Lezione 10: Magnetismo

NS

(impiegati nella navigazione da prima del sec. XI )

Polo NORDPolo SUD

Magnetite e Magneti

I blocchetti di magnetite si attraggono o respingono quando sono uno vicino all’altro

NS NS

attrazione

NS N S

repulsione

NSN S

S NNS

Taglio del magnete

NO!!!

S N S N SI!!!

NS

Magneti e bussole…

B

N

S

S

N

B è detto INDUZIONE MAGNETICA

[ ]

24-4-

2-1

Wb/m10T10gauss 1

weber11Wb tesla1 T 1

Wb/mTN/(Am)m)N/(Cs

==

==

====B

superficie una attraverso di flusso del misura di unitàl' è weber Il B

ago della bussolaMisurando in ogni puntodirezione, verso e momento torcente dell’ago si ottiene il vettore induzione magneticaB(x,y,z)

S N

Lo spazio circostante a un magnete è sede di un campo magnetico la cui rilevazione avviene proprio con una bussola

|B | =0.62 G

|B | =0.31 G

Campo magnetico terrestre

Sud geografico

Nord geografico

Bussola

N

S

Valori approssimati del campo magnetico

• F=0, se v=0• F=0, se v e B sono paralleli• F è ortogonale a v e a B, pertanto L=0• Regola della mano destra

BvF ×= q

Forza di Lorentz su una carica q che si muove con velocità v in un campo di induzione magnetica B

Forza di Lorentz I

Se la forza del campo magnetico non compie lavoro sulla particellaallora l’energia cinetica rimane costante. Si tratta pertanto di una forza CENTRIPETA che fa compiere alla particella una curva senza cambiare il modulo (v e B ortogonali).

v B

BvF ×= q

F

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

vq

BvF ×= q

qvBRv

m ==2

F m)( qBv

mR =�

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

vBR

Forza di Lorentz II

uniforme

Forza di Lorentz III

qBm

vR

Tππ 22

velocitàspazio ===

PERIODO (s)

mqB

Tfπ2

/1 ==

FREQUENZA (s-1 =Hz)

mqB

f == πω 2

PULSAZIONE (rad s-1 )

Spettrometro di massa

Kg10 1.66051u

m 1.6254xC101.602Q

1000VVT 80B

27-

19-

⋅=

=⋅=

==

==v

qBRm

�= qVmv2

21 ==

mqV

v2

2

2 ��

�

�

��

�

�

qV

qBR u 93.209

24

22

==V

qBx==�=

qVRqBm

qVm

RqBm2

1

2

Traiettorie elicoidali di una carica in moto in un campo magneticoSe v ha sia una componente parallela che una ortogonale a B

La componente della velocitàparallela all’induzione da il passo dell’elica, quella ortogonale raggio e periodo.

Bottiglia magnetica - Se il campo magnetico B non è omogeneo, la particella sarà soggetta ad un moto a spirale con raggio variabile.

zzrr vvv uuuv ++= φφ

zzrr vB uuB +=

=+−×++=× )()( zzrrzzrr BBvvv uuuuuBv φφ

φφφφ uuuu rzrzzrzr BvBvBvBv −++−=

rz

rzzr

rr

BvF

BvBvF

BvF

φ

φ

φ

−=

−−=

=

Fasce di Van Allen e Aurore boreali

Gli elettroni e protoni in moto, percorrono le traiettorie elicoidali verso la terra

Un tale fenomeno si verifica nell’alta atmosfera terrestre, in prossimità dei poli, nelle fasce diVan Allen. Le collisioni degli elettroni accelerati con atomi e molecole produce produce la luce che causa le aurore polari.

Aurora boreale

Forze magnetostatiche/elettrostatiche

• La forza elettrica non dipende dal moto della carica ma solo dalla posizione

• La forza magnetica dipende invece dalla velocità della carica• La forza magnetica dipende in ogni punto da v della carica, in modo da

essere sempre ortogonale al piano individuato da v e da un vettore B:

• Conseguentemente, la forza magnetica compie sempre lavoro nullo

BvF ×= qmagnetica

)( BvEF ×+= qtotale

In, presenza di un campo elettrostatico ed uno magnetostatico, la forza totale vale:

Scoperta dell’elettrone

L=lunghezza dei piattiv=velocità della particella m=massa della particellaE=campo elettricoq=carica della particella

2

2

2mv

qELy =

y

All’uscita delle armature:

Calcolo della v e di m/q

Regolando poi opportunamente il campo magnetico B, è possibile bilanciare la forza elettrica E. Quando ciò avviene, si ha q E = q v B. In questo modo si ottiene v = E / Bda cui poi si ricava:

yELB

qm

2

22

=

Forza su un filo percorso da corrente in un campo B costante

B

v

×××××××××××××××××××××××××××

BF

j

zNeBvNq uBvF −=×=vol volumedi unitàper forza la Quindi,

yBuB =xvuv =

xz

y ⊗

Caso generale== �

τdVvoltot totaleforza La FF

zLiBu−=

BlBjFF ×=×== ����� didSdldSdlLSLSL

voltot

Bj��Sl

dSdl=×−� dVeN Bv)(τ

Effetto HallNel 1879 E. H. Hall dimostrò che anche gli elettroni di conduzione (e qualunque portatore di carica in moto) risente degli effetti dovuti alla forza di Lorentz.In figura è riportata una lamina di Cu di larghezza d nella quale scorre una corrente i dall’alto verso il basso. I portatori di carica (elettroni) si muovono pertanto con velocità diretta dal basso verso l’alto (vd).Se si applica un campo magnetico esterno B perpendicolare al piano, ogni elettrone è soggetto alla forza di Lorentz FB diretta da sinistra verso destra. Gli elettroni si ammasseranno quindi verso destra generando un campo elettrico longitudinale E, diretto da sinistra verso destra. E avràcome effetto quello di generare una forza elettrica FE diretta da destra verso sinistra che si opporrà a FB. La situazione all’equilibrio sarà quella per cui FE = - FB e quindi gli elettroni si muoveranno rettilineamente. Ma sarà presente una d.d.p. tra il lato destro ed il lato sinistro della lastra, dato da V = E d Evidentemente, quando sono gli elettroni a muoversi, il lato sinistro avràpotenziale positivo, mentre se i portatori di carica sono positivi (es. semiconduttori) il lato destro avrà potenziale positivo.L’uguaglianza delle forze implica e E = e vd B da cui, sostituendo

vd, si ha:VleBi

n =neA

inej

vd ==

II legge elementare di Laplace

BlF ×= did

i

C B

ld

NS

Considerando l’intero circuito….

� ×=circuito

di BlF

Forza agente su un filo in un campo magnetico di induzione B

Esercizio- Un filo lungo 6 cm, percorso da una corrente di 1.5 A, è posto tra i poli di un magnete ad un angolo di 45°. Il campo magnetico di 0.9 T è circa uniforme. Quanto vale la forza sul filo, ignorando il campo al di fuori dei poli?

zliB u4

sinπ=

45° iB

yu

xu

zu

=×= �l

id0

BlF =�l

z dlBi04

sin uπ

zz uu N057.02

19.05.1106 2 =⋅⋅⋅⋅= −

=×+� y

l

yx Bidl uuu0

)4

cos4

sin(ππ

LEMANS\forcelaplace.htm

Una corrente di 10 A percorre un filo di lunghezza l=10m in un campo di induzione magnetica uniforme B=2000 G uy.

1. Il filo è diretto x, simmetricamente rispetto all’origine.Quanto vale la forze magnetica risultante?

i = 1A

B

x

y=×=×= ��

−−

2/

2/

2/

2/

l

lyx

l

l

Bdxdi uuBlF

zzz Bl uuu N2010102.0 =⋅⋅==

rdz

2. Se il filo viene spostato in modo da descrivere un cilindro e la posizione finale coincide con quella iniziale, quanto lavoro L deve essere speso contro le forze magnetiche?

essendo F costante:

i = 1A

B

x

y

ld

0=⋅=⋅= �� lFlF ddL

0l =� dessendo

x

y

Rld

φ

0cos)sin(2

0

2

0=

�

� �

+−= ��� yx ddRd uul φφφφππ

)cossin( yxRdd uul φφφ +−=

Esercizio - Si calcoli la forza e momento meccanico risultanti agenti su una spira quadrata piana chiusa di area 1m2, percorsa da una corrente di i =1 A e posta in un campo magnetico uniforme di induzione 1 G

0BlBlF =��

���

�=×= ��

circuitocircuito

didi

La forza risultante:

Il momento non dipende dal polo:

B uniforme

r

��∂∂

⋅−⋅=SS

didi )()( lrBlBrM

Ma essendo dl=dr ed il percorso chiuso:

�∂

⋅=S

di lBrM )(

�∂

⋅⋅=S

xx diM liBr )( [ ]� ⋅⋅×∇=S

x dsi niBr )(

)()( lrBlBrBlrFrM didididd ⋅−⋅=××=×=

Esercizio –cont1

0)( =⋅�∂S

dlr

FFF ×∇+×∇=×∇ ϕϕϕ )()(

� ⋅×⋅∇+=S

xx dsiM niBr )(

uniforme è quando )( ma BBBr =⋅∇

xS

xx iSdsiM iBnniB ⋅×=⋅×+= �

Analogamente si procede per le altre componenti:

B�BnniBM ×=×=⋅×+= � iSdsiS

x

n� iS= è il MOMENTO MAGNETICO di una spira piana

Esercizio –cont2

22 Am11mA1 =⋅=�Nel caso in esame:

Nm sin10sinm Wb10Am1 -4-2-42 ϑϑ =⋅=M

� Bϑ

B�M ×= �

formula valida anche per spire di forme diverse

Che cosa origina l’induzione magnetica B?

Oersted 1819Interazione corrente-ago di una bussola

Correnti stazionarie generano un campo magnetico

Quindi, anche un filo percorso da corrente stazionaria genera una campo magnetico

Pollice dx (i)

Dita dx

(B)

FILO RETTILINEO

i

N

S

i

Pollice dx (B)

Dita dx

(i)

N

S

SPIRA CIRCOLARE

I Legge di Ampere-Laplace

Nel vuoto

30

4 r

did

rlB ×=π

µ

No verifica sperimentale diretta

i

C

rldBP d,

La costante µ0

[ ] [ ][ ][ ] A

Tm0 ==

ILBµ

Considerando l’intero circuito

30

4 r

di

circuito

rlB ×= � πµ

i

C

rldBP,

Induzione magnetica generata da un filo rettilineo infinito percorso da una corrente i

i r

Rl

z

PBd ×

dl

=×= �+∞

∞−3

0

4 r

di

rlBπ

µ

)sin(cos zxr iir ϑϑ −=

zdld il =

ϑϑ

ϑ dR

dlRl2cos

tan =� =

ϑ2

22

cos

Rr =

==×yd

R

R

r

d irl ϑ

ϑ

ϑϑ

2

2

2

3

cos

coscos

ydR

iϑϑcos1

Induzione magnetica generata da un filo rettilineo infinito percorso da una corrente i II

yyy Ri

Ri

dRi iiiB

πµ

πµϑϑ

πµ π

π 22

4cos

400

2/

2/

0 === �+

−

φπµφ iB

Ri

zR2

),,( 0=

Legge di Biot-Savart

La divergenza di B

φπµφ iB

Ri

zR2

),,( 0=zi

==⋅�∂

0),,( dSzR nB φτ

ττ

dB⋅∇�

0=⋅∇ B

Un campo la cui divergenza sia nulla si dice SOLENOIDALE

III EQUAZIONE DI MAXWELL

Potenziale vettore

0=⋅∇ BSe

AB ×∇=

rd

jA �=τ

τπ

µ4

0

poiché 0=×∇⋅∇ A sempre

Osserviamo che:

• Un filo indefinito, percorso da una corrente i, genera un’induzione magnetica:

• Un campo di induzione magnetica Besercita una forza F su un filo percorso da una corrente i:

φπµφ iB

Ri

zR2

),,( 0=

BlF ×= � difilo

Cosa succede allora a due fili paralleli percorsi da correnti, rispettivamente I1 e I2 ?

1I

d

z

2I

Sul filo 2 esiste una forza che vale: =×= �+

−

2/

2/1222

2

2

l

l

dI BlF

x

yId

iB 10

1 2πµ

=Ma

xlIId

iF 2210

2 2πµ

−=

=×=× ��+

−

+

−

2/

2/21

2/

2/12

2

2

2

2

l

lyz

l

l

dlBd iiBl xlB i21−

Quindi la forza per unità di lunghezza:

xIIdl

iFf 210

2

22 2π

µ−==

Forza del I filo sul II

xIIdl

iFf 210

2

21 2π

µ=−=

L’induzione B dovuta alla corrente che scorre nel II filo è diretta lungo –yPertanto:

Forza del II filo sul I

xIIdl

iFf 210

2

22 2π

µ−==

Se le correnti hanno segno opposto la forza fra i due fili diventa repulsiva

Attrazione tra fili che trasportano corrente

Induzione magnetica sull’asse di una spira circolare percorsa da una corrente i

z

Bd

P

I

turu

30

4 r

dId

rlB ×=π

µ

0

a

==⋅� adr

aId z φ

πµ

30

4uB

r

Spira 2

adza

aI φ

πµ

2/3220

)(4 +=

zzza

aI

za

aI iiB

2/322

20

2/322

20

)(22

)(4 +=

+=

µππ

µ

zIa

z iB2

)0( 0µ==

zz SIz

Iaz

az iiB 242

)( 30

30 2

πµµ =≈>>

MAGNETICO DIPOLO DI MOMENTO del Modulo SIm =

zmz

az iB 24

)( 30

πµ≈>>

elettrico dipolo unda generato elettrico campo di linee delle ntocomportame medesimo il hanno

magnetica induzione di linee le distanza, grandea siamo Quando

zm iM =

Spira 3

Induzione magnetica di una spira piana a grande distanza

i

0

z

R

P

r

=−

−×= � 30 )(

4 rR

rRlB di

πµ

≈���

����

� −⋅−−×=−

�

2/3

2

2

30 2

1)(4 R

rdi

R

rRrRlπµ

rR >>

{

}=⋅×−×−

−⋅×+×≈

� �

��

2

230

3

3

4

Rdd

Rddi

RrRrlrl

rRRlRlπµ

Induzione magnetica generata da una spira a grande distanza II

� ��

���

� −⋅×≈ rrRRl23

0 3

4 Rdi

Rπµ

xxR

diR

B urrRRl ⋅��

���

� −⋅×≈ � 230 3

4πµ

La componente x di B vale pertanto:

Applicando il th. di Stokes:

=��

���

� ××∇−××⋅∇⋅≈ � )()()(3

4 230

xxxR

dSiR

B uRuRrRnπµ

=��

���

� +××⋅= � xxR

dSiR

uuRRn 2)(3

4 230

πµ

xR

iSR

unRRn ⋅��

���

� −⋅23

0 )(3

4πµ

In conclusione il campo generato da una spira:

n��RR�B iS

RR=�

�

���

� −⋅≈ dove )(3

4 230

πµ

Campo in una singola spira

LEMANS\helmoltz.htm

Campo di un dipolo

LEMANS\dipole1.htm

pE

MB

24

1)(

24

)(

30

30

zaz

zaz

πε

πµ

≈��

≈��

Spira 4