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Studio delle funzioni di più variabili Studio delle funzioni di più variabili

(Esercizi)(Esercizi) Applicazioni in economia

Tipologia di problemiTipologia di problemi

Per una funzione di più variabili ha senso

effettuare:

Lo studio del dominio

Il calcolo delle derivate prime e seconde

La ricerca dei massimi e dei minimi

Lo studio del dominioLo studio del dominio

Tale funzione ha senso se il denominatore è diverso da zero.

222 909 xyyx

Esempio 1 (Libro ‘Matematica.rosso’ 2013 – Zanichelli; Pag. 1153, n 88).

yx

yxz

2

xyyx 0

Esempio 2 (Libro Pag. 1153, n 91).

922

yx

yxz Anche tale funzione ha senso se il denominatore è diverso da zero.

Si ricerca l’insieme dei valori possibili delle variabili indipendenti per cui la funzione è definita.


2

2

2

2

02

02

02x

x

x

yy

y

xy

yx

yx

yx


222

1

yx

x

xyz

2

2

2

2

2

2 2

02

0

02

yx

xy

xy

xy

yx

xy


yxz

2

5

Il denominatore deve essere diverso da zero e l’argomento

della radice maggiore o uguale a zero.


L’argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero. 14ln xyz

14014 xyxy



2 yxz Gli argomenti delle due radici devono essere

entrambi maggiori o uguali a zero.

2

0

02

0

y

x

y

x


Esempio 7 (Funzione con più di due variabili indipendenti).

L’argomento della radice

deve essere maggiore o

uguali a zero.

2

449

3

2

1

2

43

2

1

094 xx

x

x

xx

x

x

2

43214321 94),,,( xxxxxxxxfz

Il calcolo delle derivateIl calcolo delle derivate

24463 3322 xyxxyxyz



122 yxyxz Effettuiamo il calcolo delle derivate prime e seconde

yxz

yxz

y

x

2

2

0

2

2

yxxy

yy

xx

zz

z

z

22

232

12123

12863

yxxyxz

xxyyyz

y

x

2

2

3

24123

2412

248

xyyzz

yxxz

xyz

yxxy

yy

xx


4

22

x

yxz



yxz 24

yxz

yx

xz

y

x

2

2

42

1

4

4

32

32

32

4

2

44

1

4

4

yx

xzz

yx

z

yx

yz

yxxy

yy

xx

4

24

82

22

x

yz

x

yxxz

y

x

2

3

2

4

2

4

24

162

x

yzz

xz

x

yz

yxxy

yy

xx


yxez 2



2

2yyz

2

2

2

1

0

yy

x

y

yz

z

0

4

1

0

3

2

2

yxxy

yyy

xx

zz

y

z

z

yx

y

yx

x

ez

xez2

2

2

yx

yxxy

yx

yy

yx

xx

xezz

ez

exz

2

2

2

2

24 2


Esempio 7 (Funzione con più di due variabili).

43214321 ),,,( xxxxxxxxfz

011

xxf

321xf xx

231xf xx

041

xxf

321xxfx

312xxfx

213xxfx

14xf

312xf xx

022

xxf

132xf xx

042

xxf

213xf xx

123xf xx

033

xxf

043

xxf

014

xxf

024

xxf

034

xxf

044

xxf

Per le funzioni di n variabili esistono n derivate prime ed nn derivate seconde, di

cui n pure (lungo la diagonale della matrice, segnata in rosso) ed n(n-1) miste.

La ricerca dei Massimi e minimiLa ricerca dei Massimi e minimi

I passi per la ricerca dei massimi e dei minimi sono:

1. Calcolo delle derivate prime f ’x e f ’y;

2. Ricerca dei punti in cui si tali derivate di annullano:

f ’x = 0 ed f ’y= 0;

3. Calcolo delle derivate seconde f ”xx , f ”yy , f ”xy , f ”yx e

dell’Hessiano in corrispondenza di tali punti candidati:

H(x,y) = (f ”xx)(f ”yy) – (f ”xy f ”yx);

4. Distinzione tra punti di massimo, minimo, di sella oppure

di non riconoscibilità, tramite il valore dell’Hessiano e

della derivata seconda f ”xx.


),( yxfz

0,

0,

yxf

yxf

y

x

nP

P

P

...

2

1

Punti

candidati

2xyyyxxyxxyyyxx

yyyx

xyxxfffffff

ff

ffH

H > 0 e f ”xx < 0 → P è punto di massimo relativo

H > 0 e f ”xx > 0 → P è punto di minimo relativo

H < 0 → P è punto di sella

H = 0 → nulla si può dire

Casi possibili:

Calcolo dell’Hessiano nei punti candidati:

nPH

PH

PH

...

2

1

Per il teorema di Schwarz



23 6124 yxyxz

yxz

yxz

y

x

1212

1212 2

1,0

1,000

01212

01212

21

21222

yy

xx

xy

xx

xy

xy

yx

yx

1,1

0,0

2

1

P

P

12

12

24

yxxy

yy

xx

zz

z

xz

Esistono due punti candidati ad essere di max o min:

Dopo aver calcolato le derivate prime e seconde imponiamo l’annullamento

delle derivate prime, così da ricercare i punti che hanno piano tangente

orizzontale, cioè che si trovano su di una cresta della superficie della funzione:



12144121224),(22

xxzzzyxH xyyyxx

Il punto P1 è di sella poiché ha l’Hessiano negativo, mentre il punto P2 è di

minimo relativo poiché l’Hessiano è positivo e la derivata seconda nel punto

positiva. Il minimo ha valore Min = -2.

01441,1

01440,0

112 1441,1

102 1440,0

2

1

H

H

H

H

PH

PH

24124241,1 xzxx

1,1

0,0

2

1

P

PIn questi due punti calcoliamo il valore dell’Hessiano:



yxxyz 356

36

56

xz

yz

y

x

63

65

036

056

x

y

x

y

65

63

1 ,P

6

0

0

yxxy

yy

xx

zz

z

z

Esiste un unico punto candidato:

Imponiamo l’annullamento delle derivate prime:

Calcoliamo il valore dell’Hessiano:

36600),(22

xyyyxx zzzyxH

Il punto P1 è di sella poiché ha l’Hessiano negativo.

Non esistono quindi punti massimo o di minimo relativo.



yxxyxyz 21066 22

2126

1206

yxz

xyz

y

x

00240260212602126

0120661

6201

6201

6201

x

y

xx

y

x

y

yx

xy x

x

x

61

1 ,0P

6

12

20

yxxy

yy

xx

zz

z

z

Esiste un unico punto candidato:

Imponiamo l’annullamento delle derivate prime:

Calcoliamo il valore dell’Hessiano in tale punto:

2043624061220),(22

xyyyxx zzzyxH

Il punto P1 è quindi di minimo poiché ha l’Hessiano positivo e la derivata

seconda anch’essa positiva. Il valore del minimo relativo è Min = -1/6.

20,061

xxz

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