LE BASI FONDAMENTALI INSIEMI INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali, reali e complessi)...
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LE BASI FONDAMENTALI• INSIEMI• INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali,
reali e complessi)• SISTEMI DI COORDINATE • ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA• FUNZIONI TRIGONOMETRICHE• EQUAZIONI• DISEQUAZIONI• PERCENTUALI
1
INSIEMI
INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi
detti elementi dell’insieme.
Un insieme è definito quando viene dato un criterio
non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto
appartiene o no all’insieme
2
Simbologia
Gli insiemi sono indicati con lettere
maiuscole, eventualmente munite di indici:
A, B, X, Y, A1, A2, B1…
gli elementi degli insiemi con lettere
minuscole, eventualmente munite di indici:
a, b, x, a1, a2, y1 …
3
Rappresentazione di un insieme
Un insieme A si può rappresentare:
• elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme
Esempio: A = {a, b, c, d}
• Indicando la proprietà caratteristicadegli elementi dell'insieme
Esempio: A = {x : x è una lettera dell’alfabeto}
4
I Diagrammi di Eulero-Venn
Servono per rappresentare graficamente un insieme.
Esempio:
a b c d
A
5
Il simbolo di appartenenza:
Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive:
a A
si legge “a appartiene ad A".
Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive:
b Asi legge “b non appartiene ad A".
6
ALCUNI SIMBOLI
contenuto in senso lato contenuto in senso stretto; contenente in senso lato; contenente in senso stretto; U insieme universale insieme vuoto per ogni esiste non esiste ; (oppure :) tale che
implica, segue che deriva, discende da se e solo se (in inglese iff, if and only if)
7
CONFRONTO TRA INSIEMI
Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive:
B A (oppure A B)
e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A"
("A contiene o è uguale a B")
se ogni elemento di B è un elemento di A
b B b A
8
CONFRONTO TRA INSIEMI
Insieme vuoto :
Insieme privo di elementi
(qualunque sia A)
Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive:
oppure
se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se
aA : a B
9
OPERAZIONI TRA INSIEMI
• UNIONE
• INTERSEZIONE
• DIFFERENZA
• COMPLEMENTAZIONE
• PRODOTTO CARTESIANO
10
UNIONE TRA INSIEMI
• L'unione di due insiemi A e B è l'insiemedi quegli elementi che appartengonoad almeno uno dei due insiemi A e B
• L’unione di A e B si scrive:A B = {x : x A e/o x B }
Se A = B A B = ASe A B A B = B
11
UNIONE TRA INSIEMI
• Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
01
23
A B
12
UNIONE TRA INSIEMI
• Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}A B = {0, 1, 2, 3}
01
23
A B
13
INTERSEZIONE TRA INSIEMI
• L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B
• L'intersezione di A e B si scrive:A B = {x : x A e xB }
Se A = B A B = ASe A B A B = ASe A B = A e B si dicono disgiunti.
14
INTERSEZIONE TRA INSIEMI
Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
A B
01
23
15
INTERSEZIONE TRA INSIEMI
Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}A B = {1, 2}
A B
01
23
16
DIFFERENZA TRA INSIEMI
• La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B:
• La differenza di A e B si scriveA B = A \ B = {x : x A e x B }
Se A = B A \ B =Se A B A \ B =
17
DIFFERENZA TRA INSIEMI
Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
01
23
A B
18
DIFFERENZA TRA INSIEMI
Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}A \ B = {0}
01
23
A B
19
DIFFERENZA TRA INSIEMI
Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}B \ A = {3}
01
23
A B
20
INSIEME COMPLEMENTARE
• Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universale.
• sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: CUA =A’ =U \ A = {x : x U e x A }
21
INSIEME COMPLEMENTARE
• EsempioU = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}
0 3 5 1 2
UA
22
INSIEME COMPLEMENTARE
• EsempioU = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}CUA =U \ A = {0, 3, 5}
0 3 5
UA
1 2
A
23
PRODOTTO CARTESIANO
• Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y) (y,x)
• Dati due insiemi A e B, l’insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B
A B = {(x, y) : x A, y B} 24
PRODOTTO CARTESIANO
Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4}
A B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
B A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}
25
ESERCIZI
• Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}
• Calcolare:A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A B = {2, 4}
A \ B = {1, 3, 5}B \ A = {6}
26
INSIEMI NUMERICI
• NATURALI
• INTERI O RELATIVI
• RAZIONALI
• IRRAZIONALI
• REALI
• COMPLESSI
27
I NUMERI NATURALIN={1, 2, 3, 4, 5,…..}
• Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune operazioni.
• Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni:1) Addizione 2) Moltiplicazione3) Relazione di “minore o uguale”
(m<n (se e solo se) p N: m+p=n)
28
I NUMERI NATURALI• m, n, p N Le operazioni di addizione e
moltiplicazione godono delle proprietà:- Associativa:
(m + n) + p = m + (n + p)(m • n) • p= m • (n • p)
- Commutativa:m + n = n + mm • n = n • m
- Distributiva:m • (n + p)= m • n + m • p
- Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione: 1 N: 1 • m = m
29
I NUMERI INTERI• L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto
all’addizione e alla moltiplicazione.• Non è però chiuso rispetto alla sottrazione: sistema algebrico dei numeri interi.
Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …}
Z+ = {+1, +2, +3, …} = NZ- = {-1, -2, -3, …} Z = Z+ Z - {0}
30
I NUMERI INTERI
Valgono le proprietà 1), 2) e 3) e inoltre:
4) Esiste l’elemento neutro dell’addizione:
0 Z : x + 0 = x, xZ
5) Esiste l’opposto:
xZ, y Z : x + y = 0,
6) Chiuso rispetto alla sottrazione:
x – y = x + (-y)31
I NUMERI RAZIONALI
• PROBLEMA:Dati due numeri x,yZ non è sempre possibile trovare un numero q Z : x • q = y ovveroZ non è chiuso rispetto alla divisione
Q= {q = x/y : xZ, yZ\{0}}
• ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale.
32
NUMERI RAZIONALI
• Q è denso:
q1, q2 Q, q Q : q = (q1+ q2)/2
0-2 -1 321
• N e Z sono discreti:
33
NUMERI REALI
• PROBLEMA:
non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 !
• Numeri reali: R = Q dove è l’insieme dei numeri irrazionali
Ie,,2
34
NUMERI REALISupponiamo per assurdo che esista un numero razionale del tipo p/q (p e q primi tra loro) tale che:
p2/q2=2p2=2 q2
p è pari, p = 2k22 k2 = 2 q2
2 k2 = q2
ma allora anche q è pari contro l’ipotesi che p e q sono primi tra loro.
35
NUMERI REALI
• L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, :
Questo significa che la somma (la differenza, il prodotto e il quoziente) di 2 numeri reali è un numero reale.
Non vale il viceversa!
36
NUMERI COMPLESSI
• Sia , x non può essere un numero reale perché il quadrato di un numero reale non può essere uguale ad un numero reale negativo.
• Si definisce unità immaginaria il numero i il cui quadrato è uguale a – 1:
37
1xx
12 i
NUMERI COMPLESSI
• Un numero non reale (complesso) z può essere scritto nel seguente modo:
• L’insieme dei numeri complessi viene indicato con C e risulta chiuso rispetto alle operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione.
38
biaz
NUMERI COMPLESSI• Siano dati due numeri complessi
• SOMMA:
• DIFFERENZA:
• PRODOTTO:
39
biaz dicv
idbcaidcibavz )()()()(
idbcaidcibavz )()()()(
icbdadbca
idbicbidacaidcibavz
)()(
)()( 2
NUMERI COMPLESSI
Si definisce numero complesso coniugato del numero complesso , il numero:
• Il prodotto tra il numero complesso v e il suo complesso coniugato è dato dal numero reale (chiamato modulo di v):
40
dicv v
v
vdcdicdicvv 22)()(
NUMERI COMPLESSI
• QUOZIENTE:
41
iv
dacb
v
dbca
idc
dacb
dc
dbca
idc
idc
idc
ibaidcibavz
2222
)()(
GLI INSIEMI NUMERICI
• Sussiste una precisa relazione di inclusione:
N Z Q R C
42
RELAZIONI e CORRISPONDENZE
Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano:
R X x Y = (x,y): xX, yYL’insieme costituito dai primi (secondi)
elementi delle coppie viene chiamato dominio (codomino). Se il dominio coincide con X, la relazione viene denominata Corrispondenza.
43
FUNZIONE
Una funzione è una corrispondenza tale che se comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y.
Noi consideriamo X, Y R , cioè funzioni reali di una variabile reale.
44
RELAZIONE TRA 2 INSIEMI
•
12
3
1
2
34
Y
X
45
FUNZIONE TRA DUE INSIEMI
12
3
1
2
34
YX
4
46
SISTEMA DI COORDINATE ASCISSE SOPRA UNA RETTA
Sia data una retta r, si fissi:
1) Un verso positivo di percorrenza
2) Un punto O detto Origine
3) Un segmento u detto unità di misura
O
ur- r+ r
47
ASSE DELLE ASCISSE• Preso un punto P sull’asse delle ascisse,
a P si può sempre associare xPR, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo). xP è chiamata ascissa di P
• Viceversa, xP R ! P r : x= xP .
• Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta.
48
SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO
Date 2 rette r1 e r2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna:
1) Un verso positivo di percorrenza2) Una unità di misuraSi ottiene così un sistema di riferimento
cartesianoOrtogonale / obliquo Monometrico / dimetrico
49
COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO
• Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x,y)
I
(+ , +)
II
(- , +)
III
(- , -)
IV
(+ , -)50
ESEMPIO
2
1P=(2,1)
P=(-2,-1)
-2
-1
3P=(-2,3)
P=(2,-2)-2
51
GEOMETRIA ANALITICA:LA RETTA
• Si consideri il seguente grafico:
• I punti sulla retta hanno coordinate:
52
B
P
A
C R
O x
y
1A 1P 1B
2P
2A
2B
),(,, yxPyxByxA BBAA
GEOMETRIA ANALITICA:LA RETTA
• Dalla similitudine dei due triangoli ACB e ARP si ha (geometricamente):
• Sostituendo ai lati dei triangoli le misure algebriche si ha:
53
AC
CB
AR
RP
AB
AB
A
A
xx
yy
xx
yy
GEOMETRIA ANALITICA:LA RETTA
• Ponendo:
• Si ottiene l’equazione della retta in forma implicita (o generale):
54
AB yya
)( AB xxb
ABBA xyxyc
0 cbyax
55
56
LE CONICHE
57
LA CIRCONFERENZA
• L’equazione della circonferenza di centro
• e raggio r è data da:
• Dove i coefficienti sono dati da:
• Se C=O l’equazione assume l’espressione:
58
CC yxC ,
022 yxyx
Cx2 Cy2222 ryx CC
222 ryx
GRAFICO DELLA CIRCONFERENZA
59
52.50-2.5-5
2.5
0
-2.5
-5
-7.5
-10
x
y
x
y
C
L’ELLISSE
• L’equazione dell’ellisse con fuochi
•
• e gli assi lunghi a e b è espressa da:
• dove a > c e dove
60
0,0, 21 cFcF
12
2
2
2
b
y
a
x
222 cab
GRAFICO DELL’ELLISSE
61
1F 2F O
P
x
y
A
B
C
D
L’IPERBOLE
• L’equazione dell’iperbole con fuochi
•
• e gli assi lunghi a e b è espressa da:
• dove a < c e dove
62
0,0, 21 cFcF
12
2
2
2
b
y
a
x
222 acb
GRAFICO DELL’IPERBOLE
63
C AO
P
2F1F x
y
IPERBOLE EQUILATERA• Se a=b l’equazione l’iperbole viene
denominata equilatera e la sua equazione è:
• Se si ruota il grafico di 45° in senso antiorario in modo che i fuochi stiano sulla bisettrice del primo e terzo quadrante si ha:
• ovvero
64
222 ayx
2
2axy kxy
GRAFICO DELL’IPERBOLE EQUILATERA
65
543210-1-2-3-4-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
1F
2F
LA PARABOLA• L’equazione della parabola con il vertice
nell’origine, il fuoco di coordinate (0, c) con c>0 e la direttrice di equazione y=-c
• è espressa da:
• Se il vertice non coincide con l’origine degli assi e la direttrice è sempre parallela all’asse x l’equazione assume la forma:
66
2
4
1x
cy
212
0 axaxay
GRAFICO DELLA PARABOLA
67
R
F
P
Od
ANGOLO
• Prendiamo due semirette a e b aventi la stessa origine, il piano resta diviso in due parti, ciascuna delle quali viene detta angolo.
68
ANGOLO ORIENTATO
• Verso positivo di rotazione antiorario
+ a
b
-a
b69
ARCO
• La parte di circonferenza compresa tra i lati dell’angolo.
A
B
70
O
SISTEMI DI MISURA DI ANGOLI
• SESSAGESIMALE:
grado sessagesimale = la 360a parte dell’angolo giro.
• RADIANTE
71
RADIANTE
• L’angolo al centro che insiste su un arco che rettificato ha lunghezza pari al raggio.
72
Misura in radianti di un angolo
• È uguale alla misura dell’arco diviso il raggio:
• Angolo giro = 2r / r = 2• Angolo piatto = r / r = • Angolo retto =
73
Misura in radianti di un angolo
0
/4
/4)
/2
74
Misura in radianti di un angolo
0
/6
/2
75
Misura in radianti di un angolo
• Per passare dal sistema sessagesimale a quello radiante:
360 : 2 = s : r
Ex: 360 : 2 = : r
r = 76
Le funzioni trigonometriche: seno e coseno
A
y
P
HOx
r
ry
rHP Psin
rx
rOH Pcos
77
La funzione:Tangente trigonometrica
•
A
y
P
HO
r
T
r
y
r
AT Ttan
cos
sintan
78
f(x) = sin (x)
A=(1,0)
y
x
/2
/2)
2 x
y
-/2
/2
/2)
1
-1
79
P
HO 0
Funzione seno
• Dominio R
• Codominio [-1, 1]
• Periodica di periodo 2
80
y = cos (x)
x
y
-/2
/2 /2) x
/2
/2)
A=(1,0)
y
x2
81
P
HO 0
Funzione coseno
• Dominio R
• Codominio [-1, 1]
• Periodica di periodo 2
82
y = tan (x)
x
y
-/2 /2 /2)A
y T /2
/2)
2O 0
83
P
H
Funzione tangente
• Dominio = R \ /2 + k k Z
• Codominio = R
• Periodica di periodo
84
Relazione tra seno e coseno
sin2(x) + cos2(x) = 1
)(cos1)sin( 2 xx
)(sin1)cos( 2 xx
85
Relazione tra seno e coseno• Esempi:
cos (x) = ½ x [0, /2]
2
32/11)sin( 2 x
2
2
4
21)cos( x
],2
[2
2)sin(
xx
86
Relazione tra seno, coseno e tangente
• sin2(x) + cos2(x) = 1
)(cos
1)(tan1
22
xx
)(tan1
1)(cos
22
xx
)(tan1
1)cos(
2 xx
87
Valori in archi particolari : /6
2
1)
6sin(
2
3)
6cos(
3
1)
6tan(
88
Valori in archi particolari: /3
2
3)
3sin(
2
1)
3cos(
3)3
tan(
89
Valori in archi particolari: /4
2
2)
4sin(
2
2)
4cos(
1)4
tan(
90
COORDINATE POLARI
• P ha coordinate cartesiane (1, 1)
Le coordinate polari di P sono:
Nell’esempio:91
O
P
1P
2P
x 1Px
1Py
4
2
y
)4
,2(,
OP POxasse ˆ
COORDINATE POLARI
• Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto:
• si osservi che:
92
cosx siny
22 yx
COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
• Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente reale dell’unità immaginaria.
93
O
P
1P
2P
x axP
y
byP
COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
• Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha:
94
)sin(cossincos iiibaz
O
P
1P
2P
x axP
y
byP
COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
• Dato il numero complesso z:
e il numero complesso v :
Il prodotto tra z e v è:
95
)sin(cossincos iiibaz
)sin(cossincos iiidcv
)sin()cos(
sincoscossinsinsincoscos
)sin(cos)sin(cos
i
i
iivz
COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
• In particolare se z=v si ottiene:
e in generale:
detta Formula di De Moivre.
96
2sin2cos22 iz
ninz nn sincos
CALCOLO LETTERALE
• Perché?
È opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri.
97
POTENZE
• Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza n-esima di a
an = a • a • … • a n volte
Esempio:
32 = 3 • 3
(-2)2 = (-2) • (-2) = 4
(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8
98
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
Dati a, b R, m, n N
• a n + m = a n a m,
• a -n = 1 / a n
• a n - m = a n: a m, n m, se n = m, a 0
• (a:b) n = a n: b n, b 0
• (ab) n = a n b n,
• (a n) m = a n m,
• a 0= 1,99
ESERCIZI
32 • 33= 35 34 : 33= 31 ((2)3)2= (2)6
(5 • 2)2 : 50 = (5)2 •(2)2
(8)0=13-4 = 1 / 34
(- 2)2 •(-2)3 = -32
100
RADICALI
• Si dice radice n-sima (n N) del numero reale a il numero b tale che bn = a. Si scrive: nb a
mn mna a
La radice ennesima (n N) della potenza am si scrive:
101
PROPRIETA’ DEI RADICALI
m
kn km na a
0n
nn
a ab
bb
mn m na a
m nm n a a
n nm n ma b a b
nnn abba
102
ESERCIZI
34 3 4a a
2 23 2 32 3 2 3
33
3
5 5
44
3 62 a a
54 5 4a a
1
33
15
5
333 842
103
• ADDIZIONE• SOTTRAZIONE• PRODOTTO
PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è
possibile stabilire il risultato con pochi calcoli
• DIVISIONE
OPERAZIONI TRA POLINOMI
104
DIFFERENZE DI QUADRATI
(x + y) • (x - y) = (x2 - y2)
Esempi:
(2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2)
(2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2)
(9x2y2 – 4a2b2) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab)
(x-3)4 – 81 = [(x –3)2 –9] • [(x –3)2 +9] =
[(x –3) –3] [(x –3) +3] • [(x –3)2 +9]
105
QUADRATO DI UN BINOMIO
(x + y)2= x2 + 2xy + y2
(x - y)2= x2 - 2xy + y2
Esempi:
(a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2
(a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2
((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4
106
CUBO DI UN BINOMIO
(x + y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x - y)3= x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
Esempi:
(2x - y)3= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3
(3x + y)3= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3
(x3 - 5y)3= x9 - 15x6y + 75x3y2 - 125y3
107
SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI
(x3 + y3)= (x + y) • (x2 - xy + y2)
(x3 - y3)= (x - y) • (x2 + xy + y2)
Esempi:
(8x3 + y3)= (2x + y) • (4x2 - 2xy + y2)
(27x3 - 8y3)= (3x - 2y) • (9x2 + 6xy + 4y2)
(x - 2)3 + y6= [(x - 2) + y2)] • [(x - 2)2 -
(x - 2) y2 + y4)]108
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
• Mediante l’uso dei prodotti notevoli
• Raccoglimenti a fattore comune:
Esempio:
6ab + 2a3c - 8ab = 2a (3b + a2c – 4b)
• Raccoglimenti parziali successivi:
Esempio:
9a2b3 - 3a3b2 + 6bc - 2ac = 3a2b2 (3b-a) + 2c (3b - a) = (3b - a) (3a2b2 +2c)
109
DIVISIONE TRA POLINOMI• Prenderemo in considerazione solo polinomi in
una variabile
• Siano P1 e P2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P1 maggiore o uguale al grado di P2 .
• Esistono allora due polinomi Q ed R tali che:
P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.
110
ESEMPIO
2x5 + 0 x4 – 3 x3 + 0 x2 + x + 1 x3 – x2 +12x5 – 2 x4 + 2 x2
2 x4 – 3 x3 - 2 x2 + x + 1 2 x4 – 2 x3 +2
x – x3 - 2 x2 - x + 1 – x3 + x2 - 1
2 x2 +2 x -1
- 3 x2 - x + 2
(2x5– 3 x3 + x + 1) : ( x3 – x2 +1)
111
ESEMPIO
(2x5 – 3 x3 + x + 1) = (2 x2 +2 x – 1) • (x3 – x2 +1) + (- 3 x2 - x + 2)
P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.
N.B. P1 è divisibile per P2 se il resto è uguale a zero.
112
ESEMPIO:
(20 x4 – 14 x3 + 40 x - 32) : (4x2 + 2x - 4)
20 x4 + 10 x3 - 20 x2
– 24 x3 + 20 x2 + 40 x - 32 5x2 -6x + 8
– 24 x3 - 12 x2 + 24 x
32 x2 + 16 x - 32 32 x2 + 16 x - 32
\\ \\ \\
20 x4 – 14 x3 + 0 x2 + 40 x - 32 4x2 + 2x - 4
113
REGOLA DI RUFFINI
• Divisione di un polinomio per un binomio
• Sia P1(x) un polinomio di grado n e P2(x) un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed il resto è di grado zero .
P1 (x)= (x±a) P2 (x)+ R
114
REGOLA DI RUFFINI
Coefficienti P1(x)
±a
Coefficienti e termine noto P2(x)
Termine noto P1(x)
Resto
115
ESEMPIO
(x2 - 1) : (x + 2)
x2 - 1 = (x + 2) (x –2) + 3
1
-2 -2
1 -2
4
3
0 -1
116
REGOLA DEL RESTO
• Il resto della divisione di un polinomio P1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il valore che P1 assume per x = - a
R= P1(-a)
Esempio:
(x2 - 1) : (x + 2)
P1(-2) = 3117
OSSERVAZIONE• Se P1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un divisore
del termine noto di P1 e b è un divisore del termine di grado massimo di P1.
• Nell’esempio precedente:P1(x)=(x2 - 1) si verifica con i divisori del termine noto: +1 e –1:
P1(+1) = 0
quindi P1 è divisibile per (x - 1)
P1(-1) = 0
quindi P1 è divisibile per (x + 1)118
ESEMPIO
x3 + 3 x2 - 7x – 6 = (x -2) (x2+5x+3)
P1(x) = x3 + 3 x2 - 7x – 6
P1(±1) 0
P1(2) = 0
2
1 3 -6-7
10 6
1 5 3 0
2
119
EQUAZIONI
• Prendiamo in considerazione le funzioni reali in una variabile reale
• Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile
f(x) = g(x)
• La variabile è detta incognita dell’equazione120
SOLUZIONI • I particolari valori di x per cui questa è verificata
sono detti soluzioni dell’equazione
• Le soluzioni vanno cercate nell’intersezione dei domini delle due funzioni.
• Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x.
• Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile
• Equazione possibile quando esiste un numero finito di valori di x che la soddisfano
121
EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
• Si dice equazione (algebrica) di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo:
a x + b = 0 con a, b coefficienti numerici , a 0.• Per cercare la soluzione si isola il termine che contiene
l’incognita e si divide per il coefficiente di x:ax=-b (ax)/a=-b/ada cui il valore dell’incognita che risolve l’equazione è:x = - b / a Esempio:
2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3 / 2
122
EQUAZIONI DI 2o GRADO
• Si dice equazione (algebrica) di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo:
a x2 + b x + c = 0
con a, b, c coefficienti numerici e a 0.
SPURIA: a x2 + b x = 0
x(a x + b) = 0
x = 0 x = - b / a
PURA: a x2 + c = 0
cx
a
123
COMPLETAa x
2 + b x + c = 0
> 0 2 soluzioni reali e diverse 2
1,24
2
b b acx
a
= 0 2 soluzioni reali e coincidenti
nessuna soluzione in R (le 2 soluzioni appartengono all’insieme dei numeri complessi)
124
ESEMPI
2 x2 - 7 x + 3 = 0
= 49 – 24 > 0
4
572,1
x
x1=1/2 x2=3
125
ESEMPI
25x2 + 10x +1 = 0
= 25 – 25 = 0
1,25 1
25 5x
x2 - 3 x + 8 = 0
= 9 – 32 < 0
non ha soluzioni in R.126
RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI
a x2 + b x + c = 0
2 20b c
x x x sx pa a
2 2
1 24 4 2
2 2 2
b b ac b b ac b bs x x
a a a a
2 2 2 2
1 2 2
4 4 4
2 2 4
b b ac b b ac b b ac cp x x
a a aa
127
ESERCIZI
• Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4 ed il cui prodotto sia p = - 5:
assumendo a = 1 si ottiene x2 + 4 x - 5 = 0
x1 = 1 x2 = -5• Determinare a meno di un coefficiente di
proporzionalità l’equazione di 2o grado le cui soluzioni hanno per somma e prodotto i valori s= -3/10 p = -1/10
x2 + (3/10) x - 1/10 = 0
128
FATTORIZZAZIONE
a x2 + b x + c = 0
> 0 a · (x - x1) · (x - x2)
2) = 0 a · (x - x1)2
non è possibile in R
129
IL SEGNO DEL TRINOMIO
130
Caso 1 ( 2121 ,, xxRxx )
1x 2x
0)( 22 xp
asignxpsign ))(( 2
asignxpsign ))(( 2 asignxpsign ))(( 2
0)( 12 xp
IL SEGNO DEL TRINOMIO
131
Caso 2 ( 2121 ,, xxRxx )
21 xx asignxpsign ))(( 2 asignxpsign ))(( 2
0)()( 2212 xpxp
IL SEGNO DEL TRINOMIO
132
Caso 3 ( Rxx 21, )
asignxpsign ))(( 2
IL SEGNO DEL TRINOMIO
133
“Il polinomio di secondo grado cbxaxxp 2
2 )( assume valori che hanno lo stesso segno del coefficiente a del termine 2x , all’esterno dell’intervallo delle radici. Il polinomio assume valori che hanno segno opposto rispetto al coefficiente a del termine 2x , all’interno dell’intervallo delle radici”.
DISEQUAZIONI
• Si dice disequazione una disuguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile che vi compare:
f(x) g(x)
f(x) g(x)
f(x) g(x)
f(x) g(x)
134
SOLUZIONI
• Le soluzioni vanno cercate nell’insieme:I = D(f) D(g)
• Possibile: un sottoinsieme di valori dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x < 1)
• Identicamente verificata: tutti i valori dell’insieme I verificano la disequazione (ex: x2 +1 > 0)
• Impossibile: nessun valore dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x2 + 2 < 0)
135
ESEMPIO
-2x > 24
x < -12
136
28
3x
INTERVALLI DELLA RETTA
• Siano a e b due numeri reali (che possono essere interpretati come coordinate ascisse sulla retta reale) e si supponga a < b. Si possono definire i seguenti intervalli reali di estremi a e b:
• [ a , b ] ={xR: a x b} chiuso• ] a , b ] ={xR: a < x b}=( a,b] chiuso a destra• [ a , b [ ={xR: a x < b}=[a,b) chiuso a
sinistra• ] a , b [ = {xR: a < x < b} = ( a , b ) aperto
137
INTERVALLI DELLA RETTA
• ] - , b ] = {xR: x b} = ( - , b ]
• ] - , b [ = {xR: x < b} = ( - , b )
• [ a , + [ = {xR: x a} = [ a , + )
• ] a , + [ = {xR: x > a} = ( a , + )138
DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO
a x+b >0 con a e b numeri reali e a 0.
Per ottenere le soluzioni reali (esistono sempre!),
Si isola il termine che contiene l’incognita x :
ax>-b
Si dividono entrambi i membri per il coefficiente a
x>-b/a se a>0
x<-b/a se a<0
139
DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
• a x2 + b x + c > 0
a, b, c reali, a 0
Per risolvere una qualunque disequazione algebrica di secondo grado basta applicare il teorema sul segno del trinomio di secondo grado.
140
ESEMPIO
• 4 x2 + 12 x + 9 > 0
= 36- 36 = 0
1,26 3
4 2x
• S = xR \ {-3/2}
141
ESEMPIO
3 x2 + 5 x – 2 < 0
= 25 +24 = 49 > 0
1,25 49
6x
x1 = -2 x2= 1/3S = {xR: -2 < x < 1/3}
142
ESEMPIO
3 x2 + 5 x – 2 > 0
= 25 +24 = 49 > 0
1,25 49
6x
x1 = -2 x2= 1/3S = {xR: x< -2 } {xR: x> 1/3}
143
ESEMPIO
3 x2 - x + 2 < 0
= 1 – 24 < 0
S={}
144
DISEQUAZIONI FRATTE
• I = D(f) D(g) {xR: g(x) 0}
1) Studio segno numeratore
2) Studio segno denominatore
3) Uso regola segni
4) Determinazione dell’insieme nel quale la disequazione è verificata
( )0
( )
f x
g x
145
ESEMPIO
40
3
x
x
(x - 4) +--
(x + 3) + +-
+ +-
-3 4
146(x - 4)/(x+3)
Continuazione ESEMPIO
S = {xR: x < -3} {xR: x > 4}
N.B. I = {xR: x 3}
147
SISTEMI DI DISEQUAZIONI
• Insieme di due o più disequazioni di cui si vogliono determinare le soluzioni comuni.
• La soluzione si ottiene trovando l’insieme intersezione degli insiemi che risolvono ciascuna disequazione:
• S = S1 S2 … Sn
• se S = {} allora il sistema è impossibile
148
ESEMPIO
2 1 0
3 0
x
x
S = x {xR: (-½) < x 3}
-1/2 3
(x – 3)
(2x + 1)
149
FUNZIONE ESPONENZIALE
Si chiama funzione esponenziale in base a, a R+ \ {1}, la funzione f : R R+:
f(x)=ax
N.B. per a = 1 avremmo il caso banale f(x)=1x
y
x
1
CASO a > 1 f(x)=ex
y
x
x y
-1 1/e
1 e
0 1
-2 1/e2
2 e2
0
1
-1
1/e
-21/e2
1
e
2
e2
CASO a > 1 confronto tra basi diverse
y
x-2 1 2-1
y = ex
y = 2x
x y
-1 1/2
1 2
0 1
-2 1/22
2 22
y = 2x
CASO a > 1
• Dominio R
• Codominio R+
• Passa per (0,1)
• Monotona crescente
• Se la base aumenta è più ripida
CASO a < 1 f(x)=(1/e)x
y
x
-1 e
1 1/e
0 1
-2 e2
2 1/e2
x y
-2
e2
-1
e
0
1
1
1/e
2
1/e2
CASO a < 1 confronto tra basi diverse
y
x
x y
-1 2
1 1/2
0 1
-2 22
2 1/22y = (1/e)x
y = (1/2)x
y = (1/2)x
-2 1 2-1
CASO a < 1
• Dominio R
• Codominio R+
• Passa per (0,1)
• Monotona decrescente
• Se la base aumenta è meno ripida
LOGARITMI
Siano a un numero reale positivo, a 1,e b un numero reale positivoallora esiste un numero reale c tale che:
ac = bTale numero c si dice logaritmo in base a di be si indica con il simbolo:
c=logab
NB
log logb baaa b a b
ESEMPI
log28 = 3
log22 = 1
log51 = 0
log(1/3)3 = -1
log381 = 4
log1010000 = 4
log2(1/4) = - 2
Esercizi
Determinare la base:
logx7 = -1x = 1/7
logx49 = 2x = 7
logx(1/1000) = -3x = 10
logx(41/3) = -2/3
x = ½
BASI DEL LOGARITMO
• Le due basi più usate sono la base 10 e la base “e” (dove “e” è il numero di Eulero,
e = 2,7182….)
• Per indicare il logaritmo in base 10 si usa il simbolo “Log”
• Per indicare il logaritmo in base “e” si usa il simbolo “ln” (logaritmo neperiano).
FORMULA PER IL CAMBIAMENTO DI BASE
• Supponiamo di voler passare dalla base a alla base d,
log ( )log ( )
log ( )d
ad
cc
a
a,d R+ \ {1} c R+
ESEMPI
3og(10) 1
og (10)og(3) og(3)
Ll
L L
22
4ln( ) 2
og ( )ln(4) ln(4)
el e
3og(5)
og (5)og(3)
Ll
L
PROPRIETA’ DEI LOGARITMI
• PROPRIETA’ DEL PRODOTTO
• PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE
• PROPRIETA’ DELLA POTENZA
PROPRIETA’ DEL PRODOTTO:
Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi:
loga(x1 · x2 )= loga x1 + loga x2
a R+ \ {1} x1, x2 R+
Esempio: loga(3 · 4 )= loga 3 + loga 4
PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE:
Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi del dividendo e del divisore:
loga(x1 : x2 )= loga x1 - loga x2
a R+ \ {1} x1, x2 R+
Esempio: loga(8 : 3 )= loga 8 - loga 3
PROPRIETA’ DELLA POTENZA:
Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base:
loga(x= loga x
a R+ \ {1} x R+ R
Esempio: loga(2= loga 2
ESERCIZIO
1+3 Log (a) + ½ [Log (a+b) - Log (b)] + 1/9 [Log (a) - Log (a+b)] =
Log (10) +Log (a3) + [Log (a+b)½ - Log (b)½ ] + [Log (a) 1/9 - Log (a+b) 1/9 ] =
Log{10 · a3 · [(a+b)½ : (b)½] · [(a) 1/9 : (a+b)1/9]}
FUNZIONE LOGARITMICA
Si chiama funzione logaritmica in base a, aR+\{1}, la funzione f : R+ R:
f(x)=logaxx > 0
E’ la funzione inversa della funzione esponenziale:
x = ay y = logax
Il logax è l’esponente che dobbiamo dare ad a per ottenere x
Caso a > 1 y=ln(x)
x y
1/e -1
e2 2
1 0
e 1
-1
1/e1
e
2
e21
0
y
x
Caso a > 1 confronto tra basi diverse
-1
1
2
1/e
e e2
y = log2x
y = lnx
Caso a > 1
• Dominio R+
• Codominio R
• Passa per (1,0)
• Monotona crescente
• Se la base aumenta è meno ripida
Caso a < 1 y=log(1/e)x
y
x
1
1/e
-1
e
x y
1/e 1
1 0
e -1
10
Caso a < 1 confronto tra basi diverse
y
x
-1
1
1/e
e
y = log(1/e)(x)
y = log(1/2)(x)
Caso a < 1
• Dominio R+
• Codominio R
• Passa per (1,0)
• Monotona decrescente
• Se la base aumenta è più ripida
LE PERCENTUALI
• Il simbolo “ % “ di percentuale si ottiene dal rapporto di due valori e indica l’incidenza della variabile a numeratore sulla variabile a denominatore.
• Ad esempio il rapporto tra il numero di ragazze presenti in una classe e il numero di studenti della classe esprime la quota di femmine sul totale degli studenti.
175
LE PERCENTUALI
• I costi totali di un’impresa sono passati da 75.000€ a 100.000€.
• I ricavi totali (negli stessi 2 anni) sono aumentati passando da 250.000€ a 400.000€
• Calcolare la variazione percentuale dei costi e dei ricavi.
• Calcolare l’incidenza percentuale dei costi sui ricavi nei 2 anni.
176
LE PERCENTUALI
• La variazione percentuale dei costi è data dal rapporto tra la variazione dei costi e il costo iniziale:
(100.000-75.000)/75.000 =33,33%
• La variazione percentuale dei ricavi è data dal rapporto tra la variazione dei ricavi e il ricavo del primo anno:
(400.000-250.000)/250.000 =60%177
LE PERCENTUALI• L’incidenza dei costi sui ricavi in ciascuno dei due
anni è rappresentata dal rapporto delle due quantità:
75.000/250.000 =0,30 =30%
100.000/400.000=0,25=25%• L’incidenza dei costi sui ricavi nei due anni:• (75.000+100.000)/(250.000+400.000)=0,269=26,9%
che non è la media aritmetica (=27,5%) tra 30% e 25%!!!!!!!!!!!
178
LE PERCENTUALI
• GLI SCONTI SUCCESSIVI
• Sul prezzo iniziale di un bene vengono applicati due sconti consecutivi:
e ; ovvero:
uno sconto del 10% sul prezzo iniziale e uno sconto del 20% sul prezzo già scontato del 10%.
• Si vuole determinare lo sconto complessivo.179
€1000 p
%101 s %202 s
LE PERCENTUALI
• Il prezzo dopo il primo sconto è dato da:
• Il secondo sconto si applica a 90€ per cui il prezzo finale diventa:
• Lo sconto complessivo è dunque pari a 28%
180
€90€100*%10€1001 p
€72€90*%20€902 p
LE PERCENTUALI
• Lo sconto complessivo può essere calcolato per esteso nel seguente modo:
• Sconto%
181
€90€100*%10€1001 p
€72%)201%)(101(*100
%)101(*100*%20%)101(*1002
p
%2828,072,01
%)201(*%)101(110
2
0
20
p
p
p
pp
LE PERCENTUALI• Nel caso degli sconti successivi
lo sconto complessivo S, espresso come valore percentuale, sul prezzo iniziale può essere ricavato dalla formula seguente:
182
ksss ...,,, 21
0p
)1(*...*)1(*)1(1 21 ksssS