Lezione 3 Acceleratori - Dipartimento di Fisica e …Lezione 3 Luminosità • Esempio: paragone...

Rivelatori di Particelle 1

Lezione 3 Acceleratori

•Lezione 3. ….. riassunto – Anelli di collisione

• Generalità e definizione della luminosità (R=s L)

– Oscillazioni e stabilità dei fasci

• Oscillazioni longitudinali o di fase o di

sincrotrone dovute alla radiofrequenza

• Oscillazioni trasversali o di betatrone. Sono

causate dai campi magnetici.

• Piano di fase trasverso : Emittanza ed accettanza


Lezione 3 Anelli di collisione

Anelli di accumulazione ( generalità ) In un Collider tutto funziona come in un sincrotrone, ma le particelle non

vengono estratte alla fine del ciclo, ma mantenute nell’anello (e+e-, p-antip) o

negli anelli ( pp ) e mandate a collidere l’una contro l’altra.

In un anello di collisione si guadagna moltissimo in energia ( siamo nel c.m.)

anche se si perde in rate. [ luminosità minore]


Lezione 3 Anelli di collisione

Energia

a

b Acceleratore

pb=0

s=ma2+mb

2+2Eamb

~2Eamb

a b

Anelli di collisione

|pa|=|pb|

s=(Ea+Eb)2

s½ (GeV) E fascio (GeV)

Acceleratore

E fascio (GeV)

Collider

pp 10

100

1000

52

5200

5.4x105

5

50

500

e+e- 1

10

100

103

105

107

0.5

5

50


Lezione 3 Luminosità

Un anello di collisione non è altro che un sincrotrone fasci in bunch.

Un bunch colpisce un altro bunch che si muove in senso opposto.

In questo caso più che di intensità del fascio (fasci) si parla di

luminosità della macchina. La luminosità dipende anche dalla

geometria dei fasci e dalla loro densità.

La luminosità non è altro che il rate di interazioni per sezione d’urto

unitaria.

Per chiarire il concetto consideriamo:

1) un fascio estratto da un acceleratore che colpisce una targhetta.

2) due fasci di un collider che collidono l’uno contro l’altro.



1) Fascio su targhetta

Consideriamo un fascio di intensità n1 particelle che colpisce una targhetta di lunghezza l e di densità di particelle n2

per ogni singola particella il numero di interazioni nella targhetta sarà

N=sintx n2xl

essendo sint la sezione d’ urto di interazione. Le dimensioni trasverse del fascio e della targhetta non entrano in gioco (targhetta > dimensioni fascio).

Il rate è

R=(dN/dt)=sintxn1xn2xl

e combinando le caratteristiche della targhetta e del fascio:

R=sintxL

L = luminosità ed ha le dimensioni [cm-2s-1]

La luminosità non è altro che il rate di interazioni per sezione d’ urto unitaria.



2) Collider

Nel caso di un collider invece:

Importano le dimensioni ed allineamento dei fasci.

Possiamo non essere nel c.m. (Hera, PEP2).

Le particelle (bunch) possono incrociarsi ad angoli ≠ 0.

Quale semplice esempio consideriamo un collider ad e+e- oppure protone

antiprotone. In questo caso i due fasci viaggiano nello stesso anello, in direzioni

opposte, ma collidono in pochi punti, poiché sono tenuti separati al di fuori di questi

punti.

Nel caso protone-antiprotone si possono tenere separati i due fasci con dei

quadrupoli. Nel caso e=e- (LEP) i due fasci sono tenuti separati

elettrostaticamente.

+

- Vmax=± 150 KV

4 metri



Consideriamo 2 pacchetti in cui la densità di particelle per unità di area nel

piano trasverso è dato da:

Cioè 2 distribuzioni gaussiane identiche e normalizzate ad un totale di n1 ed n2

particelle rispettivamente.

2

2

2

2

2

2

2

2

2222

2211

2

2

yx

yx

yx

yx

yx

yx

en

ds

dn

en

ds

dn

ss

ss

ss

ss



Il numero di interazioni per ogni incrocio dei fasci si ottiene integrando su tutte le particelle del fascio 1 moltiplicato per la loro probabilità di interazione.

● Il numero di particelle del fascio 1 in un elemento di area dxdy è:

● la probabilità di interazione di una particella del fascio 1 che si trova in x,y è:

= al numero di particelle del fascio 2 che si trovano in un’area pari alla sint

dxdyen

yxdn yx

yx

yx

2

2

2

2

2211

2,

ss

ss

int

2222

2

2

2

2

2,),( s

ss

ss

yx

yx

yx

en

yxdnyxp



Il numero totale di interazioni per bunch e per incrocio sarà:

Infatti:

yx

yx

yx

yx

yx

nnedyedx

nn

dxdyenn

yxpyxdnN

yx

yx

sss

sss

sss

ss

ss

44

4,,

21int222

21int

222

21int1int

2

2

2

2

2

2

2

2

ss

ss

s

2

2

2

2

22

22

1

x

x

dxedxe x



Se abbiamo k pacchetti in ogni fascio ( 2k punti di incrocio ) e se f è la

frequenza di rivoluzione il rate per incrocio, essendo n1,2 il numero

totale di particelle per anello è:

Oppure usando le correnti i1=n1ef ed i2=n2ef

k

fnnL

fk

nnLR

yx

yx

ss

sss

s

4

4

21

int21

int

2

21

4 ekf

iiL

yxss



• Esempio: paragone acceleratore-collider (stessa energia nel c.m. e

stessa sezione d’urto di interazione (e.g. e.m. ~ 1mb)

• Acceleratore

< l > n (s-1)

n= densità del fascio incidente =1012 particelle s-1

r= densità della targhetta = 1gr/cm3

l= spessore della targhetta =1cm

sint= sem = 1mb

A= numero di Avogadro = 6x1023

15

int 106 sAlnR sr



• Collider

n1 n2

n1=n2= particelle per bunch

i1= i2=i=50 mA n1=n2=n=i/(ef)= 3.3x1011 particelle

F= sezione trasversa dei fasci= 0.1x0.01 cm2

B= numero di bunch = 1

f= frequenza di rotazione = 106 s-1

1

int2

21int

21 100

s

Fef

ii

F

fnnR ss



Osserviamo L ~ 1032 cm-2 s-1.

Luminosità tipiche di collider e+e- sono 1031÷1032

LHC (pp) ha una luminosità di progetto di 1034


Lezione 3 Oscillazioni e stabilità dei fasci

La presenza della radiofrequenza fa sί che le particelle si raggruppano

in pacchetti (bunch).

In un acceleratore circolare si innestano inoltre, ogniqualvolta la

particella passa nella cavità a RF con la fase F non giusta (ma

comunque molto vicina a FS ) delle oscillazioni di sincrotrone o

oscillazioni longitudinali ( oscillazioni di fase o di energia).

Nel caso di piccoli movimenti si innescano delle oscillazioni identiche a

quelle dell’oscillatore armonico e con frequenza proporzionale ( in

genere minore) alla frequenza di rivoluzione.



Per avere stabilità (ovvero soluzione dell’equazione dell’oscillatore armonico (sin e cos)) la particella deve passare nella RF quando questa ha una fase FS</2 per un acceleratore circolare a focalizzazione forte (con quadrupoli) quando la particella accelerata è non relativistica ( g ~1 ), mentre per g più elevato deve essere /2<FS<.

Questo comporta che all’iniezione ho una certa fase, che cambia per g più elevato devo spegnere la RF si spacchetta il fascio posso perdere il fascio.


Lezione 3 Stabilità dei fasci

La frequenza angolare di una particella che gira in un sincrotrone è data da:

Con t periodo di rivoluzione e L circonferenza dell’orbita.

Differenziando ln(w) otteniamo:

Ricorda p=gbc

Dove ap è chiamato fattore di compressione dell’impulso, ed è definito come ap=(dL/L)/(dp/p)

L’espressione fra parentesi è normalmente scritta come:

Si osserva che htr<0 quando l’energia del fascio è maggiore di Utr=gtrmc2 mentre è >0 per sincrotroni

all’iniezione (bassa energia) o sempre per acceleratori lineari.

È questo il momento in cui bisogna cambiare la fase del campo elettrico.

22

L

cb

t

w

p

dp

L

dLdddp

a

gb

b

t

t

w

w2

1

222

111

tr

ptrgg

ag

h


Lezione 3 Oscillazioni di sincrotrone

Le quantità fisiche della particella generica sono connesse a quelle della particella sincrona ( indicata

con l’indice s) tramite le seguenti relazioni:

Energia totale U = Us+dU

Impulso p = ps+dp

Frequenza angolare w = ws+dw

Periodo di rivoluzione t = ts+dt

( dw e dt hanno segno opposto). Siccome la particella sincrona deve arrivare alla RF in fase possiamo

scrivere:

wrf = hws

Con h intero. h è chiamato numero armonico e rappresenta il numero di cicli che fa la RF durante un

giro della particella sincrona. Se indichiamo con fs la fase del voltaggio della RF quando la particella

sincrona arriva alla cavità RF e con f quella della particella generica avremo:

= df f – fs



Il guadagno di energia per giro della particella generica e di quella sincrona sarà (si assume che il voltaggio non cambi

quando la particella attraversa la cavità a RF):

DU = qV sinf

DUs = qV sinfs

Se all’ inizio del giro n la differenza in energia della particella generica rispetto alla particella sincrona è (dU)n=U-Us alla

fine del giro n sarà:

(dU)n+1=(U+DU)-(Us+D Us)

Dopo un giro avremo che dU cambia di

D(dU)=DU- DUs=qV(sinf-sinfs)

Nell’ipotesi di oscillazioni lente possiamo scrivere:

Che diventa definendo W=-dU/wrf=-(U-Us)/wrf

ss

s

qVU

dt

Udffw

t

ddsinsin

2

D

ff

sinsin2

sh

qV

dt

dW



Sempre nell’ ipotesi di oscillazioni lente dopo un giro abbiamo:

Dd/dt)ts=wrfdt

Dove dt è la differenza nei tempi di arrivo della particella generica e di quella sincrona alla RF.

Dopo un giro dt cambia di:

D(dt)=t-ts=dt=-htrt(dp/p)

Dove

Derivando rispetto al tempo e sostituendo la dW/dt nella d2/dt2 otteniamo per le

oscillazioni di fase della particella generica:

WUdt

d

s

trrf

2

2

b

hw U

Up

pd

b

d2

1

0sinsin2 2

2..

s

s

trs

U

qVhff

b

hw



Per piccole variazioni della fase possiamo scrivere:

ed otteniamo così l’equazione di un oscillatore armonico:

Ws è la frequenza delle oscillazioni di sincrotrone.

Osserviamo che htrcosfs deve essere positivo per avere frequenze di oscillazione reali e

per assicurare la stabilità di fase.

Ricordando che per ogni giro si guadagnano pochi MeV nella RF avremo che

Ws/ws<<1.(meno di un’oscillazione per giro).

0sinsin2 2

2..

s

s

trs

U

qVhff

b

hw

sss ffff sincos)sin(sin

22

2..

2

cos

con 0

mc

qVh strss

s

gb

fhw

W

W


Lezione 3 Oscillazioni di Betatrone

Abbiamo visto che le particelle vengono mantenute sull’orbita circolare

con dei magneti bipolari ed il fascio viene focalizzato tramite l’uso di

quadrupoli (e sestupoli per abolire le aberrazioni cromatiche) che

funzionano quali lenti convergenti (divergenti).

Oscillazioni anche nel piano trasverso chiamate oscillazioni di

betatrone



Oscillazioni di btrone.

Consideriamo un acceleratore circolare con solamente magneti bipolari.

Sul piano orizzontale ho una focalizzazione geometrica (se B è uniforme e verticale in direzione).

P1 dista da P2 ½ circonferenza e la particella fa quindi un’oscillazione completa per giro. (numero di oscillazioni = nx=Q=1).

Attenzione: un angolo di deviazione a=1 mrad (rispetto alla particella di riferimento) dà una deviazione =ar (r raggio dell’acceleratore), ma se r=1 km ar=1m tubo a vuoto enorme ed apertura del magnete enorme.

P2 P1 P1 P2 s



Se la deflessione è nel piano // a B, la particella spiralizza e se ne va.

Anche con l’inserzione di quadrupoli, le particelle con posizione

trasversa o direzione leggermente diverse da quella della particella di

riferimento (quella sul piano mediano) fanno un moto oscillatorio

attorno alla particella di riferimento (nel piano trasverso xy)

Oscillazioni di betatrone

Inserzione di quadrupoli ( focheggiamento forte)



Nel caso di un acceleratore circolare a focalizzazione forte le

oscillazioni di betatrone sono di frequenza molto maggiore di quelle di

sincrotrone ( SPS(CERN) Tsinc 100000 Tbtrone (radiali) ).

Inoltre le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono disaccoppiate da

quelle verticali (y) e da quelle di sincrotrone (longitudinali).

Normalmente le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono di ampiezza >

di quelle verticali, in quanto su quelle radiali influisce anche la

dispersione in impulso.

Tubo a vuoto ellittico



Consideriamo il sistema di coordinate:

Si puo’ mostrare che:

Discorso del tutto analogo per le x.

s x

y

y’=dy/ds

x’=dx/ds

costante''2)( 0

22 ellisseRyyyysR bag

4

'1

1,'

2

1 2b

bgba



L’equazione:

è l’equazione di un’ ellisse di area R2=ss’ con s e s’ = semiassi

dell’ellisse.

L’ area dell’ellisse è una costante, ma la forma puo’ cambiare al variare

di s, in quanto a, b, g dipendono da s.

b (funzione di ampiezza) dipende dall’ottica della macchina e

bs/s’

costante''2)( 0

22 ellisseRyyyysR bag



bs/s’

In un anello di collisione conviene avere b basso, ovvero

focalizzare nel punto d’interazione.

<b>arc=80 m bI.P.=0.5 m

LHC


Lezione 3 Emittanza ed accettanza

Emittanza: se i punti rappresentativi y ed y’ del 90% delle particelle del

fascio sono contenuti in R0 (area ellisse), R0 è per definizione

l’emittanza del fascio.

Abbiamo quindi un’emittanza verticale e radiale che restano costanti.

Per definire l’ellisse di area costante abbiamo assunto che l’impulso

delle particelle non varia (in modulo) durante il movimento nel piano

trasverso. Questo è quasi vero, comunque se varia adiabaticamente

(ovvero molto lentamente), l’invariante diventa:

m

sR

p

sR

bg

)()(cost



Inviluppo delle traiettorie (x o y, x’ o y’)

Fondamentale conoscere yB in quanto determina le dimensioni sia del tubo a vuoto che l’apertura dei magneti, necessarie a far passare il fascio di accettanza nota.

B

y

y’

yB

y’B

L’inviluppo delle traiettorie delle

particelle del fascio non è altro

che l’ascissa del punto B (quello

con la y maggiore) in funzione di

s



Accettanza.

L’accettanza è per definizione l’emittanza massima accettata dalla

camera a vuoto all’iniezione.

Accettanze ed emittanze si esprimono in (mmxmrad)

Accettanza tipica di un sincrotrone è:

~ 30 (mmxmrad)

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