LAUREA IN INGEGNERIA CLINICA E BIOMEDICA. I MODELLI A COMPARTIMENTI Compartimento - Con tale termine...

LAUREA IN

INGEGNERIA CLINICA E BIOMEDICA

I MODELLI A COMPARTIMENTII MODELLI A COMPARTIMENTI

Compartimento - Con tale termine si intende usualmente una quantità di sostanza, di individui ecc. che si comporta in maniera caratteristica ed omogenea dal punto di vista della cinetica, intendendo con la parola cinetica sia fenomeni di puro trasporto sia fenomeni di trasformazione.

Nella formulazione del modello matematico il sistema deve quindi essere suddiviso in un certo numero di compartimenti, devono poi essere scritte le equazioni del bilancio di massa per ciascun compartimento e le relazioni che descrivono i flussi fra i compartimenti. Un modello matematico funzionale del compartimento ha quindi l’espressione:

RjiRijdt

dQi Qi è la quantità di sostanza presente nel compartimento i-esimo che varia nel tempo in dipendenza dai flussi di sostanza che pervengono dagli altri compartimenti (Rij) e dai flussi di sostanza uscenti (Rji). In generale si può inoltre assumere che Rij = Rij (Qj)


Processi rappresentati con modelli a compartimentiProcessi rappresentati con modelli a compartimenti

Processi di trasformazione

A + B prodotto

CA concentrazione della sostanza A, CB concentrazione della sostanza B, ordine della reazione

rispetto ad A, ordine della reazione rispetto a B, + ordine della reazione

Processi di trasporto

Diffusione.

La sostanza si trasferisce da zone ad alta a zone a bassa concentrazione ed il flusso di sostanza per unità di area è proporzionale al gradiente. Associando ai siti a differente concentrazione due differenti compartimenti si ottiene:

Q1, Q2 quantità di materiale nei compartimenti 1 e 2, d è la costante di velocità di diffusione, A è l'area

effettiva di confine fra i due compartimenti, l è la distanza di separazione effettiva fra i due compartimenti, c1 , c2 sono le concentrazioni della sostanza nei compartimenti 1 e 2.

βB

αA

A CKCdt

dC

dQ1/dt = d·A/l (c2-c1) dQ2/dt = d·A/l (c1-c2)


Processi rappresentati con modelli a compartimentiProcessi rappresentati con modelli a compartimenti

Processi di trasporto

Trasporto attraverso il sangue

-Il sangue viene considerato come un compartimento in cui la concentrazione della sostanza è praticamente uniforme. In tal caso la rappresentazione attraverso un modello a compartimenti è data dall'equazione

-Nel secondo caso si fa riferimento alle caratteristiche sostanzialmente distribuite del sistema di trasporto. Se, ad esempio una quantità D di sostanza viene iniettata al tempo t in un sito 1 del sistema circolatorio, essa comparirà nel sito 2 dopo un ritardo =l/v; dove l è l'effettiva distanza fra i siti 1 e 2 e v è la velocità effettiva del sangue. Allora il flusso R nell'organo posto in corrispondenza al sito 2 è dato da:

RjiRijdt

dQi

R = D (t-)


Altri processi rappresentati con modelli a compartimentiAltri processi rappresentati con modelli a compartimenti

I modelli compartimentali sono stati largamente utilizzati anche per la descrizione di altri tipi di processi.

In particolare modelli compartimentali sono stati utilizzati nei:

Modelli epidemiologici

Modelli di crescita cellulare

I processi rappresentabili con modelli compartimentali soddisfano spesso condizioni di costanza delle caratteristiche geometriche e delle proprietà chimiche e fisiche: ciò si traduce in termini matematici nella costanza dei parametri delle equazioni considerate. Tuttavia in molti casi tali proprietà possono variare sotto l'influenza di variabili esterne al processo considerato; ad esempio sotto l'azione di temperatura, segnali nervosi, effetti di sostanze chimiche ecc. Tali variabili esterne vengono dette variabili di controllo e sono in generale rappresentate come una modulazione dei parametri.


Lo sviluppo di un modello matematico a compartimenti consta quindi Lo sviluppo di un modello matematico a compartimenti consta quindi sostanzialmente di due passi: la scrittura delle equazioni di bilancio di massa per i sostanzialmente di due passi: la scrittura delle equazioni di bilancio di massa per i vari compartimenti che assumono la forma:vari compartimenti che assumono la forma:

j= 1,2....,n j≠ij= 1,2....,n j≠i

i= 1,2,...,ni= 1,2,...,n

Qi quantità di materiale nel compartimento i-esimo, Qi quantità di materiale nel compartimento i-esimo, RijRij flusso di materiale dal flusso di materiale dal compartimento j al compartimento i dipendente in genere da compartimento j al compartimento i dipendente in genere da QjQj, , RjiRji flusso di materiale dal flusso di materiale dal compartimento i al compartimento j,compartimento i al compartimento j, RioRio flusso di materiale dall'ambiente esterno al flusso di materiale dall'ambiente esterno al compartimento i, compartimento i, RoiRoi flusso dal compartimento i verso l'esterno flusso dal compartimento i verso l'esterno..

E' da notare che tutti questi flussi non possono essere negativi. E' da notare che tutti questi flussi non possono essere negativi.

Il secondo passo riguarda la definizione del tipo di funzione Il secondo passo riguarda la definizione del tipo di funzione caratterizzante i vari flussi; in particolare due sono le funzioni che più caratterizzante i vari flussi; in particolare due sono le funzioni che più frequentemente vengono adottate:frequentemente vengono adottate:

Dipendenza lineareDipendenza lineare Rij = Kij QjRij = Kij Qj Dinamica alla Michaelis- MentenDinamica alla Michaelis- Menten Rij = Rij = ij Qj/(ij Qj/(ij ij + Qj)+ Qj)

QQii(t) = (t) = jjRRijij - - jjRRjiji +R +Ri0 i0 - R- R0i0i

I MODELLI A COMPARTIMENTI I MODELLI A COMPARTIMENTI

Comportamento in condizioni di stato stazionario.

In assenza di perturbazioni, endogene od esogene, molti sistemi metabolici presentano uno stato stazionario, cioè il livello delle quantità di materiale presente nei vari compartimenti si mantiene costante con velocità di produzione uguale a quella di utilizzazione. Nello stato stazionario quindi si ha:

dQi/dt = 0 da cui

j= 1,2....,n j≠i

i= 1,2,...,n

Queste equazioni normalmente non permettono di avere sufficienti informazioni in modo da fornire una descrizione completa del sistema, come può essere illustrato dal seguente esempio

j j

0)Qis(Roi)Qis(Rij)Qjs(RijRio


Comportamento in condizioni di stato stazionario - ESEMPIO

R10 - R21 + R12 = 0

R21 - R12 - R02 = 0

la variabile misurata y1 corrisponde alla

concentrazione del materiale nel compartimento 1

y1 = Q1S/V1 dove V1 è il volume di

distribuzione del compartimento 1.

Se R21 corrisponde ad una funzione alla Michaelis-Menten, mentre R01 ed R12 sono funzioni lineari, le equazioni all'equilibrio risultano essere:

R10 - p1 Q1S/(p2 + Q1S) + p3 Q2S = 0 p1 Q1S/(p2 + Q1S) - p3 Q2S -p4 Q2S = 0

Le quantità incognite sono: il flusso R10, le quantità Q1S e Q2S, i parametri p1, p2, p3, p4 ed

il volume di distribuzione V1.

E' pertanto evidente che dalle tre relazioni disponibili non è possibile stimare tutte le grandezze incognite

R10

1Q1S

y1

Q2S

R21 R02

R12


Analisi tramite l'iniezione di un tracciante

Consideriamo l'iniezione di un tracciante cioè l'applicazione di una quantità di test (usualmente un isotopo radioattivo della sostanza in esame) di massa trascurabile e quindi tale da non perturbare lo stato di equilibrio del sistema e che si comporti, dal punto di vista metabolico, in modo identico alla sostanza da analizzare.

Si supponga che il compartimento j contenga Qj di sostanza naturale e qj di tracciante.

Nell'ipotesi di perfetto mescolamento il flusso di tracciante rij dal compartimento j al

compartimento i sarà dato da: rij(t) = Rijs/Qjs qj(t)

Rijs e Qjs valori di stato stazionario di Rij e Qj.

Sottraendo dalle equazioni relative alla sostanza più il tracciante l’equazione dello stato stazionario si ottiene:

j ioiis

jis

j jjs

ijsi rq

Q

Rq

Q

Rq

is

jisji

js

ijsij Q

RK

Q

RK

Rijs

rij

QijQjs

βtgQjs

RijsKij qjkijqj

Qjs

Rijsrij


Analisi tramite l'iniezione di un tracciante(Modelli di cinetica e/o metabolismo di sostanze)

•Si può quindi dedurre che il tracciante, se il sistema è strettamente in condizioni di regime, presenta una dinamica lineare qualunque sia la dinamica del sistema originale, inoltre tale dinamica lineare risulta anche essere tempo-invariante

•Gli esperimenti con un tracciante permettono di stimare i coefficienti di trasferimento da un compartimento all'altro, ma non permettono in generale di ricostruire il legame fra la Rij e la Qj. Per ottenere ciò si deve utilizzare più di un esperimento con tracciante relativamente a differenti condizioni di equilibrio del sistema.

•Nel caso di modelli con controllo, gli studi mediante la somministrazione di un tracciante permettono la descrizione quantitativa dei soli compartimenti che sono direttamente raggiunti dal compartimento in cui è stato introdotto il tracciante e quindi dei soli compartimenti in cui si abbia un effettivo trasferimento di materiale.

Se si considera l’attività specifica ai = qi/Qi. le equazioni possono essere riscritte come:

is

ioij

is

jisjj

js

ijsi

Q

ra

Q

Ra

Q

Ra


R10

1Q1S 2

y1

Q2S

R21 R02

R12

Supponiamo di introdurre un tracciante nel compartimento 1, le equazioni relative alla dinamica del tracciante risulteranno essere

1

11

2423S12

112

210123S12

111

V

qy

qpqpQp

qpq

0)0(qq)0(qqpQp

qpq

Q10 dose iniettata all'istante zero, y1 = q1/V1 concentrazione

del tracciante nel compartimento 1.

Le quantità che è possibile stimare risultano essere :

K21 = p1 /(p2 + Q1s ) K12 = p3

K02 = p3+p4 V1

Un singolo esperimento non è quindi in grado di permettere la stima di tutti i parametri incogniti (in particolare di p1 e p2)

Analisi tramite l'iniezione di un tracciante Esempio


Analisi tramite l'iniezione di un tracciante (Modelli di cinetica e/o metabolismo) Parametri globali - Comportamento a regime

Rate of appearance. Si consideri un sistema stazionario dotato di un solo compartimento

accessibile alla misura. In tal caso si ha : Q(t) = cost = Qs Se si indica con Ra(t) l'ingresso al compartimento analizzato si può in generale, in condizioni di linearità, scrivere la relazione

In condizioni stazionarie Ra(t) = cost = Ra, e la concentrazione ys =Qs/V per cui si ha (avendo ottenuto la h(t) tramite un esperimento con tracciante)

dove q10 é la dose di tracciante

Ra può anche essere ricavato da misure di infusione costante, considerando l'istante in cui la risposta raggiunge uno stato stazionario; in tal caso si ha: Ra = ros/as con ros velocità di infusione costante e as attività specifica relativa alle condizioni di regime.

0

τd)τt(h)τ(Ra)t(Q

0τd)τ(h

QsRa

0

10

τd)τ(y

ysqRa


Analisi tramite l'iniezione di un tracciante (Modelli di cinetica e/o metabolismo) Parametri globali - Comportamento a regime

Volume iniziale di distribuzione. Il volume iniziale di distribuzione, sempre con riferimento ad un esperimento con tracciante si ottiene dalla formula:

dove q10 é la dose iniziale di tracciante e yo è la sua concentrazione iniziale.

Clearance. Per un compartimento in cui è possibile effettuare un esperimento ingresso-uscita si può definire la Clearance come:

dove Qiout è l'efflusso netto di materiale dal compartimento i all'istante t e ci(t) è la concentrazione all'istante t. In condizioni di regime e supponendo che il compartimento in esame sia il plasma si ha:

Volume di ricircolo Nel caso sia presente un ricircolo della sostanza considerata si può definire un volume di ricircolo t* tempo di ricircolo.

0

10

τd)τ(y

q

ys

RaPCRis

V1 = q10/yo

CRi(t) = Qiout/ci(t)

Vr = PCRis t*


Analisi tramite l'iniezione di un tracciante (Modelli di cinetica e/o metabolismo) Parametri globali - Comportamento transitorio

Rate of appearance. Può essere di interesse clinico la stima del rate of appearance in condizioni non stazionarie. In questo caso è generalmente utilizzata la formula di Steele (1959) che ipotizza che il nuovo materiale che entra nel plasma si mescoli con solo una parte p del volume di distribuzione V1. Si ha quindi

Dove ro(t) è la velocità di infusione del tracciante, a(t) è l'attività specifica, Q(t) è la quantità di sostanza e p è un parametro che viene normalmente assunto come il rapporto fra il volume iniziale di distribuzione V e il volume di ricircolo Vr. In alcuni casi si assume direttamente per p un valore empirico compreso fra 0.5 e 0.8

)t(a

)t(a)t(Qp

)t(a

)t(r)t(Ra 0


Analisi alle piccole perturbazioni

In tal caso l'ingresso perturbante è una variazione Rio dell'ingresso Rio al nostro sistema a

compartimenti. Se tale perturbazione è sufficientemente piccola è possibile scrivere la seguente equazione:

Sottraendo l’equazione relativa allo stato stazionario si ottiene:

In questo caso la linearizzazione eseguita corrisponde a considerare la tangente alla curva rappresentante la relazione Rij(Qj) nel punto di equilibrio. E' quindi in generale una

linearizzazione diversa da quella ottenuta nell'esperimento con un tracciante; le due possono coincidere solo nel caso in cui la tangente alla curva nel punto di equilibrio passi anche per l'origine.

In questo approccio la variazione Rio ha influenza anche sulle variabili di controllo.

j ioisi

si

jijisj jsj

sj

ijijsios

iis Rδ)QQ(dQ

dRR)QQ(

dQ

dRRR

dt

)QδQ(d

j ioisi

si

ji

j jsj

sj

iji Rδ)QQ(

dQ

dR)QQ(

dQ

dRQδ


Analisi alle grandi perturbazioni

Molto spesso il sistema che viene rappresentato con un modello a compartimenti presenta caratteristiche fortemente non lineari con variabili che hanno una dinamica molto elevata.

E' necessario in tal caso ricorrere ad un'analisi alle grandi perturbazioni in modo da riprodurre il campo di variazione delle grandezze naturali. In altri casi segnali che producono grandi perturbazioni sono gli unici che sono direttamente applicabili al sistema.


Proprietà dei modelli a compartimentiProprietà dei modelli a compartimenti

Un modello a compartimenti lineare o linearizzato può essere rappresentato da Un modello a compartimenti lineare o linearizzato può essere rappresentato da un sistema di equazioni del tipo:un sistema di equazioni del tipo:

dovedove aij ≥0 e aii≤0 aij ≥0 e aii≤0 aij = Kij aij = Kij per i≠jper i≠j aii = -aii = -j Kjij Kji

Non negativitàNon negatività La condizione La condizione aij≥0aij≥0 per i≠j è condizione necessaria e per i≠j è condizione necessaria e sufficiente perché la sufficiente perché la xx(t) ≥ 0(t) ≥ 0

StabilitàStabilità Condizione necessaria perché la Condizione necessaria perché la xi(t)xi(t) sia limitata è che sia verificata sia limitata è che sia verificata la |la |aii| ≥ aii| ≥ j aijj aij

E' inoltre possibile dimostrare che un sistema a compartimenti lineare può avere E' inoltre possibile dimostrare che un sistema a compartimenti lineare può avere un comportamento oscillatorio smorzato.un comportamento oscillatorio smorzato.

00 x)(x)t(uB)t(xA)t(x


Modello del metabolismo della BilirubinaModello del metabolismo della Bilirubina

La Bilurubina è un prodotto derivante dalla distruzione La Bilurubina è un prodotto derivante dalla distruzione dell'emoglobina. Nel metabolismo normale circa l'85% della dell'emoglobina. Nel metabolismo normale circa l'85% della quantità totale di tale sostanza deriva dalla distruzione dei quantità totale di tale sostanza deriva dalla distruzione dei globuli rossi (vita media ~120 giorni). In condizioni patologiche globuli rossi (vita media ~120 giorni). In condizioni patologiche tale quantità può arrivare anche al 90% del totale. La rimanente tale quantità può arrivare anche al 90% del totale. La rimanente produzione di emoglobina deriva dai composti dell'eme nel produzione di emoglobina deriva dai composti dell'eme nel fegato e nel midollo osseo (vita media ~1-3 giorni). Nel fegato e nel midollo osseo (vita media ~1-3 giorni). Nel metabolismo normale la produzione di bilirubina è di circa 200-metabolismo normale la produzione di bilirubina è di circa 200-300 mg al giorno, quantità che l'organismo è in grado di 300 mg al giorno, quantità che l'organismo è in grado di smaltire adeguatamente, una produzione maggiore produce un smaltire adeguatamente, una produzione maggiore produce un accumulo di bilirubina nei tessuti (ittero). La bilirubina viene accumulo di bilirubina nei tessuti (ittero). La bilirubina viene sintetizzata in forma sintetizzata in forma non-coniugatanon-coniugata ed è rapidamente ed è rapidamente immessa nel plasma. Nel plasma si lega con l'albumina e, in immessa nel plasma. Nel plasma si lega con l'albumina e, in questa forma, si trasferisce nel fegato. Le modalità esatte con questa forma, si trasferisce nel fegato. Le modalità esatte con cui tale trasferimento avviene non sono ancora completamente cui tale trasferimento avviene non sono ancora completamente note. Nel fegato la bilirubina, legandosi all'acido glucuronico, note. Nel fegato la bilirubina, legandosi all'acido glucuronico, viene trasformata in viene trasformata in bilirubina coniugatabilirubina coniugata solubile in acqua ed solubile in acqua ed in tale forma può essere escreta dall'organismo. L'escrezione in tale forma può essere escreta dall'organismo. L'escrezione della bilirubina coniugata può avvenire sostanzialmente della bilirubina coniugata può avvenire sostanzialmente attraverso due vie: attraverso due vie: bile-intestinobile-intestino (in cui avviene la (in cui avviene la trasformazione in urobilinogeno ) o trasformazione in urobilinogeno ) o plasma-reniplasma-reni

EscrezioneSolida

Tessuti

Bilirubina non coniugata

Bilirubina coniugata

Plasma



Urobilinogeno

Bilirubina prodotta dalla distruzione dei globuli rossi

Fegato



Urobilinogeno

Bilirubina prodotta dalla distruzione dei composti dell’eme

Bile

Bilirubinaconiugata

Urobilinogeno

Bilirubinaconiugata

Urobilinogeno

Intestino

Bilirubinaconiugata

Urobilinogeno

Vescica

EscrezioneLiquida

Bilirubinaconiugata

Urobilinogeno

Reni

I MODELLI A COMPARTIMENTI I MODELLI A COMPARTIMENTI Modello del metabolismo della Modello del metabolismo della BilirubinaBilirubina


Considerando il sistema in stato stazionario e con riferimento ad un Considerando il sistema in stato stazionario e con riferimento ad un esperimento con tracciante, il modello può essere semplificato. Le esperimento con tracciante, il modello può essere semplificato. Le equazioni relative alla sostanza non marcata e a quella marcata risultano equazioni relative alla sostanza non marcata e a quella marcata risultano essere:essere:

Tessuti


3

PlasmaBilirubina

non coniugata

1

Fegato


2

R13

R31

R21

R12

Tessuti

Bilirubinaconiugata

6

PlasmaBilirubinaconiugata

4

Fegato

Bilirubinaconiugata

5

R46

R64

R54

R45

R52

R04y2

R05

y1

u R10


dQ1/dt=0 = -R21s (Q1s) - R31s(Q1s) + R12s(Q2s) + R13s(Q3s) + R10

dQ2/dt=0 = R21s(Q1s) - R12s(Q2s) - R52s(Q2s) + R20

dQ3/dt=0 = R31s(Q1s)-R13s(Q3s)

dQ4/dt=0 = -R54s(Q4s) - R64s(Q4s) – R04s(Q4s) + R45s(Q5s) + R46(Q6s)

dQ5/dt=0 = R52s(Q2s) + R54s(Q4s) - R45s(Q5s) – R05s(Q5s)

dQ6/dt=0 = R64s(Q4s) - R46s(Q6s)

dq1/dt = - (K21 + K31) q1 + K12 q2 + K13 q3 +u

dq2/dt = K21 q1 - (K12 + K52) q2

dq3/dt = K31 q1 - K13 q3

dq4/dt = - (K54 + K64 + K04) q4 + K45 q5 + K46 q6

dq5/dt = K52 q2 +K54 q4 - (K45 + K05) q5

dq6/dt = K64 q4 - K46 q6 y1(t) = q1(t)/V1 y2(t) = q4(t)/V4

dove Qi é la quantità di sostanza non marcata (mg) presente nel compartimento i. Qis è il suo valore in stato stazionario, qi è la quantità di bilirubina marcata (dpm) nel compartimento i, Rij flusso di bilirubina non marcata dal compartimento j al compartimento i (mg/min), Kij costante di trasferimento della bilirubina marcata dal compartimento j al compartimento i (min-1), u è il flusso in ingresso di bilirubina non coniugata marcata, y1 e y2 sono le misure di concentrazione di bilirubina marcata non coniugata e coniugata nel plasma, V1 e V4 sono i volumi di distribuzione dei compartimenti 1 e 4 rispettivamente.


Parametri globali

y(t)

Plasma Fegato

u(t)

k21

k12

k02

Considerando un’infusione di tracciante ra si ha

dq1/dt = –K21 q1+K12 q2+ra (t) q1(0)=0

dq2/dt = K21 q1- (K12+K02) q2 q2(0)=0

y(t) = q1/V1

In condizioni di stazionarietà si potrà definire

Clearance epatica

C= K02 q2S = K02·K21 q1S/(K12+K02)

Coefficiente di estrazione

Ke = K02·K21/(K12+K02)

q1

t

q1S


Modello del metabolismo del GlucosioModello del metabolismo del Glucosio

Il modello del metabolismo del glucosio è stato sviluppato per rappresentare la risposta del sistema a breve termine ad una serie di stimoli clinici. Il modello consiste in tre sistemi rappresentanti la cinetica del glucosio e dei due ormoni che ne controllano il livello nel plasma: l'insulina ed il glucagone. Il sistema del glucosio è rappresentato da un modello ad un compartimento rappresentante il plasma ed i fluidi extracellulari. L'ingresso metabolico è costituito dal bilancio netto di glucosio epatico, differenza fra il glucosio prodotto dal fegato e quello prelevato, da parte del fegato, dal plasma. Le uscite del modello rappresentano l'escrezione renale, l'utilizzazione insulino-dipendente (muscoli e tessuti adiposi) e l'utilizzazione indipendente dall'insulina (cellule nervose e globuli rossi). Il modello dell'insulina comprende cinque compartimenti: due relativi all'insulina pancreatica (riserve e di pronto rilascio), gli altri tre rappresentanti l'insulina nel fegato, nel plasma e nei fluidi interstiziali. Infine il sistema del glucagone è riprodotto con un modello ad solo compartimento relativo al glucagone plasmatico.

K21

K12 m21

m12 m31

m13

u13u11u12u2pu1p

W(x1)

m02 m01y2

Iu

y3

h02u2

F7(x1,u13)

Insulina

Glucagone

Ix

y1

F5(x1)X1

F3(x1)

F4(x1,u13)NHGB(x1,u12 ,u2)

Glucosio



EQUAZIONI DEL MODELLO

dx1(t)/dt = NHGB(x1,u12, u2) - F3(x1) - F4(x1, u13) - F5(x1) + Ix(t)

du1p(t)/dt = -K21u1p + K12u2p + w(x1)

du2p(t)/dt = K21 u1p - (K12 + Ko2(x1)) u2p

du11(t)/dt = -(m01 + m21 + m31) u11 + m12 u12 + m13 u13 + Iu(t)

du12(t)/dt = -(m02 + m12) u12 + m21 u11 + K02(x1) u2p

du13(t)/dt = -m13 u13 + m31 u11

du2(t)/dt = -h02 u2 + F7(x1,u13)

NHGB(x1,u12, u2) = F1(x1,u12, u2) - F2(x1,u12)

F6 (u2p, x1) = K02(x1) u2p

Le condizioni iniziali rappresentano le quantità di sostanza nei vari compartimenti in condizioni stazionarie.

Le uscite misurate sono:y1= x1/V1 y2 = u11/V11, y3 = u2/V2

x1 è la quantità di glucosio nel plasma e

nei fluidi extracellulari (mg);

u1p è la quantità di insulina pancreatica

nelle riserve e u2p è l'insulina

pancreatica di pronto rilascio (U);

u11, u12 ed u13 sono la quantità di

insulina plasmatica, di insulina epatica e di insulina nei fluidi interstiziali rispettivamente (U);

u2 è la quantità di glucagone nel

plasma e nei fluidi interstiziali (pg).

Le funzioni w e F1F7 sono funzioni

non lineari degli argomenti indicati:

•Ix ed Iu sono ingressi di test (boli o infusioni);

•mij,Kij e hij sono costanti di velocità (1/min) con eccezione di K02 che è

funzione di x1.



Per la rappresentazione delle funzioni non lineari si utilizza un approccio di tipo integrato, dando una descrizione matematica della caratteristica ingresso-uscita. La forma adottata è in generale quella della tangente iperbolica che ben rappresenta i fenomeni di soglia e saturazione tipicamente osservati nei processi di produzione di materiale da uno o più substrati. Inoltre gli effetti delle variabili di controllo possono essere facilmente incorporati variando i valori di saturazione e la pendenza della caratteristica.

F1(x1, u12, u2) = a11 G1(u2) H1(u12) M1(x1)

G1(u2) = 0.5 (1+ tanh [b11(e21 +c11)])

H1(u12) = 0.5 {(1- tanh [b12(e12 +c12)]) + (1- tanh [b13(e12 +c13)])}

M1(x1) = 0.5 (1- tanh [b14(ex +c14)])

dove e21, e12 e ex sono le differenze fra i valori attuali di concentrazione plasmatica di glucosio (ex) e glucagone (e21)

ed epatica di insulina (e12) e i loro valori basali mentre a11,b1j e c1j sono dei parametri costanti.

F2(x1,u12) = H2(u12) + M2(x1)

H2(u12) = 0.5 a21 (1+ tanh [b21(e12 +c21)])

M2(x1) = 0.5 a22 (1+ tanh [b22(ex +c22)])

con a2j, b2j e c2j parametri costanti.

L'utilizzazione di tale modello, che per la sua formulazione richiede segnali di ingresso che diano grandi perturbazioni al sistema, necessita della determinazione di almeno una parte dei valori numerici dei parametri in base alle conoscenze a priori sul sistema.


Stima della sensibilità all’insulina: Modello minimo del glucosioNello studio del sistema di regolazione del livello plasmatico di glucosio ha molta importanza la valutazione quantitativa dei due principali meccanismi di regolazione: il controllo esercitato dall'insulina sull'utilizzazione di glucosio da parte dei tessuti e l'azione di stimolo del glucosio plasmatico sulla produzione di insulina da parte delle cellule beta del pancreas. Tale informazione è di grande rilevanza clinica in quanto permette di distinguere, fra le forme di intolleranza al glucosio, quelle dovute ad una ridotta secrezione di insulina in risposta ad uno stimolo di glucosio, da quelle causate da una insensibilità dei tessuti all'insulina. Nella pratica clinica venivano usati i seguenti test

Test di tolleranza al glucosio (IVGTT) o all'insulina (IVITT). Questi test consistono nella somministrazione, per via endovenosa, di determinate quantità di glucosio o insulina e nell’identificazione, negli andamenti delle concentrazioni plasmatiche degli stessi di parametri clinicamente significativi.

Test di soppressione pancreatica (PST) In tale test viene effettuata una infusione costante e simultanea di epinefrina, propanololo (che bloccano la produzione endogena di insulina da parte del pancreas), insulina e glucosio. In condizioni di regime l'utilizzazione periferica di glucosio è costante e pari alla sua velocità di infusione. Quindi, a parità di concentrazione plasmatica di insulina e di utilizzazione di glucosio, la concentrazione plasmatica di glucosio fornisce una misura diretta della sensibilità all'insulina.

Tecnica del "glucose clamp“ Tale tecnica consiste nell'infusione per via endovenosa di insulina, e nel prevenire la naturale ipoglicemia con una infusione di glucosio in modo da mantenere la concentrazione plasmatica dello stesso ai valori basali. In condizioni di stato stazionario, e nell'ipotesi che la produzione endogena di glucosio sia completamente soppressa, l'assorbimento di glucosio è uguale alla velocità di infusione. La sensibilità all'insulina è misurata dal rapporto fra tale assorbimento e la velocità d’infusione dell'insulina mediati su 100 minuti durante i quali il sistema si trova in condizioni stazionarie.


Modello minimo del glucosio

La tecnica relativa all'utilizzazione del modello minimo del glucosio si avvale di una situazione sperimentale semplice e riproducibile quale il test di tolleranza al glucosio e porta ad una valutazione della sensibilità all'insulina stimando dai dati i parametri di un modello matematico e da questi la sensibilità stessa. A tale scopo si e` cercato di formulare un modello a complessità minima , cioè in grado di riprodurre fedelmente la dinamica delle grandezze misurate con il numero minimo di parametri. La scelta fra i modelli alternativi proposti viene effettuata in base ai seguenti criteri

•Identificabilità dei parametri a priori

•Identificabilità a posteriori, cioè capacità effettiva di stimare adeguatamente i parametri.

•Abilità del modello di fornire la migliore rappresentazione dei dati con il minor numero dei parametri.

•Plausibilità del valore dei parametri.

L'approccio utilizzato e` quello di suddividere il sistema in sottosistemi collegati fra loro dalle variabili misurate che risultano quindi a turno ingresso ed uscita dei vari sottosistemi. Tale tecnica permette di definire separatamente i modelli dei diversi sottosistemi, e quindi, ad esempio, di valutare la sensibilità dei tessuti all'insulina, evitando il difficile compito di modellare la secrezione pancreatica dell'insulina.



Modello1. Si assume la produzione di glucosio costante e la sua utilizzazione funzione lineare della concentrazione plasmatica.

dG/dt = p1 G + p2 G(0) = Gss

con p1= -k1 e p2 = pL

Modello 2. L'utilizzazione di glucosio è un processo saturabile che obbedisce ad una dinamica alla Michaelis Menten e dipende dalla concentrazione plasmatica di glucosio.

dG/dt = p1G/(p2+G) +p3 G(0) = Gss

con p1 = -Vm/V, p2 = Km e p3 = pL

Modello 3. Cinetica del glucosio costituita da due compartimenti con uscita lineare con la concentrazione di glucosio negli stessi; ingresso di glucosio è costante

dG/dt = p1G +p2X +p3 G1(0) = Gss

dX/dt = G +p4X X(0) = 0

con X = G2/k1 p1 = -(k1+k3) p2 = k1k2, p3 = pL e p4=-k1(k2 + k4)

pL

GK1

pL

GGkm

GVm

K3pL

G

G2

K4

K1 K2



Modello 4. La scomparsa del glucosio plasmatico dipende sia dalla concentrazione plasmatica di glucosio sia dalla concentrazione plasmatica di insulina. La cinetica del glucosio è rappresentata da un compartimento con ingresso costante.

dG/dt = p1G + p2I + p3 G(0) = Gss

con p1= -k1, p2= -k2 e p3 = pL

Modello 5. L'utilizzazione di glucosio dipende in modo ritardato dalla concentrazione plasmatica di insulina attraverso l'insulina in un compartimento remoto.

dG/dt = p1G + p2X + p3 G(0) = Gss

dX/dt = p4X + i(t) X(0) = 0

con i(t) = I(t)-Iss, i'(t) = I'(t)-I'ss, X=i'/k2, p1= -k1, p2= -

k2k4, p3 = pL, p4= -k3

K2pL

G K1

I(t)

K2

i’

G

K4

pL

K1

i(t)

K3



Modello 6. La velocità di variazione del glucosio e` la differenza fra il bilancio epatico netto B, che può assumere valori positivi (produzione) o negativi (uptake), e l'utilizzazione di glucosio da parte dei tessuti periferici Up. Si ha quindi:

B = Bo - (k5 + k6 i') G Up = (k1 + k4 i') G

dG/dt = (p1-X) G+ p4 G(0) = Gss

dX/dt = p2X + p3 i(t) X(0) = 0

con X=(k4+k6) i' p1= -(k1+k5) p2= -k3, p3= k2(k4+k6) p4= Bo

Modello 7. La produzione epatica di glucosio e la sua inibizione da parte dell'insulina sono rappresentate in modo esplicito. L'utilizzazione, la epatica che la periferica, è descritta da una funzione non lineare simile a quello del modello 6.

dG/dt = (p1 + p2X)G + p3/(1 + p4X) G(0) = Gss

dX/dt = p5X + i(t) X(0) = 0

con X=i'/k2 p1= -k1 p2= -k2k4, p3 = pL /k5, p4= -k2/k5 p5=-k3.

K3K2

i’

G

K4

K1

i(t)

K6

K5

pL

K3K2

i’

G

K4

K1

i(t)

K5



•Tutti i modelli hanno come condizioni iniziali i valori basali di concentrazione plasmatica di glucosio ed insulina. Il bolo di glucosio del test IVGTT e` trattato come una funzione di ingresso impulsiva (in tutti i modelli si può quindi considerare una G(0+) pari alla concentrazione plasmatica immediatamente dopo l'iniezione di glucosio). Nei modelli 4-7 la concentrazione plasmatica misurata di insulina e` assunta come un ingresso al modello.

•Per quanto riguarda i parametri si deve tenere presente che il loro segno e` determinato dal fatto che le costanti k sono tutte positive, altri vincoli possono essere forniti dalle condizioni in stato stazionario. Ad esempio, per il modello 6, si ha p1Gss+p4= 0.

Il confronto fra i vari modelli, in base ai criteri indicati in precedenza fornisce la seguente tavola:

Modello 1 2 3 4 5 6 7

Ident. a priori si si si si si si non unica

Ident. a posteriori si no no no si si no

Errori residui si si si

Bontà del fitting no si si

Plausibilità no si

Il modello 6 e` generalmente assunto come il modello minimo.



Indice di sensibilità all'insulina. Sia E la variazione della velocita` di scomparsa del glucosio con la variazione del glucosio plasmatico stesso.

E = -dG/dt)/G

la sensibilità Sx può essere assunta come la variazione di E in dipendenza di una variazione dell'insulina plasmatica.

Sx =E / i

Considerando il modello 6 si ha

E = p1 -X e Sx = - dX/di = -p3/p2

dove la variazione dX/di è stata valutata considerando una variazione di i rispetto alle

condizioni in stato stazionario (X=0).

MODELLO MINIMO DEL GLUCOSIO (OGTT)

Nel caso in cui il bolo di glucosio venga somministrato per via orale invece che per endovena, le equazioni del modello debbono essere modificate per tenere conto del rate of appearance del glucosio [RaG(t)] nel plasma. Nel caso più semplice si

può assumere che il suo andamento temporale riproduca, in modo anticipato, l’escursione del glucosio plasmatico al di sopra del suo valore basale: g(t)=g(t)-Gbas. Si può quindi scrivere la semplice relazione funzionale:

Da cui:

Il modello minimo viene quindi riscritto come:

)( tbRgag aG

b

tgtgatRaG

)()(

)(

)()(

) )()(

)( )()(

)()()(

tgty

X(itiptXpX(t)

ggb

tgtgagptgtXptg

b

bb

00

0

32

11

Integrando l’equazione che descrive l’azione dell’insulina si ottiene:

e assumendo che per t la X() = X(0) = 0 si ha:

l’integrale al denominatore è semplicemente l’area sotto la curva dell’insulina al di sopra del valore basale, l’integrale al numeratore si può valutare integrando l’equazione relativa al glucosio. Infatti:

dtitipdttXpdXdttX b )()()(

00

32

00

V

dtiti

dttX

Vp

pSI

b

oral

)(

)(

0

0

2

3

00

11

000

00

1

0

)(ln)(ln)(ln

)(

)()(

ggdttgdt

ddt

g

gdt

g

g

dtg

g

bVdt

tg

tgp

bV

adttX

se si assume che alla fine della perturbazione il glucosio torni al suo valore basale. Si ha quindi:

dove AUC è l’area sotto la curva da zero a infinito, GE = p1V, e f Doral =(a/b) AUC[g].

)(

)(/)()(/)(

tiAUC

tgtgAUCGEgAUC

tgtgAUCfD

Vp

pSI

oral

oral

2

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LAUREA IN INGEGNERIA CLINICA E BIOMEDICA. I MODELLI A COMPARTIMENTI Compartimento - Con tale termine...

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