Lavoro di ``Gruppo'' - IMate UniPV) Lavoro di “Gruppo” I Stage 14 giu 2016 18 / 20....

Lavoro di “Gruppo” - I

Fulvio Bisi1 Anna Torre1

1Dipartimento di Matematica - Università di Pavia

Stage Orientamento 14 giugno 2016

Bisi-Torre (Dip. Mate UniPV) Lavoro di “Gruppo” I Stage 14 giu 2016 1 / 20

Outline

1 Insiemi numerici e operazioni

2 Traslazioni nel piano

3 Relazioni e classi di equivalenza

4 Aritmetica Modulare


Insiemi numerici e operazioni

NUMERI

Quali sono gli insiemi numerici che conoscete?

Quali sono le operazioni che conoscete?

Quali proprietà hanno?


Traslazioni nel piano

TRASLAZIONI

Consideriamo il piano euclideo e l’insieme delle traslazioni del piano;

Cosa vuol dire comporre due traslazioni?

Cosa si ottiene come risultato della composizione di due traslazioni?



TRASLAZIONI

Dal punto di vista analitico una traslazione si rappresenta con le equazioni:



TRASLAZIONI

Dal punto di vista analitico una traslazione si rappresenta con le equazioni:

{

x′ = x + h

y′ = y + k

dove h e k sono due numeri reali fissati. Quale è la traslazione che si ottienecomponendo questa con:

{

x′ = x + h′

y′ = y + k′

Definiamo (h, k) + (h′, k′) = (h + h′

, k + k′)

Di quali proprietà gode questa somma?



TRASLAZIONI ORIZZONTALI

Una traslazione orizzontale si rappresenta con le equazioni:



TRASLAZIONI ORIZZONTALI

Una traslazione orizzontale si rappresenta con le equazioni:

{

x′ = x + h

y′ = y + 0

Quale è la traslazione che si ottiene componendo questa con:

{

x′ = x + h′

y′ = y + 0

C’è una relazione tra la somma nell’insieme delle traslazioni orizzontali equalche insieme numerico?


Relazioni e classi di equivalenza

RELAZIONI DI EQUIVALENZA

Dato un insieme A e una relazione binaria R(∼) tale relazione si diceRELAZIONE DI EQUIVALENZA se soddisfa le seguenti proprietà:

a ∼ a per ogni a ∈ A (RIFLESSIVA)

Se a ∼ b allora b ∼ a per ogni a, b ∈ A (SIMMETRICA)

Se a ∼ b e b ∼ c allora a ∼ c per ogni a, b, c ∈ A (TRANSITIVA)



CLASSI DI EQUIVALENZA

Dato un insieme A ed una relazione di equivalenza R(∼) in esso, scelto unelemento a ∈ A, chiamiamo classe di equivalenza [a] dell’elemento a moduloR l’insieme di tutti gli elementi di A equivalenti ad esso:

[a] := {x ∈ A | x ∼ a} .

1 ogni classe [a] è non vuota: contiene almeno a, poiché a ∼ a;

2 dati a, b ∈ A le due classi [a] e [b] hanno intersezione non vuota se e solose a ∼ b e questo avviene se e solo se [a] = [b];

3 l’unione di tutte le classi di equivalenza dà A:⋃

a∈A([a]) = A .

Le classi di equivalenza formano una partizione di A.



ARITMETICA DELL’OROLOGIO

Sono le 9 e ci diamo appuntamento con un amico tra 7 ore. A che ora cidobbiamo incontrare?

Quanto fa 9 + 7?





Quanto fa 9 + 7?

Quanto fa 6 + 8?





Quanto fa 9 + 7?

Quanto fa 6 + 8?

Quanto fa 3 + 4?

Quanto fa a + b con a e b compresi tra 0 e 12?



Dormiamo 7h a partire dalla mezzanotte (0h); ci svegliamo alle...:



A partire dalle 9h, lavoriamo 7h prima dell’appuntamento con il nostro amico;ci vediamo alle...


Aritmetica Modulare

CLASSI DI RESTO

Insieme dei numeri interi Z e la relazione di equivalenza

R = “ha lo stesso resto nella divisione per 12 di”.

Per es., 7 ∼ 31 (mod 12), perché dividendo sia 7 che 31 per 12 si ottiene comeresto 7 (“7 è equivalente a 31 modulo 12”).Quali numeri sono nella classe di equivalenza di 0? Tutti i multipli di 12, chedanno 0, appunto, come resto della divisione per 12:

[0] = {0,±12,±24,±36,±48,±60, . . .} ;

E nella classe di equivalenza di 1? Nella classe di equivalenza di 1 stannotutti i numeri immediatamente successivi ai multipli di 12:

[1] = {· · · − 35,−23,−11, 1, 13, 25, 37, 49, 61, . . .} ;


Aritmetica Modulare

LE ALTRE CLASSI DI EQUIVALENZA

e così via con le classi di equivalenza di 2, 3, 4, ....:

[2] = {· · · − 34,−22,−10, 2, 14, 26, 38, 50, 62, . . .} ;

[3] = {· · · − 33,−21,−9, 3, 15, 27, 39, 51, 63, . . .} ;

[4] = {· · · − 32,−20,−8, 4, 16, 28, 40, 52, 64, . . .} ;

Finiremo con la classe [11] poiché 0 ∼ 12 la classe [12] coincide con [0], laclasse [13] coincide con [1], ecc.Osserviamo che ogni classe è disgiunta dalle altre, e che riunendo le classiriotteniamo Z: abbiamo partizionato Z in 12 sottoinsiemi.Naturalmente, mediante altre relazioni di equivalenza, avremmo potutopartizionare l’insieme diversamente (sia per numero di sottoinsiemi, che pergli elementi che si trovano in ciascun sottoinsieme).


Aritmetica Modulare

OPERAZIONI TRA LE CLASSI DI RESTO

Con le classi di resto appena definite possiamo definire delle operazioni di“addizione” e “moltiplicazione”:

[a] + [b] = [a + b] e [a] · [b] = [a · b]

Queste operazioni sono ben definite? Dimostrare cioè che se a′ ∈ [a] e

b′ ∈ [b], allora a + b ∼ a′ + b′ e a · b ∼ a′ · b′.


Aritmetica Modulare

OPERAZIONI TRA LE CLASSI DI RESTO

Con le classi di resto appena definite possiamo definire delle operazioni di“addizione” e “moltiplicazione”:

[a] + [b] = [a + b] e [a] · [b] = [a · b]

Queste operazioni sono ben definite? Dimostrare cioè che se a′ ∈ [a] e

b′ ∈ [b], allora a + b ∼ a′ + b′ e a · b ∼ a′ · b′.Sappiamo che esistono h, k, h′

, k′ ∈ Z per i quali

a = 12 · h + r e a′ = 12 · h′ + r b = 12 · k + r′ e b′ = 12 · k′ + r′

Dunque:a + b = 12 · (h + k) + r + r′ e a′ + b′ = 12 · (h′ + k′) + r + r′. Quindi a + b ea′ + b′ sono equivalenti entrambi a r + r′, e stanno nella stessa classe diequivalenza. Analoga la dimostrazione per a · b e a′ · b′


Aritmetica Modulare

ADDIZIONE TRA CLASSI DI RESTI

Consideriamo l’addizione; quindi: [2] + [10] = [12] = [0], infatti, per esempio,14 + 22 = 36, che è multiplo di 12.

l’addizione così definita è un’operazione interna;

è associativa (verificare!);

[0] è chiaramente l’elemento neutro;

ogni elemento ha il suo “opposto”: nell’esempio di prima, l’opposto di [2]risulta essere [10]. L’opposto di [n] è [|12 − n|].


Aritmetica Modulare

ABBIAMO IMPARATO QUALCOSA?

In questo momento sono le 5.

Che ora sarà tra 2715 ore?

e tra 106 ore?


Aritmetica Modulare

PERCHÉ PROPRIO 12

Perché ci piaceva riferirci all’orologio.Ma non c’è alcun motivo per non scegliere altri numeri naturali: 2, 3, 4......n....


Aritmetica Modulare

n = 2

I possibili resti della divisione per 2 sono 0 e 1 quindi abbiamo solo due“classi di resti”: la classe dei numeri pari e quella dei numeri dispari.Sommando due numeri pari o due numeri dispari si ottiene un numeropari, mentre sommando un numero pari con uno dispari si ottiene unnumero dispari

La tabella della nostra operazione di addizione diventa dunque:

+ 0 1

0 0 1

1 1 0


Aritmetica Modulare

n = 3


Aritmetica Modulare

n = 3

I possibili resti della divisione per 3 sono 0, 1 e 2 quindi abbiamo tre“classi di resti”.

Sommando due numeri i cui resti sono rispettivamente a e b (a e b

possono essere uguali a 0, 1 o 2) si ottiene un numero che ha un restoche corrisponde alla seguente tabella:

+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1


Aritmetica Modulare

n = 4


Aritmetica Modulare

n = 4

I possibili resti della divisione per 4 sono 0, 1, 2 e 3 quindi abbiamoquattro “classi di resti”.

Sommando due numeri i cui resti sono rispettivamente a e b (a e b

possono essere uguali a 0, 1, 2 o 3) si ottiene un numero che ha un restoche corrisponde alla seguente tabella:

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2


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