I NUMERI IRRAZIONALI

a cura di:• Valeria Crincoli• Giovanna Altieri• Anita Mastrogiacomo V H A.S. 2008/09

«La natura cosmica risulta dall'accordo di Limite e Illimite»

«Tutte le cose che si conoscono hanno numero; senza questo nulla sarebbe possibile pensare nè conoscere»

Filolao

GENESI DEI NUMERI IRRAZIONALI

Ippaso di Metaponto, fu colui che scoprì i “numeri irrazionali”.

Si dice che li scoprì mentre cercava di rappresentare la radice quadrata di 2 sottoforma di frazione.

Pitagora credeva nell'incommensurabilità dei numeri e quindi non poteva accettare l'esistenza dei numeri

irrazionali.

IL TEOREMA DI PITAGORA

Dopo la scoperta di tali numeri , Pitagora ideò un teorema, che è a noi noto come il “Teorema di Pitagora”. In realtà il suo enunciato (ma non la sua dimostrazione) era già noto agli egizi e ai babilonesi. Il teorema dice: «In ogni triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti».

La dimostrazione del teorema di Pitagora più immediata e più diffusa nei libri scolastici consiste nel riempire uno stesso quadrato di lato uguale alla somma dei cateti prima con

quattro copie del triangolo rettangolo più il quadrato costruito sull'ipotenusa e poi con quattro copie del triangolo rettangolo più i quadrati costruiti sui cateti, come in figura.

Le grandezze incommensurabili

Il teorema di Pitagora portò i pitagorici alla scoperta degli incommensurabili. Se in un quadrato si applica il teorema al triangolo rettangolo isoscele formato dai suoi lati e dalla diagonale si scopre che la diagonale del quadrato e il suo lato sono incommensurabili,ossia che diagonale e lato non hanno alcun sottomultiplo comune.

l

d

A

D C

B

Siano d e l la diagonale ed il lato di un quadrato e supponiamo che siano commensurabili, ossia che il loro rapporto d/l sia un numero razionale m/n, con m ed n numeri reali privi di fattori comuni. Per il teorema di Pitagora si ha che d2= l2+l2 ossia (d/l)2= 2, ma d/l = m/n, per cui (m/n)2= 2, cioè m2=2n2. Pertanto m2 è pari e quindi m è pari. Se poniamo m=2p si ha che 4p2=2b2 da cui otteniamo che anche n dovrebbe essere pari contro l’ipotesi che m ed n non avessero fattori in comune. Ne segue che l’ipotesi della commensurabilità tra diagonale e lato di un quadrato è falsa.

Non erano esprimibili attraverso un rapporto di due numeri interi. Erano dunque incommensurabili.

La crisi nel mondo matematico

La scoperta mise in crisi la loro stessa concezione dell'Universo dove, dicevano, "tutto è numero", cioè tutto si poteva esprimere tramite numeri interi. L’esistenza di grandezze incommensurabili e conseguentemente dei nuovi numeri che si era obbligati a introdurre, gli irrazionali, era in contraddizione non solo con le convinzioni filosofiche dei pitagorici, ma metteva anche in crisi il concetto stesso di infinito della filosofia greca.

I greci pensarono di riuscire a superare queste difficoltà passando a un ragionamento geometrico indipendente dall'aritmetica e "interpretando la geometria come studio del continuo e l'aritmetica come studio del discontinuo".

Secondo la leggenda, fu proibito ai membri della setta di rivelare ad altri queste scoperte. Il "traditore" fu il pitagorico Ippaso di Metaponto che divulgò il segreto, un discepolo che mal tollerava l'autorità di Pitagora.

Per il suo tradimento, Ippaso venne messo al bando dai pitagorici che, si racconta, gli innalzarono un monumento funebre, perché fosse chiaro che per loro era morto. Si narra anche che lo stesso Giove, adirato contro di lui, lo fece perire in un naufragio.

I numeri irrazionali, le

classi contigue e la radice

quadrata di due …

I NUMERI IRRAZIONALI

Ma c’è una fine??

Un numero irreale che non è un numero razionale, cioè’ non può essere razionale è un numero scritto come una frazione a / b con a e b interi, con b diverso da zero. I numeri irrazionali sono quei numeri la cui espansione in qualunque base non termina mai e non forma una sequenza periodica. "Quasi tutti" i numeri reali sono irrazionali.Alcuni numeri irrazionali sono numeri algebrici come √2, che tratteremo tra poco.

le classi contigueE LA RADICE DI DUE

Scrivere √2 in forma decimale puo’ essere solo un’approssimazione. Uno dei possibili risultati potrebbe essere 1,41421……questo dimostra che radice di due non si puo’ scrivere sotto forma di frazione e quindi è un numero irrazionale.

1 2

l’1, è il valore approssimato per difetto a meno di una unità

il 2, è il valore approssimato per eccesso a meno di una unità.

Cerchiamo la posizione della radice di due sulla linea dei numeri.

√2=1,41421... =› 1‹√2‹2

per cui sicuramente 5.124.1

1 21,5

1,4

1,4 è il valore approssimato per difetto a meno di unità

10

1

1,5 è il valore approssimato per eccesso a meno di unità

10

1

10

1

100

1

1000

1

valore per difetto Valore per eccesso Errore Max

1 2 1

1.4 1.5

1.41 1.42

1.414 1.415

1.4142 1.4143

…. ….  

10000

1

Ora confrontiamo le approssimazioni della linea dei numeri calcolate con un foglio elettronico …

E così abbiamo le classi contigue della radice di due …

;...415,1;42,1;5.1;2

;...414.1;41.1;4.1;1

e

d

C

C

vediamo che le due classi Cd e Cesono separate, cioè ogni elemento della prima classe è sicuramente minore di ogni elemento della seconda classe:

cd‹ce

Le classi con tali proprietà si dicono contigue .Nel nostro caso √2 “determina e separa” le due classi Cd e Ce.

Si definisce numero irrazionale l’ elemento separatore di una coppia di classi contigue di numeri razionali.

Una costruzione classica riguardante i numeri irrazionali e nota come Spirale di Teodoro permette di costruire geometricamente le radici quadrate dei numeri interi a partire da un triangolo rettangolo isoscele avente cateti di lunghezza unitaria.Consideriamo il triangolo OAB di figura in cui OA=1:

COSTRUZIONE DELLA RADICE QUADRATA DI DUE

Per il teorema di Pitagora si ha allora che OB ha lunghezza pari a radice quadrata di 2. Se ora, come in figura, si costruisce un nuovo triangolo rettangolo, retto in B, con cateti OB e BC, di cui l'ultimo di lunghezza unitaria;

COSTRUZIONE DI RADICE DI 3

sempre per il teorema di Pitagora è chiaro che l'ipotenusa OC di OBC ha lunghezza radice quadrata di 3. Ripetendo ciclicamente il procedimento si ottengono facilmente tutte le radici quadrate dei numeri naturali.

                                                                           

                                                                             

Costruzione geometrica delle radici quadrate dei numeri naturali

LA SPIRALE DI TEODORO

Dai Babilonesi … ai nostri giorni

STORIA DI UN NUMERO

FAMOSO:Π

-In Mesopotamia il ruolo della geometria era insignificante e quasi sempre legato ad applicazioni pratiche. Per ottenere l'area del cerchio usavano la formula A=c2/12,dove c indica la circonferenza. Ciò equivale ad usare per π il valore 3. -Il valore assegnato a p dai babilonesi era approssimato per difetto. Gli antichi egizi assegnavano invece a π un valore approssimato per eccesso

La circonferenza ha infatti una lunghezza compresa tra il perimetro di un poligono inscritto e quello di un poligono circoscritto ad essa. Per tale via, egli riesce quindi a stabilire due valori tra cui π è compreso: (3+10/71) < π< (3+1/7). Il primo dei due valori vale 3,1408... e il secondo vale 3,1428...

Occorre arrivare al grande Archimede di Siracusa (287-212 a.C.), per avere i primi due decimali esatti di π. Egli cerca di calcolare la lunghezza della circonferenza per mezzo del perimetro dei poligoni inscritti e circoscritti.

Sono occorsi quasi due millenni per passare da una a tre cifre esatte del nostro numero.

Non basterà invece il tempo passato e futuro dell'umanità per trovare tutte le altre cifre

E' stato dimostrato infatti da Lambert nel 1761 che p è un numero irrazionale. Perciò le sue cifre decimali sono illimitate e non periodiche e nessuno potrà mai scriverle tutte. Successivamente, nel 1882, Lindemann dimostrò che p è un numero trascendente, ponendolo in una particolare categoria di numeri irrazionali, che si distinguono rispetto a quelli cosiddetti algebrici .

I Romani, non dedicavano molti sforzi allo studio delle scienze (che non fossero quelle giuridiche o militari). Essi si limitarono alla conoscenza, senza ulteriori approfondimenti, delle opere dei greci.

Gli uomini del Medioevo dovevano risolvere problemi di stretta sopravvivenza (del corpo e dell'anima) e non potevano certo dedicarsi agli studi.

- François Viète

- John Wallis

- Gottfried Wilhelm von Leibniz

- William Jones

- Leonhard Euler

«i Pitagorici credono di scorgere nei numeri più che nel fuoco o nella terra

o nell'acqua, un gran numero di somiglianze con le cose che esistono

e sono generate [...] pareva loro evidente che i numeri fossero l'essenza primordiale di tutto

l'universo fisico»

metafisica

L'evoluzione è la legge della vita. Il numero è la legge dell'universo. L'unità è la legge di dio.

Pitagora