50% Internal Fuel2 x IR Missiles

1

50000

60000

ght,

ft

n = 1

40000

Ener

gy H

eig

No Advantage

sive f

or B

Ad t

30000

Alti

tude

and

Exclusivefor A

Exclu

s

ge fo

r A

Advantage for B20000

A

Advan

tage

0

10000

0 200 400 600 800 1000 1200


Cap.8 – Prestazioni di salita

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