DEFINIZIONE. Si dicono numeri relativi tutti i numeri interi, razionali e irrazionali dotati di segno (positivo o negativo).DEFINIZIONE. Si dicono numeri relativi tutti i numeri interi, razionali e irrazionali dotati di segno (positivo o negativo).

1 I numeri relativi

1

ESEMPI

Numeri interi relativi

1

4

317

34

1410

3,716 Numeri razionali relativi

3

2 Numeri irrazionali relativi

DEFINIZIONE. I numeri naturali preceduti dal segno + costituiscono l’insieme dei numeri interi positivi; tale

insieme si indica con Z+.

I numeri naturali preceduti dal segno – costituiscono l’insieme dei numeri interi negativi; tale insieme si indica con Z−.

DEFINIZIONE. I numeri naturali preceduti dal segno + costituiscono l’insieme dei numeri interi positivi; tale

insieme si indica con Z+.

I numeri naturali preceduti dal segno – costituiscono l’insieme dei numeri interi negativi; tale insieme si indica con Z−.

L’unione dei numeri interi positivi e negativi forma l’insieme dei numeri interi relativi Z.

1 I numeri relativi

2

DEFINIZIONE. I numeri razionali preceduti dal segno + costituiscono l’insieme dei numeri razionali positivi;

tale insieme si indica con Q+.

I numeri razionali preceduti dal segno – costituiscono l’insieme dei numeri razionali negativi; tale insieme si indica con Q−.

I numeri irrazionali preceduti dal segno + costituiscono l’insieme dei numeri irrazionali positivi; tale insieme si indica con I+.

I numeri irrazionali preceduti dal segno – costituiscono l’insieme dei numeri irrazionali negativi; tale insieme si indica con I−.

DEFINIZIONE. I numeri razionali preceduti dal segno + costituiscono l’insieme dei numeri razionali positivi;

tale insieme si indica con Q+.

I numeri razionali preceduti dal segno – costituiscono l’insieme dei numeri razionali negativi; tale insieme si indica con Q−.

I numeri irrazionali preceduti dal segno + costituiscono l’insieme dei numeri irrazionali positivi; tale insieme si indica con I+.

I numeri irrazionali preceduti dal segno – costituiscono l’insieme dei numeri irrazionali negativi; tale insieme si indica con I−.

Nello stesso modo possiamo dire che:

L’unione dei numeri razionali positivi e negativi forma l’insieme dei numeri razionali relativi Q.

L’unione dei numeri irrazionali positivi e negativi forma l’insieme dei numeri irrazionali relativi I.

Dall’unione di tutti questi insiemi otteniamo un nuovo insieme che prende il nome di insieme dei numeri reali relativi: tale insieme si indica con la lettera R; in simboli: R = Z U Q U I

2 La rappresentazione grafica dei numeri relativi

3

I numeri relativi possono essere rappresentati su una retta:

3 Le caratteristiche dei numeri relativi

4

DEFINIZIONE. Il valore assoluto di un numero relativo è il numero stesso senza segno.DEFINIZIONE. Il valore assoluto di un numero relativo è il numero stesso senza segno.

ESEMPI

7 7

4 4

DEFINIZIONE. Due numeri relativi, in relazione al loro segno, possono essere:

concordi quando hanno lo stesso segno;

discordi quando hanno segno diverso.

DEFINIZIONE. Due numeri relativi, in relazione al loro segno, possono essere:

concordi quando hanno lo stesso segno;

discordi quando hanno segno diverso.

DEFINIZIONE. Due numeri relativi discordi aventi lo stesso valore assoluto si dicono opposti (o simmetrici).DEFINIZIONE. Due numeri relativi discordi aventi lo stesso valore assoluto si dicono opposti (o simmetrici).

ESEMPI

4 e 52

concordi:

32

e 2discordi:

3 Il confronto di numeri relativi

5

PROPRIETÀ.

a)Lo zero è maggiore di qualsiasi numero negativo e minore di qualsiasi numero positivo.

b)Dati due numeri discordi, il numero positivo è maggiore del numero negativo.

c) Dati due numeri concordi positivi, è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore.

d)Dati due numeri concordi negativi, è maggiore quello che ha valore assoluto minore.

PROPRIETÀ.

a)Lo zero è maggiore di qualsiasi numero negativo e minore di qualsiasi numero positivo.

b)Dati due numeri discordi, il numero positivo è maggiore del numero negativo.

c) Dati due numeri concordi positivi, è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore.

d)Dati due numeri concordi negativi, è maggiore quello che ha valore assoluto minore.

Per confrontare due numeri relativi possiamo utilizzare la rappresentazione grafica:

Ad esempio perché lo precede sulla retta orientata.

7

2

13

4

4 L’addizione di numeri relativi

6

DEFINIZIONE. L’addizione è l’operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero, ottenuto contando di seguito al primo tante unità quante ne indica il secondo.DEFINIZIONE. L’addizione è l’operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero, ottenuto contando di seguito al primo tante unità quante ne indica il secondo.

Nel caso dei numeri relativi, una volta individuato il primo addendo occorre tenere presente il segno del secondo.

Primo caso: i due numeri hanno entrambi segno positivo

3 4 7

Secondo caso: i due numeri hanno entrambi segno negativo

2 3 5

4 L’addizione di numeri relativi

7

Terzo caso: il primo numero è positivo e il secondo è negativo

2 4 2

Quarto caso: il primo numero è negativo e il secondo è positivo

3 5 2

4 L’addizione di numeri relativi

8

REGOLE.

La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo che ha lo stesso segno degli addendi e per valore assoluto la somma dei valori assoluti.

La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo che ha lo stesso segno dell’addendo avente valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti.

REGOLE.

La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo che ha lo stesso segno degli addendi e per valore assoluto la somma dei valori assoluti.

La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo che ha lo stesso segno dell’addendo avente valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti.

È facile verificare che:

REGOLA. La somma di due numeri relativi opposti è uguale a 0.REGOLA. La somma di due numeri relativi opposti è uguale a 0.

4 La sottrazione di numeri relativi

9

DEFINIZIONE. La sottrazione è l’operazione che fa corrispondere a due numeri, dati in un certo ordine, un terzo numero che addizionato al secondo dà come risultato il primo.DEFINIZIONE. La sottrazione è l’operazione che fa corrispondere a due numeri, dati in un certo ordine, un terzo numero che addizionato al secondo dà come risultato il primo.

Applicando la definizione possiamo dire che

5 4 9

9 4 5perché

REGOLA. La differenza tra due numeri relativi si ottiene effettuando la somma del primo con l’opposto del secondo.REGOLA. La differenza tra due numeri relativi si ottiene effettuando la somma del primo con l’opposto del secondo.

5 La somma algebrica

10

DEFINIZIONE. Una addizione algebrica è la successione ordinata di addizioni e sottrazioni con i numeri relativi. Il risultato prende il nome di somma algebrica.DEFINIZIONE. Una addizione algebrica è la successione ordinata di addizioni e sottrazioni con i numeri relativi. Il risultato prende il nome di somma algebrica.

ESEMPI

3 5 2 3 Vogliamo calcolare il risultato di

Trasformiamo le sottrazioni in addizioni e scriviamo

3 5 2 3

3 5 2 3 9più sinteticamente:

REGOLA. Per eseguire un’addizione algebrica si deve sopprimere il segno di operazione e togliere le parentesi che racchiudono i numeri relativi con l’avvertenza che:

se eliminiamo il segno di addizione, bisogna scrivere il secondo termine con il suo segno;

se eliminiamo il segno di sottrazione, bisogna scrivere il secondo termine con il segno opposto.

REGOLA. Per eseguire un’addizione algebrica si deve sopprimere il segno di operazione e togliere le parentesi che racchiudono i numeri relativi con l’avvertenza che:

se eliminiamo il segno di addizione, bisogna scrivere il secondo termine con il suo segno;

se eliminiamo il segno di sottrazione, bisogna scrivere il secondo termine con il segno opposto.

6 La moltiplicazione di numeri relativi

11

DEFINIZIONE. La moltiplicazione è l’operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero ottenuto eseguendo l’addizione di tanti addendi uguali al primo numero, quanti ne indica il secondo.

DEFINIZIONE. La moltiplicazione è l’operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero ottenuto eseguendo l’addizione di tanti addendi uguali al primo numero, quanti ne indica il secondo.

REGOLA DEI SEGNI. Il prodotto fra due numeri relativi è un numero relativo che ha:

come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti;

segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi.

REGOLA DEI SEGNI. Il prodotto fra due numeri relativi è un numero relativo che ha:

come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti;

segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi.

+

−

+ −

+

−

−

+

Ad esempio

5 3 15

2 4 8

7 La divisione di numeri relativi

12

DEFINIZIONE. La divisione è l’operazione che fa corrispondere a due numeri, con il secondo diverso da zero, un terzo numero che moltiplicato per il secondo dà come risultato il primo.DEFINIZIONE. La divisione è l’operazione che fa corrispondere a due numeri, con il secondo diverso da zero, un terzo numero che moltiplicato per il secondo dà come risultato il primo.

REGOLA. Il quoziente fra due numeri relativi è un numero relativo che ha:

come valore assoluto il quoziente dei valori assoluti;

segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi.

REGOLA. Il quoziente fra due numeri relativi è un numero relativo che ha:

come valore assoluto il quoziente dei valori assoluti;

segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi.

ESEMPIO

12 : 3 4 perché

4 3 12

20 : 5 4 perché

4 5 20

18 : 2 9 perché

9 2 18

35 : 7 5 perché

5 7 35

8 Le espressioni con i numeri relativi

13

Le espressioni con i numeri relativi si calcolano con le stesse regole che abbiamo studiato per le espressioni negli insiemi N e Q, integrate con le regole sulle somme algebriche.

5 2 41 6 2 4 1 21 38 : 63 2

6 1 4 : 5

6 4 : 5

10 : 5 2

ESEMPIO

9 La potenza di numeri relativi

14

DEFINIZIONE. La potenza di un numero è il prodotto di tanti fattori uguali a quel numero quanti ne indica l’esponente.DEFINIZIONE. La potenza di un numero è il prodotto di tanti fattori uguali a quel numero quanti ne indica l’esponente.

Primo caso: la base è positiva e l’esponente è pari

5 2 5 5 25

Secondo caso: la base è positiva e l’esponente è dispari

3 3 3 3 3 27

Terzo caso: la base è negativa e l’esponente è pari

2 4 2 2 2 2 16

Quarto caso: la base è negativa e l’esponente è dispari

4 3 4 4 4 64

9 La potenza di numeri relativi

15

REGOLE.

La potenza di un numero relativo avente la base positiva è sempre positiva, sia che l’esponente sia pari, sia che l’esponente sia dispari;

La potenza di un numero relativo avente la base negativa è positiva se l’esponente è pari, è negativa se l’esponente è dispari.

REGOLE.

La potenza di un numero relativo avente la base positiva è sempre positiva, sia che l’esponente sia pari, sia che l’esponente sia dispari;

La potenza di un numero relativo avente la base negativa è positiva se l’esponente è pari, è negativa se l’esponente è dispari.

Più sinteticamente possiamo dire che:

REGOLA. La potenza di un numero relativo è un numero negativo se e solo se la base è negativa e l’esponente è dispari.REGOLA. La potenza di un numero relativo è un numero negativo se e solo se la base è negativa e l’esponente è dispari.

9 La potenza di numeri relativi

16

REGOLA. La potenza di un numero intero relativo con esponente negativo è una frazione con il numeratore uguale a uno e il denominatore uguale alla potenza data con esponente positivo.REGOLA. La potenza di un numero intero relativo con esponente negativo è una frazione con il numeratore uguale a uno e il denominatore uguale alla potenza data con esponente positivo.

ESEMPIO

5 3 1

5 3 1

125

REGOLA. Nel caso di una potenza di frazione con esponente negativo, basta determinare la frazione reciproca ed elevarla all’esponente positivo.REGOLA. Nel caso di una potenza di frazione con esponente negativo, basta determinare la frazione reciproca ed elevarla all’esponente positivo.

ESEMPIO

54

2

45

2

1625

10 La radice quadrata di numeri relativi in R

17

REGOLA. La radice quadrata di un numero è quel numero che, elevato alla seconda, dà come risultato il numero dato.REGOLA. La radice quadrata di un numero è quel numero che, elevato alla seconda, dà come risultato il numero dato.

Primo caso: radice quadrata di un numero positivo

25

5 2 5 5 25

5 2 5 5 25

Sia +5 che -5 soddisfano quanto definito dalla regola; stabiliamo però la convenzione di considerare solamente il valore positivo.

25 5

Secondo caso: radice quadrata di un numero negativo

16 Non esiste nessun numero che elevato al quadrato dia come risultato -16.

REGOLA. La radice quadrata di un qualsiasi numero relativo negativo non esiste in R.REGOLA. La radice quadrata di un qualsiasi numero relativo negativo non esiste in R.