ISIS NAUTICO “TOMASO DI SAVOIA DUCA DI GENOVA”

TRIESTE

Anno scolastico 2009/2010

LEZIONI DI

CONTROLLI AUTOMATICI

CLASSI QUINTE CAPITANI E MACCHINISTI

Prof. A. Pascutti

A cura di Alessio Glavina classe 5°A

I

ISIS NAUTICO

“TOMASO DI SAVOIA DUCA DI GENOVA” TRIESTE

LEZIONI DI CONTROLLI AUTOMATICI

CLASSI QUINTE

CAPITANI E MACCHINISTI

Prof. A. Pascutti

A cura di Alessio Glavina, classe 5°A a.s. 2009/10

I QUADRIMESTRE

II

INDICE:

I. Introduzione della materia.

II. Esempi di sistemi automatici controllati:

III. Schemi a blocchi.

IV. Definizione di blocchi e di funzione di trasferimento

V. Funzione di trasferimento (fdt)

VI. Circuito resistenza condensatore (RC)

VII. Valore di (tau) VIII. Diagramma di Nyquist

IX. Grafico con scala logaritmica

X. Decibel

XI. Diagramma asintotico o di Bode del circuito RC

III

CAPITOLO I

INTRODUZIONE

La materia controlli automatici studia tutti i sistemi fisici che sono regolati automaticamente da un sistema (elettrico ed elettronico), chiamato sistema di controllo. Il controllo si applica sia su un sistema generico, che può essere meccanico idraulico, oppure un sistema termico e anche un sistema elettrico e/o elettronico. Il sistema controllore è normalmente solo elettrico ed elettronico. Da quanto detto, si intuisce che lo studio dei controlli automatici presuppone la conoscenza di tutte le discipline scientifiche, meccanica, idraulica, sistemi termici e ovviamente l’elettronica e l'elettrotecnica.

IV

CAPITOLO II

ESEMPI DI SISTEMI CONTROLLATI AUTOMATICI

1)Es.: riscaldamento (climatizzazione) sia invernale che estiva. Un sistema di climatizzazione deve mantenere costante nell'ambiente sia la temperatura sia l'umidità. Normalmente la temperatura ideale è di 20°C.

Il termostato misura la temperatura dell'ambiente e agisce nel seguente modo: quando la temperatura Ti è al di sotto dei 19°C, allora il termostato manda un segnale al circuito elettronico della caldaia e questo la accende. La caldaia manda acqua calda al termosifone, il termosifone riscalda l'aria, provocando un circolo di convezione aria calda-aria fredda. Quando la temperatura media arriva a 21°C, il termostato manda un impulso di spegnimento della caldaia. La caldaia si spegne e nell'ambiente l'aria si raffredda poiché il calore è disperso dai muri e dai solai. Ad un certo punto la temperatura diventa inferiore ai 19°C e ricomincia il ciclo descritto. 2) Es.: Regolazione del livello dell'acqua di un SERBATOIO.

In un serbatoio il livello dell'acqua deve essere mantenuto costantemente a un'altezza prefissata h. Questo sistema di controllo è puramente meccanico e si basa sul principio della leva: quando aumenta il livello dell'acqua, il galleggiante spinge il braccio destro della leva verso l'alto e di conseguenza dall'altra parte viene abbassata la saracinesca del rubinetto. Ad un certo punto, raggiunta l'altezza nominale di regolazione (l'altezza che si vuole sempre costante), la saracinesca blocca totalmente il flusso d'acqua. Non è possibile costruire un sistema di controllo meccanico, nella maggior parte dei casi abbiamo bisogno di un sistema elettrico - elettronico come nel seguente esempio.

termostato

V

3) Es.: BACINO IMBRIFERO

In questo caso l'altezza è misurata da un sensore che è un dispositivo che trasforma l'informazione altezza in un’informazione elettrica. Questo segnale elettrico è portato tramite cavi elettrici o tramite trasmissione via etere. Il segnale arriva agli attuatori che sono dispositivi che, in base al segnale d’ingresso, aprono o chiudono le condotte forzate e le aperture secondarie. In questo modo la regolazione avviene per via elettrica ed elettronica. Alcune definizioni: 1) VALORE DI RIFERIMENTO O GRANDEZZA DI REGOLAZIONE: è il parametro che si vuole mantenere più possibile costante Vr (Hr; Tr). Normalmente avremo un digramma di questo tipo:

N.B. = il grafico è equivalente a quello della carica e scarica di un condensatore. 2) VARIABILE DI INGRESSO DI UN SISTEMA: V1 può essere, ad esempio, l'effettiva temperatura che c'è nella stanza oppure l'effettiva altezza rilevata nel serbatoio. La variabile di uscita può essere lo stesso parametro misurato a seguito della regolazione.

VI

CAPITOLO III

SCHEMI A BLOCCHI

Per studiare un sistema generico si usa il metodo degli schemi a blocchi, in generale un sistema di controllo che è indicato come segue:

Questo è uno schema a blocchi di un sistema controllato automaticamente. Il blocco A rappresenta il sistema da controllare, il blocco B rappresenta il sistema che controlla, ovvero il sistema di controllo automatico. Vu è la variabile di uscita del sistema (è la temperatura dell'ambiente oppure l'altezza del serbatoio).Vi è la variabile d’ingresso (cioè il calore immenso nella stanza tramite calorifero e caldaia, quantità di acqua immessa nel serbatoio), Vr variabile di reazione che va a dosare la Vi per ottenere una certa Vu (nel caso della temperatura Vr é il segnale del termostato che accende o spegne la caldaia, oppure la saracinesca che apre o chiude il rubinetto). Queste variabili possono essere meccaniche, termiche o elettriche. Per capire bene lo schema a blocchi disegnato dobbiamo definire cos’è un blocco e cos’è la funzione di trasferimento.

Vi Vai

Vr

Vu

Vu Vu

VII

CAPITOLO IV

DEFINIZIONE DI BLOCCO E FUNZIONE DI TRASFERIMENTO:

Un blocco è un qualsiasi sistema fisico che, sollecitato da una causa chiamata variabile di ingresso, produce un effetto chiamato variabile di uscita.

Y=f(x) La variabile di ingresso y produce un'uscita y secondo una certa funzione matematica. La funzione può essere una semplice linea retta, una parabola, un’esponenziale, ecc... dipende dal sistema che si va a considerare. Esempio del trampolino tuffi (y=sinusoidale)

Vitey t *cos*

L’ingresso del sistema è l’impulso che do al trampolino, l’uscita del sistema è l’oscillazione smorzata del trampolino.

VIII

CAPITOLO V

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (F.d.T.)

E’ quell’espressione che si ricava dalla seguente formula:

xyF .

Per comprendere meglio la f.d.t. consideriamo il seguente esempio elementare:

IX

Per calcolare l’espressione di F, partendo dalla definizione Vu/Vi e guardando il circuito contenuto nel blocco, si scrivono equazioni partendo dal numeratore fino ad arrivare al denominatore. Le equazioni messe in sistema si riducono per sostituzione fino ad arrivare al rapporto cercato.

IRVu *2 212 RR

ViRVuI

Svolgendo si ha che…

211RR

VVu

divido tutto per Vi

212

211*2

RRR

RRR

ViVu

212RR

RF

X

CAPITOLO VI

CIRCUITO RESISTENZA CONDENSATORE (RC)

Calcolare la fdt del seguente blocco:

Svolgimento:

cXRViI

IcXuV * cXR

XcF

{

XI

XcRXcF

Proseguiamo con i passaggi per evidenziare il valore di c:

CJCJXc

11*

CjR

CjF

1

1

=RCj

F

1

1

R*C =

XII

CAPITOLO VII

VALORE DI T(TAU) (tau) = costante di tempo [s] =r*c [s] per definizione

QUINDI: J

F

1

1 = s1

1

(con s = J frequenza complessa Il coefficiente , costante di tempo, si trova raffigurata nel diagramma della carica del condensatore o della carica di un accumulatore:

3T=tempo di carica

3

XIII

Si considera tempo di carica il valore 3 Riassumendo il quadripolo di partenza equivale al seguente blocco:

Lo schema a blocchi con funzione di trasferimento sopra citata è utilizzato in generale per ogni sistema che si comporti come un circuito RC. Ad esempio una stanza si riscalda con la stessa legge oraria della carica di un condensatore, pertanto il sistema stanza è equivalente al sistema Rc, quindi è trattato come un blocco di fdt. Per conoscere il valore di basta conoscere il tempo di carica e dividere per 3. Quindi ω non è un valore fisso come in elettrotecnica, bensì è una variabile che non potrà mai essere negativa (ω>0). La funzione di trasferimento è una funzione di ω. F=F(Jω) Jω VIENE QUINDI GENERALIZZATO CON “s” FREQUENZA COMPLESSA, QUINDI:F=F(s)

XIV

Essendo F una funzione di ω; calcolare F vuol dire fissare valori di ω (variabile indipendente) e in corrispondenza calcolare i valori di F (variabile dipendente). Al termine verrà fatto un grafico. 1)Es.: Circuito tipo resistenza-condensatore (RC) R= 50 Ω C= 2,00E-05 F F.d.t= 1/(1+jωT) = R*C= 1,0E-03 [s] ωt 1/T= 1000

ω M α ° = a J B log(ω) db=20log|F| 0 1 0,000000000 = 1 J 0 -1,00E+99 0 1 1 -0,05729576 = 0,999999 J -0,001 0 -4,343E-06

333,33333 0,948683 -18,43494882 = 0,9 J -0,3 2,522879 -0,4575749 500 0,894427 -26,56505118 = 0,8 J -0,4 2,69897 -0,9691001

666,66667 0,83205 -33,69006753 = 0,692307692 J -0,4615 2,823909 -1,5970084 1000 0,707107 -45 = 0,5 J -0,5 3 -3,0103 2000 0,447214 -63,43494882 = 0,2 J -0,4 3,30103 -6,9897 3000 0,316228 -71,56505118 = 0,1 J -0,3 3,477121 -10

10000 0,099504 -84,28940686 = 0,00990099 J -0,099 4 -20,043214 10000000 1E-04 -89,99427042 = 1E-08 J -1E-04 7 -80

XV

CAPITOLO VIII

DIAGRAMMA DI NYQUIST

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

00 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Serie1

DIAGRAMMA DI NYQUIST

-0,6-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1

00,1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

REALE

IMM

AG

INA

RIO

Serie1

Il diagramma di Nyquist di un circuito (RC) è una semicirconferenza verso il basso. La punta del vettore F(jω) descrive in tale semicirconferenza.

XVI

CAPITOLO IX

GRAFICO CON SCALA LOGARITMICA:

Questo tipo di grafico va usato nel caso in cui i dati da rappresentare sul grafico sono troppo elevati, e per questo si preferisce usare più comodamente una scala logaritmica:

grafico logaritmico

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8

log(w)

F(jw

)

Serie1

N.B. il valore di log(0) = -∞ quindi è stato assunto per convenzione il valore -1,00E-99. Questo valore non è stato riportato nel grafico per motivi di scala!.

XVII

CAPITOLO X

DECIBEL

Definizione. Il decibel è definito dalla seguente formula:

Mdb=20*logM dove M è un modulo0.

Il decibel è detto unità di misura, ma in realtà non lo è, in quanto esso esprime solamente il modulo in una scala logaritmica. La vera unità di misura è quella associata al modulo. Molte volte il modulo è adimensionale ma è consuetudine dire che Mdb si misura in decibel. Questa unità di misura si trova comunemente negli amplificatori acustici, infatti un amplificatore in controlli è visto come un blocco.

Quando agiamo sul volantino del volume, in realtà, andiamo a modificare il valore di A (amplificazione) che a sua volta poi modifica Vu, per questo la scala è espressa in dB.

XVIII

Formula inversa:

MMdb log20

2010Mdb

M

In molti casi il modulo può rappresentare un rapporto fra potenze o energie, come nel caso dello studio del rumore.

dbPoPnLdb )log(*10

Il livello di rumore per legge deve essere minore di 50db per evitare danni all’apparato uditivo. Con l’esempio, si evidenzia che i livelli di rumore di due sorgenti S1 e S2 danno una sorgente S il cui valore non corrisponde alla somma dei livelli in db. Esempio. dati: S1=40db S2=40db Trovare: Stot

dbStotdbStotdb

PntotStot

PoPnPn

PoPntot

SS

SS

43403402log10

log102log10)10*2log(10)1010log(10)1010log(10)10

log(10

101021

1040

1040

1040

1040

102

101

102

101

Ciò dimostra che due sorgenti di rumore da 40dB danno luogo ad una sorgente globale da 43dB ovvero l’aumento è pari a 3dB.

A AdB 1 0

1,78 5 3,16 10 10 20

31,62 30 100 40

100.000 100

102

101

10

10

S

S

PoPnPoPn

XIX

CAPITOLO XI

DIAGRAMMA ASINTOTICO O DI BODE (con scala 20db/dec)

JF

11 =

s11

(con s = J frequenza complessa Ponendo a zero il denominatore della funzione F(s) si trova il valore

Ω=1/ Tale valore è chiamato polo. Si dimostra che il diagramma asintotico di Bode della F(s) è la spezzata del diagramma soprariportato, il punto di discontinuità cade proprio in corrispondenza del polo. Adottando una scala logaritmica di 20dB/Dec, la semiretta che scende a partire dal polo, assuma una inclinazione di -45° ovvero una pendenza pari a (-1)

Ω=1/

Log(ω)

FdB=20*log|F|

I

ISIS NAUTICO

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CLASSI QUINTE

CAPITANI E MACCHINISTI

Prof. A. Pascutti

A cura di Alessio Glavina, classe 5°A a.s. 2009/10

II QUADRIMESTRE

II

INDICE I. Diagramma di Nyquist della funzione di trasfermento:

jAF

11*

II. Diagramma di Nyquist della funzione di trasfermento:

j

JAF

1

*

III. Algebra degli schemi a blocchi.

IV. Cenni sulla stabilità di un sistema reazionato criterio di stabilità di Nyquist.

III

CAPITOLO I

DIADRAMMA DI NYQUIST DELLA FUNZIONE DI TARSFERIMENTO:

jAF

11*

12

ZZ

ViVuF

IV

Quindi sostituendo: Z2=R2//Xc ovvero Y2=1/R2 + 1/Xc Possiamo calcolare la F.d.T.:

jAF

RRA

sCRCRJ

RR

F

cRjRR

RcRjR

F

cjR

RF

YZYZZ

ZF

cjXc

cjRXcRZ

Y

1

12

][*21

12

)21(*21

1

)2

21(*1

1

)1

1(*1

12*1

12

1*1

12*1

1

12

112

12

12

V

NYQUIST

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

-1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0

Serie1

Il diagramma di Nyquist, quindi, è simile al diagramma fatto in precedenza per la

funzione: J

F

1

1 , ma essendoci un numero negativo che moltiplica questa

funzione, il grafico sarà amplificato tante volte quante espresse dal numero, e rovesciato perché il numero è negativo.

VI

CAPITOLO II

DIAGRAMMA DI NYQUIST DELLA F.d.T.:

j

JAF

1

*

In questo caso la funzione di trasferimento può essere ricavata dallo schema di figura con A.O. e condensatore in serie alla resistenza R1, infatti considerando le impedenze rispettivamente Z1 e Z2, come visto nel caso precedente, vale la formula:

JjA

J

AFRRA

J

RR

RCJRI

R

CJR

RZZF

F

1*

11

1*12

11

12

)11

11(*

211

212

?

Il grafico di figura è simile al grafico della funzione:

j

jF

1

(a destra) ma è

amplificato di un numero A e capovolto, dato che A<0.

VII

CAPITOLO III:

ALGEBRA DEGLI SCHEMI A BLOCCHI: 1) BLOCCHI IN CASCATA: Abbiamo visto che 2 amplificatori operazionali collegati in cascata danno luogo ad una f.d.t. che risulta il prodotto delle singole funzioni come nello schema seguente:

34*

122*1

2*1**

342

121

RR

RRAAF

AAVVu

ViV

VV

ViVu

ViVuF

RRA

RRA

VIII

OSSERVAZIONE IMPORTANTE: SIGNIFICATO FISICO DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO F

Dato un blocco generico, sappiamo che per definizione è: ViVuF

Quindi una volta che è nota la F, (ossia una volta nota la sua formula di calcolo) possiamo andare alla ricerca della tensione di uscita del blocco, Vu: Vu = F * Vi, quindi se all’ingrasso metto una tensione unitaria, (Vi=1) allora l’espressione diventa: Vu = F * 1 Vu = F (se Vi=1) Quindi la Funzione di trasferimento non è altro che la tensione di uscita del sistema sollecitato all’ingresso da tensione unitaria.

IX

Ritorniamo agi schemi a blocchi. Ogni circuito elettrico-elettronico si può schematizzare mediante uno schema a blocchi. I blocchi possono essere collegati in 3 modi elementari: 1)Blocchi in cascata (già fatti) 2)Blocchi in parallelo 3)Blocchi collegati ad anello 2)BLOCCHI IN PARALLELO: Lo schema è il seguente:

FIG.1

Il nodo sommatore può essere realizzato ad esempio tramite un A.O. sommatore non invertente, come il circuito di figura 2:

X

FIG.2

Con R1=R2 12

RRA ma R1=R2 quindi A=1V Vu=V1+V2

Ritornando alla figura 1, ci proponiamo di semplificare lo schema per arrivare ad un unico blocco, cerchiamo dunque il valore della F.d.T. totale. Impostiamo il sistema e lo riduciamo per sostituzione:

1*221*1121

VAVVAVVVVu

ViAAViAViAVu *)2*1(*2*1 ViFVu *)( con F=(A1+A2)

Quindi la f.d.t. totale di 2 blocchi in parallelo è uguale alla somma delle singole f.d.t.

XI

3)BLOCCHI AD ANELLO

Nello schema ad anello il nodo sommatore si trova all’ingresso e non all’uscita. Lo schema si chiama ad anello in quanto il segnale dall’uscita viene riportato all’ingresso e quindi la strada si chiude ad anello. Quando il segnale ha percorso il ciclo dell’anello allora ha percorso i blocchi A ed H in cascata quindi Vr = Vs*A*H, il prodotto A*H si chiama guadagno di anello G = A*H. Calcoliamo la f.d.t.:

GAF

GHAAHA

ViVu

ViAHAVu

ViAAHVuViAAHVuVu

VuHAAViVu

HVuViAVuVuHVrVrViVsVsAVu

ViVuF

1

*1

*1

*)1(**

**

)(****

La f.d.t. di un blocco reazionato si calcola con la formula AHAF

1 oppure

GAF

1

dove

G=A*H guadagno di anello.

XII

CAPITOLO IV:

CENNI SUL CRITERIO DI STABILITA’ DI UN SISTEMA REAZIONATO CRITERIO DI NYQUIST

Considerazioni sulla instabilità. Consideriamo il primo giro che fa il segnale Vi, supponendo Vr=0, Vi attraversa A e poi ritorna indietro per H, pertanto dopo un giro abbiamo Vr = A*H * Vi Vr = G * Vi. Essendo per ipotesi la reazione del tipo negativo, il segnale Vr va a sottrarsi col segnale Vi. Se lo sfasamento prodotto dal guadagno d’anello G è pari a zero gradi allora avviene la sottrazione e Vs risulta più piccolo, se invece lo sfasamento è di 180° allora si ottiene che Vs è la somma dei moduli Vi e Vr e Vs aumenta ad ogni giro del segnale. Questo fatto produce l’instabilità del sistema. L’aumento di Vs determina aumento di Vu, quindi il segnale non è più controllabile e il sistema è instabile.

NB:

)0(*0

01**

tsenMvuMLFVuLFVu

ViFVu

F Vi Vu

A

H

Vi

Vr

Vs Vu

Vu

A H

- +

XIII

CRITERIO DI NYQUIST

Vediamo ora come questo concetto si traduce in formula e in criterio di stabilità. Cerchiamo cioè di capire qual’è la condizione per la quale un sistema è stabile oppure instabile. In un secondo tempo cercheremo il modo di far diventare stabile un sistema instabile.

Se Vu aumenta sempre più allora il sistema è instabile, ma Vu = W * Vi, dove W è la funzione di trasferimento del sistema reazionato:

AHA

VV

I

U

1W

VU=W*VI

Il sistema è stabile se VU<∞ W<∞AHA

1<∞ 01 AH 1AH

SI DIMOSTRA CHE IL SISTEMA E’ STABILE QUANDO

180)(1|*|

AHHA

(criterio di Nyquist)

W Vi

Vu

MATERIA:CONTROLLI AUTOMATICI - DOMANDE DI TERZA PROVA:

1) Cos’è il diagramma di Nyquist della funzione di trasferimento?

2) Tracciare il diagramma di Bode della funzione di trasferimento

J

JF

1

1 .

3) Indicare la scala che si usa nei diagrammi di Bode e tracciare un diagramma tipo di una f.d.t. a vostro piacere.

4) Tracciare il diagramma di Nyquist nel seguente circuito:

5) Tracciare il diagramma di Nyquist e il diagramma del modulo della seguente funzione:

j

jF

1

(qualitativamente).

6) Disegnare i grafici qualitativi di Nyquist e del modulo dell’ A.O. di figura:

7) Trovare la f.d.t. del seguente circuito: