Lezione 8 Processi di emissione. Francesco Adduci Fisica della Materia 2 Emissione Emissione...
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Lezione 8Lezione 8Processi di emissioneProcessi di emissione
Francesco Adduci Fisica della Materia 2
Emissione
Emissione spontanea
Francesco Adduci Fisica della Materia 3
Esercizio
Immaginiamo di avere un sistema a due
livelli di energia, e che ad un certo istante t0
= 0, il livello superiore sia popolato con una
densità di elettroni N0.
Sapendo che la vita media dell’elettrone nel livello superiore è descrivere l’evoluzione del sistema.
Francesco Adduci Fisica della Materia 4
Esercizio
2 0
2 2 2
(0)
( ) ( ) ( )
N N
N t t N t AN t t
2 22
( ) ( )( )
N t t N tAN t
t
2 2
0 2
( ) ( )lim ( )t
N t t N tAN t
t
122 sec
1
dNAN A
dt
A
2
1
Francesco Adduci Fisica della Materia 5
Esercizio
22 0 2
2 0
1(0) =0
t
dNN N N
dt
N N e
2
1
Francesco Adduci Fisica della Materia 6
Esercizio
Immaginiamo di avere un sistema a due livelli di
energia, e che ad un certo istante t0 = 0, il
livello superiore sia popolato con una densità di
elettroni N0.
Sapendo che la vita media dell’elettrone nel livello superiore è descrivere l’evoluzione del sistema.
Supponiamo ora che sul sistema incida un fascio
di fotoni di energia pari a E2 – E1 ed intensità I0, e
che inizialmente il livello superiore sia vuoto
Francesco Adduci Fisica della Materia 7
Esercizio
1 1 2
1 1 1 0 2
2 2 2 1 0
(0) (0) 0
1( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( )
N N N
N t t N t N t I t N t t
N t t N t N t t N t I t
10 1 2
22 0 1
1 =
1
=
dNI N N
dtdN
N I Ndt
Francesco Adduci Fisica della Materia 8
Esercizio
1 20 1 2 2 0 1
21 1 2
0 0 1 22
21 1 1
0 0 1 0 12
21 1 1
02
21 1
02
1 1 = =
1 1 1 = = ( )
1 ( - )
1 0
1 ( )
0
dN dNI N N N I N
dt dt
d N dN dNI I N N
dt dt dt
d N dN dNI I N I N
dt dt dt
d N dN dNI
dt dt dt
d N dNI
dt dt
Francesco Adduci Fisica della Materia 9
0
0 0
21 1
0 12
20
1( )
0 1
1 1( ) ( )
12 0 1 0 0 0
1 ( ) 0
1( ) 0
10 ( ) ( )
1 ( )
t
t t
I t
I t I t
d N dNI N Ae
dt dt
A e I Ae
I N t Ae B
dNN I N I Ae I Ae I B
dt
01
( )
2 0 I t
N Ae I B
Esercizio
Francesco Adduci Fisica della Materia 10
Esercizio
0
0
1( )
1
1( )
2 0
1 0
2 0
0 0
0 0 0 00
0 0 0
( )
( )
(0)
(0) 0
0
; ;1 1 1
I t
I t
N t Ae B
N t Ae I B
N A B N
N A I B
N B I B
N N I NB A N
I I I
Francesco Adduci Fisica della Materia 11
Esercizio
0
0
0
0
1( )
0 0 01
0 0
1( )
0 0 0 02
0 0
( 1)0
1 00
( 1)0 0
20
( ) 1 1
( )1 1
( ) ( 1) 1
( ) (1 )1
I t
I t
tI
tI
I N NN t e
I I
I N I NN t e
I I
NN t I e
I
I NN t e
I
Francesco Adduci Fisica della Materia 12
Esercizio
0
0 00 1
1 0 0 0
0 02 0 0
2 0 00
1
( ) = ( ) 1
( )( ) (1 ) 1
t
t
I
N NN NN t I N e I
I NN I NN t I N e I
Francesco Adduci Fisica della Materia 13
Esercizio
E’ evidente che il caso I0 >>1 merita un ulteriore approfondimento
0 01
0
0 02 0 0
0
00 1 2 0
0
0 1 0 2 0 0
( ) =
1
( )1
1 0;
1 ;
N NN
I
I NN I N
I
NI N N N
I
I N N N I N
Francesco Adduci Fisica della Materia 14
Come nel caso della lezione sull’assorbimento, anche aggiungendo la condizione di emissione con un tempo , si ha una saturazione dell’assorbimento quando si verifica la condizione Io>>1. La radiazione continua attraverserà senza essere più assorbita da un materiale di lunghezza L quando:
Invece abbiamo visto che supponendo =∞ la condizione di saturazione era:
0 0
11 1n L n L
LI I e I e
00
n LnI t e
n
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Processi con perdita di energia
PROCESSO RADIATIVO: I sistemi (atomi, molecole, solidi, liquidi…) eliminano l’energia di eccitazione in eccesso emettendo fotoni
Fluorescenza
Fosforescenza
PROCESSO NON RADIATIVO: l’energia in eccesso e’ trasferita ai gradi di liberta’ vibrazionali, rotazionali, e traslazionali dei sistemi circostanti attraverso le collisioni
DISSOCIAZIONE: la molecola dissocia e l’energia si converte in energia traslazionale dei frammenti
Francesco Adduci Fisica della Materia 16
Processi con perdita di energia
Se si considerano sia i processi radiativi che quelli non radiativi, gli esercizi precedenti possono essere rifatti con estrema semplicità introducendo il concetto di vita media non radiativa. Se si immagina di aver eccitato un numero di elettroni N2(0) all’istante 0,si vede facilmente che se:
1 1 1
sp nr
k
2 2 22 2( ) (0)
t
sp nr
dN N NN t N e
dt
Francesco Adduci Fisica della Materia 17
Processi con perdita di energiaCalcoliamo l’energia emessa durante l’emissione radiativa:
L’enegia emessa nell’intervallo di tempo t è uguale al prodotto del numero di elettroni che decadono dal livello N2 (=concentrazione per
volume) per l’energia del fotone emesso
0
0
( 1)0
1 00
( 1)0 0
20
( ) ( 1) 1
( ) (1 )1
tI
tI
NN t I e
I
I NN t e
I
2
2
1( ) ( ) ( )
1( ) ( )
E t t E t N t tV h
dEP t N t V h
dt
Francesco Adduci Fisica della Materia 18
Emissione stimolata
I fotoni prodotti per emissione stimolata hanno proprieta’ uniche: Il fotone emesso ha la stessa λ del fotone incidente
la stessa direzione del fotone incidente
la stessa fase del fotone incidente
Francesco Adduci Fisica della Materia 19
Coefficienti di Einstein
2 2 1 2 1 2 1 2 2
21 2 1 2 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
N t t N t W N t t W N t t AN t t
dNW N t W N t AN
dt
1
2
Consideriamo la radiazione di corpo nero:
E la relativa rate equation
3
3
8
1planck h
kT
h
ce
Francesco Adduci Fisica della Materia 20
Coefficienti di Einstein
1 21 2W B
2 12 1W B
Si consideri la condizione di equilibrio termico alla temperatura T:
2 1
2 2
1 1
E E
kTN ge
N g
2
1
1g
seg
21 2
1
h h
kT kTN
e N N eN
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Francesco Adduci Fisica della Materia 21
Coefficienti di Einstein
21 1 2 2 2 1 20
dNN B N B AN
dt
2
1 1 2 2 2 11 2 2 1
h
kT
AN A
N B N BB e B
3
3
8
1planck h
kT
h
ce
1 2 2 1B B
1
2
1
2
Francesco Adduci Fisica della Materia 22
Coefficienti di Einstein
3
31 2
8A
B c
Teorema di Einstein
1
2
1
2
Francesco Adduci Fisica della Materia 23
Esercizio
x0
)( xxI 0I S I( )I x
22 2 1 2
0
( )( ) ( ) ( ( ) ( ))
1
N tN t t N t W N t N t t t
efficienza quantica W I
Francesco Adduci Fisica della Materia 24
Esercizio: dipendenza da t
2 21 2
2 21 2
22 1
( ( ) ( ))
( ) ( )
1( )
dN NW N t N t
dtdN N
IN t IN tdtdN
I N IN tdt
1
2
1
2
Francesco Adduci Fisica della Materia 25
Esercizio: dipendenza da t
22 2
22
1( ( ))
12
T
T
dNI N I N N t
dt
dNI N IN
dt
2 1
2
2 1
1
12 1
11
2 1
tI
T
tI
T
IN N e
I
IN N e
I
1
2
1
2
Francesco Adduci Fisica della Materia 26
Esercizio: dipendenza da t
2
1 2
1 2
2 11
2 11
2 1
T
T T
T
per t
IN N
II
N N N NI
N N NI
Francesco Adduci Fisica della Materia 27
Esercizio: dipendenza da x
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
I x x I x xN x I x
dIN x I x
dx
x0
)( xxI 0I S I( )I x
Francesco Adduci Fisica della Materia 28
Esercizio: dipendenza da x
1 2
1 2
1 2
1
2 1 2 1 1
2 1
0
T T
T
T
I IN N N N
I Ise I
NN N
se I
N N N
Francesco Adduci Fisica della Materia 29
Nell’esercizio precedente si immagina che i fotoni vengano soltanto assorbiti, in realtà si ha anche una emissione di fotoni in parte dovuta al decadimento spontaneo e in parte a quello stimolato. Dal momento che il fotone “spontaneo” è emesso in una direzione casuale, mentre quello stimolato è emesso nella stessa direzione di quella incidente, calcoliamo di nuovo l’intensità che esce dal mezzo tenendo conto solo dell’aggiunta di quella stimolata.
Francesco Adduci Fisica della Materia 30
Guadagno
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ( ) ( )) ( )
ass stimI x x I x K I x K I x
N x I x S x S xN x I xI x x I x
S SdI
N x N x I xdx
x0
)( xxI 0I S I( )I x
Francesco Adduci Fisica della Materia 31
1 2
1 2
1 2
( ( ) ( )) ( )
1
2 1 1 0
0 ( ) cost
T
dIN x N x I x
dx
per t N N NI
se I N N
dII x
dx
Il materiale diventa trasparente alla radiazione!!
Si ha la “Saturazione dell’assorbimento”
Francesco Adduci Fisica della Materia 32
Guadagno
2 1
1 2
( ) 0
( ) ( )
Se N N
dIN N I
dxI x x I x
L’intensità aumenta via via che aumenta il percorso all’interno del mezzo!!
L’intensità in uscita è maggiore di quella in entrata!
Francesco Adduci Fisica della Materia 33
Guadagno
Si definisce coefficiente di guadagno g
12 1( ) g N N g cm Affinché si abbia un aumento di
intensità deve essere g>1 e di conseguenza N2>N1
Quando ciò accade si dice che è avvenuta una:
Inversione di Popolazione